Tema 5: (Tecnologías Informáticas) Curso Dpto. Ciencias de la Computación Inteligencia Artificial Universidad de Sevilla

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1 Tema 5: Dpto. Ciencias de la Computación Inteligencia Artificial Universidad de Sevilla Lógica Informática (Tecnologías Informáticas) Curso en LPO no restringida

2 Contenido en LPO no restringida en LPO no restringida

3 Los tableros semánticos proporcionan un algoritmo para la deducción basado en este hecho: {A 1,..., A n } = A {A 1,..., A n, A} insatisfactible Un enfoque más natural del problema básico (PB) que presentamos en el Tema 1, se obtiene a través de la noción de demostración: 1. Consideramos el conjunto de enunciados, BC, como un conjunto de axiomas (o hipótesis que asumimos como ciertas inicialmente). 2. El enunciado φ será consecuencia de BC si podemos obtener una demostración de φ a partir de BC (de manera similar a como en matemáticas se demuestra un teorema). en LPO no restringida

4 Un sistema deductivo, T, (o teoría proposicional) consta de: Un conjunto, Ax(T), de fórmulas proposicionales que llamamos los axiomas de T. Reglas de inferencia de la forma: A 1,..., A n A siendo A 1,..., A n, A fórmulas proposicionales. Las fórmulas A 1,..., A n se denominan premisas y la fórmula A conclusión. en LPO no restringida

5 Pruebas y teoremas Una demostración en T es una sucesión de fórmulas proposicionales A 1,..., A k cada una de las cuales es un axioma de T, o bien, se obtiene a partir de fórmulas anteriores de la sucesión mediante una regla de inferencia. Una fórmula A es un teorema de T, T A, si existe una demostración en T, A 1,..., A k tal que A = A k. La sucesión A 1,..., A k se denomina una demostración de A en T. en LPO no restringida

6 Ejemplo: Sistema deductivo Axiomas de T: {p, q, p q ( s p r)} Reglas de inferencia: (A y B fórmulas cualesquiera) I : C : A, B A B A B B A I : MP : A A B A, A B B La siguiente sucesión es una demostración de r en T ( T r) en LPO no restringida 1. p [[Hip.]] 2. q [[Hip.]] 3. p q [[I aplicada a 1. y 2.]] 4. p q ( s p r) [[Hip.]] 5. s p r [[MP aplicada a 3. y 4.]] 6. p s [[I aplicada a 1.]] 7. s p [[C aplicada a 6.]] 8. r [[MP aplicada a 7. y 5.]]

7 Procedimientos de demostración Un sistema deductivo introduce una noción de prueba formal, pero no proporciona ningún procedimiento efectivo para generar demostraciones de las fórmulas que deseamos probar. Un sistema de razonamiento proporciona, además de un sistema deductivo, un procedimiento de demostración, que implementa una estrategia de búsqueda de demostraciones. Podemos ilustrar esta idea en el caso del encadenamiento con. en LPO no restringida

8 Cláusulas de Horn Una cláusula de Horn es una disyunción de literales que contiene a lo sumo un literal positivo. : p q r, p r, p Una cláusula de Horn positiva es una cláusula que contiene exactamente un literal positivo. Si contiene otros literales negativos se denomina regla. Ejemplo: p q r. Si sólo contiene el literal positivo se denomina hecho. Ejemplo: q. La regla p q r se escribe como p q }{{}}{{} r cuerpo cabeza Un hecho q puede considerarse una regla con cuerpo vacío, q en LPO no restringida

9 Deducción con Consideraremos un sistema deductivo para trabajar con positivas. EA(Σ) es el siguiente sistema deductivo Axiomas: Un conjunto finito, Σ, de positivas. Reglas de inferencia: (A y B son conjunciones de literales) en LPO no restringida I : A, B A B MP : A, A B B

10 Deducción con (II) Se tiene que, para todo hecho, H Σ = H EA(Σ) H Además, podemos diseñar un algoritmo de decisión eficiente para Σ = H. Las deducciones en EA(Σ) corresponden al procedimiento de encadenamiento hacia adelante. en LPO no restringida

11 Ejemplo: deducción en EA(Σ) Σ = {P Q, L M P, B L M, A P L, A B L, A, B} Veamos que EA(Σ) Q, 1. A [[Hip.]] 2. B [[Hip.]] 3. A B [[I aplicada a 1. y 2..]] 4. A B L [[Hip.]] 5. L [[MP aplicada a 3. y 4.]] 6. B L [[I : 2. y 5.]] 7. B L M [[Hip.]] 8. M [[MP: 6. y 7.]] 9. L M [[I : 5. y 8.]] 10. L M P [[Hip.]] 11. P [[MP: 9. y 10.]] 12. P Q [[Hip.]] 13. Q [[MP: 11. y 12.]] en LPO no restringida

12 Procedimiento de encadenamiento hacia adelante Entrada: Un hecho H. Una enumeración R1,..., R n de los elementos de Σ. Salida: SI, si EA(Σ) H. NO, en caso contrario. Inicialmente, C es el conjunto de todos los hechos que pertenecen a Σ, j = 1, i = Si H C, paramos y devolvemos SI. 2. Si j n y todos los literales del cuerpo de R j están en C, entonces 2.1 Si la cabeza de j no está en C se la añadimos a C, hacemos j = j + 1, i = 1 y volvemos a Si la cabeza de j está en C hacemos j = j + 1 y volvemos a Si j n y algún literal del cuerpo de R j no está en C, entonces hacemos j = j + 1 y volvemos a Si j > n y i = 1, hacemos j = 1 y i = 0 y volvemos a Si j > n y i = 0, paramos y devolvemos NO. en LPO no restringida

13 Ejemplo: encadenamiento hacia adelante Veamos que EA(Σ) Q, Hechos obtenidos Reglas usadas A, B A, B, L A B L A, B, L, M A B L, B L M A, B, L, M, P A B L, B L M, L M P A, B, L, M, P, Q Σ Σ = { P Q, L M P, B L M, A P L, A B L, A, B} en LPO no restringida

14 Generaliza algunas de las reglas de inferencia clásicas: Modus Ponens : Modus Tollens : Encadenamiento : Regla de resolución: p, p q q p q, q p p q, q r p r {p}, { p, q} {q} { p, q}, { q} { p} { p, q}, { q, r} { p, r} en LPO no restringida {L 1,..., L,..., L m, }, {M 1,..., L c,..., M k } {L 1,..., L m, M 1,..., M k }

15 entre cláusulas Si L C 1 y L C 2 son literales complementarios, entonces la resolvente de C 1 y C 2 respecto a L es res L (C 1, C 2 ) = (C 1 \ {L}) (C 2 \ {L }) El conjunto de las resolventes de C 1 y C 2 es: Res(C 1, C 2 ) = {res L (C 1, C 2 ) : L C 1 y L c C 2 }. : Sea C 1 = {p, q, r} y C 2 = { p, r, s}. Entonces en LPO no restringida res p (C 1, C 2 ) = {q, r, r, s} res r (C 1, C 2 ) = {p, p, q, s}

16 Demostraciones por resolución Dado un conjunto de cláusulas, S, podemos considerar el sistema deductivo que tiene a S como conjunto de axiomas y resolución como única regla de inferencia. Una demostración por resolución a partir de S es una sucesión de cláusulas C 1,..., C n tal que para cada i = 1,..., n se verifica: Ci S, o bien Existen j, k < i tales que C i Res(C j, C k ). Si C n = diremos que C 1,..., C n es una refutación de S. Una cláusula C es demostrable por resolución a partir de S si existe una demostración a partir de S, C 1,..., C n, tal que C n = C. Notación: S r C. Decimos que S es refutable si S r. en LPO no restringida

17 Sea S = {{p, q}, { p, q}, {p, q}, { q, p, s}}. Veamos que S r {s}. 1. {p, q} Hipótesis 2. { p, q} Hipótesis 3. {q} Resolvente de 1 y 2 4. { q, p} Hipótesis 5. {p} Resolvente de 3 y 4 6. { q, p, s} Hipótesis 7. { q, s} Resolvente de 5 y 6 8. {s} Resolvente de 7 y 3 en LPO no restringida Es habitual presentar las demostraciones por resolución utilizando un árbol.

18 (II) S 1 = {{p, q}, {p, q}, { p, q}, { p, q}} es refutable; {p, q} { p, q} {q} {p, q} {p} { p, q} { q} en LPO no restringida Luego S r.

19 Adecuación y Completitud Lema. Sean C 1, C 2 y C cláusulas. Si C es una resolvente de C 1 y C 2, entonces {C 1, C 2 } = C. Teorema de adecuación. Sean S un conjunto de cláusulas y C una cláusula. Entonces S r C = S = C Incompletitud de resolución: {{q}} = {q, r} pero {{q}} r {q, r} Teorema de completitud de la refutación: en LPO no restringida S es insatisfactible S r

20 por saturación Algoritmo de resolución por saturación. Entrada: S, un conjunto finito de cláusulas. Salida: SI, si S es insatisfactible NO, en caso contrario. Procedimiento: 1. S S 2. S S C 1,C 2 S Res(C 1, C 2 ) 3. Mientras / S y S S hacer: S S S S C 1,C 2 S Res(C 1, C 2) 4. Si S devolver SI (i.e., insatisfactible) 5. Si / S devolver NO (i.e., satisfactible) en LPO no restringida

21 por saturación El algoritmo de resolución por saturación genera una sucesión de conjuntos de cláusulas: S 0 = S, S i+1 = S i C 1,C 2 S i Res(C 1, C 2 ) de tal modo que para toda cláusula, C, se tiene S r C Existe j tal que C S j En consecuencia, por el teorema de completitud, el algoritmo de resolución por saturación es correcto (aunque muy ineficiente). en LPO no restringida

22 (I) Sea S = {{p, q}, { p, q}, {p, q}, { q}}, aplicando el algoritmo: S 1 = S {{q}, {p}, { p}, { p, p}, {q, q}} S 2 = S 1 {,...} Por tanto, S es insatisfactible. Sea S = {{p, q}, {p, q}, {q, r, s}, { s, r}}, aplicando el algoritmo: S 1 = S {{p}, {p, r, s}, {q, s, s}, {q, r, r}} en LPO no restringida S 2 = S 1 {{p, s, s}, {p, r, r}, {q, r, s}, {p, q, r, s}} S 3 = S 2 {{p, r, s}, {p, q, s, s}, {p, q, r, r}, {p, q, r, s}} Y S 4 = S 3. Por tanto, S es satisfactible.

23 (II) La aparición de tautologías suele provocar el cálculo de muchas resolventes repetidas y la aparición de nuevas tautologías. Sin embargo, las tautologías son cláusulas esencialmente redundantes, ya que tenemos el siguiente resultado: Sea C una tautología y S un conjunto de fórmulas. Entonces S es satisfactible S {C} es satisfactible Por tanto, en cada etapa del algoritmo de saturación podemos eliminar las tautologías obtenidas. En el caso anterior tendríamos S = {{p, q}, {p, q}, {q, r, s}, { s, r}} y aplicando el algoritmo con eliminación de tautologías en LPO no restringida S 1 = S {{p}, {p, r, s}}, S 2 = S 1 Por tanto, S es satisfactible.

24 Reducir la redundancia Dado un conjunto de cláusulas S decimos que una cláusula C es redundante si S y S {C} son equiconsistentes. La eliminación de cláusulas redundantes reduce el número total de cláusulas sin alterar la satisfactibilidad del conjunto. Ejemplo: Las tautologías son siempre redundantes. Una forma no trivial de eliminar cláusulas redundantes se basa en la relación de subsunción. Decimos que una cláusula C subsume a C si C C (como conjuntos de literales). Observación: Si C, C S y C subsume a C entonces C es redundante. en LPO no restringida

25 Subsunción Podemos utilizar subsunción en combinación con la regla de resolución para reducir el número total de cláusulas consideradas: Subsunción plena: En cada paso esta regla elimina cualquier cláusula de S que está subsumida por otra cláusula de S. Subsunción hacia adelante: Eliminar sólo las resolventes obtenidas si están subsumidas por otra cláusula de S. Subsunción hacia atrás: Eliminar toda cláusula subsumida por la última resolvente obtenida. Simplificación por unidades: Para cada cláusula unitaria L S, si C S y L c C, reemplazamos C por C {L c }. en LPO no restringida

26 Otra forma de mejorar la eficiencia del algoritmo de resolución es limitar el cálculo de resolventes respecto de un mismo literal. Un deducción por resolución C 1,..., C n es si ninguna de sus resolventes C j contiene un literal respecto del cual se resolvió para calcular alguna de las resolventes C i previas (i < j). Esta restricción (o estrategia) se utiliza en el siguiente algoritmo para decidir la satisfactibilidad de un conjunto de cláusulas proposicionales. en LPO no restringida

27 Procedimiento de resolución 1. Dado un conjunto de cláusulas S, fijemos una ordenación A 1,..., A k de las variables proposicionales que aparecen en S. 2. Hagamos S 0 = S. 3. Para j = 1,..., k, calculamos 3.1 El conjunto de cláusulas S j que se obtiene de S j 1 añadiéndole a S j 1 todas las resolventes que pueden calcularse respecto de A j usando cláusulas de S j A continuación, S j se obtiene de S j eliminado todas las cláusulas que contengan A j o A j. 4. Si S k, entonces S es insatisfactible. En caso contrario, S es satisfactible. en LPO no restringida

28 Sea S = {{p, q}, { p, q}, {p, q}, { q}}. Fijamos el orden p, q para aplicar resolución : p: S 1 = S 0 {{q}, {q, q}}, luego S 1 = {{q}, { q}, {q, q}} q: S 2 = S 1 {, {q, q}}, luego S 2 = { }. Por tanto, S es insatisfactible. Sea S = {{p, q}, {p, q}, {q, r, s}, { s, r}}. Aplicando el algoritmo para la ordenación p, q, r, s obtenemos p: S 1 = {{q, r, s}, { s, r}}. q: S 2 = {{ s, r}}. r: S 3 =. s: S 4 = S 3. Por tanto, S es satisfactible. en LPO no restringida

29 Completitud y eficiencia Hemos estudiado la deducción como un método mecánico para decidir la validez, consistencia, consecuencia lógica, etc. La completitud es una propiedad fundamental de los procedimientos de deducción estudiados. En el caso de resolución la existencia de una demostración es decidible, y el conjunto de teoremas es finito (si el conjunto de cláusulas inicial es finito): por Saturación. Sin embargo, los métodos de decisión conocidos no son eficientes, en general. Una solución: Restringir el tipo de cláusulas consideradas. Una cláusula de Horn es una cláusulas con a lo sumo un literal positivo. El problema de decidir si un conjunto de cláusulas de Horn (proposicionales) es satisfactible es decidible de manera eficiente. en LPO no restringida

30 Estrategias Para reducir el ámbito de aplicación de las reglas de inferencia en el caso de resolución, podemos adoptar las siguientes estrategias. positiva (resp. negativa): Sólo se calculan resolventes si una de las dos cláusulas contiene únicamente literales positivos (resp. negativos). Es (refutacionalmente) completa. lineal: Una deducción por resolución a partir de un conjunto S, C 1,..., C n, es lineal si para cada i < n la cláusula C i+1 es una resolvente de C i y otra cláusula previamente obtenida por resolución o perteneciente a S. La resolución lineal es (refutacionalmente) completa, ya que se tiene el siguiente resultado: Teorema. Si S es un conjunto insatisfactible y S {C} es satisfactible, entonces existe una refutación de S por resolución lineal cuya cláusula inicial es C. en LPO no restringida

31 Estrategias (II) unidad: Sólo se permiten resolventes si una de las cláusulas es unitaria. por entradas: Sólo se permiten resolventes si una de las cláusulas pertenece a S. En general, resolución unidad y por entradas NO son refutacionalmente completas, pero sí lo son restringidas a conjuntos de. Teorema. Sea S es un conjunto insatisfactible formado por. Entonces S es refutable mediante resolución unidad y mediante resolución por entradas. en LPO no restringida

32 en LPO Por el Teorema de Herbrand, un conjunto de cláusulas, Σ, es inconsistente si y sólo si su extensión de Herbrand, EH(Σ), es inconsistente (proposicionalmente). Esto proporciona una forma rudimentaria del método de resolución para probar que un conjunto, Σ, de cláusulas de un lenguaje de primer orden es inconsistente: 1. Generar EH(Σ) y, 2. Probar que EH(Σ) r. El método de resolución en lógica de primer orden incorpora varias mejoras en este procedimiento básico: 1. Es posible generar EH(Σ) poco a poco, calculando sólo las sustituciones necesarias para obtener cada una de las cláusulas con las que se calculan la resolventes. 2. No es necesario restringir el cálculo de resolventes proposicionales a cláusulas sin variables, y 3. Para calcular una resolvente proposicional entre dos cláusulas, podemos conseguir que ambas cláusulas se obtengan aplicando la misma sustitución a dos cláusulas de Σ (y dicha sustitución se obtiene algorítmicamente). en LPO no restringida

33 Ejemplo Sea Σ = {C 1, C 2, C 3 } el conjunto de las cláusulas C 1 : P(a, y) P(y, z) P(z, y), C 2 P(x, f (x)) P(a, x), C 3 : P(f (x), x) P(a, x) siendo a una constante. Para probar que Σ es inconsistente basta probar que su extensión de Herbrand EH(Σ) es inconsistente (proposicionalmente). Consideremos las siguientes sustituciones: en LPO no restringida θ 1 = {y/a, z/a} θ 2 = {y/a, z/f (a)} θ 3 = {y/f (a), z/a} θ 4 = {x/a} Entonces C 1 θ 1, C 1 θ 2, C 1 θ 3, C 2 θ 4, C 3 θ 4 EH(Σ).

34 Ejemplo (II) Las cláusulas E 1 = C 1 θ 1 : P(a, a) E 2 = C 1 θ 2 : P(a, a) P(a, f (a)) P(f (a), a) E 3 = C 1 θ 3 : P(a, f (a)) P(f (a), a) E 4 = C 2 θ 4 : P(a, f (a)) P(a, a), E 5 = C 3 θ 4 : P(f (a), a) P(a, a) son fórmulas abiertas sin variables. Veamos que EH(Σ) es inconsistente. Para ello probamos que S = {E 1, E 2, E 3, E 4, E 5 } EH(Σ) es inconsistente utilizando resolución proposicional: en LPO no restringida E 1 E 3 E 5 E 1 E 4 P(a, f (a)) P(f (a), a) P(a, a)

35 Ejemplo (III) Cada resolvente proposicional entre cláusulas de EH(Σ) puede obtenerse directamente a partir de las cláusulas de Σ si se toma nota de las sustituciones utilizadas para generar las cláusulas de EH(Σ). Ejemplo: La resolvente P(a, f (a)) obtenida a partir de E 1 y E 4, puede considerarse obtenida a partir de C 1 y C 2 utilizando las sustituciones θ 1 y θ 4. Gráficamente, C 1 C 2 sustitución θ 1 sustitución θ 4 en LPO no restringida C 1 θ 1 C 2 θ 4 P(a, f (a)) (resolvente proposicional) Si las sustituciones utilizadas pueden dejar variables libres obtenemos una resolvente no restringida.

36 Resolventes no restringidas Decimos que C es una resolvente no restringida de las cláusula C 1 y C 2 si C 1 = {A 1,..., A n, L 1,..., L k } C 2 = {B 1,..., B m, M 1,..., M r } y existen dos sustituciones θ 1 y θ 2 y un literal L tales que: {L 1,..., L k }θ 1 = {L}. {M1,..., M r }θ 2 = {L c } (literal complementario de L), y C = {A1 θ 1,..., A n θ 1, B 1 θ 2,..., B m θ 2 }. Es decir, C = (C 1 θ 1 \ {L}) (C 2 θ 2 \ {L c }) En otra palabras C es una resolvente no restringida de C 1 y C 2 si existen dos subcláusulas D 1 C 1 y D 2 C 2 y dos sustituciones θ 1 y θ 2 y un literal L tales que D 1 θ 1 = {L} y D 2 θ 2 = {L c } C es una resolvente proposicional de C1 θ 1 y C 2 θ 2 con respecto al literal L. en LPO no restringida

37 Si las cláusulas son cerradas, una resolvente no restringida es una resolvente proposicional. Las resolventes no restringidas no son únicas, incluso respecto al mismo par de literales: {P(x, a), H(a, x)}, { P(y, x), M(y, x)} θ 1 = {x/z} θ 2 = {x/a, y/z} {H(a, z), M(z, a)} {P(x, a), H(a, x)}, { P(y, x), M(y, x)} θ 1 = {x/b} θ 2 = {x/a, y/b} {H(a, b), M(b, a)} en LPO no restringida

38 Demostraciones por resolución Dado un conjunto de cláusulas, Σ, podemos considerar el sistema deductivo que tiene a Σ como conjunto de axiomas y resolución no restringida como única regla de inferencia. Una demostración por resolución no restringida a partir de Σ es una sucesión de cláusulas C 1,..., C n tal que para cada i = 1,..., n se verifica: Ci Σ, o bien Existen j, k < i tales que C i es una resolvente no restringida de C j y C k. Si C n = diremos que C 1,..., C n es una refutación de Σ. Una cláusula C es demostrable por resolución no restringida a partir de Σ si existe una demostración a partir de Σ, C 1,..., C n, tal que C n = C. Notación: Σ ur C. Decimos que Σ es refutable si Σ ur. en LPO no restringida

39 Ejemplo Σ = { P(a, y) P(y, z) P(z, y), P(x, f (x)) P(a, x), P(f (x), x) P(a, x)} Veamos que Σ ur : 1. P(a, y) P(y, z) P(z, y) [[Hip.]] 2. P(x, f (x)) P(a, x) [[Hip.]] 3. P(a, f (a)) [[Res(1, 2), θ 1 = {y/a, z/a}, θ 2 = {x/a}]] 4. P(f (a), a) [[Res(1, 3), θ 1 = {y/f (a), z/a}, θ 2 = ]] 5. P(f (x), x) P(a, x) [[Hip.]] 6. P(a, a) [[Res(5,4), θ 1 = {x/a}, θ 2 = ]] 7. [[Res(1, 6), θ 1 = {y/a, z/a}, θ 2 = ]] en LPO no restringida

40 Otro ejemplo Σ = {R(x, y) R(y, z), R(x, f (x))} Veamos que Σ ur. 1. R(x, y) R(y, z) [[Hip.]] 2. R(x, f (x)) [[Hip.]] 3. R(f (x), z) [[Res(1, 2), θ 1 = {y/f (x)}, θ 2 = ]] 4. [[Res(2, 3), θ 1 = {x/f (u)}, θ 2 = {x/u, z/f (f (u))}]] en LPO no restringida

41 Unificadores Sea C una cláusula de primer orden y D una subcláusula de C tal que existe una sustitución θ para la que Dθ se reduce a un único literal L. Entonces decimos que La sustitución θ unifica el conjunto de expresiones D. D es unificable y θ es un unificador de D. Un problema central del cálculo de resolventes no restringidas entre dos cláusulas C 1 y C 2 es encontrar las subcláusulas D 1 C 1 y D 2 C 2 unificables y los unificadores θ 1 y θ 2 que hacen que D 1 θ 1 y D 2 θ 2 se reduzcan a literales complementarios. El problema puede reducirse a la búsqueda de una sola sustitución. Para ello: 1. Podemos suponer que C 1 y C 2 no tienen variables comunes (condición de variables separadas). 2. Buscamos D 1 C 1 y D 2 C 2 tales que D 1 D2 c (o bien D1 c D 2) satisface que: Es unificable, y sus literales son positivos y tienen el mismo predicado. (Di c está formada por los literales complementarios de en LPO no restringida

42 Unificadores Si D es un conjunto de literales, una sustitución θ es un unificador de D si Dθ es unitaria. Un unificador θ de D es un unificador de máxima generalidad (u.m.g.) si Para todo unificador σ de D, existe una sustitución α tal que σ = θα. (siendo θα la composición de θ y α, es decir, la sustitución obtenida al aplicar primero la sustitución θ y luego α). Ejemplo de u.m.g. de literales: θ 1 = {y/x, u/a, z/a} es un u.m.g. de en LPO no restringida P(x, z), P(y, a), P(x, u) y θ 2 = {x/a, y/a, u/a, z/a} es unificador, pero no es un u.m.g.: θ 2 = {y/x, u/a, z/a}{x/a}

43 Algoritmo para obtener un u.m.g. Para unificar pt 1,..., t n y pt 1,..., t n, debemos obtener una sustitución θ que sea solución de las ecuaciones: t 1 θ = t 1 θ,..., t nθ = t nθ. Para ello aplicamos al conjunto {t 1 = t 1,..., t n = t n} las siguientes reglas, mientras sea posible: R 1 : {x = x} E = E R 2 : {x = t} E = {x = t} E{x/t} cuando x ocurre en E y no en t R 3 : {t = x} E = {x = t} E si t no es variable. R 4 : {f (t 1,..., t n ) = f (t 1,..., t n)} E = {t 1 = t 1,..., t n = t n} E R 5 : {f (t 1,..., t n ) = g(t 1,..., t n)} E = FALLO (si f g). R 6 : {x = t} E = FALLO si x ocurre en t. Si en algún paso obtenemos un conjunto de ecuaciones {x 1 = s 1, x 2 = s 2,..., x r = s r } al que no es posible aplicar ninguna regla, devolvemos UNIFICABLE, y θ = {x 1 /s 1, x 2 /s 2,..., x r /s r } es un u.m.g. en LPO no restringida

44 Unificar Divide(x + (a y), x S(y)), Divide(S(y) + (y a), z z) 1. {x + (a y) = (S(y) + (y a)), x S(y) = z z} [R 4 ] 2. {x = S(y), a y = y a, x = z, S(y) = z} [R 4 ] 3. {x = S(y), a = y, y = a, x = z, S(y) = z} [R 4 ] 4. {x = S(y), y = a, x = z, z = S(y)} [R 3 ] 5. {x = S(y), y = a, S(y) = z, z = S(y)} [R 2 ] 6. {x = S(a), y = a, S(a) = z, z = S(a)} [R 2 ] 7. {x = S(a), y = a, z = S(a)} [R 3 ] No es posible unificar Divide(x + (a y), x S(y)), Divide(S(x) + (y a), z z) pues 1. {x + (a y) = (S(x) + (y a), x S(y)) = z z} 2. {x = S(x), a y = y a, x = z, S(y) = z} 3. FALLO, x ocurre en S(x). en LPO no restringida

45 Un cambio de variables (o renombramiento) es una sustitución α tal que para toda variable v, α(v) es una variable. Decimos que C es una resolvente de las cláusulas C 1 y C 2 si existen dos cambios de variables α 1 y α 2 tales que C 1 α 1 = {A 1,..., A n, L 1,..., L k } C 2 α 2 = {B 1,..., B m, M 1,..., M r } no tienen variables comunes y Si D 1 = {L 1,..., L k } y D 2 = {M 1,..., M r }, entonces D 1 D2 c es unificable con u.m.g. σ. C = {A1 σ,..., A n σ, B 1 σ,..., B m σ} Es decir, en LPO no restringida C = (C 1 α 1 σ \ D 1 σ) (C 2 α 2 σ \ D 2 σ)

46 Si las cláusulas son cerradas, una resolvente es una resolvente proposicional. Si las cláusulas no tienen variables comunes no es necesario renombrar: {P(z, a), H(a, z)}, { P(y, x), M(y, x)} σ = {z/y, x/a} u.m.g. {H(a, y), M(y, a)} en LPO no restringida

47 Demostraciones por resolución Dado un conjunto de cláusulas, Σ, podemos considerar el sistema deductivo que tiene a Σ como conjunto de axiomas y resolución como única regla de inferencia. Una demostración por resolución a partir de Σ es una sucesión de cláusulas C 1,..., C n tal que para cada i = 1,..., n se verifica: Ci Σ, o bien Existen j, k < i tales que C i es un resolvente de C j y C k. Si C n = diremos que C 1,..., C n es una refutación de Σ. Una cláusula C es demostrable por resolución a partir de Σ si existe una demostración a partir de Σ, C 1,..., C n, tal que C n = C. Notación: Σ r C. Decimos que Σ es refutable si Σ r. en LPO no restringida

48 Ejemplo Σ = { P(a, y) P(y, z) P(z, y), P(x, f (x)) P(a, x), P(f (x), x) P(a, x)} Veamos que Σ r : 1. P(a, y) P(y, z) P(z, y) [[Hip.]] 2. P(x, f (x)) P(a, x) [[Hip.]] 3. P(a, f (a)) [[Res(1, 2), θ = {y/a, z/a, x/a}]] 4. P(f (a), a) [[Res(1, 3), θ = {y/f (a), z/a}]] 5. P(f (x), x) P(a, x) [[Hip.]] 6. P(a, a) [[Res(5,4), θ = {x/a}]] 7. [[Res(1, 6), θ = {y/a, z/a}]] en LPO no restringida

49 Otro ejemplo Σ = {R(x, y) R(y, z), R(x, f (x))} Veamos que Σ r. 1. R(x, y) R(y, z) [[Hip.]] 2. R(u, f (u)) [[Hip. (renombramos)]] 3. R(f (u), z) [[Res(1, 2), θ = {x/u, y/f (u)}]] 4. [[ren. u/v en 2, Res(2, 3), θ = {v/f (u), z/f (f (v))}]] en LPO no restringida

50 Adecuación y Completitud Teorema de adecuación. Sean Σ un conjunto de cláusulas y C una cláusula. Entonces Σ ur C = Σ = C es un caso particular de resolución no restringida, luego si Σ r C entonces Σ = C. Tanto resolución como resolución no restringida son incompletas. Pero la completitud de la resolución no restringida para la refutación se sigue del teorema de Herbrand y del correspondiente resultado de completitud para la resolución proposicional. Además se tiene, Lema. Si una cláusula C es una resolvente no restringida de C 1 y C 2, repecto de las subcláusulas D 1 y D 2, entonces C también es una resolvente de C 1 y C 2 con respecto a D 1 y D 2. Teorema de completitud de la refutación: en LPO no restringida Σ es inconsistente Σ r

51 Ejemplo de refutación Ejemplo: En el lenguaje LC = { }, definimos la relación de inclusión como sigue: H := x y(x y w(w x w y)) Veamos como se prueba que la relación es transitiva; C := x y z(x y y z x z) Paso 1: Paso a forma clausal de H y C: H 1 : { (x y), (w x), w y} [ de H] H 2 : {x y, f (x, y) x} [ de H] H 3 : {x y, (f (x, y) y)} [ de H] C 1 : a b [a, b, c nuevas constantes, C] C 2 : b c [ C ] C 3 : (a c) [ C] en LPO no restringida

52 Ejemplo de refutación (II) Una refutación es (sin llaves): R 1 : (w a), w b [H 1, 1 con C 1, 1] [{x/a, y/b}] R 2 : (w b), w c [H 1, 1 con C 2, 1] [{x/b, y/c}] R 3 : a y, f (a, y) b [H 2, 2 con R 1, 1] [{x/a, w/f (a, y)}] R 4 : x c, (f (x, c) b) [H 3, 2 con R 2, 2] [{y/c, w/f (x, c)}] R 5 : a c [R 3, 2 con R 4, 2] [{x/a, y/c}] R 6 : [R 5, 1 con C 3, 1] en LPO no restringida

53 Podemos utilizar el método de resolución para razonar con un LPO con igualdad. Para ello basta añadir axiomas que expresen las propiedades esenciales del predicado de igualdad. Fijado un LPO con igualdad, L, denotaremos por EQ(L) al conjunto formado por las siguientes cláusulas: x = x. x y y = x. x y y z x = z. Para cada símbolo de predicado P de L (de aridad n) x j x 0 P(x 1,..., x j,... x n ) P(x 1,..., x 0,..., x n ) en LPO no restringida Para cada símbolo de función f de L (de aridad n) x j x 0 f (x 1,..., x j,... x n ) = f (x 1,..., x 0,..., x n ) Si S es un conjunto de cláusulas entonces S es insatisfactible S EQ(L) es refutable

54 Paramodulación Otra posibilidad es integrar el razonamiento con igualdad en el cálculo de resolventes añadiendo una nueva regla específica para el tratamiento de las ecuaciones. La regla de paramodulación permite obtener un nueva cláusula C (una paramodulante) a partir de dos cláusulas C 1 y C 2 de un modo parecido a cálculo de resolventes. en LPO no restringida