CUERPO ACADÉMICO MATERIALES AVANZADOS FUTUROS TEMAS A DESARROLLAR APOYADOS EN HERRAMIENTAS DE SUPER CÓMPUTO

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1 CUERPO ACADÉMICO MATERIALES AVANZADOS FUTUROS TEMAS A DESARROLLAR APOYADOS EN HERRAMIENTAS DE SUPER CÓMPUTO Participantes Dra. Ana Lilia González Ronquillo, IFUAP Dra. Estela de Lourdes Juárez Ruíz, FCE-BUAP Dr. Felipe Pérez Rodríguez, IFUAP Dra. Xochitl I. Saldaña Saldaña, IFUAP Los participantes del presente proyecto forman parte del CA Materiales Avanzados donde principalmente se cultivan líneas de investigación relacionadas con: a) propiedades físicas de materiales y b) superconductividad y magnetismo. Como CA estamos interesados en diversos temas de investigación, los cuales hemos dividido en subproyectos, cada uno con su debida introducción, objetivos, metodología y referencias. Subproyecto 1: Cálculo de perfiles de inducción magnética en superconductores tipo II de dimensiones finitas y forma arbitraria Introducción. El estudio de la respuesta magnética de superconductores en presencia de campos que varían no solo en magnitud, sino también en dirección representa un problema que requiere de la solución numérica de las ecuaciones de Maxwell para los campos electromagnéticos con una ecuación constitutiva no lineal dada por la relación entre la densidad de corriente y el campo eléctricos (vea, por ejemplo [1]). Este problema se vuelve computacionalmente demandante en el caso de superconductores de dimensiones finitas y forma arbitraria. La discretización de las derivadas espaciales en las ecuaciones de Maxwell conduce a un sistema de N (N~ ) ecuaciones no lineales con derivadas de primer orden en el tiempo Objetivo Estudiar la penetración de campo magnético en superconductores tipo II reversibles y semirreversibles de dimensiones finitas y forma arbitraria Metodología A partir de la distribución inicial de la inducción magnética en una malla de N puntos dentro del superconductor, B(xi,t0) (i=1,,n), se calcula el campo B en cada punto xi en un tiempo posterior, t0+δt, mediante la aplicación de un método computacional iterativo que ha sido desarrollado por los participantes del presente proyecto. El tiempo de cómputo requerido se

2 incrementa con el número de puntos (N) considerados, así como con el número de iteraciones. Sin embargo, se podría reducir el tiempo de cómputo si varias operaciones (sumas) especificadas en el programa se llevan a cabo en paralelo. Subproyecto 2: Cálculo de parámetros efectivos de metamateriales con red de Bravais y forma de inclusión arbitrarias Introducción Existen fórmulas explícitas para el cálculo de los parámetros efectivos de cristales fotónicos homogeneizados [2]. No obstante su cálculo requiere de la inversión de matrices, en principio, de tamaño infinito. El truncamiento de dichas matrices introduce error numérico, por lo que buena precisión en los resultados solo puede lograr cuando las matrices son suficientemente grandes. Para cristales fotónicos con periodicidad tridimensional y alto contraste dieléctrico y/o magnético, el tamaño típico de una matriz a invertir es de Este cálculo se complica cuando se introduce no localidad, es decir, la dependencia en el vector de onda, k, de los parámetros efectivos, puesto que se debe determinar adicionalmente la relación de dispersión (k(ω), donde ω es la frecuencia del campo electromagnético) Objetivo Calcular los parámetros efectivos de cristales fotónicos homogeneizados en el régimen no local Metodología Se aplican las fórmulas explícitas derivadas en el trabajo [2]. Gracias a que los parámetros efectivos están dados en términos de solamente uno de los bloques de la matriz invertida, no es necesario calcular todos los elementos de la matriz inversa, sino únicamente la columna que contiene el bloque de interés. Por tanto, se tiene que resolver un sistema de N (N~10 7 ) ecuaciones algebraicas si se aplica el método directo. Recientemente [3], se ha propuesto un método alternativo, basado en la división del factor de forma, que reduce ese sistema de ecuaciones a otro de menor tamaño, pero con elementos dados por sumas con un gran número de términos. Por consiguiente, este tipo de programa sería muy eficiente si dichas sumas se llevaran a cabo en paralelo. [1] R. Cortés-Maldonado, O. De la Peña-Seaman, V. García-Vázquez, F. Pérez-Rodríguez, On the extended elliptic critical-state model for hard superconductors, Supercond. Sci. Technol. 26, (2013) (9pp).

3 [2] J.A. Reyes-Avendaño, U. Algredo-Badillo, P. Halevi, and F. Pérez-Rodríguez, From photonic crystals to metamaterials: the bianisotropic response, New J. Phys. 13, (2011) (33 pp). [3] J. A. Reyes-Avendaño, M. P. Sampedro, E. Juárez-Ruiz, F. Pérez-Rodríguez, Bianisotropic metamaterials based on twisted asymmetric crosses, Journal of Optics 16, (2014) (14 pp). Subproyecto 3: Propiedades Físicas de Cristales Fotónicos Deterministas Aperiódicos 3.1. Introducción Por la forma en la que están construidos, estos sistemas se encuentran situados entre los sistemas periódicos y los sistemas totalmente desordenados, esto es, tienen un orden pero sin periodicidad dado por reglas deterministas específicas (Fibonacci, Thue-Morse, Rudin-Shapiro entre otras) sus propiedades y posibles aplicaciones se inician en 1985 y aún hay propiedades poco entendidas que requieren de mayor análisis aún en 1D. Las reglas de construcción les confieren a los cristales fotónicos propiedades tales como la multifractalidad, o la autosimilaridad que se trasladan a características físicas de las estructuras tales como las propiedades térmicas, acústicas, de transporte etc.,. En el grupo actualmente se estudia la respuesta óptica de cristales fotónicos aperiódicos unidimensionales que comprende el cálculo de los diagramas de bandas, la relación de dispersión, los espectros de reflectancia y transmitancia así como el análisis multifractal de los mismos, la localización de la luz etc., considerando otras reglas deterministas además de las arriba mencionadas, o la modulación aperiódica de alguno de los parámetros que caracterizan estas estructuras de multicapas tales como los índices de refracción o los anchos de las capas que las forman[1]. Estas estructuras 1D pueden construirse con dieléctricos, metales o materiales magnéticos. Los cálculos númericos se realizan en una PC de escritorio usando FORTRAN. 3.2 Objetivos Extender los estudios anteriores a 2 y 3 dimensiones 3.3. Metodología Debido a que las propiedades específicas de estos sistemas se observan más claramente considerando un número grande de bloques constituyentes ordenados según las reglas deterministas mencionadas arriba (por ejemplo (Fn) 3 en donde Fn son los números de Fibonacci), los cálculos en 2 y 3 dimensiones [2,3] requieren de una capacidad de cómputo mucho mayor que la que se puede obtener en una PC de escritorio. Para estos casos se recomienda el uso del método Finite Difference in the Time Domain (FDTD) [4] para la solución de las ecuaciones de

4 Maxwell junto con la generalización de la aproximación racional que se aplica a dos y tres dimensiones. Este método nos permite también hacer simulaciones numéricas de posibles aplicaciones de estos sistemas en 1, 2 y 3 dimensiones. [1] Xochitl I Saldaña, E López-Cruz and D A Contreras-Solorio. Self-similar optical transmittance for a deterministic aperiodic multilayer structure. J. Phys.: Condens. Matter, 21 (2009) p [2] Enrique Maciá. Exploiting aperiodic designs in nanophotonic devices. Rep. Prog. Phys. 75 (2012) p [3] Tim D Gerke and Rafael Piestun. Aperiodic volume optics. Nature Photonics 4 (2010) p188. [4] Computational Electrodynamics. The Finite-Difference Time-Domain Method. Allen Taflove and Susan C Hagness, 3 rd edition. Subproyecto 4.- Propiedades ópticas de nanopartículas metálicas: Plasmones y efectos relacionados 4.1 Introducción A la fecha hemos empleado la Aproximación de Dipolo Discreto y el uso del código DDSCAT para estudiar la interacción de una nanopartícula con ondas electromagnéticas [1,2]. Sin embargo, para estudiar arreglos de nanopartículas en 2D y 3D el tiempo de cómputo se incrementa notablemente y para resolver las ecuaciones de Maxwell involucradas se debe recurrir a equipo de super cómputo y software robusto. El estudio de los sistemas de interés tiene aplicaciones en medicina para detección, diagnóstico y tratamiento de tumores cancerosos, aplicaciones de sensado molecular, entre otras. 4.2 Objetivo Estudiar la interacción de ondas electromagnéticas con arreglos de nanopartículas metálicas en 1, 2 y 3 dimensiones. 4.3 Metodología El sistema en estudio se discretiza a través de un mallado de N elementos, a cada elemento del mallado se le asignan las propiedades dieléctricas del material. De las ecuaciones de Maxwell resulta un sistema de 3N ecuaciones donde están involucradas números complejos y además son ecuaciones acopladas. N es del orden de 10 5 o mayor para garantizar convergencia de los resultados. Al considerar sistemas en 2D y 3D el número de elementos del mallado se incrementa notablemente y el cálculo se vuelve más complejo. Para ello se debe recurrir a software robusto que usualmente requiere de 1 a 3 centenas de procesadores para realizar los cálculos.

5 Una vez que se obtienen los campos electromagnéticos es posible calcular las eficiencias ópticas de absorción, dispersión y extinción de la nanopartícula. De los espectros se identifican las frecuencias de resonancia de los plasmones de superficie y a partir de esta información es posible calcular el campo cercano y otras propiedades del sistema, como el color y concentración de partículas en una solución coloidal [3]. [1] A. L. González, C. Noguez, G. P. Ortíz and G. Rodríguez-Gattorno; Optical absorbance of colloidal suspensions of silver polyhedral nanoparticles; J. Phys. Chem B, 2005, 109, [2] A. L. González, J. A. Reyes-Esqueda and C. Noguez; Optical properties of elongated noble metal nanoparticles; J. Phys. Chem. C, 2008, 112, [3] A. L. González, C. Noguez and A. S. Barnard, Mapping the structural and optical properties of anisotropic gold nanoparticles, J. Mater. Chem. C, 2013,1, SOFTWARE REQUERIDO Para la realización de los cálculos involucrados en los sistemas de los subproyectos 3 y 4 se sugiere la compra del software FDTD Solutions de LUMERICAL ( Este software tiene un alto desempeño basado en el uso de multiprocesadores para resolver las ecuaciones de Maxwell de sistemas en 1D, 2D y 3D. A la fecha no tenemos el costo exacto de la licencia pero la estimamos en cerca de 1,800 USD. Cabe mencionar que COMSOL es otro software comercial, bastante robusto, que incluye el método FDTD pero resulta ser entre 3 y 5 veces más costoso que LUMERICAL. PRODUCTOS ESPERADOS La adquisición del software solicitado para cálculos numéricos permitirá hacer aportaciones en ciencia básica permitiendo entender mejor fenómenos poco estudiados, mencionados a lo largo de los subproyectos de la presente propuesta, ya que la limitante común hasta ahora ha sido la falta de recursos de super cómputo para resolver sistemas en 2D y 3D. También será posible incursionar en la física aplicada ya que se tendrá la capacidad de proponer dispositivos que aprovechen las propiedades específicas de estos sistemas. Los resultados de estos trabajos podrán ser reportados en artículos en revistas indexadas y presentados en congresos nacionales e internacionales. Además, se podrá contribuir a la formación de recursos humanos proponiendo temas de tesis de licenciatura, maestría y doctorado.