Espacios vectoriales y Aplicaciones Lineales II: Núcleo e imagen. Diagonalización. Ker(f) = {x V f(x) = 0} Im(f) = {f(x) x V}.

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1 UNIVERSIDAD DE JAÉN ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Deprtmento de Mtemátics (Áre de Álgebr) Curso 28/9 PRÁCTICA Nº Espcios vectoriles y Aplicciones Lineles II: Núcleo e imgen. Digonlizción. NÚCLEO E IMAGEN DE UNA APLICACIÓN LINEAL Ddos V y V dos espcios vectoriles sobre y f: V V un plicción linel, se definen el núcleo de f como el subespcio de V ddo por: Ker(f) = {x V f(x) = } y se define l imgen de f como el subespcio de V ddo por: Im(f) = {f(x) x V}. Un primer método pr clculr el núcleo, conocid l expresión mtricil de f, es decir, Y = AX, consistirí en resolver el sistem homogéneo que result de plnter f(x) =, es decir, AX =. Si el sistem nterior es S.C.D. entonces Ker(f)={} y si es un S.C.I. entonces Ker(f) = L({u, u 2,..., u r }) siendo {u, u 2,..., u r }un bse del subespcio vectoril de soluciones del sistem AX =. L orden NullSpce nos permite obtener est bse directmente. Ejemplo. Clculr bse, dimensión, ecuciones prmétrics e implícits del núcleo de l plicción linel f: 3 4 dd por f(x, y, z) = (2x z, x + y, 3x + y z, 2y + z). En primer lugr clculemos l mtriz socid l plicción linel respecto de ls bses cnónics: f[{x_,y_,z_}]:={2x-z, x+y, 3x+y-z, 2y+z} B= IdentityMtrix[3]; Bp= IdentityMtrix[4]; A= Trnspose[Tble[LinerSolve[Trnspose[Bp], f[b[[i]]]],{i,,3}]]; MtrixForm[A] i 2 y 3 j z k 2 { Ahor l bse del núcleo: bsenucleo=nullspce[a] {{,-,2}} En este cso deducimos que l dimensión del núcleo es y por tnto necesitmos un prámetro,, pr el cálculo de ls prmétrics. Como el núcleo es un subespcio de 3, escribiremos un list con tres coordends {x, y, z} y formremos un ecución de ests coordends, con l list formd por ls coordends de los vectores de l bse del núcleo, multiplicd mtricilmente por l list de los prámetros. Por último, l - -

2 función LogiclExpnd[] igulrá término término ls lists implicds, dndo lugr ls ecuciones prmétrics en l form hbitul. prm={}; coord={x,y,z}; prmnucleo=logiclexpnd[coord == Trnspose[bseNucleo].prm] x = = && y = = - && z = = 2 L orden Eliminte[prmNucleo, prm] hce que se elimine el único prámetro que hy en este cso, obteniendo ls ecuciones implícits: Eliminte[prmNucleo, prm] x = = -y && 2y = = - z Recordemos que el número de ecuciones implícits de un subespcio U de un espcio vectoril V, es igul dim (V) dim (U). En nuestro ejemplo, efectivmente, nos hn slido 3 = 2 ecuciones implícits del núcleo de f. Pr clculr l imgen de l plicción linel, buscremos un sistem de generdores, que según vimos en un proposición, puede obtenerse prtir de los trnsformdos medinte f de culquier sistem de generdores del dominio. Teniendo en cuent esto, sbemos que ls columns de l mtriz socid f, permiten obtener un sistem generdor de Im (f). Así, un bse no será más que el conjunto formdo por el myor número de columns que sen linelmente independientes y que podemos obtenerls prtir de l form norml de Hermite de l mtriz socid f. Ejemplo. Clculr bse, dimensión, ecuciones prmétrics e implícits de l imgen de l plicción linel f: 3 4 dd por f(x, y, z) = (2x z, x + y, 3x + y z, 2y + z). Como se trt de l mism plicción linel del ejemplo nterior, y tenemos l mtriz socid l plicción linel respecto de ls bses cnónics, A. generdorimgen=trnspose[a]; RowReduce[generdorImgen] {{,,,-},{,,,2},{,,,}} será: Como vemos, en este cso los linelmente independientes son ls dos primers fils, por tnto l bse bseimgen=tble[%[[i]],{i,2}] {{,,,-},{,,,2}} Ahor tendremos que introducir dos prámetros {, b} y coordends {x, y, z, t} pues l imgen es subespcio vectoril de V = 4. Ls ecuciones correspondientes son: prm={,b}; coord={x,y,z,t}; prmimgen=logiclexpnd[coord == Trnspose[bseImgen].prm] t = = -+2b && x = = && y = = b && z = = +b Eliminte[prmImgen, prm] t = = -x+2y && x = = -y+z - 2 -

3 En este cso hemos obtenido dim (V ) dim (Im(f)) = 4 2 = 2 ecuciones implícits del subespcio imgen de l plicción linel f. Como fácilmente se puede observr, el método nterior no es totlmente progrmble, pues es necesrio intervenir ñdiendo los prámetros y coordends necesrios pr ls ecuciones prmétrics, o eliminndo ls fils nuls pr l bse de l imgen. Vemos como l form norml de Hermite nos fcilit el cálculo del núcleo y l imgen de f. Si l clculr l form de Hermite por columns de A relizmos ls operciones elementles sobre A C, obtenemos donde P es l mtriz regulr de orden n tl que C = A.P, pues bien se tiene que ls I P columns no nuls de C form un bse de Im (f) y ls columns de P que están bjo ls columns de ceros de C (si ls hy) formn un bse de Ker (f). Recordemos que en el Mthemtic l orden RowReduce[A] nos clcul l form norml de Hermite por fils, luego l hcer lo nterior con el Mthemtic nosotros trbjremos por fils trnsponiendo l mtriz A ntes de clculr l form de Hermite y l finl trnsponiendo el resultdo (C P). I Ejemplo. Clculr el núcleo y l imgen de l plicción linel f: 3 4 dd por f(x, y, z) = (2x z, x + y, 3x + y z, 2y + z) usndo pr ello l form norml de Hermite. f[{x_,y_,z_}]:={2x-z,x+y,3x+y-z,2y+z} B= IdentityMtrix[3]; Bp= IdentityMtrix[4]; A= Trnspose[Tble[LinerSolve[Trnspose[Bp], f[b[[i]]]],{i,,3}]]; Join[A,B]; AI=Trnspose[%]; CP=RowReduce[AI]; MtrixForm[Trnspose[CP]] 2 2 Por tnto, un bse de l imgen es {(,,,),(,,,-2)} y un bse del núcleo es {(,-,2)}. 2. TIPOS DE APLICACIONES LINEALES Un plicción linel pueden ser monomorfismo, epimorfismo o isomorfismo si como plicción es inyectiv, sobreyectiv o biyectiv, respectivmente. Proposición. Dd un plicción linel f: V V con dim (V) = n, dim (V ) = m, se A l expresión mtricil de f respecto de dos bses B y B de V y V respectivmente, se verific:. f es inyectiv Ker(f) = rg(a) = n. 2. f es sobreyectiv Im(f) = V rg(a) = m. 3. f es biyectiv A es cudrd y regulr. Según l proposición nterior l plicción f del ejemplo no es inyectiv porque dim(ker(f)) =, y tmpoco sobreyectiv, pues dim(im(f)) = 2. Por tnto f tmpoco es biyectiv

4 3. DIAGONALIZACIÓN POR SEMEJANZA Se V un espcios vectoril sobre y se f: V V un endomorfismo de V. Se dice que el esclr λ es un vlor propio (o utovlor) de f si existe un vector no nulo u V de form que f(u) = λu. Pr un esclr λ, llmremos vector propio (o utovector) socido λ cd vector u de V tl que f(u)= λu. Denotmos por V λ l conjunto de todos los utovectores socidos λ, esto es: V λ ={u V f(u) = λu} Proposición. Se V un espcio vectoril sobre de dimensión n, f un endomorfismo de V y se A l mtriz socid f respecto de un bse de V. Ddo λ, se verific:. V λ = Ker(f λi). 2. V λ es un subespcio vectoril de V. 3. dim(v λ ) = n - rg(a - λi). 4. λ es utovlor de f det(a - λi) =. El subespcio V λ recibe el nombre de subespcio propio de λ. Según hemos visto, pr un endomorfismo f de mtriz socid A, un esclr λ es un vlor propio de f si y solo si, det(a λi) = ; hor bien, considerndo λ como indetermind, este determinnte: det(a λi) = λ 2 M n 22 2 λ M n2 L L O L nn n 2n M λ es un polinomio en λ, p(λ), de grdo n que recibe el nombre de polinomio crcterístico de f. Los vlores propios serán precismente ls ríces del polinomio crcterístico. En prticulr se tiene que el número máximo de vlores propios distintos de f es exctmente n. Además el polinomio crcterístico de f no depende de l mtriz socid f que se considere. Ejemplo. Se f: 3 3 el endomorfismo definido por f(x, y, z) = (3x + y + z, x + 3y + z, x + y + 3z) Clculr el polinomio crcterístico, los vlores propios y los subespcios propios. f[{x_,y_,z_}]:={3x+y+z, x+3y+z, x+y+3z} B= IdentityMtrix[3]; A= Trnspose[Tble [f[b[[i]]],{i,,3}]]; p[t_] = Det[A - t*b] 2-24 t + 9 t 2 - t 3 Solve[p[t]==, t] {{t -> 2}, {t -> 2}, {t -> 5}} Por tnto los vlores propios del endomorfismo son 2 con multiplicidd 2 y 5. En Mthemtic y existe un orden que hce esto directmente: Eigenvlues[A] - 4 -

5 {2, 2, 5} Ahor pr clculr los vectores propios tenemos que clculr Ker(f - λi) pr cd uno de los vlores propios. Id[{x_,y_,z_}]:={x,y,z} g[{x_,y_,z_}]=f[{x,y,z}] - t* Id[{x,y,z}] ; Ag = Trnspose[Tble [g[b[[i]]],{i,,3}]] {{3 - t,, }, {, 3 - t, }, {,, 3 - t}} Solve[(Ag/.t->5).{x,y,z}=={,,}, {x,y,z}] {{x -> z, y -> z}} Con esto el subespcio propio socido l vlor propio λ = 5 es y un bse suy es el vector (,,). V(5) ={(,, ) } Solve[(Ag/.t->2).{x,y,z}=={,,}, {x,y,z}] {{x -> -y - z}} Con esto el subespcio propio socido l vlor propio λ = 2 es V(2) ={( b,, b) /, b } y un bse suy es l formd por los vectores (-,, ) y (-,, ). Observr que el conjunto formdo por {(,, ), (-,, ), (-,, )} es un bse de 3 formd por vectores propios. En Mthemtic existe un orden que clcul esto directmente: Eigenvectors[A] Out[]:= {{-,, }, {-,, }, {,, }} O bien, utovlores y utovectores pueden clculrse de un vez de l form: Eigensystem[A] {{2, 2, 5}, {{-,, }, {-,, }, {,, }}} En generl, puede ocurrir que el polinomio crcterístico no teng exctmente n ríces. Un primer posibilidd involucr l cuerpo que se esté considerndo, sí si = tods ls ríces del polinomio hn de estr en, pero si = puede suceder que el polinomio crcterístico teng ríces imginris que no nos sirven como utovlores, incluso si tiene tods ls ríces en, puede tener menos de n vlores propios distintos por l prición de ríces múltiples. Pr cd i, llmremos multiplicidd lgebric del vlor propio λ i l multiplicidd de λ i como ríz del polinomio crcterístico, es decir, el myor exponente α i pr el cul el fctor (λ i λ) αi prece en l descomposición de p(λ). Llmremos multiplicidd geométric de λ i l dimensión d i del subespcio propio V λi, esto es: d i = dim(v λi ) = n rg(a λ i I) L relción entre ls multipliciddes lgebrics y geométrics viene dd por el siguiente resultdo. Proposición. Se V un espcio vectoril sobre λ de dimensión n y se f: V V un endomorfismo de V de mtriz socid A y sen λ, λ 2,..., λ r sus vlores propios distintos. Entonces pr cd i =,..., r se tiene d i α i

6 Se dice que un mtriz cudrd A es digonlizble si existe un mtriz digonl D semejnte A. Diremos que el endomorfismo f: V V es digonlizble si existe un bse de V con respecto l cul l mtriz socid f es digonl. Proposición. Un endomorfismo f: V V es digonlizble si existe un bse de V formd por vectores propios de f. El problem de l digonlizción qued totlmente resuelto con el siguiente teorem: Teorem. Se f: V V un endomorfismo de espcios vectoriles sobre un cuerpo, sen λ, λ 2,..., λ r sus distintos vlores propios. Entonces f es digonlizble si, y solo si, se verific ls siguientes condiciones:. α α r = n (tods ls ríces del polinomio crcterístico de f están en ). 2. d i = α i, pr cd i =,..., r. Corolrio. Se A un mtriz cudrd de orden n, si A tiene n vlores propios distintos en, entonces es digonlizble. El problem de l digonlizción se resume: Pso : Se clcul el polinomio crcterístico p(λ). Pso 2: Descomponemos p(λ) se clculn sus ríces. Tenemos clculdos los vlores propios λ i y sus multipliciddes lgebrics α i. Pso 3: Se clculn ls multipliciddes geométrics, d i = n rg(a λ i I). Pso 4: Se plic el criterio de digonlizción. si pr lgún i se tiene d i α i, entonces l mtriz no es digonlizble. En cso contrrio l mtriz es digonlizble y su form digonl es l mtriz digonl cuy digonl está formd por los utovlores repetidos cd uno según su multiplicidd. Pso 5: Obtenemos bses de los subespcios propios V λi = Ker(f λ i I). Pso 6: Uniendo ests bses se obtiene un bse de V pr l cul l mtriz socid es D. Así pues l mtriz de cmbio de bse, cuys columns son ls coordends de estos vectores propios, es l mtriz de pso P que verific D = P - AP. Ejemplo. Se f: 3 3 el endomorfismo definido por f(x, y, z) = (3x + y + z, x + 3y + z, x + y + 3z) Es digonlizble? En cso firmtivo clculr un mtriz digonl D y un mtriz regulr P, de form que D = P - AP, siendo A l mtriz socid f respecto de ls bses cnónics. f[{x_,y_,z_}]:={3x+y+z, x+3y+z, x+y+3z} B= IdentityMtrix[3]; A= Trnspose[Tble [f[b[[i]]],{i,,3}]]; v=eigensystem[a] {2, 2, 5}, {{-,, }, {-,, }, {,, }}} Det[v[[2]]]!= True Aunque en este cso sbemos que f es digonlizble por lo relizdo en el ejemplo, lo hemos comprobdo de nuevo, clculndo el determinnte de v[[2]] y como es distinto de cero, v[[2]] es un bse de Ñ 3 formd por vectores propios. d=digonlmtrix[v[[]]]; P = Trnspose[v[[2]]]; Inverse[P].A.P == d - 6 -

7 True - 7 -

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