TEMA 1: Los números reales. Tema 1: Los números reales 1
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- Antonia Paz Páez
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1 TEMA 1: Los númros rals Tma 1: Los númros rals 1
2 ESQUEMA DE LA UNIDAD 1.- Númros naturals y ntros. 2.- Númros racionals. 3.- Númros irracionals. 4.- Númros rals. 5.- Jrarquía n las opracions combinadas. 6.- Rpaso opracions con fraccions. 7.- Aproximacions y rrors Aproximación Rdondo Cifras significativas Truncaminto Errors. 1.- NÚMEROS NATURALES Y ENTEROS Los númros naturals son los qu s utilizan para contar cantidads positivas. Estos númros surgiron cuando l hombr sintió la ncsidad d controlar las cosas qu tnía. El númro cro no s un númro natural porqu cuando no s pos nada no s tin la ncsidad d controlar lo qu s tin. Ejmplos: 1, 2, 3 Al conjunto d todos los númros naturals s l rprsnta por N. Así scribirmos: N 1, 2, 3, 4, 5, 6,... Frcuntmnt podmos ncontrarnos con la siguint xprsión: 2 N, qu significa qu l númro "dos" s un númro natural, o dicho d otra manra, qu l númro dos prtnc al conjunto d los númros naturals. Los númros ntros son los qu s utilizan para contar cantidads tanto positivas como ngativas y l cro. Estos númros surgiron cuando l hombr sintió la ncsidad d controlar las cosas qu dbía. Ejmplos: -3, -2, -1, 0, 1, 2 Al conjunto d todos los númros ntros s l rprsnta por Z. Así scribirmos:..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,... La xprsión 5Z s utiliza para dcir qu l númro -5 s ntro. Obsrvación: los númros naturals también son ntros. Tma 1: Los númros rals 2
3 2.- NÚMEROS RACIONALES Los númros racionals son las fraccions y los númros qu pudan xprsars n forma d fracción. Ejmplos: 2/3, -1/2, 4 (= 4/1). Al conjunto d todos los númros racionals s l rprsnta por Q. Obsrvacions: a) Los númros naturals y ntros también son racionals, ya qu s pudn scribir como una fracción con dnominador l númro 1. b) También son racionals los númros dcimals xactos y los priódicos puros y mixtos. Estos númros, por tanto, s pudn scribir n forma d fracción a la qu s l llama fracción gnratriz. c) Los númros dcimals xactos son los qu tinn un númro finito d cifras dcimals. Su fracción gnratriz s la qu tin como numrador l númro sin la coma y como dnominador la unidad sguida d tantos cros como cifras dcimals tnga l númro. Ejmplos: 125 0,125, , d) Los númros dcimals priódicos puros son los qu tinn infinitas cifras dcimals qu s rpitn d manra priódica inmdiatamnt dspués d la coma. Su fracción gnratriz s la qu tin como numrador l númro sin la coma mnos l númro (sin coma) qu quda dlant dl priodo, y como dnominador tantos nuvs como cifras tnga l priodo. Ejmplos: ,6, , ) Los númros dcimals priódicos mixtos son los qu tinn infinitas cifras dcimals qu s rpitn d manra priódica pro no justo dspués d la coma. Su fracción gnratriz s la qu tin como numrador l númro sin la coma mnos l númro (sin coma) qu quda dlant dl priodo, y como dnominador tantos nuvs como cifras tnga l priodo sguidos d tantos cros como cifras haya ntr la coma y l priodo. Ejmplos: ,386, , NÚMEROS IRRACIONALES Los númros irracionals son aqullos qu no s pudn xprsar n forma d fracción. En la práctica stos númros son fácils d idntificar, ya qu son los dcimals con infinitas cifras dcimals no priódicas, las raícs d cualquir índic qu no san xactas, y algunos númros spcials. El conjunto d todos los númros irracionals s rprsnta por I. Ejmplos: 7, 5, 3, , 2, (llamado númro áuro o númro d oro), 2 Tma 1: Los númros rals 3
4 4.- NÚMEROS REALES El conjunto d los númros rals stá formado por todos los númros racionals irracionals. S rprsnta por y s pud scribir qu Q ᴗ I RESUMEN Naturals Entros Racionals Irracionals Entros positivos Entros positivos Naturals Raícs no xactas Entros ngativos Entros Númros spcials Cro Fraccions Dcimals con infinitas cifras dcimals no priódicas Dcimals xactos Dcimals priódicos 5.- JERARQUÍA EN LAS OPERACIONES COMBINADAS En las opracions combinadas con númros rals hay qu rsptar l siguint ordn: a) Paréntsis. b) Potncias y raícs. c) Multiplicacions y divisions. d) Sumas y rstas. 6.- REPASO OPERACIONES CON FRACCIONES Para podr sumar y rstar fraccions, tinn qu tnr l mismo dnominador. A vcs para consguir qu lo tngan hay qu calcular l mínimo común múltiplo (m.c.m.). M.C.M. = producto d los lmntos comuns y no comuns lvados al mayor xponnt. Tma 1: Los númros rals 4
5 El producto d fraccions s hac multiplicando n lína. El cocint d fraccions s hac multiplicando n cruz. Las fraccions s pudn multiplicar y dividir aunqu no tngan l mismo dnominador, dicho d otra forma, al multiplicar y dividir fraccions no hay qu calcular l m.c.m. 7.- APROXIMACIÓN Y ERRORES Los númros irracionals y muchos númros racionals vinn xprsados con una cantidad infinita d cifras dcimals, por lo qu s imposibl scribirlos d forma xacta. En stos casos s utiliza un valor aproximado dl númro. Por otro lado, al aproximar un númro, s stá comtindo un rror Aproximación Un númro dado s pud aproximar por dfcto o por xcso. Si la aproximación dada rsulta sr un númro mnor qu l ral, s dic qu la aproximación s por dfcto. En cambio, si la aproximación dada s un númro mayor qu l ral, s habla d aproximación por xcso. Ejmplo: dado l númro 5 2, , scrib una aproximación por dfcto y otra por xcso con dos cifras dcimals. Aproximación por dfcto: 2,23 Aproximación por xcso: 2,24 Nota: n la práctica la aproximación por dfcto s l númro qu rsulta al quitarl al qu stamos aproximando la part qu no nos intrsa, y la aproximación por xcso sría l númro qu rsulta d sumarl uno a la última cifra d la aproximación por dfcto. Para aproximar un númro ral s suln mplar dos procdimintos: l rdondo y l truncaminto Rdondo Para rdondar un númro ral, si la primra cifra qu s dsprcia s mayor o igual qu 5 s aumnta una unidad la part dl númro qu s va a qudar (s dcir, s aproxima por xcso), y si la primra cifra qu s dsprcia s mnor qu 5 s mantin igual l númro (s dcir, s aproxima por dfcto), y simpr sustituyndo las cifras qu dsprciamos por cros. Ejmplo: rdonda l númro 238 a las dcnas. En st caso las dcnas ocupan la sgunda cifra dl númro mpzando por la drcha, por lo qu la cifra qu qurmos dsprciar s la última, la qu corrspond a las unidads. Como dicha cifra s mayor qu cinco (s un 8), al 23 s l suma una unidad y dicho 8 s sustituy por l cro, rsultando sr l 240 l rdondo qu nos pidn. Ejmplo: rdonda l númro 2, con dos dcimals. Como la primra cifra qu s va a dsprciar s un 6 (mayor qu 5), a la part dcimal hay qu sumarl 1, qudando l númro rdondado así: 2, = 2,24 Tma 1: Los númros rals 5
6 Cifras significativas Llamarmos cifras significativas a aqullas qu s sab con sguridad qu son vrdadras. Para sabr cuántas cifras significativas tin un númro, s sigun las siguints rglas: - Si l númro s dcimal, son cifras significativas todas las cifras qu hay a partir d la primra qu sa distinta d cro. Ejmplos: 1,570: cuatro cifras significativas 0,570: trs cifras significativas 0,015: dos cifras significativas - Si l númro no s dcimal, son cifras significativas todas xcpto los cros qu stén situados al final. Ejmplos: 2145: cuatro cifras significativas 12500: trs cifras significativas 50086: cinco cifras significativas Obsrvación: n la siguint dircción d intrnt puds practicar l cálculo d cifras significativas d un númro dado Truncaminto Para aproximar un númro por l método dl truncaminto s liminan las cifras no significativas. Ejmplo: aproxima por truncaminto con trs cifras significativas (s dcir, a la cntésima) los siguints númros a) 2 1, , 41 b) 7, , 55 c) 2,816 2, Errors Por otro lado, simpr qu s raliza una aproximación s stá comtindo un rror. Para cuantificar dicho rror tnmos l rror absoluto y l rror rlativo. El rror absoluto comtido al aproximar un númro ral s la difrncia qu xist, n valor absoluto, ntr l valor xacto dl númro y su aproximación. En la práctica s calcula con la siguint fórmula: a númro dado aproximaci ón Tma 1: Los númros rals 6
7 El rror rlativo comtido al aproximar un númro ral s l cocint ntr l rror absoluto y l valor absoluto dl númro dado. r a númro dado En la práctica l rror rlativo s útil cuando vin dado n tanto por cinto, para lo qu habría qu multiplicar por cin l rror obtnido al aplicar la fórmula antrior, o dicho d otra manra, utilizando sta otra fórmula: r a númro dado 100 Ejmplo: aproxima a la unidad la altura d la torr Eiffl, qu mid 357,5 m, y la altura d un árbol d 2,5 m. Calcula n ambos casos l rror absoluto y rlativo comtidos y sñala cuál s la aproximación más xacta. Aproximación a la unidad Error absoluto Error rlativo Torr Eiffl 358 m 357,5358,5 m 0 0,5 357,5 Árbol 3 m 2,53 0,5 m 0,5 2,5 0,00139 D las dos aproximacions dadas, la más xacta s la d la torr Eiffl, ya qu l rror rlativo comtido al hacr la aproximación ha sido mnor. 0,2 FIN DEL TEMA Tma 1: Los númros rals 7
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