I.E.S. MARE NOSTRUM Departamento de Matemáticas MÁLAGA 3º ESO Académicas - Curso TEMA Expresiones algebraicas

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1 TEMA Expresiones algebraicas ÍNDICE ÍNDICE INTRODUCCIÓN EXPRESIÓN ALGEBRAICA. VALOR NUMÉRICO MONOMIOS Operaciones con monomios POLINOMIOS OPERACIONES CON POLINOMIOS SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS PRODUCTO DE POLINOMIOS IDENTIDADES NOTABLES DIVISIÓN DE POLINOMIOS DIVISIONES EN LAS QUE EL COCIENTE ES x ± a: REGLA DE RUFFINI FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS SACAR FACTOR COMÚN LA DIVISIÓN EXACTA PARA FACTORIZAR...7 1

2 TEMA Expresiones algebraicas 1. INTRODUCCIÓN Para manifestar nuestras ideas o introducir aspectos de la realidad en nuestra mente, asbtraerlos o transformarlos en ideas, tenemos que usar un prodigioso artificio que los sustituya; por ello la humanidad ha creado una inmensa variedad de elementos de comunicación que llamamos símbolos. Empleando los símbolos se han creado estructuras de comunicación más complejas que han generado las diferentes gamas de lenguaje que utilizamos hoy día. Entre esta gama de lenguajes se encuentra la matemática, que constituye uno de los elementos de comunicación, expresión y comprensión más poderoso que ha inventado el hombre. El uso de las letras como variables numéricas procede de la geometría griega. El cálculo algebraico nace como generalización del modelo numérico. 2. EXPRESIÓN ALGEBRAICA. VALOR NUMÉRICO Expresión algebraica: es una expresión en la que se utilizan letras -que llamaremos variables-, números y signos de operaciones. Por ejemplo: expresar el valor del perímetro y del área de un terreno rectangular del que suponemos que mide "x" metros de largo e "y" metros de ancho: Perímetro: 2 x + 2 y; Área: x y Algunas de las expresiones algebraicas más usadas son: Un número cualquiera: El doble de un número: La mitad de un número: El cuadrado de un número: El cubo de un número: Un número aumentado en 2 unidades: Un número aumentado un 30%: Un número disminuido un 20%: Un número par: Tres números pares consecutivos: Un número impar: Tres números impares consecutivos: La suma de dos números cualquiera: La suma de los cuadrados de dos números cualquiera: El cuadrado de la suma de dos números: El área de un cuadrado de lado 2x: El perímetro de un cuadrado de lado 2x: Valor numérico: el valor numérico de una expresión algebraica es el valor que resulta de sustituir las letras por números concretos y realizar las operaciones indicadas. Ejemplos -2a 2 +3a 9 para a = 5 4x 5y xy para x = 1, y = 2 3a : ( - a 2 + 7) para a = -1 x y 2

3 I.E.S. MARE NOSTRUM Departamento de Matemáticas En el ejemplo anterior, si el largo del terreno fueran 50 m y el ancho 30 m, el valor numérico del área y el perímetro sería: Perímetro = = = 160 m y Área = = m MONOMIOS Definición: un monomio es una expresión algebraica formada por el producto de un número cualquiera llamado coeficiente y una o más letras llamadas variables elevadas exponentes naturales. El conjunto de variables con sus respectivos exponentes se llama parte literal del monomio. Grado de un monomio es la suma de los exponentes de su parte literal. Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal. Ejemplos Expresión Monomio? Coeficiente Parte literal Grado Monomios semejantes 4x 2 ab x + x 2 n 2 3 2ab 2 3 5x Operaciones con monomios Suma y resta: sólo se pueden sumar y restar los monomios que son semejantes, en cuyo caso se suman o restan los coeficientes correspondientes: x 2 y + 3x 2 y 11x 2 y = 7x 2 y 5ab 5a + 4ab 7a + b 2ba = 7ab 12a + b Producto: para multiplicar dos monomios se multiplican por un lado sus coeficientes y por otro sus partes literales. El producto de dos monomios siempre es un monomio: 2ab 3a 2 b = 6a 3 b 2 Cociente: para dividir dos monomios se dividen por un lado sus coeficientes y por otro sus partes literales. El resultado no siempre es un monomio: 12x 2 : 6x = 2x si es un monomio 15a: 3a 2 = 5a 1 no es un monomio 3

4 4. POLINOMIOS Un polinomio es una suma o resta indicada de dos o más monomios. Un polinomio está en su forma reducida si no tiene monomios semejantes. Dado un polinomio en su forma reducida, se llama término a cada uno de los monomios que lo forman, y grado al mayor de los grados de dichos monomios. Ejemplos: 2x 5 + 3x 4 3x 2 + x 6 Forma reducida, 5 términos, grado 5 5x 2 y 3x 2 + x 6 + 6y x 2 + 7x 2 y x 6 + 2y = 12x 2 y 4x 2 + 8y Forma reducida, 3 términos, grado 3 Se llama coeficiente líder o principal de un polinomio al coeficiente del término de mayor grado y término independiente al que no contiene variable. Un polinomio se dice ordenado si los monomios que lo forman están ordenados en función de su grado, y completo si contiene todos los términos desde el término independiente hasta el de mayor grado. Ejemplos: 5 Polinomio reducido, incompleto y ordenado 4 términos 2x 5 3x 2 + x 1 grado 5 Coeficiente principal: 2 { Término independiente: 1 Un polinomio de dos términos se llama binomio, de tres trinomio, etc. Un polinomio se dirá que es mónico si su término líder es OPERACIONES CON POLINOMIOS 5.1. SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS Para calcular la suma de dos o más polinomios lo que se hace es agrupar los monomios que son semejantes, y para restar dos polinomios se le suma al primero el opuesto del segundo, es decir, se le suma al primero el segundo cambiado de signo. Ejemplo: Sean P(x) = 6x 4 + x 3 7x 6 y Q(x) = 7x 3 + x 2 x P(x) + Q(x) = (6x 4 + x 3 7x 6 ) + (7x 3 + x 2 x) = 6x 4 + 7x 3 + 2x 2 8x 6 P(x) Q(x) = (6x 4 + x 3 7x 6 ) - (7x 3 + x 2 x) = 6x 4 + x 3 7x 6 7x 3 x 2 + x = 6x 4 6x 3 x 2 6x 6 Tendremos que notar que el grado de la suma o resta de varios polinomios ha de ser menor o igual que el mayor grado de los mismos PRODUCTO DE POLINOMIOS Producto de un monomio por un polinomio: para multiplicar un monomio por un polinomio se multiplica dicho monomio por todos los términos del polinomio. Ejemplo: 3x 2 (x 3 2x + 3) = 3x 5 6x 3 + 9x 2 Se observa que el grado del producto es la suma de los grados del monomio y el polinomio. 4

5 Producto de dos polinomios: para multiplicar dos polinomios e multiplica cada término del primero por todos los términos del segundo, operando posteriormente con los términos semejantes para dejarlo en forma reducida. Ejemplo: (4x 3 2x 2 + 5) (6x 3 7x 2 + 2) = Se observa que gr(p q)=gr(p)+gr(q) = 24x 6 28x 5 + 8x 3 12x x 4 4x x 3 35x = 5.3. IDENTIDADES NOTABLES = 24x 6 40x x x 3 39x En el desarrollo de las matemáticas existen tres tipos de operaciones con binomios que dada su importancia reciben el nombre de notables. Éstas son importantes debido a que aparecen mucho más frecuentemente que las otras y normalmente ayudan una gran variedad de problemas. Destacaremos las siguientes tres: a) Cuadrado de una suma : el cuadrado de un binomio suma es el cuadrado del primer término, más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo. Un ejemplo sería: (x + 2) 2 = x 2 + 4x + 4 (a + b) 2 = (a + b) (a + b) = a 2 + 2ab + b 2 b) Cuadrado de una resta o diferencia: el cuadrado de un binomio resta es el cuadrado del primer término, menos el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo. Un ejemplo sería: (x 3) 2 = x 2 6x + 9 (a b) 2 = (a b) (a b) = a 2 2ab + b 2 c) Suma por diferencia: el producto de un binomio suma por su binomio resta es igual a la diferencia de cuadrados de sus términos, es decir, al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo. Un ejemplo sería: (x 1) (x + 1) = x DIVISIÓN DE POLINOMIOS (a + b) (a b) = a 2 b 2 Para poder efectuar la división de polinomios lo que se suele hacer es aplicar el algoritmo de la división euclídea. Éste consta de los siguientes pasos: 1. Los polinomios, dividendo y divisor, se ordenan de mayor a menor grado, completando el dividendo o dejando los espacios correspondientes. 2. Se divide el primer término del dividendo entre el primero del divisor, dando lugar al primer término del cociente 3. Se multiplica dicho término por el divisor colocando el resultado cambiado de signo debajo del dividendo, haciendo coincidir los términos que son semejantes. 4. Se suman los polinomios colocados al efecto, obteniéndose un polinomio de grado menor al inicial, que recibe el nombre de resto parcial. 5. Se continúa el proceso hasta que el resto ya no se pueda dividir entre el divisor por ser de menor grado. 6. Finalmente se comprueba que dividendo es igual a divisor por el cociente más el resto. 5

6 Esto es, D(x) = d(x) C(x) + R(x). donde gr[r(x)] < gr [d(x)] Ejemplo: Sea p(x) = 5x 5 4x 4 2x 3 + x 5 y q(x) = x 2 + x 2. 5x 5 4x 4 2x 3 0x 2 x 5 x 2 + x 2 5x 5 5x 4 +10x 3 5x 3 9x x 35 9x 4 +8x 3 +0x 2 +9x 4 +9x 3 18x 2 +17x 3 18x 2 +x 17x 3 17x 2 +34x 35x 2 +35x 5 +35x 2 +35x x 75 Cociente: C(x) = 5x 3 9x x 35. Resto: R(x) = 70x 75. Se comprueba que p(x) = [(x 2 + x 2) (5x 3 9x x 35)] + 70x DIVISIONES EN LAS QUE EL COCIENTE ES (x ± a): REGLA DE RUFFINI La regla de Ruffini es un algoritmo que permite obtener fácilmente el cociente y el resto de la división de un polinomio por un binomio de la forma (x ± a). Veamos el algoritmo con un ejemplo, consideremos p(x) = 2x 3 + x 2 3x + 5 y q(x) = x 1. La división se realiza como sigue: 1. Se ordena el polinomio P(x) de mayor a menor grado y se colocan los coeficientes de cada término. Si no apareciese algún término entre el de mayor grado y el de menor se coloca un 0. A la izquierda se pone el término independiente de q(x) cambiado de signo, en nuestro caso 1 y se baja el coeficiente del término de mayor grado. Este paso se corresponde con la figura Se multiplica el coeficiente que se ha bajado (2) por el que se ha colocado a la izquierda (1). El resultado del producto se coloca debajo del coeficiente del término siguiente y se suman. Figura El resultado de la suma se vuelve a multiplicar por el número situado a la izquierda y se repite el proceso. Figuras 3 y El último número (recuadro rojo en Fig. 4) se corresponde con el resto de la división mientras que el resto de números de la fila inferior son los coeficientes del cociente. Resto = 5 y C(x) = 2x 2 + 3x. 6

7 6. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Factorizar un polinomio es descomponerlo en dos o más polinomios de menor grado de forma que su producto sea el polinomio dado. Básicamente se usan tres técnicas para factorizar un polinomio: sacar factor común, utilizar los conceptos de identidades notables y utilizar Ruffini sucesivamente (división exacta para factorizar). En este curso veremos solamente sacar factor común, dejando para cuarto los otros dos métodos. 6.1 SACAR FACTOR COMÚN Cuando todos los términos de un polinomio son múltiplos de un monomio, podemos extraer dicho monomio como factor común. Este monomio cumplirá las siguientes características: Coeficiente: será el máximo común divisor de todos los coeficientes Parte literal: estará compuesta por las variables que se repitan en todos los términos elevadas al menor exponente con el que aparezcan. Ejemplos: a) 3x 2 2x = x (3x 2) b) 2x 9 + x 6 3x 4 = x 4 (2x 5 + x 2 3) c) 6x 2 + 4x 8 = 2 (3x 2 + 2x 4) d) 3x 4 6x x 2 + 9x = 3x (x 3 2x 2 + 5x + 3) e) 6x 5 2x = 2x (3x 4 1) 6.3 LA DIVISIÓN EXACTA PARA FACTORIZAR Dado un polinomio cualquiera P(x), intentaremos descomponerlo como producto de binomios de la forma (x ± a). Para ello, al dividir P(x) entre un binomio de este tipo el resto ha de ser 0. Pero, con qué binomios probamos? Hay un resultado, cuya explicación veremos el próximo curso, que dice que si un polinomio P(x) es divisible por (x ± a), entonces a es divisor del término independiente. Por tanto, sólo tendremos que probar con los divisores del término independiente para ver si la división es exacta. Teniendo en cuenta esto, para factorizar un polinomio sólo hay que aplicar Ruffini sucesivamente probando por los divisores del término independiente y buscando que el resto sea cero. Lo veremos en el siguiente ejemplo: factorizar el polinomio x 3 + 2x 2 x 2 Los divisores de 2 son {1, -1, 2, -2} Nótese que dentro del paréntesis debe haber tantos términos como tenía el polinomio original Probemos con 1: En este paso probamos por 1, pero no da de resto 0, entonces probamos por -1 y si sale. En este paso descartamos ya el 1, entonces probamos por -1 y no sale, probamos por 2 y tampoco, probamos por -2 y si sale La descomposición factorial quedaría como sigue: x 3 + 2x 2 x 2 = (x 1) (x + 1) (x + 2) 1 Otros ejemplos a realizar en el aula para una mejor comprensión pues contemplan distintos casos serían: 7

8 a) x 3-3x 2 13x + 15= (x 1) (x + 3) (x - 5) 1 b) x 3 + 2x 2 + 2x + 1 = (x + 1) (x 2 + x + 1) 1 c) 3x 3 + x 2 3x 1 = (x 1) (x + 1) (3x + 1) d) 2x 4 + 2x 3 3x 2 + x 2 = (x 1) (x + 2) (2x 2 + 1) Finalmente conviene recalcar que para factorizar haremos: Primero sacar factor común siempre que sea posible. Después, si tenemos un polinomio en x de grado mayor o igual a 2, usaremos la regla de Ruffini sucesivamente probando por los divisores del término independiente. 8