UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIAL

Transcripción

1 UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIAL Revisió, Cambios y Ampliació: Ig. José Alejadro Marí Fuete Primaria: Ig. César Augusto Zapata Urquijo 1. M U E S T R E O S I S T E M Á T I C O Se utiliza cuado el uiverso o població es de gra tamaño, o ha de extederse e el tiempo. Primero hay que idetificar las uidades y relacioarlas co el caledario (cuado proceda). Luego hay que calcular ua costate, que se deomia coeficiete de elevació así, K= N/; dode N es el tamaño del uiverso y el tamaño de la muestra. Determiar e qué fecha se producirá la primera extracció, para ello hay que elegir al azar u úmero etre 1 y K; de ahí e adelate tomar uo de cada K a itervalos regulares. Ocasioalmete, es coveiete teer e cueta la periodicidad del feómeo. Características del muestreo sistemático 1 : a) El muestreo sistemático proporcioa muestras equiprobables. Por otro lado, la probabilidad que tiee cualquier uidad de la població (de N uidades) de perteecer a la muestra (de tamaño k) es k/n = k/k = 1/; por lo tato, el muestreo sistemático es u tipo de muestreo co probabilidades iguales. b) No preseta problemas de cálculo algebraico y o precisa distició etre reposició y o reposició. c) Si la disposició de los elemetos e la població es aleatoria, la selecció sistemática equivale a u muestreo aleatorio simple. d) El error de muestreo suele ser meor que e el muestreo aleatorio simple o icluso que e el estratificado. e) Existe la posibilidad de aumeto de la variaza si existe periodicidad e la població. f) E el muestreo estratificado aleatorio la selecció se efectúa idepedietemete e cada estrato, mietras que e el muestreo 1 Muestreo Estadístico, Pérez López, Cesar. 1

2 sistemático todos los elemetos seleccioados ocupa el mismo lugar o úmero de orde detro de cada zoa de k elemetos, co la que o hay aleatoriedad de selecció. Esto quiere decir que si teemos u determiado úmero de persoas que es la població (N) y se desea escoger de esa població u úmero más pequeño que será la muestra (), dividimos el úmero de la població por el úmero de la muestra que se quiere tomar y el resultado de esta operació será el itervalo, etoces se escoge u úmero al azar desde uo hasta el úmero del itervalo, y a partir de este úmero se elige los demás siguiedo el orde. Se divide la població e subcojutos tomado e cueta el factor de elevació. Por ejemplo: supoga que e ua pequeña ciudad de 8,000 habitates segú el ceso se va a haber ua ecuesta y se seleccioa ua muestra sistemática de 20 persoas etre 1,200 padres de familia para coocer el grado de aceptació de la gestió admiistrativa de la ciudad por parte del alcalde muicipal. N = 1200 Població = 20 Muestra Factor de Elevació k=n/ = 1200/20 = 60 Se escoge al azar u úmero (fució rad(()) de etre 1 y 60: Por ejemplo el úmero 3, esto quiere decir que se seleccioa el padre de familia úmero 3, luego el úmero 63, luego el 123, hasta que sea seleccioados los 20 elemetos de la muestra, así: {3,63,123,183,243,303,363,423,483,543,603,663,723,783,843,903, 963,1023,1083,1143}. Defiició: Ua muestra obteida al seleccioar aleatoriamete u elemeto de los primeros k elemetos e el marco y después cada k-ésimo elemeto se deomia muestra sistemática de 1-e-k. k=n/ 2

3 Defiicioes de Població Ua població es aleatoria si sus elemetos está ordeados al azar. Ua població es ordeada si los elemetos detro de la població está ordeados e magitud de acuerdo co algú esquema. Ua població es periódica si los elemetos de la població tiee variació cíclica. 1. MEDIA POBLACIONAL Estimador de la media poblacioal μ: μ = y sy = y i Dode el subídice sy sigifica que se utilizó muestreo sistemático. Variaza del estimador de la media /Variaza Estimada de y sy : V (y sy ) = s2 (N N ) = (1 N ) s2 Dode: s 2 = (y i y ) 2 1 = y i 2 ( y i) 2 1 Límite para el Error de estimació: 2 V (y sy ) = 2 s2 Itervalo de cofiaza para la media (N N ) 3

4 Co ormalidad y sy ± λ α σ (y sy ) Si ormalidad y sy ± σ (y sy) Ejemplo: U ivestigador desea determiar la calidad del azúcar coteida e la savia de los árboles de ua fica. El úmero total de árboles es descoocido; por lo tato es imposible aplicar ua muestra irrestricta aleatoria de árboles. Como procedimieto alterativo, el ivestigador decide usar ua muestra sistemática de 1 e 7. Los datos de esta muestra está listados e la tabla siguiete. La medició es el porcetaje (%) del coteido de azúcar e la savia para los arboles muestreados. α Árbol muestreado % Azúcar e la Savia, y y Totales y i = 17,066 y 2 i = 1,486,800 Utilice estos datos para estimar μ, el coteido de azúcar promedio (%) de los arboles e la fica. Estime u límite para el error. Determie el error relativo de muestreo (cv), cocluya. Realizar la estimació mediate u itervalo de cofiaza al ivel del 5% y al ivel de 2% co ambos supuestos, cocluya. Solució: Ua estimació de μ esta dada por: μ = y sy = y i = 17, = 80.5 Para ecotrar el límite para el error, primero debemos calcular s 2, usado la siguiete formula: s 2 = y i 2 ( y i) 2 1 = 1,486,800 (17,066) =

5 Se puede supoer que la població de árboles e la fica es aleatoria. Segú esto, es posible calcular la variaza estimada de y sy : V (y sy ) = s2 (N N ) = (1484 ) = Para el cálculo de N, etoces utilizamos la relació k=n/, dode N=*k, etoces, se puede asumir que N=212*7=1484. U límite aproximado para el error de estimació está dado por: 2 V (y sy ) = = 2.9 E resume, estimamos que el promedio de azúcar coteido e la savia es del 80.5%. Co ua cofiaza del 95% se puede afirmar que el límite para el error de estimació es meor a 2.9%. 2 Determie el error relativo de muestreo (cv), cocluya. Realizar la estimació mediate u itervalo de cofiaza al ivel del 5% y al ivel de 2% co ambos supuestos, cocluya. 2 Teer e cueta que para este ejemplo, las uidades de medida del azúcar so e %, por esta razó se cocluye e porcetaje. 5

6 2. TOTAL POBLACIONAL Se recordara que la estimació de u total poblacioal requiere de coocimieto del úmero total de elemetos (N) e la població cuado se aplicaro los procedimietos e los materiales ateriores. Por ejemplo, usamos: Nμ = τ Estimador del Total Poblacioal τ: Variaza Estimada de τ : τ = Ny sy = N y i V (τ ) = V (Ny sy ) = N 2 ( s2 ) (N N ) Dode: s 2 = (y i y ) 2 1 = y i 2 ( y i) 2 1 Límite para el Error de estimació: 2 V (Ny sy ) = 2 N 2 ( s2 ) (N N ) Ejemplo: U cultivador de mazaas tiee u huerto co N=1300 mazaos y quiere estimar la producció total de su huerto. Co base e ua muestra sistemática de 1-e-10. La media y la variaza muestrales para los arboles muestreados fuero y sy = 3.52 kgs y s 2 =0.48. Utilice estos datos para estimar τ, la producció total del huerto, y establezca u límite para el error. 6

7 Solució: Se supoe que la població es aleatoria, por tato ua estimació del Total Poblacioal τ, esta dada por: τ = Ny sy = 1300(3.52) = 4576 kgs El Límite para el Error de estimació se calcula co la siguiete ecuació, usado =N/k=1300/10=130: 2 V (Ny sy ) = 2 N 2 ( s2 ) (N N ) = ( ) (1300 ) = Por lo tato estimamos que la producció total del huerto de mazaas es de 4576 kg, co u límite para el error de estimació de 150 kg. 3. PROPORCIÓN POBLACIONAL E varios casos, el ivestigador está iteresado e estimar la proporció (porcetaje) de la població que posee ua característica específica usado ua muestra sistemática. Se defie etoces: Sea p = Proporció poblacioal p sy = Estimador de la proporció poblacioal del muestreo sistemático. Yi = 0 No posee la característica Yi = 1 Si posee la característica 7

8 y i = Total de elemetos que posee la caracteristica i=1 Estimador de la proporció poblacioal p sy : p sy = y i = y sy Variaza Estimada de p sy : V (p sy) = p syq sy 1 (N N ) Dode q sy = 1 p sy Límite para el Error de estimació: 2 V (p sy) = 2 p syq sy (N 1 N ) Ejemplo: Ua muestra de 1-e-6 es obteida de ua lista de votates para estimar la proporció de votates que está a favor de cierta propuesta. Los resultados de esta ecuesta de elecció se muestra e la tabla. Estime p, como la proporció de los 5775 votates registrados que está a favor de la propuesta. Establezca u límite para el error de estimació. Votate Respuesta

9 Total y i = 652 Solució: La proporció muestral está dada por: p sy = y i = = Recordar que k=n/, etoces =N/k, que para este ejemplo será: =5775/6=962. El límite para el error de estimació es: 2 V (p sy) = 2 p syq sy (N 1 N ) = 2 (0.678)(0.322) ( ) = Por lo tato, estimamos que (67.8%) de los votates está a favor de la propuesta co u límite para el error de estimació meor que 2.8%. 4. SELECCIÓN DEL TAMAÑO DE MUESTRA El úmero de observacioes ecesarias para estimar ua media y/o total poblacioal co u límite para el error de estimació de magitud B se desarrolla a cotiuació: Tamaño de muestra requerido para estimar μ co u límite de para el error de estimació B: = Nσ 2 (N 1)D + σ 2 Dode D = B2 4 9

10 Ejemplo: La admiistració de ua empresa de servicio público está iteresada e estimar la catidad promedio de tiempo de vecimieto de las cuetas atrasadas. Ua muestra sistemática será extraída de ua lista e orde alfabético co N=2500 cuetas de clietes atrasados. E ua ecuesta similar del año pasado, la variaza muestral fue de s 2 =100 días. Determie el tamaño de muestra requerido para estimar μ, la catidad promedio de tiempo de vecimieto de las cuetas atrasadas co u límite para el error de estimació B=2 días. Solució: Aplicamos la ecuació de tamaño de muestra, calculado primero el valor D y reemplazado σ 2 por s 2. D = B2 4 = 22 4 = 1 = Nσ 2 (N 1)D + σ 2 = 2500(100) = cuetas (2499) Por lo tato, la admiistració debe muestrear aproximadamete 97 cuetas para estimar la catidad promedio de tiempo de vecimieto de las cuetas atrasadas co u límite para el error de estimació B=2 días. Se calcula etoces el k=n/=2500/97=26. El procedimieto idica que se debe escoger aleatoriamete ua cueta etre las primeras 26 cuetas de la lista y que cada 26 cuetas a partir de esa cueta escogida debe ser seleccioada e la muestra hasta completar los 97 elemetos. Por ejemplo, si la cueta aleatoria escogida fue la umero 11, etoces la siguiete será la umero 37 (11+26), la siguiete será la umero 63 (37+26) y así sucesivamete hasta completar el listado de 2500 cuetas. 10

11 Tamaño de muestra requerido para estimar p co u límite de para el error de estimació B: = Npq (N 1)D + pq Dode q = 1 p y D = B2 Si p y q so descoocidas, etoces se puede aproximar a