INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL. CENTRO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS. CUAUHTEMOC ACADEMIA DE MATEMATICAS.
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- Carmen Crespo Maldonado
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1 INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL. CENTRO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS. CUAUHTEMOC ACADEMIA DE MATEMATICAS. Guía para el Examen a Titulo de Suficiencia de Algebra. I.- Efectúa las siguientes operaciones: a) (+125) + ( 17) + ( 85) b) 32 + ( 15) ( 58) c) ( 213) ( 164) d) 350 (16 8) ( ) (34 16) e) ( 12)( 6)(5)( 1) f) ( )( ) g) ( ) 9 h) [( ) 4] + [(8 2) 3] [(5 3) 2] i) (2 3 ) j) 14[( 8 5) ( 30 4)] k) l) {[(30)(2) + 40] ) + ( ) 12 m) {[( 2) ][( 3 2 5)]} + {[( 1)( 1) + 2][( 1)( 2)( 3)][( 2) + ( 7)]} n) 7 + 3( 12) + (6 34) ( 7) o) (4 14) ( 2) 7(2 6) p) 36 ( 6)(6) q) 8 ( 4) r) 26( 4) 10 6 (5 7) s) 18 (3 6) (7 35) 14 t) (6 3) u) 7 + 3(8 5) 4 ( 2) v) 15 2( 5) (20 4) 8 w) (26 + 2) ( 4) 10(8 12) x) (4 14) ( 2) 7(2 8) y) 8 ( 4) z) (7 35) 14 II.- Efectúa las operaciones siguientes usando el numero común denominador. 1/ 12
2 1) ) ) ) 5) ) ) ) ) ) ) 3 8 ( ) 12) ( ) ( ) 13) ( ) + ( ) 14) ) ) ( ) ( ) 17) (8 2 9 ) ) ( ) ( ) 19) ) ) ) (4 2 3 ) (1 3 3) 23) ( ) ( ) 24) ( ) [(1 2 5) ( )] 2/ 12
3 III.- Elimina los signos de agrupación y simplifica. 1) a b c (a 2c) (7a + 5c) + b 2) [d + 7e (5d + 4e) + d] + 3e 3) 3 5g h [ k (5h 2) + ( 2k h) + 1] 4) - {1 [ 3 4 (1 5a) 3] + 4a 2} 4 5) 17x + 18y { 2x [y 2x (x y)]} 6) [ 5 { 1 x} 1 y (2x 3y + 1) 1] 4 3 7) m n + { 1 7 m ( 2m 1 a n) 1 2 m} 8) 3 + [2x (3x 1)] + [9 4(x + 3)] 9) b 2{ a + [b + 2(a 1) 3(2b 3)]} 10) 1 { 1 x [1 (x y) 2 (1 y z)] (x 2)} 3 11) (x + y + z) ( 1 2 x y z) (1 4 x y z) 12) 2a ( 4a + b) { [ 4a + (b a) ( b + a)] IV.- Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones dado que: a 3; b 2; c 1 d 4; x 2; y 2 3 1) a 5 2) b 4 3) 4 d 4) 2a + 3b 5) (x + a) 2 6) (3x 2x) 2 7) (a 2 b 2 ) 2 8) a+b c 9) 6a 5b d 10) 4a + 3b 8d 11) b + d 1 12) 1 8 a 1 2 b ) (a b) (c d) 14) b ( 1 2 ( 1 4 d)) 15) 2(x + 1) 3(y 2) 16) (x 3y) ( x + 3y) 17) 5bc 8ad 18) a d a+d 19) b+2c a+4c 20) 4ad+4bc ac 21) 3b 2ad 3a 22) a d d c 23) d 4b b a 24) 2a 3c b a 25) x 2 + 2x 1 26) 2x 2 x 4 27) 9y 2 6y 1 28) x 2 + y ) 6y 2 5x ) x2 a 2 9y2 b ) x a + y b 1 3/ 12
4 V.- Efectúa las siguientes operaciones. 1) De 2a b restar a + b 2) De x 2 6x restar 5x 2 x 3) De x + y z restar 1 2 x y 1 4 4) De y 2 + 5y 3 8 restar 4y 2 + 6y 3 8 5) De ab + 3a 4cd restar 2ab 5ac + 4cd + 2de 6) De 2m 3 9m 3 + 6m 2 n + 8mn 2 restar 2m 3 9n 3 + 6m 2 n + 7mn 2 Restar (de los incisos del 7 al 10) 7) (x 2 y + xy de 2x2 y + 5xy 2 2) 8) 2 3 x x y de 4 3 x x 4 5 y 9) 1 2 a 2 3 b de 4 5 a b ) 5 6 m2 n n3 de 1 2 m2 n mn2 2 5 n3 Utilizar la propiedad asociativa para los siguientes ejercicios. 11) De a b + c restar la suma de a + b c con 2a + b c 12) De x 4 3x restar la suma de 4x 3 9 con 11x 4 7x ) De la suma de 2a 5b + c con a b + 2c restar 9a 8c 3b 14) De la suma de x 5xy + 6z con 6x 2xy + 9z restar 4x + 3xy + 10z y 4x + 2xy + 5z VI.- Efectuar cada una de las multiplicaciones indicadas siguientes: 1) 5(x + 6) 2) 6(x + 4) 3) 8(x 2) 4) 9(x 2) 5) 2(2x + 5) 6) 4(x 3) 7) 6(x 4) 8) 6(x 4) 9) 4x(y 2) 10) 5x(2y 2) 11) x(8 2y) 12) 8(3 4y) 13) 4x(x 2 2) 14) 4x(3x 2 3) 15) 4x(2x 2 1) 16) 2x(4x + 3) 4/ 12
5 17) x(x 2 2x 1) 18) 4x( 3x 2 x 1) 19) 3ab(3a 2 + 4b 2 1) VII.- Resuelve las siguientes operaciones. 1) 3x(2x + 1) x(x 2) 2) 2x(5x 6) 3x(x 5) 3) x(2x 2 + 2x 1) x(x 1) 4) x(3x 2 x + 1) x 2 (x 1) 5) 6 ( 2x 1 3 3x+1 2 ) 6) 16 ( x x 8 2 ) 7) (x + 2)(x + 1) 8) (x + 3)(x + 4) 9) (x + 1)(x 4) 10) (6x + 5)(3x 6) 11) ( 2x 4)(x + 8) 12) (x + 1)(4x 2 + x 4) 13) (x 2 2x 2)(4x 2 + x 2) 14) ( x 2 3x + 2)(x 2 8x + 3) VIII.- Efectúa las siguientes divisiones indicadas en un polinomio entre otro polinomio. 1) a2 +3a+2 a+1 2) a2 +5a+6 a+2 3) b4 b 2 2b 1 b 2 +b+1 4) m5 +12m 2 5m m 2 2m+5 5) 8x2 +16x+6 2x+1 6) 16x2 +1 8x 4x 1 7) y3 4y 2y 2 +8 y 2 4 8) 2 6y2 +3y+2y 3 +3y 4 y 2 +y 2 9) 3x2 x 4x x 10) 14x x 3 11) x4 x 2 2x 1 x 2 x 1 5/ 12
6 12) x6 +6x 3 2x 5 7x 2 4x+6 x 4 3x ) 3x2 +5x+6 x 1 14) y4 1 y 1 15) 3z3 +z z ) y3 4y 2 +8 y+2 17) a2 2a+b 2 a+b 18) a3 b 3 a b 19) m3 n 3 m n 20) mx+3 +m x m+1 IX.- Productos notables binomios conjugados efectúa de una manera inmediata los siguientes productos. 1) (a + 3)(a 3) 2) (x + b)(x b) 3) (2x + 5b)(2x 5b) 4) (4a b 2 )(4a + b 2 ) 5) ( 1 2 x 1 3 y) (1 2 x y) 6) ( 2 3 a 1 2 b) (2 3 a b) 7) ( x + 2)( x 2) 8) ( a + b)( a b) X.- Cuadrado de un binomio. 9) (2x + 3) 2 10) (3a + 2b) 2 11) (x 2 y 2 ) 2 12) (2m 4n) 2 13) ( 1 2 x 2 3 y)2 14) ( y)2 XI.- Cubo de un binomio. 15) (2x + 3) 2 16) (3a + 2) 3 6/ 12
7 17) (2x 1 3 )3 18) ( 1 3 2a)3 XII.- Producto de dos binomios con un término común. 19) (x + 5)(x + 12) 20) (x + 9)(x + 7) 21) (x + 14)(x 2) 22) (x + 16)(x 4) 23) (x ) (x 1 4 ) 24) (a ) (a 2 3 ) XIII.- Producto de un binomio por un trinomio de dos números. 25) (x + 3)(x 2 3x + 9) 26) (x + 1)(x 2 x + 1) 27) (2x 3y)(4x 2 + 6xy + 9y 2 ) 28) (xy + 2)(x 2 y 2 2xy + 4) 29) (ab 9)(a 2 b 2 + 9ab + 81) Factorización de polinomios. XIV.- Al utilizar el factor común descompón en partes las siguientes expresiones. 1) 6ax 3ay 2) 2a 2 3ab 3) 3x 2 + 6x x 4 4) 4a + 8b + 12c 5) 9x 3 y + 15x 2 y 3 3x 2 y 2 6) 4a x+1 12a 2x 7) 10x 2 b 3c4 15x 2 y 3 3x 2 y 2 8) 2a 2 bc 4abc 2 + 8ab 2 c 3 9) 1 3 x3 y 1 9 xy4 XVI.- Al utilizar la diferencia de cuadrados, descompón en factores las siguientes expresiones: 1. x a 2 4b a 2 y 2 16c x 2 y 4 7/ 12
8 5. x x 4 y a ax ay2 9. a 2x b 2x XVII.- A utilizar el trinomio cuadrado perfecto, descompón en factores las siguientes expresiones. 1. a 2 + 8a b + 4b 2 3. x 2 4x a 2 16ab + 64b 5. 25a ab + 36b x xy + 25y a 2 24a 2 b + 16b 2 8. a 2x 2a x b x + b 2x XVIII.- Al simplificar otros trinomios descompón en factores las expresiones. 1. x 2 5x x 2 + x 6 3. x 2 + 5x x + x a 2 11a x 2 + xy 12y a + a y y x 3 3x 2 18x 10. x 4 + 7x z 4 + z x 4 10x x 4 + xy 12y x 2 2x x 2 + 5x 84 XIX.- Al aplicar la suma o diferencia de dos cubos descompón en factores las siguientes expresiones. 1. x x y 3 x 3 8/ 12
9 4. a x 4 x 7 6. a 3x + b 3x x y a4 b ab a3 72b 3 XX.- Al utilizar el agrupamiento de términos descompón en factores las siguientes expresiones: 1. ab + 3b 2a a 3 1 a 2 + 4a 3. 3x 12x + 2y ac + 2ad + 3bc + 3bd 5. 30y 2 45y + 27z 18yz XXI.- Descompón en factores el trinomio de las forma ax 2 + bx + c. 1. 2x 2 + xy 6y a 2 + 3a a 2 + 7a m m x x x + 10x x 2 + x y 2 7y y y y 2 31y 10 XXII.- Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones. 1. x x y x x y x y z 125 9/ 12
10 10. 13x w x x x 7 5x x + 4 x x 3 3x x 2 4 5x x 1 x 2 5x 19. 7x + 2 9x 6 + 4x x x x x x 4 x 12 x x x x x x x x x 2 2 XXIII.- Resuelve cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones: 1. 3x + y 1 4x + y 6 2. x + 3y 8 x + 2y x + 2y 7 3x y u 7y 26 5u + y m + n 1 m + 2n 3 6. A B 1 2A + 3B 1 XXIV.- Resuelve y comprueba los siguientes sistemas. 1. x + y + z 12 2x y + z 7 x + 2y / 12
11 2. 2x + 2y 3z 1 x 3y 2z 4 3x 2y 2z x + 3y + 2z 12 9x y + 4z 37 10x + 5y + 3z x + 4y + 5z 1 3x 2y + z 5 4x + y 3z 26 XXV.- Resuelve las siguientes ecuaciones, aplicando el método de complementar el cuadrado de los ejercicios del 1 al 7; los demás, por formula general: 1. x 2 3x x 2 2x x 2 + 4x x 2 3x x 2 5x x 2 + 3x x x 24 XXVI.- Plantea y resuelve los siguientes problemas: 1. Un electricista compro 75 m de alambre de calibre 14. Uso las dos quintas partes en una instalación; del resto, guardo el 20% y la cantidad restante la dividió en trozos de 80cm de longitud. Cuántos trozos son? para qué otras longitudes del alambre se obtienen trozos completos? 2. Una anciana decrepita fue a vender una canasta de huevos al mercado. Al primer cliente le vendió la mitad de los huevos que llevaba, mas medio huevo; al segundo cliente le vende la tercera parte de los huevos que le quedaban más un tercio de huevos: el tercer cliente le compra la cuarta parte de los huevos restantes, más un cuarto de huevo. Después de sus ventas, la anciana aun tenía en la canasta 8 huevos. Si no se rompió ningún huevo, Cuántos huevos tenia inicialmente en la canasta? 3. Un automóvil recorre 50km. En el mismo tiempo en que un avión recorre 180km. La velocidad del avión es de 143km/h mayor que la del automóvil. Calcula la velocidad del automóvil. 4. El costo total de 5 libros y 4 plumas es de $ el costo de otros 5 libros iguales a los anteriores es de $ determinar el costo de cada artículo. 11/ 12
12 5. Dos números están en relación de 2 a 3. Si el menor se aumenta en 8 y el mayor en 7, la relación es de 3 a 4. Encuentra dicho números. 6. Si Edgar le da a Jorge $30.00, se tiene 4 veces lo que le queda a Jorge. Cuánto le queda a cada uno? 7. Si los lados de un cuadrado se alargan 10m, el area del cuadrado será de 900m² Cuánto mide de cada lado del cuadrado? 8. El largo de un rectángulo excede a su ancho en 2m, si cada dimensión se aumenta en 3m, entonces el área se incrementa en 512m². Determina las dimensiones del rectángulo original. 9. Hace 8 años una persona tenía 7 veces la edad de su hijo, pero actualmente tiene solo 3 veces la edad de su hijo. Determina la edad que tiene actualmente dicha persona y su hijo. 10. Una varilla de 9m de longitud se va a cortar en 3 secciones de tal manera que dos de las sean iguales y que cada una de ellas sea la cuarta parte de la sección restante. Determinar la longitud de cada sección. 11. Las dimensiones de un jardín rectangular son de 40m X 24m alrededor del jardín hay una banqueta. El area del jardín y el camino es de12m² determinar el ancho de la banqueta. 12. Una cuerda de 54m se corta en 2 pedazos de tal manera que una parte es 2m más larga que la otra Qué longitud tiene cada pedazo? 13. Una persona dice: el martes gane el doble de lo que gane el lunes, el miércoles el doble de lo que gane el martes, el jueves de lo que gane el miércoles y el viernes 30 pesos menos que el jueves y el sábado gane 10 pesos más de lo que gane el viernes si en los 6 días he ganado $ Cuánto gane cada día? 14. Una pieza rectangular de cartón tiene 120cm² de area. Al cortar un cuadrado de 2cm de lado en cada una de las esquinas y doblar los lados hacia arriba se forma una caja abierta de 96cm² de volumen determinar las dimensiones de la pieza rectangular. 12/ 12
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