UNIDAD VI: RELACIONES Y FUNCIONES

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1 Presentación Los contenidos de esta unidad son los siguientes: Unidad Unidad VI: Relaciones y Funciones. Temas Tema 1: Producto Cartesiano. Tema 2: Funciones. Una relación es un vínculo o una correspondencia. En el caso de la relación matemática, se trata de la correspondencia que existe entre dos conjuntos: a cada elemento del primer conjunto le corresponde al menos un elemento del segundo conjunto. Cuando a cada elemento de un conjunto le corresponde solo uno del otro, se habla de función. Esto quiere decir que las funciones matemáticas siempre son, a su vez, relaciones matemáticas, pero que las relaciones no siempre son funciones. En una relación matemática, al primer conjunto se lo conoce como dominio, mientras que el segundo conjunto recibe el nombre de rango o recorrido. Las relaciones matemáticas existentes entre ellos se pueden graficar en el esquema llamado plano cartesiano. Para comprender cada uno de estos conceptos, comenzaremos por definir lo que es un producto cartesiano. Matemáticas Aplicadas a los Negocios - Subercaseaux Instituto de Banca y Finanzas 1

2 Tema 1: Producto Cartesiano Dados dos conjuntos A y B, llamamos producto cartesiano al conjunto de todos los pares posibles de elementos, tomando el primer elemento del par del conjunto A y el segundo elemento del par del conjunto B. Por esta razón decimos que los pares son ordenados. Simbólicamente expresamos: A x B = {(x, y) / x A, y B} Los conjuntos A y B pueden ser un único conjunto, en cuyo caso tendremos A x A qué se puede expresar con A 2. En consecuencia: A x B B x A, dado que el par (x, y) no es igual al par (y, x) por ser ordenados. Por lo anterior, el producto cartesiano, en general, no es conmutativo. Es decir: A x B B x A; sólo se cumple la igualdad si los conjuntos A y B son coincidentes. Por ejemplo si: A = {a, b} y B = {1, 2}, A x B = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2)} B x A = {(1, a), (2, a), (1, b), (2, b)}, Queda claro que los conjuntos tienen elementos (parejas ordenadas) distintos. Ejemplo1: Con los conjuntos M= {5, 6,7} y N= {3, 2,1}, obtener el producto de MxN Se trata de formar los pares ordenados en donde el primer elemento pertenece al primer conjunto, y el segundo elemento pertenece al segundo conjunto, este procedimiento se lo realiza con todos los elementos del segundo conjunto. Los dos elementos deben ir colocados dentro de un paréntesis y separados por ;. Resultado: Matemáticas Aplicadas a los Negocios - Subercaseaux Instituto de Banca y Finanzas 2

3 Formas de Representación de los Productos Cartesianos. Sean los conjuntos: A = {a, b, c} y B = {1, 2, 3, 4}, su producto cartesiano resulta: A x B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (b, 4), (c, 1), (c, 2), (c, 3), (c, 4)} El producto cartesiano se puede representar gráficamente por medio de puntos en un plano cartesiano, como se muestra a continuación. Cada punto P representa una pareja ordenada (a, b) de valores y viceversa. En el eje horizontal representamos los elementos del primer conjunto y en el vertical los valores del segundo conjunto. A esta representación se le conoce como diagrama cartesiano. Otra manera de visualizar, es a través de una representación gráfica, donde se destaquen los elementos que pertenecen al conjunto A y los que pertenecen a B (diagrama de VENN). Se trazan flechas que indican la relación que existe entre cada elemento del conjunto A y su pareja en el conjunto B. A esta representación gráfica se le conoce como diagrama de flechas. Matemáticas Aplicadas a los Negocios - Subercaseaux Instituto de Banca y Finanzas 3

4 Ejemplo 2: Si A = {2, 5, 6, 8} y B = {3, 5, 7}; Con estos conjuntos encontrar AXB y BXA Solución. 1. AXB = { (2, 3), (2, 5), (2, 7), (5, 3), (5, 5), (5, 7), (6, 3), (6, 5), (6, 7), (8, 3), (8, 5), (8, 7) } 2. BXA = { (3, 2), (3, 5), (3, 6), (3, 8), (5, 2), (5, 5), (5, 6), (5, 8), (7, 2), (7, 5), (7, 6), (7, 8) } Ejemplo 3: Si A = {2, 3, 5} y B = {5, 7}, determine la representación gráfica de AXB. Solución. AXB = { (2, 5), (2, 7), (3, 5), (3, 7), (5, 5), (5, 7) } Relaciones. Dados dos conjuntos A y B, definimos una relación entre los elementos de estos dos conjuntos, cuando damos una propiedad que vinculen elementos del primer conjunto con elementos del segundo. Así por ejemplo, si: A = {niños de una familia determinada} = {María, Juan, Luis, Raúl} y B = {1, 2, 3,..., 20}, podemos definir una relación "x tiene por edad y", donde x representa a cualquiera de los niños mencionados e y será la edad en años correspondiente. La relación estará definida entonces por el conjunto: R = {(María; 13), (Juan; 11), (Luis; 15), (Raúl; 15)} Matemáticas Aplicadas a los Negocios - Subercaseaux Instituto de Banca y Finanzas 4

5 Como se ve una relación entre los elementos de dos conjuntos A y B es un conjunto de pares ordenados de elementos pertenecientes a esos conjuntos que verifican una propiedad. R = {(x, y) / x A, y B; x, y verifican una propiedad} Una relación puede expresarse también con: x R y. Ejemplo 4: Dados los conjuntos A = {3,5} y B = {0, 1, 9} construir una relación R: B A (se lee relación de B en A) definida por la función proporcional x es menor o igual que y. Solución: BxA = {(0,3), (0,5), (1,3), (1,5), (9,3), (9,5)} Luego, se seleccionan las parejas que hacen verdadera la función proposicional x menor o igual que y R = {(0,3), (0,5), (1,3), (1,5)} Ejemplo 5: Dados los conjuntos: A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {1, 3, 5, 6} y la relación R definida como X mayor que Y que vincula elementos de A con los de B (en ese orden). Solución: AxB = {(1,1), (1,3), (1,5), (1,6), (2,1), (2,3), (2,5), (2,6), (3,1), (3,3), (3,5), (3,6), (4,1), (4,3), (4,5), (4,6), (5,1), (5,3), (5,5), (5,6)} R = {(2,1); (3,1); (4,1); (4,3); (5,1); (5,3)} Ahora utilizando diagrama de Venn seria: Matemáticas Aplicadas a los Negocios - Subercaseaux Instituto de Banca y Finanzas 5

6 Elementos de una Relación. En una relación podemos identificar el conjunto de partida y de llegada, así como el dominio y recorrido. La identificación de cada uno de estos componentes se resume a continuación: Conjunto de partida. Es el conjunto que contiene las primeras componentes de un producto cartesiano. Es decir que para AXB, el conjunto de partida es A. A este conjunto se le conoce como DOMINIO y los elementos que lo constituyeren se denominan Preimagen. Conjunto de llegada. Es el conjunto que contiene las segundas componentes de un producto cartesiano. Es decir que para AXB, el conjunto de llegada es B. A este conjunto se le conoce como CODOMINIO y los elementos que lo constituyen se denominan Imagen. Aquel subconjunto del Codominio que es imagen de una preimagen del dominio se denomina Recorrido. Ejemplo 6: Sea AXB = {(2, 3), (2, 4), (3, 5), (3, 6), (5, 5), (5, 10), (5, 12)}. Si la relación R de A en B es el conjunto formado por los pares ordenados en los que la segunda componente es el doble de la primera, calcular: conjunto de partida, conjunto de llegada, dominio y rango. Solución. El conjunto de partida son las primeras componentes del producto cartesiano: { 2, 3, 5 } El conjunto de llegada son las segundas componentes del producto cartesiano: {3, 4, 5, 6, 10, 12} La relación R de A en B que buscamos estará formada por los pares ordenados en los que la segunda componente es el doble de la primera: R= {(2, 4), (3, 6), (5, 10)} De esta relación saldrán el dominio y el recorrido. El dominio son las primeras componentes de la relación: {2, 3, 5} El recorrido son las segundas componentes de la relación: {4, 6, 10} Matemáticas Aplicadas a los Negocios - Subercaseaux Instituto de Banca y Finanzas 6

7 Ejemplo 7: Sea P = {2, 3, 5} y Q = {5, 7, 9, 11} Si la relación R es: R = {(x, y) / x P e y Q, con y = 2x + 1} Calcular: conjunto de partida, conjunto de llegada, dominio y rango. Solución. Conjunto de partida: {2, 3, 5} Conjunto de llegada: {5, 7, 9, 11} En palabras, la relación está formada así: por los pares ordenados con su primera componente (x) sacada de P y la segunda (y) sacada de Q; siendo la segunda el doble de la primera más UNO. Formemos el producto cartesiano PXQ, y seleccionemos los pares ordenados que cumplan con la condición de la relación. PXQ = {(2, 5), (2, 7), (2, 9), (2, 11), (3, 5), (3, 7), (3, 9), (3, 11), (5, 5), (5, 7), (5, 9), (5, 11)} Por lo tanto: R = {(2, 5), (3, 7), (5, 11)} El dominio es: {2, 3, 5} El recorrido es: {5, 7, 11} Ejemplo 8: Hallar el dominio y recorrido de la relación: R = {(x, y) / 2xy 3y + 5 =0} definida en los números reales. Solución. Para este caso se debe aplicar los siguientes pasos para determinar el dominio y recorrido. - Dominio: se debe despejar y de la relación y analizar x. 2xy 3y + 5 = 0 2xy 3y = - 5 y ( 2x 3) 5 y = 5 2X 3 2x 3 0 entonces x 3/2 El dominio corresponde a: Dom = IR - {3/2} Recorrido: Se despeja x, y se analiza y. Matemáticas Aplicadas a los Negocios - Subercaseaux Instituto de Banca y Finanzas 7

8 El resultado de este despeje se le conoce como Función Inversa y se denota como f 1 ( x). De la ecuación 2xy = y despejamos x lo que resulta; x = 5 3y 2y ; 2y 0 y 0. Es decir el recorrido son todos los reales menos el 0. Lo anterior se representa como: Rec= IR - {0} Matemáticas Aplicadas a los Negocios - Subercaseaux Instituto de Banca y Finanzas 8

9 Tema 2: Funciones Algunas de las relaciones, cumplen características muy especiales y reciben el nombre de funciones. Para reconocer si una relación es función, es conveniente utilizar primeramente el diagrama de flechas de la relación, y analizar si se cumplen las siguientes condiciones: existencia y unicidad. Existencia: Todo elemento del conjunto de partida debe poseer imagen. En forma gráfica, de todos los elementos del conjunto de partida deben salir flechas. Unicidad: Todo elemento del conjunto de partida debe tener imagen única. En forma gráfica, de cada elemento que posee existencia, debe salir solamente una flecha. No cumple existencia. No cumple unicidad. Cumple existencia. No cumple unicidad. No cumple existencia. Cumple unicidad. Cumple existencia. Cumple unicidad. En resumen para que una relación sea una función, se debe cumplir que para cada elemento del primer conjunto corresponde un solo elemento del segundo conjunto. Un ejemplo real de una relación que se vuelve función podrían ser un individuo y su RUT, Otro ejemplo podría ser la madre y su hijo único, pero cosa muy distinta sería una madre y sus otros hijos, explique esta última afirmación y comente con su tutor. Matemáticas Aplicadas a los Negocios - Subercaseaux Instituto de Banca y Finanzas 9

10 Otros ejemplos podrían ser: Un fabricante desea conocer la relación entre las ganancias de su compañía y su nivel de producción. Un biólogo se interesa en el cambio de tamaño de cierto cultivo de bacterias durante un tiempo. Un químico le interesa la relación entre la velocidad de una reacción y la sustancia utilizada. En cada caso la pregunta es la misma: cómo depende una cantidad de otra? Esta dependencia entre dos cantidades se describe en matemáticas como una Función. Al igual que en una relación al conjunto A se le denomina dominio de la función y se denota, como f. Y al conjunto B de la función codominio. Ejemplo 9: Dadas las siguientes relaciones, determina si son función o no. Ejemplo 10: Dadas las siguientes relaciones, determina si son función o no. Matemáticas Aplicadas a los Negocios - Subercaseaux Instituto de Banca y Finanzas 10

11 Definición de Función. Dados dos conjuntos A y B. se llama función de A en B a la relación o correspondencia que a todo elemento de A le hace corresponder uno y sólo un elemento de B. f: A B quiere decir que la función f está definida de A en B. En este caso A es el conjunto de partida y B el conjunto de llegada. Si a un elemento x de A le corresponde y a través de la función f, decimos que y es la imagen de x y lo escribimos f(x). Dominio de una Función: Es el conjunto formado por los elementos (x) que pertenecen al conjunto de partida (A). Si una relación es función, el domino coincide con el conjunto de partida porque se debe cumplir la condición de existencia, en caso contrario no es función. Recorrido de una Función: Es el conjunto formado por los elementos (y) del conjunto de llegada (B) que son imágenes de elementos del conjunto de partida. Ejemplo 11: Dados los conjuntos: A = {1, 3, 4} y B = {1, 2, 4, 5, 6} y la relación R de A en B definida como y = X+1, seria? Solución: Lo primero es establecer A X B = {(1, 1), (1, 2), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 4), (4, 5), (4, 6)} Como en la relación se debe cumplir que y = X+1, esta sería: R = {(1, 2); (3,4); (4,5)} La representación de la relación en diagrama de Venn seria: Si observa esta relación corresponde a una función definida de A en B lo que se representa como f: A B. En este caso el Dominio es Dom = {1, 3,4} y el Recorrido Rec= {2, 4,5} Matemáticas Aplicadas a los Negocios - Subercaseaux Instituto de Banca y Finanzas 11

12 Funciones Numéricas. Para poder cuantificar su estudio trabajaremos con funciones que asignen o hagan corresponder números a números. Por ejemplo, consideremos la longitud de una circunferencia de diámetro d (expresado en centímetros). Sabemos que se puede hallar empleando una fórmula: Longitud circunferencia (L) = PI * d PI=3,14 Nuevamente, se relacionan dos variables: diámetro (d) y longitud de circunferencia (L). La variable independiente será d y la variable dependiente será L. A esta relación la podemos escribir como L =f (d) y leemos: la longitud está en función del diámetro Lo mismo podría ocurrir con sus notas, podríamos pensar que las horas de estudio están en función de la nota que se obtiene, lo que se representa como: Nota = f (Horas de estudio) Se puede pensar entonces una función f, como una máquina donde el dominio es el conjunto de entradas (la materia prima) para la máquina; la regla describe la forma de procesar la entrada y los valores de la función son las salidas de la máquina (ver figura 1). Figura 1: Es importante entender que la salida f(x) asociada con una entrada x es única. En general para evaluar una Función se reemplazan los valores de x. Ejemplo 12: Sea f(x) = 2x +1 una función cuyo Dominio es {1, 3, 5, 7}. Si se solicita el valor de la imagen para la preimagen 3 que pertenece al dominio, tenemos que calcular f (3) que es evaluar la función f en x = 3, sustituimos este valor en la regla y nos queda: f (3) = 2* ( 3 ) + 1 = 7, por lo tanto la imagen es 7 Probemos ahora para f (5) = 2 *(5) + 1 = 11 Matemáticas Aplicadas a los Negocios - Subercaseaux Instituto de Banca y Finanzas 12

13 Ejemplo 13: Sea ahora la función f definida por la regla f(x) = 2x 2 x + 1. Calcular partir de la función anterior: a. f(1) b. f (-2) c. f(h) Respuestas: a) f (1) = 2(1) = 2 b) f (-2) = 2 (-2) 2 (-2) + 1 = 11 c) f(h) = 2(h) 2 h + 1 = 2h 2 h + 1 Ejemplo 14: Dada la función 1 f(x) indica su dominio y su recorrido. 2x 1 Solución. Para determinar el dominio, lo primero es observar que al asignar valores a la variable x se obtienen valores para la variable y. x f(x) -1/ /3 1/5 Pero existe un valor para x en que no se cumple la función y este corresponde al que hace cero el denominador en la función. Para determinar del denominador despejamos x y obtenemos: Si 1 f(x) 2x 1 1 2x 1 0 2x 1 x Por lo tanto el dominio es: 2 Dom (f) = 1 IR 2 Para el recorrido debemos despejar la variable y, hacemos y=f(x) y tenemos: 1 1 y y y (2x 1) 1 2xy y 1 2xy 1 y x 2x 1 2y Matemáticas Aplicadas a los Negocios - Subercaseaux Instituto de Banca y Finanzas 13

14 En este caso el denominador tiene que ser distinto de cero, ya que si sume este valor al remplazar nos daría un error en cálculo. El recorrido seria: Rec (f) = IR 0 1 y x 2y 0 y 0 2y Análisis de la Tendencia de una Función. Veremos desde el punto de vista gráfico que existen distintas formas de funciones. También observaremos que ellas crecen, decrecen o se mantienen constantes. Consideraremos que una función es creciente en un intervalo cuando se cumple que: Si x1 > x2, entonces f(x1) > f(x2) en todo el intervalo. Esto quiere decir que a medida que aumentan los valores de x, también aumentan los valores de y. Consideraremos que una función es decreciente en un intervalo cuando se cumple que: Si x1 < x2, entonces f(x1) < f(x2) en todo el intervalo. Esto quiere decir que a medida que aumenta los valores de x ahora disminuyen los valores de y. Consideraremos que una función es constante en un intervalo cuando se cumple que: Si x1 x2, entonces f(x1) = f(x2) en todo el intervalo. Esto quiere decir que a medida que aumenta los valores de x la variable y mant iene su valor invariable. Matemáticas Aplicadas a los Negocios - Subercaseaux Instituto de Banca y Finanzas 14

15 Gráfico de la Función. Consideremos ahora los conjuntos: A = B = IR (números reales). En este caso, para graficar la función debemos calcular algunos puntos de ella, considerando que su dominio es el conjunto de los reales. Para ello, confeccionaremos una tabla de valores que nos dará algunos de los pares ordenados que pertenecen a esta función y que representaremos en el gráfico. A partir de esta gráfica podemos unir cada uno de estos puntos y se obtiene una línea recta. En general toda función lineal, se representa con una línea recta tal como lo indica el siguiente gráfico: Matemáticas Aplicadas a los Negocios - Subercaseaux Instituto de Banca y Finanzas 15

16 Tipos de Funciones. A continuación veremos cómo podemos graficar algunas de las funciones de variable real más importantes. Se llaman así porque sus dominios son subconjuntos de IR y porque sus recorridos son subconjuntos de IR. A. Función identidad Dom f = IR Rec f = IR f: IR IR f(x) = x Si reemplazamos algunos valores en la función obtenemos: f(-2)= -2 ; f(-1)= -1 ; etc. De los remplazos se obtiene la siguiente tabla: x y Nota: Los valores para X fueron asignados de manera arbitraria. Observación. Esta función es creciente en todo el intervalo. B. Función constante. Dom f = IR Rec f = {a } f:ir IR f(x) = a Matemáticas Aplicadas a los Negocios - Subercaseaux Instituto de Banca y Finanzas 16

17 Supongamos la función: f(x)=2 La tabla de valores seria: x y Nota: Los valores para X fueron asignados de manera arbitraria. Esta función representa una línea recta y puesto que para cualquier valor de x, su imagen será siempre un mismo número real. La recta será paralela al eje X interceptando al eje Y en y =2. En el gráfico se representa f(x)= 2. Observación. Como su nombre lo indica esta función se mantiene constante para todo valor. C. Función lineal. f: IR IR f(x) = ax + b a ɛ IR, b ɛ IR Dom f = IR Rec f = IR Supongamos la función f(x)=3x+2, reemplazando valores, obtenemos: f(0)=3 0+2=2 ; f(-1)=3 (-1)+2=-1, etc. Luego la tabla correspondiente con los valores asignados para x seria: x y La gráfica que se obtiene como se observa es una línea recta, de ahí su nombre de función lineal. Matemáticas Aplicadas a los Negocios - Subercaseaux Instituto de Banca y Finanzas 17