REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES"

Transcripción

1 REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES El estudio de la derivada de una función, junto con otras consideraciones sobre las funciones tales como el estudio de su campo de eistencia (dominio), de sus puntos de corte con los ejes, de sus simetrías y de sus límites, nos permiten representar gráficamente las funciones con relativa facilidad. La representación gráfica la obtendremos siguiendo las etapas: a. Estudio del campo de eistencia de la función (dominio). b. Cortes de la gráfica de la función con los ejes de coordenadas. c. Simetrías de la función. d. Límites de la función en los puntos frontera de su campo de eistencia. e. Rectas asíntotas. f. Máimos, mínimos y puntos de infleión. g. Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función. h. Curvatura de la función. Intervalos de concavidad y conveidad. Estas etapas, en general, nos ayudan a construir la gráfica de las funciones, pero en alguno de los casos no es necesario acudir a todas ellas para representar la función, que es, en definitiva, lo que nos interesa. También es importante recordar que, a veces, tomando valores, con unos pocos puntos, se avanza muy rápidamente en la representación gráfica de la función. a. Dominio En este apartado debemos buscar los puntos tales que f ( ) sea real; luego debemos ecluir los puntos, si los hay, que anulen los denominadores, los valores que hagan negativo el radicando para las raíces de orden par, los valores que hagan nulos o negativos epresiones en las que tengamos que obtener sus logaritmos, etc. Ejemplos: + f =, el denominador se anula para los valores, 4 + = =, luego el campo de eistencia consistirá en todos los números reales ecepto el y el : En la función Domf = R {,} o también Domf = (,) (,) (, ) Si consideramos la función 4. f = 4, debemos ecluir los valores que verifiquen <, es decir, serán válidos los puntos que cumplan 4. Así el campo de eistencia estará formado por todos los números reales comprendidos entre y : Domf =,. Para la función f ( ) ln ( ) =, ecluimos los valores que verifiquen, es decir, los puntos tales que ; luego el campo de eistencia estará formado por todos los números reales mayores que : Domf =,. jlmat.es Representación de funciones. Página

2 b. Corte con los ejes Si queremos encontrar los puntos de corte con el eje de ordenadas, basta con hacer =. Si queremos encontrar los puntos de corte con el eje de abscisas, resolveremos la ecuación y=. Ejemplos: Consideremos la función f ( ) =, luego y = f ( ) = y el punto de corte es el (, ) abscisas se obtienen resolviendo y =, es decir, (,) y el,. = ; su corte con el eje de ordenadas se obtiene haciendo. Los puntos de corte con el eje de = y los puntos de corte son el En la función f ( ) = ln ( + ) ; su corte con el eje de ordenadas será el punto,ln. Con el eje de abscisas se obtienen resolviendo y =, es decir, + = y el punto de corte será (,). c. Simetrías Nos preguntamos en este punto si la función es par, impar o ninguna de las dos cosas. Si la función es par, es decir, f ( ) = f ( ) para todo valor de, la curva será simétrica respecto del eje OY; si la función es impar, es decir, f ( ) = f ( ) para todo valor de, la curva será simétrica respecto al origen de coordenadas. En otro caso la función no presenta simetrías de este tipo. Ejemplos: Son funciones pares y por tanto simétricas respecto del eje OY: 4 y =, y = cos, y =, y = e, y =, y = 4,... Son funciones impares y por tanto simétricas respecto al origen de coordenadas: y =, y = sen, y =, y =, y =, y =,... + d. Límites Particularmente importantes, en este punto, son los límites cuando tiende a ± o cuando y tiende a ±. En algunos casos estos límites nos darán a conocer ecuaciones de asíntotas como veremos en el apartado siguiente. e. Asíntotas Un punto sobre una curva y = f ( ) se aleja infinitamente cuando su abscisa, su ordenada o ambas coordenadas crecen infinitamente. Llamaremos recta asíntota a toda recta tal que la distancia desde un punto P de la curva, que se aleje infinitamente, a la recta tienda a cero. Hay varias posibilidades para ellas. jlmat.es Representación de funciones. Página

3 lim f = b (número real), la recta y = b es una asíntota horizontal. Si Si lim f ( ) Ejemplo: a = (con a número real), la recta = a es una asíntota vertical. Si al alejarse infinitamente un punto de la curva, e y crecen infinitamente, para que la recta y = m + n sea una asíntota oblicua debe tender a cero la diferencia entre las ordenadas de la recta y la curva para la misma abscisa. Esta definición lleva en sí un método de cálculo para los coeficientes m y n. n = lim f m. ( ) f = (número real distinto de cero); y si eiste, m lim Consideremos la función f ( ) = lim = lim =, luego no hay asíntotas horizontales. lim =, luego la recta = es una asíntota vertical. Deberíamos entonces analizar los límites laterales en asíntota. = para determinar la posición de la gráfica de f con respecto a la f lim = lim = lim m = =, entonces obtenemos n de la epresión lim f ( ) m lim lim = = =, luego la recta y = es una asíntota oblicua. f. Máimos, mínimos y puntos de infleión Los máimos y mínimos que estén situados sobre puntos en que la curva sea derivable se obtendrán fácilmente a partir de los teoremas dados sobre las derivadas de orden n, a saber: Sea f ( ) una función tal que f ( ) =. Si f ( ) <, f ( ) >, la función presenta en un mínimo. f tiene en un máimo y si Sea f ( ) una función derivable n veces en un punto y tal que ( n ) f o = f =... = f o = y Si n es par y Si n es par y ( f n ) ( ) <, o ( f n ) ( ) >, o ( n ) f. o f tiene en un máimo. f tiene en un mínimo. Si n es impar, f ( ) tiene en un punto de infleión (punto de silla). jlmat.es Representación de funciones. Página

4 =. Los puntos de infleión estarán entre los que resulten de resolver la ecuación f ( ) Debemos tener cuidado en esta etapa ya que no en todos los puntos donde eisten máimos o mínimos la función es derivable, como ocurre en la función f ( ) = + que representaremos más adelante. g. Crecimiento y decrecimiento El corolario del teorema del valor medio (de Lagrange) que nos dice: Si f ( ) puntos de un intervalo, f ( ) es creciente en ese intervalo. Si f ( ) > para todos los < para todos los puntos de un intervalo, f ( ) es decreciente en ese intervalo nos da resuelto prácticamente, salvo algunos problemas de cálculo, este apartado. Debemos tener cuidado, como en el apartado anterior, con los puntos en los que la función no sea derivable. h. Curvatura Para analizar la curvatura de una función debemos seguir alguno de los siguientes criterios: Sea f ( ) una función que tiene segunda derivada continua en un entorno del punto Si f ( ) <, f ( ) presenta en una curvatura de la forma Si f ( ) >, f ( ) presenta en una curvatura de la forma Sea f ( ) una función que tiene derivadas hasta el orden n en un entorno del punto, donde además entonces: ( n f ) ( ) es continua. Si Si n es par y Si n es par y ( f n ) ( ) <, o ( f n ) ( ) >, o ( n ) f o = f =... = f o = y f tiene en una curvatura de la forma f tiene en una curvatura de la forma Si n es impar, f ( ) tiene en un punto de infleión. ( n ) f, No obstante, dada la complejidad de los cálculos que pueden presentarse, la curvatura de una función no suele analizarse (salvo petición epresa) puesto que con los apartados anteriores, normalmente, tendremos información suficiente para dibujar la gráfica. o jlmat.es Representación de funciones. Página 4

5 EJEMPLOS f = 4 Dominio: Dom f =R; ya que un polinomio está definido siempre Cortes con los ejes: eje OY: = f = ; corte en, eje OX y cortes en y 4 : = = =, =, = ;,,,, Simetrías: f 4 ( ) 4 f ( ) respecto del eje OY. = = =, luego la función es par y presenta una simetría Límites: ( 4 ) ( ) ( 4 lim = lim = lim lim ) =, por simetría lim ( ) No tiene asíntotas horizontales. 4 No tiene asíntotas verticales porque lim, a R. a 4 = = = = Tampoco tiene oblicuas ya que m lim lim ( ) lim ( ) =. Máimos, mínimos y puntos de infleión: Por tratarse de un polinomio la función es derivable en todo su campo de eistencia, luego todos sus máimos y mínimos se obtendrán a partir del estudio de sus derivadas. = f 4 4 f = 4 4 = 4 = =, =, = 4 ( ) 4. (,) ( ) 8. (, ) ( ) 8. (, ) f = f = < en = la función tiene un máimo Punto f = > en = la función tiene un mínimo Punto f = > en = la función tiene un mínimo Punto f = 4 = = ± ; como en esos puntos f, hay puntos de infleión. Crecimiento y decrecimiento: Dividimos el campo de eistencia en los siguientes intervalos (, ; ) (, ); (,; ) (, ). Tenemos que estudiar el signo de f ( ) 4 ( ) = en cada intervalo para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Esto equivale a resolver una de estas inecuaciones: ( )( ) ( ) 4 + >. Para ello utilizaremos la siguiente tabla: 4 + < o jlmat.es Representación de funciones. Página 5

6 (, ) (,) (, ) (, ) ( ) + ( + ) ( )( + ) De aquí se deduce que la función es creciente en los intervalos (,) (, ) intervalos (, ) (,). Con todos los datos obtenidos podemos representar la función: y es decreciente en los f ( ) = + Dominio: Dom f =R; ya que es suma de un polinomio que está definido siempre y de una raíz cúbica que igualmente está definida para todos los números reales. Cortes con los ejes: eje OY: = f = ; corte en, eje OX y = + = + = = = cortes en y :, ;,, Simetrías: f ( ) f ( ) = + = + ±, la función no es par y tampoco impar luego no presenta simetrías de las consideradas. jlmat.es Representación de funciones. Página 6

7 Límites: lim ( + ) =, ( ) No tiene asíntotas horizontales. lim + = lim + = = No tiene asíntotas verticales porque lim +, a R. a. Buscamos una asíntota oblicua: + m = lim = lim + = + = entonces el valor de, calculamos n = lim f = lim + = lim =, n no eiste, con lo que parece que no hay asíntota oblicua, aunque la recta y = y la curva se aproiman tanto como queramos para valores de ± (comprobarlo en el programa Graphmatica alejando suficientemente el zoom). Esta asíntota no nos resulta de utilidad para la representación puesto que en el trozo que dibujamos está alejada de la curva. Máimos, mínimos y puntos de infleión: f ( ) = +, entonces f ( ) no está definida para =, luego el estudio que hacemos para determinar máimos y mínimos ecluye ese punto del que por ahora no podemos decir nada. 8 f ( ) = + = + = = = 7 f ( ) = f = < en = la función tiene un máimo. Punto, f ( ) = =, que no tiene solución, luego no hay puntos de infleión. 4 9 Crecimiento y decrecimiento: Dividimos el campo de eistencia en los siguientes intervalos, ;, ; (, ) Tenemos que estudiar el signo de f = + en cada intervalo para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Esto equivale a resolver la inecuación: + > o ello utilizaremos la siguiente tabla: 8, , 7 jlmat.es Representación de funciones. Página 7 (, ) >. Para

8 De aquí se deduce que la función es creciente en los intervalos, (, ) 8 y es decreciente en el 7 8 intervalo,. A la vista de estos resultados podemos deducir que la función presenta un mínimo en 7 el punto =, conclusión a la que no habíamos podido llegar mediante el estudio de la derivada. Con todos los datos obtenidos podemos representar la función: f ( ) = sen Dominio: Dom f =R; ya que es suma de un polinomio que está definido siempre y de la función seno que igualmente está definida para todos los números reales. Cortes con los ejes: eje OY: = f = ; corte en, eje OX: y = sen = = ( el crecimiento nos confirma que no hay más); corte en, Simetrías: f ( ) = ( ) sen ( ) = + sen = f ( ), luego la función es impar y presenta una simetría respecto del origen de coordenadas. Límites: lim ( sen ) =, lim ( sen ) =, puesto que la función seno está limitada entre - y. jlmat.es Representación de funciones. Página 8

9 No tiene asíntotas horizontales. No tiene asíntotas verticales porque lim sen, a R. a sen sen Buscamos una asíntota oblicua: m = lim = lim = =, calculamos el valor de n = lim f = lim sen = lim sen = valor no determinado, con lo que no eiste asíntota oblicua, aunque la recta y = estará muy relacionada con la curva. Máimos, mínimos y puntos de infleión: La función es derivable en todo su campo de eistencia, luego todos sus máimos y mínimos se obtendrán a partir del estudio de sus derivadas. f ( ) = cos f ( ) = cos = cos = = kπ ( k Z ) f ( ) = sen ( π ) = ; =, ( π ) = = π ( Z) f ( ) sen kπ y ( k ) π como f ( kπ ) y f (( k ) π ) f k f cos f k en k k la función tiene puntos de silla = = = = + ; = + = hay puntos de infleión( en = kπ hemos visto que son de silla). Crecimiento y decrecimiento: Tenemos que estudiar el signo de f ( ) = cos para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Esto equivale a resolver la inecuación: cos > pero como cos la función es siempre creciente salvo en los puntos de silla que tiene tangente horizontal. Debemos fijarnos en que la función f ( ) = sen corta a la recta y = en las soluciones de la ecuación sen sen kπ ( k ) = = = Z, es decir, en todos los puntos de infleión que es donde hay cambio de curvatura, por tanto este es un caso en el que se hace necesario analizarla. Curvatura: Veamos el signo de la segunda derivada, f ( ) sen ( π ) ( π π ) ( π π ) forma ( kπ,kπ + π ), la función presenta una curvatura f ( ) sen ( π π ) ( π π ) ( π π ) forma ( kπ + π,kπ + π ), la función presenta una curvatura > >,, 4,5..., es decir, en los intervalos de la < <,,4 5,6..., es decir, en los intervalos de la Con los datos obtenidos podemos representar la función: jlmat.es Representación de funciones. Página 9

10 f ( ) = ( ) Dominio: Dom f = { } R ; ya que es un cociente de polinomios y el denominador se anula en =. eje OY: = f = ; corte en, Cortes con los ejes: eje OX: y = = =, = ; corte en, ( ) Simetrías: ( ) ( ) ( + ) f = = ± f presenta simetrías de las consideradas., la función no es par y tampoco impar luego no Límites: 6 lim lim lim =, del mismo modo ( ) ( ) lim ( ) = ( indica que aplicamos la regla de L Hôpital). jlmat.es Representación de funciones. Página

11 No tiene asíntotas horizontales. lim = +, lim = + ( ) ( ) + Buscamos asíntota oblicua: ; la recta = es asíntota vertical. m = lim = lim lim lim = ( ) ( ) ( ) 4 4 n = lim f ( ) lim lim lim lim = = = + + Con lo que la recta y = + es asíntota oblicua para la función. Máimos, mínimos y puntos de infleión: Por tratarse de una función derivable en todo su campo de eistencia, todos sus máimos y mínimos se obtendrán a partir del estudio de sus derivadas. f ( ) = = = ( ) ( ) 4 f = = = = = ( ) f =, 6 ( ) f = > en = la función tiene un mínimo. Punto, f = f =, f, en, la función tiene un punto de silla ( ) 4 ( ) 5 6 f = = = ; punto de infleión encontrado antes. Crecimiento y decrecimiento: Dividimos el campo de eistencia en los siguientes intervalos (, ); (,; ) (, ); (, ) = que estudiar el signo de f ( ) ( ) ( ). Tenemos en cada intervalo para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Esto equivale a resolver una de estas inecuaciones: ( ) ( ) >. Para ello utilizaremos la siguiente tabla: ( ) ( ) < o jlmat.es Representación de funciones. Página

12 (,) (, ) (, ) (, ) ( ) ( ) ( ) De aquí se deduce que la función es creciente en los intervalos (,) (,) (, ) en el intervalo (, ). y es decreciente Con los datos obtenidos representamos la función: f = e + Dominio: Dom f = { } R ; ya que el denominador del eponente se anula en =. eje OY: = f = e ; corte en, e Cortes con los ejes: + eje OX: y = e = no hay cortes con eje OX jlmat.es Representación de funciones. Página

13 + Simetrías: f ( ) e f ( ) las consideradas. = ±, la función no es par y tampoco impar luego no presenta simetrías de Límites: + + lim lim e e e e = = =, del mismo modo lim e + = e. La recta y = e es una asíntota horizontal. + + lim + + lim e e + + e e e e + lim = = = ; lim = = =. La recta = es asíntota vertical cuando + No tiene asíntotas oblicuas porque + + e lim e e m = lim = = = lim Máimos, mínimos y puntos de infleión: Por tratarse de una función derivable en todo su campo de eistencia, todos sus máimos y mínimos se obtendrán a partir del estudio de sus derivadas. f = e ( ) + + f e = = que no tiene solución por lo que la función no tiene máimos ni mínimos. ( ) ( ) f = e ; f = 4 = =, en (,e ) hay un punto de infleión. Crecimiento y decrecimiento: Dividimos el campo de eistencia en los siguientes intervalos (, ); (, ) signo de f = e ( ) + puntos de los intervalos, f ( ) en esos intervalos, pero como ( ) y. Tenemos que analizar el + e son positivos en todos los < siempre, por tanto la función es decreciente en todo su dominio. Hay que señalar que aunque la función decrece cuando y f ( ) mínimo. Sí es cierto que inf f = pero éste no pertenece al conjunto imagen. lim =, no eiste Curvatura: Veamos el signo de la segunda derivada, + 4 f > e > ( ) función tiene una curvatura ( ) f < será cuando 4 y esto se cumple cuando < y para los (,) >, por tanto para (,) (, ) la función tendrá una curvatura la jlmat.es Representación de funciones. Página

14 Con los datos obtenidos representamos la función: jlmat.es Representación de funciones. Página 4

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 0 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,

Más detalles

Funciones en explícitas

Funciones en explícitas Funciones en eplícitas.- Sea la función f() e, se pide:. Dominio.. Signo de f() en función de.. Asíntotas. 4. Crecimiento y decrecimiento. Máimos y mínimos relativos. 5. Concavidad y conveidad. Puntos

Más detalles

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN.. Se pide: x

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN.. Se pide: x 1 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN IBJ05 1. Se considera la función f ( ). Se pide: a) Encontrar los intervalos donde esta función es creciente y donde es decreciente. ( puntos) b) Calcular las asíntotas.

Más detalles

ESTUDIO Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES

ESTUDIO Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES ESTUDIO Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES I ) DOMINIO DE DEFINICIÓN DE UNA FUNCIÓN: Es el conjunto de puntos donde tiene sentido realizar las operaciones indicadas en el criterio de definición de la

Más detalles

Tema 7: Aplicaciones de la derivada, Representación de Funciones

Tema 7: Aplicaciones de la derivada, Representación de Funciones Tema 7: Aplicaciones de la derivada, Representación de Funciones 0.- Introducción 1.- Crecimiento y Decrecimiento de una función. Monotonía..- Máimos y mínimos de una función.1.- Etremos relativos...-

Más detalles

Eje OY (Vertical) => Se hace la x = 0, y se despeja la y. Corte (0,y)

Eje OY (Vertical) => Se hace la x = 0, y se despeja la y. Corte (0,y) Estudio de funciones y su representación gráfica. TIPO I. Funciones Polinómicas. Ejemplo: y 4 1º. Dominio. El dominio de una función es el conjunto de valores para los que está definida la función. En

Más detalles

COL LECCIÓ DE PROBLEMES RESOLTS

COL LECCIÓ DE PROBLEMES RESOLTS DEPARTAMENT DE MATEMÀTICA ECONOMICOEMPRESARIAL DEPARTAMENT D ECONOMIA FINANCERA UNIVERSITAT DE VALÈNCIA LLICENCIATURA EN ECONOMIA LLICENCIATURA EN ADMINISTRACIÓ I DIRECCIÓ D EMPRESES DIPLOMATURA EN CIÈNCIES

Más detalles

TEMA 2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 2.5. GRÁFICAS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

TEMA 2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 2.5. GRÁFICAS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL TEMA. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.5. GRÁFICAS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL . FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.5. GRÁFICAS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.5.1. DOMINIO, CORTES CON LOS

Más detalles

12.1 CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO

12.1 CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES. CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO TASA DE VARIACIÓN MEDIA Deinición Se llama tasa de variación media (T.V.M.) de una unción, y = () en un intervalo

Más detalles

Unidad 5. Funciones. Representación de funciones TEMA 5. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES. José L. Lorente Aragón

Unidad 5. Funciones. Representación de funciones TEMA 5. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES. José L. Lorente Aragón TEMA 5. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES 1. Representación de funciones 1.1. Dominio 1.. Puntos de corte con los ejes 1..1. Con el eje 1... Con el eje y 1.. Signo de la función 1.4. Periodicidad y simetría

Más detalles

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES 8 REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Página 86 Descripción de una gráfica. Copia en tu cuaderno los datos encuadrados en rojo. A partir de ellos y sin mirar la gráfica que aparece al principio, representa esta

Más detalles

Problemas Tema 4 Solución a problemas de Repaso y Ampliación 1ª Evaluación - Hoja 02 - Problemas 2, 4, 5, 6, 7, 8, 10

Problemas Tema 4 Solución a problemas de Repaso y Ampliación 1ª Evaluación - Hoja 02 - Problemas 2, 4, 5, 6, 7, 8, 10 página 1/20 Problemas Tema 4 Solución a problemas de Repaso y Ampliación 1ª Evaluación - Hoja 02 - Problemas 2, 4, 5, 6, 7, 8, 10 Hoja 2. Problema 2 Resuelto por Carmen Jiménez Cejudo (diciembre 2014)

Más detalles

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Página 5 REFLEXIONA Y RESUELVE Descripción de una gráfica Copia en tu cuaderno los datos encuadrados en rojo. A partir de ellos, y sin mirar la gráfica que aparece al principio,

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2013 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2013 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 03 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,

Más detalles

INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES. en un intervalo al siguiente cociente:

INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES. en un intervalo al siguiente cociente: INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES Crecimiento de una Función en un Intervalo Tasa de Variación Media (T.V.M.) Se llama tasa de variación media (T.V.M.) de una función y f() en un intervalo

Más detalles

Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada

Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada Capítulo 4: Aplicaciones de la derivada 1. Lección 15. Aplicaciones de la derivada I 1.1. Estudio del signo de la derivada Tratamos de ver en esta lección algunas aplicaciones de la derivada. Puesto que

Más detalles

-, se pide: b) Calcula el área del recinto limitado por dicha gráfica, el eje horizontal y la vertical que pasa por el máximo relativo de la curva.

-, se pide: b) Calcula el área del recinto limitado por dicha gráfica, el eje horizontal y la vertical que pasa por el máximo relativo de la curva. EJERCICIOS PARA PREPARAR EL EXAMEN GLOBAL DE ANÁLISIS ln ) Dada la función f ( ) = +, donde ln denota el logaritmo - 4 neperiano, se pide: a) Determinar el dominio de f y sus asíntotas b) Calcular la recta

Más detalles

lím x 1 r x a, donde a es un nº que cumple que el ) es algún 1. ASÍNTOTAS DE UNA FUNCIÓN

lím x 1 r x a, donde a es un nº que cumple que el ) es algún 1. ASÍNTOTAS DE UNA FUNCIÓN . ASÍNTOTAS DE UNA FUNCIÓN Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproimando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables ( o y) tienden al infinito. Una definición más formal

Más detalles

Estudio de funciones mediante límites y derivadas

Estudio de funciones mediante límites y derivadas Estudio de funciones mediante límites y derivadas CVS0. El precio del billete de una línea de autobús se obtiene sumando dos cantidades, una fija y otra proporcional a los kilómetros recorridos. Por un

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 009 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva,

Más detalles

= 1. x = 3: Lím = Asíntota vertical en x = 3: = 0 ; No se anula nunca. Punto de corte con OY es (0, 3) 3 x

= 1. x = 3: Lím = Asíntota vertical en x = 3: = 0 ; No se anula nunca. Punto de corte con OY es (0, 3) 3 x Modelo 4. Problema A.- (Calificación máima: puntos) 4 si Se considera la función real de variable real f ( ) si > a) Determínense las asíntotas de la función y los puntos de corte con los ejes. a. Asíntotas

Más detalles

Apuntes Matemáticas 2º de bachillerato. Tema 5. Estudio de funciones

Apuntes Matemáticas 2º de bachillerato. Tema 5. Estudio de funciones Apuntes Tema 5 Estudio de funciones 5.1 Dominio Hay que determinar para qué intervalos de números reales, o puntos aislados, la función existe o está definida. Para ello tenemos que prestar atención a

Más detalles

Estudio de una función. Un resumen de los contenidos que aplicamos en el estudio de una función, que se encuentran en el módulo:

Estudio de una función. Un resumen de los contenidos que aplicamos en el estudio de una función, que se encuentran en el módulo: Estudio de una función Un resumen de los contenidos que aplicamos en el estudio de una función, que se encuentran en el módulo: Una función f () tiene asíntota vertical en asi f () a Una función f () tiene

Más detalles

Conocer las posibles asíntotas de una función nos ayudará en su representación gráfica. Vamos a distinguir tres tipos distintos de asíntotas:

Conocer las posibles asíntotas de una función nos ayudará en su representación gráfica. Vamos a distinguir tres tipos distintos de asíntotas: 1. Dominio, periodicidad y paridad de una función A la hora de representar una función lo primero que se ha de determinar es dónde está definida, es decir, para qué valores tiene sentido hablar de f(x).

Más detalles

TEMA 3: CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL. f : R R

TEMA 3: CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL. f : R R TEMA 3: CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL. Concepto de función. Definición Se llama función (real de variable real) a toda aplicación f : R R f() que a cada número le

Más detalles

Matemáticas II TEMA 9 Aplicaciones de las derivadas: Representación gráfica de funciones y Optimización

Matemáticas II TEMA 9 Aplicaciones de las derivadas: Representación gráfica de funciones y Optimización Matemáticas II TEMA 9 Aplicaciones de las derivadas: Representación gráfica de funciones y Optimización Aplicaciones de la derivada primera para el estudio de la variación de una función El signo de la

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2014 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2014 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 04 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,

Más detalles

1 1. [2014] [EXT-A] Dada la función f(x) = x+1 + x

1 1. [2014] [EXT-A] Dada la función f(x) = x+1 + x . [4] [ET-A] Dada la función f() = + +, se pide: +4 a) Determinar el dominio de f y sus asíntotas. b) Calcular f'() y determinar los etremos relativos de f(). c) Calcular f()d 5sen + si

Más detalles

TEMA 2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 2.4. APLICACIONES DE LA DERIVABILIDAD

TEMA 2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 2.4. APLICACIONES DE LA DERIVABILIDAD TEMA. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.4. APLICACIONES DE LA DERIVABILIDAD .4. APLICACIONES DE LA DERIVABILIDAD.4.1. Intervalos de crecimiento y decrecimiento.4.. Etremos locales de una función.4.3. Intervalos

Más detalles

I. E. S. ATENEA. SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN GLOBAL. PRIMERA EVALUACIÓN. ANÁLISIS

I. E. S. ATENEA. SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN GLOBAL. PRIMERA EVALUACIÓN. ANÁLISIS Eamen Global Análisis Matemáticas II Curso 010-011 I E S ATENEA SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN GLOBAL PRIMERA EVALUACIÓN ANÁLISIS Curso 010-011 1-I-011 MATERIA: MATEMÁTICAS II INSTRUCCIONES GENERALES

Más detalles

a) p = ½. b) p = 0. c) Ninguna de las anteriores. Solución: Para que sea continua en x = 0 debe cumplirse que lím

a) p = ½. b) p = 0. c) Ninguna de las anteriores. Solución: Para que sea continua en x = 0 debe cumplirse que lím Matemáticas Empresariales I PREGUNTAS DE TIPO TEST DERIVADAS Y APLICACIONES si 0. La función f ( ) sen es continua en = 0 si: p si 0 a) p = ½. b) p = 0. Para que sea continua en = 0 debe cumplirse que

Más detalles

a) f(x) (x 1) 2 b) f(x) x c) h(x) 1 2 a) f (3) 8 0 f es creciente en x 3.

a) f(x) (x 1) 2 b) f(x) x c) h(x) 1 2 a) f (3) 8 0 f es creciente en x 3. 6 Aplicando la definición de derivada, calcula la derivada de las siguientes funciones en los puntos que se indican: a) f() en Aplicando la definición de derivada, calcula f () en las funciones que se

Más detalles

INTEGRAL INDEFINIDA E INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES

INTEGRAL INDEFINIDA E INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES INTEGRAL INDEFINIDA E INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES. a) Eplicar el concepto de función primitiva. b) Sea f () = e + 8, justificar si es primitiva de alguna de las siguientes funciones: g () = e + 8 h

Más detalles

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS (Grado en Ingeniería Informática) Práctica 4. DERIVACIÓN

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS (Grado en Ingeniería Informática) Práctica 4. DERIVACIÓN FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS (Grado en Ingeniería Informática) Práctica 4. DERIVACIÓN 1.- Derivada de una función en un punto. El estudio de la derivada de una función en un punto surge con el problema geométrico

Más detalles

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE CURVAS - II

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE CURVAS - II REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE CURVAS - II 1.- Representa gráficamente la función a) Dominio: f(x) es el cociente del valor absoluto de una función polinómica de 2º grado entre la variable x. Ambas son continuas

Más detalles

Integrales. 1. Calcular las siguientes integrales: dx x. iii) xsenx dx. ii) 3dx. Solución: i) Operando se tiene: x 2

Integrales. 1. Calcular las siguientes integrales: dx x. iii) xsenx dx. ii) 3dx. Solución: i) Operando se tiene: x 2 Integrales. Calcular las siguientes integrales: i) d ii) d 6 iii) sen d i) Operando se tiene: d = / / / / d = 7 / / / / / = c = c 7 7 ii) Ajustando constantes se tiene: d 6d = 6 c 6 6 iii) Haciendo el

Más detalles

3º ESO FUNCIONES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. SAGRADO CORAZÓN COPIRRAI_Julio César Abad Martínez-Losa FUNCIONES

3º ESO FUNCIONES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. SAGRADO CORAZÓN COPIRRAI_Julio César Abad Martínez-Losa FUNCIONES º ESO FUNCIONES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. FUNCIONES.- CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES Definición: Una función es una relación entre dos variables de tal forma que a cada valor de la primera (variable

Más detalles

Criterio 1: Sea f una función derivable en (a,b). f es estrictamente creciente en el intervalo abierto (a, b) si f es positiva en dicho intervalo.

Criterio 1: Sea f una función derivable en (a,b). f es estrictamente creciente en el intervalo abierto (a, b) si f es positiva en dicho intervalo. UNIDAD. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS.. Información etraída de la primera derivada.. Información etraída de la segunda derivada.. Derivabilidad en intervalos: Teorema de Rolle, del valor medio y Caucy..4

Más detalles

IES PADRE SUÁREZ MATEMÁTICAS II DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

IES PADRE SUÁREZ MATEMÁTICAS II DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Ejercicios de continuidad y derivabilidad. Selectividad de 008, 009, 00 y 0 Anális 008 Ejercicio.- Sean f : R R y g : R R las funciones definidas por f() = + a + b y g() = c e -(+). Se sabe que las gráficas

Más detalles

SOLUCIÓN. BLOQUE DE FUNCIONES.

SOLUCIÓN. BLOQUE DE FUNCIONES. SOLUCIÓN. BLOQUE DE FUNCIONES. Análisis de funciones 1. a) y c) son funciones, porque para cada valor de hay un único valor de y. b) no es una función, porque para cada valor de hay dos valores de y. 2.

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2015 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2015 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 05 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,

Más detalles

Tema 7.0. Repaso de números reales y de funciones

Tema 7.0. Repaso de números reales y de funciones Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Análisis: Repaso de números reales y de funciones 47 Tema 70 Repaso de números reales y de funciones El conjunto de los números reales El conjunto de los números

Más detalles

EJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES

EJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES EJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES. Estudiar el crecimiento, el decrecimiento y los etremos relativos de las siguientes funciones: a) f( ) 7 + + b) ln f( ) c) 5 si < f(

Más detalles

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES a. Dominio de definición: D = Dom f() = { R eiste f()} b. Puntos de corte con los ejes: Con el eje OX (abscisas): f() = 0 : (,0). Ninguno, uno o más puntos. Con el eje

Más detalles

TEMA 12 INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES 12.1 CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO

TEMA 12 INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES 12.1 CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO TEMA DERIVADAS Y APLICACIONES MATEMÁTICAS I º Bac TEMA INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES. CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO TASA DE VARIACIÓN MEDIA Deinición Se llama tasa de variación

Más detalles

Ejercicios de representación de funciones: Primer ejemplo:

Ejercicios de representación de funciones: Primer ejemplo: www.juliweb.es tlf. 69886 Ejercicios de representación de funciones: Primer ejemplo: f ( ) º) Dominio. Dom f ( ) R {} º) Simetrías. f ( ) No es par f ( ) f ( ) No es impar No hay simetría. º) Puntos de

Más detalles

Funciones 1. D = Dom ( f ) = x R / f(x) R. Recuerda como determinabas los dominios de algunas funciones: x x

Funciones 1. D = Dom ( f ) = x R / f(x) R. Recuerda como determinabas los dominios de algunas funciones: x x Funciones. DEFINICIÓN Y TERMINOLOGÍA.. Definición de función real de variable real. "Es toda correspondencia, f, entre un subconjunto D de números reales y R (o una parte de R), con la condición de que

Más detalles

Función es una relación entre dos variables a las que, en general, se les llama x e y. Viene representado por: y f (x)

Función es una relación entre dos variables a las que, en general, se les llama x e y. Viene representado por: y f (x) TEMA 9: :.- CONCEPTO DE FUNCIÓN: Función es una relación entre dos variables a las que, en general, se les llama e y. Viene representado por: y (, donde es la variable independiente e y es la variable

Más detalles

TEMA 0 FUNCIONES ***************

TEMA 0 FUNCIONES *************** TEMA 0. Definición y terminología.. Funciones conocidas. 3. Operaciones con funciones. 4. Funciones inversas. FUNCIONES ***************. DEFINICIÓN Y TERMINOLOGÍA.. Definición de función real de variable

Más detalles

Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.

Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución. TEMA 0: REPASO DE FUNCIONES FUNCIONES: TIPOS DE FUNCIONES Funciones algebraicas En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción,

Más detalles

APLICACIONES DE LA DERIVADA: MONOTONIA Y CURVATURA

APLICACIONES DE LA DERIVADA: MONOTONIA Y CURVATURA Matemáticas º Bachillerato APLICACIONES DE LA DERIVADA: MONOTONIA Y CURVATURA CRECIMIENTO DECRECIMIENTO, CONCAVIDAD CONVEXIDAD Sea y = f() una función continua cuya gráfica es la de la figura. DEFINICIÓN

Más detalles

CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD

CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD . Sea la función f ( ) = 6 CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD a. Determine sus puntos de corte con los ejes. b. Calcule sus etremos relativos y su punto de infleión. c. Represente gráficamente la función.. Sea

Más detalles

= +1. A la hora de representar funciones tenemos que tener en cuenta los siguientes puntos.

= +1. A la hora de representar funciones tenemos que tener en cuenta los siguientes puntos. Ejemplo 1 Dibujar la función: = +1 A la hora de representar funciones tenemos que tener en cuenta los siguientes puntos. Dominio Puntos de corte con los ejes Simetría Asíntotas Crecimiento decrecimiento/máximos

Más detalles

Profesor: Fernando Ureña Portero

Profesor: Fernando Ureña Portero MATEMÁTICAS º BACH CC. Y TECNOL. CURSO 13-14 1.-Dada la función a) (3p.) Dominio de f() b) (3 p.) Calcular. Es posible calcular? Por qué? c) (4p.) Calcular.- Estudiar la continuidad de la función: { 3.-a)

Más detalles

en su construcción sea mínima. Sol: r = 3, h =

en su construcción sea mínima. Sol: r = 3, h = RELACIÓN DE PROBLEMAS ) Encontrar los etremos absolutos de y 6+ definida en [0, ]. Sol. Má en 0 y ; mín -/ en,5. ) Hallar dos números positivos cuya suma sea 0, sabiendo que su producto es máimo. Sol.:

Más detalles

OPCIÓN A. MATEMÁTICAS 2º BACHILLERATO B Lo que te llevará al final, serán tus pasos, no el camino. Fito y los Fitipaldis

OPCIÓN A. MATEMÁTICAS 2º BACHILLERATO B Lo que te llevará al final, serán tus pasos, no el camino. Fito y los Fitipaldis MATEMÁTICAS º BACHILLERATO B 9--4 Lo que te llevará al final, serán tus pasos, no el camino Análisis Fito y los Fitipaldis OPCIÓN A.- a) Hallar las dimensiones que hacen mínimo el coste de un contenedor

Más detalles

Tema 7. Aplicaciones de las derivadas: Representación gráfica de funciones y Optimización

Tema 7. Aplicaciones de las derivadas: Representación gráfica de funciones y Optimización Tema 7 Aplicaciones de las derivadas: Representación gráfica de funciones y Optimización Aplicaciones de la derivada primera para el estudio de la variación de una función El signo de la derivada primera

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2006 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2006 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 006 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva,

Más detalles

1. Calcula la tasa de variación media de las siguientes funciones en los intervalos que se indican. 1

1. Calcula la tasa de variación media de las siguientes funciones en los intervalos que se indican. 1 6 Derivadas CRITERIOS DE EVALUACIÓN ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN A. Calcular la tasa de variación media de una función en un intervalo.. Calcula la tasa de variación media de las siguientes funciones en los

Más detalles

FUNCIONES. Función. π k π +, k } (los puntos que quitamos anulan el coseno). 2. tg x: {x / x =

FUNCIONES. Función. π k π +, k } (los puntos que quitamos anulan el coseno). 2. tg x: {x / x = Función FUNCIONES Es una relación entre dos magnitudes variables, de tal manera que a cada valor de la primera, llamada independiente, le corresponde un único valor de la segunda, llamada dependiente.

Más detalles

INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES

INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES TASA DE VARIACIÓN MEDIA Supongamos que tenemos una función. Consideramos la recta que corta a la gráfica en los puntos A y B. Esta recta se llama secante

Más detalles

x - Verticales. No tiene asíntotas verticales porque f(x) está definida en R y no cambia de criterio en ningún punto. - Oblicuas.

x - Verticales. No tiene asíntotas verticales porque f(x) está definida en R y no cambia de criterio en ningún punto. - Oblicuas. f ( ) + +. Dominio D (f ) R 4. Recorrido Im( f ) [, ). Puntos de corte - Con el eje y, donde 0 y + + y P (0,) - Con el eje, donde y 0 No hay punto de corte con el eje 4. Asíntotas - Horizontales lim +

Más detalles

PRIMITIVAS E INTEGRAL DEFINIDA Ejercicios de selectividad

PRIMITIVAS E INTEGRAL DEFINIDA Ejercicios de selectividad PRIMITIVAS E INTEGRAL DEFINIDA Ejercicios de selectividad Sea f : R R la función definida por f() = e /. (a) En qué punto de la gráfica de f la recta tangente a ésta pasa por el origen de coordenadas?

Más detalles

ESTUDIO COMPLETO Y REPRESENTACIÓN DE UNA FUNCIÓN

ESTUDIO COMPLETO Y REPRESENTACIÓN DE UNA FUNCIÓN ESTUDIO COMPLETO Y REPRESENTACIÓN DE UNA FUNCIÓN Teoría Práctica Los pasos a seguir para el estudio completo y representación de una Función son los siguientes: ) Hallar el Dominio de la función. En dicho

Más detalles

TEMA 0: REPASO DE FUNCIONES

TEMA 0: REPASO DE FUNCIONES TEMA 0: REPASO DE FUNCIONES Recordamos que una función real de variable real es una aplicación de un subconjunto de los números reales A en el conjunto de los números reales de forma que a cada elemento

Más detalles

de un número negativo. ( 1) con x I: no puede calcularse ya que es imposible realizar el proceso de acotación

de un número negativo. ( 1) con x I: no puede calcularse ya que es imposible realizar el proceso de acotación 175 CAPÍTULO 9: REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES 1. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES El curso pasado y en cursos anteriores ya has estudiado las funciones, y en este curso has estudiado su continuidad, la derivada

Más detalles

Dos curvas interesantes: Unidad 10: REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES TRACTRIZ INTRODUCCIÓN

Dos curvas interesantes: Unidad 10: REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES TRACTRIZ INTRODUCCIÓN Unidad 10: REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES INTRODUCCIÓN Concepto de función Una de las ideas más fecundas y brillantes del siglo XVII fue la de la coneión entre el concepto de función y la representación gráfica

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2002 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2002 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,

Más detalles

1. Calcular el dominio de f(x)= 2. Averiguar en qué valores del intervalo [0,2 ] está definida la función. 3. Calcular

1. Calcular el dominio de f(x)= 2. Averiguar en qué valores del intervalo [0,2 ] está definida la función. 3. Calcular . Calcular el dominio de f()= ln(0 ) ln. Averiguar en qué valores del intervalo [0,] está definida la función f()= 3 sen 3 3sen 3 0 lim 3 5 4 3. Calcular 4. Averiguar el valor de k para que la función

Más detalles

Problemas Tema 4 Solución a problemas de Repaso y Ampliación 1ª Evaluación - Hoja 01 - Problemas 8, 9

Problemas Tema 4 Solución a problemas de Repaso y Ampliación 1ª Evaluación - Hoja 01 - Problemas 8, 9 Asignatura: Matemáticas II ºBachillerato página 1/8 Problemas Tema 4 Solución a problemas de Repaso y Ampliación 1ª Evaluación - Hoja 01 - Problemas 8, 9 Hoja 1. Problema 9 Resuelto por José Antonio Álvarez

Más detalles

, siendo ln(1+x) el logaritmo neperiano de 1+x. x

, siendo ln(1+x) el logaritmo neperiano de 1+x. x Selectividad CCNN 00. [ANDA] [JUN-B] Considera la función f: definida por f() = (+)e -. (a) Halla las asíntotas de la gráfica de f. (b) Determina los etremos de f y los puntos de infleión de su gráfica.

Más detalles

ESTUDIO Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES

ESTUDIO Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES ESTUDIO Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES 1. Sea f : (0, + ) definida como f () = Ln a) Probar que la función derivada f es decreciente en todo su dominio. b) Determinar los intervalos de crecimiento

Más detalles

Tema 9. Aplicaciones de las derivadas: Representación gráfica de funciones y Optimización

Tema 9. Aplicaciones de las derivadas: Representación gráfica de funciones y Optimización 09 Tema 9 Aplicaciones de las derivadas: Representación gráfica de funciones y Optimización Aplicaciones de la derivada primera para el estudio de la variación de una función El signo de la derivada primera

Más detalles

Problemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid (Resueltos) Isaac Musat Hervás

Problemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid (Resueltos) Isaac Musat Hervás Problemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid Resueltos Isaac Musat Hervás 22 de mayo de 203 Capítulo 7 Año 2006 7.. Modelo 2006 - Opción A Problema 7.. 2 puntos Un punto de luz situado

Más detalles

Apuntes de dibujo de curvas

Apuntes de dibujo de curvas Apuntes de dibujo de curvas El objetivo de estas notas es dar unas nociones básicas sobre dibujo de curvas definidas por medio de ecuaciones cartesianas explícitas o paramétricas y polares: 1. Curvas en

Más detalles

Tema 2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

Tema 2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL UAH Funciones reales de variable real 1 Tema FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL Concepto de función Dados dos conjuntos A y B, una función de A en B es una relación (una ley) que asigna a cada elemento

Más detalles

Apuntes de Funciones

Apuntes de Funciones Apuntes de Funciones El concepto de función es un elemento fundamental dentro del análisis matemático, así como en sus aplicaciones. Esta idea se introdujo con el objetivo de matematizar la transformación

Más detalles

REPASO DE FUNCIONES FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

REPASO DE FUNCIONES FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL REPASO DE FUNCIONES FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL CORRESPONDENCIA. Se llama CORRESPONDENCIA entre dos conjuntos A y B a toda ley que asocia elementos del conjunto A con elementos del conjunto B. Se

Más detalles

2. Calcula las velocidades medias anteriores tomando valores sobre la ecuación del movimiento de dicha partícula: s = 2

2. Calcula las velocidades medias anteriores tomando valores sobre la ecuación del movimiento de dicha partícula: s = 2 Unidad. Derivadas Resuelve Página 0 Movimiento de una partícula Un investigador, para estudiar el movimiento de una partícula, la a iluminado con destellos de flas cada décima de segundo (0, s) durante

Más detalles

Ejercicios resueltos de cálculo Febrero de 2016

Ejercicios resueltos de cálculo Febrero de 2016 Ejercicios resueltos de cálculo Febrero de 016 Ejercicio 1. Calcula los siguientes ites: x 5x 1. x + x + 1 x 1 x. x x. x + x + 1 x x 4. x 0 x cos x sen x x Solución: 1. Indeterminación del tipo. Tenemos:

Más detalles

1. FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL

1. FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL 1. FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL Una función real de variable real es una aplicación de un subconjunto de los nº reales ( R ) en otro subconjunto de R f : D R R Se representa de la siguiente forma: Una

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2007 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2007 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 7 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,

Más detalles

tiene una rama infinita cuando x, f(x) o ambas al mismo tiempo crecen infinitamente. De esta manera el punto ( x, f ( x))

tiene una rama infinita cuando x, f(x) o ambas al mismo tiempo crecen infinitamente. De esta manera el punto ( x, f ( x)) Matemáticas II Curso 03-04 6. Asíntotas Se dice que una función y f ( tiene una rama infinita cuando, f( o ambas al mismo tiempo crecen infinitamente. De esta manera el punto (, f ( ) se aleja infinitamente

Más detalles

Pruebas de Acceso a enseñanzas universitarias oficiales de grado Castilla y León

Pruebas de Acceso a enseñanzas universitarias oficiales de grado Castilla y León Pruebas de Acceso a enseñanzas universitarias oficiales de grado Castilla y León MATEMÁTICAS II EJERCICIO Nº páginas: INDICACIONES:.- OPTATIVIDAD: El alumno deberá escoger una de las dos opciones, pudiendo

Más detalles

CONCEPTOS QUE DEBES DOMINAR

CONCEPTOS QUE DEBES DOMINAR INTERVALOS CONCEPTOS QUE DEBES DOMINAR Un intervalo es un conjunto infinito de números reales comprendidos entre dos extremos, que pueden estar incluidos en él o no. 1. Intervalo abierto (a, b): Comprende

Más detalles

x 2 a) Calcula el valor de k. b) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto de abscisa x = 1.

x 2 a) Calcula el valor de k. b) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto de abscisa x = 1. . [0] [SEP-B] Sea la función f definida por f() = e- para. - a) Estudia las asíntotas de la gráfica de f. b) Halla los etremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) y los intervalos

Más detalles

CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN

CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN . DOMINIO CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN inio de o campo de eistencia de es el conjunto de valores para los que está deinida la unción, es decir, el conjunto de valores que toma la variable independiente.

Más detalles

Una función es una correspondencia única entre dos conjuntos numéricos.

Una función es una correspondencia única entre dos conjuntos numéricos. FUNCIONES Qué es una función? Una función es una correspondencia entre dos conjuntos de números de modo que a cada valor del conjunto inicial, llamado dominio, se le hace corresponder un valor del conjunto

Más detalles

f: D IR IR x f(x) v. indep. v. dependiente, imagen de x mediante f, y = f(x). A x se le llama antiimagen de y por f, y se denota por x = f -1 (y).

f: D IR IR x f(x) v. indep. v. dependiente, imagen de x mediante f, y = f(x). A x se le llama antiimagen de y por f, y se denota por x = f -1 (y). TEMA 8: FUNCIONES. 8. Función real de variable real. 8. Dominio de una función. 8.3 Características de una función: signo, monotonía, acotación, simetría y periodicidad. 8.4 Operaciones con funciones:

Más detalles

Colegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. Análisis. (Límites/Asíntotas/Continuidad/Derivadas/Aplicaciones de las derivadas)

Colegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. Análisis. (Límites/Asíntotas/Continuidad/Derivadas/Aplicaciones de las derivadas) Análisis (Límites/Asíntotas/Continuidad/Derivadas/Aplicaciones de las derivadas) Problema 1: Sea la función Determina: a) El dominio de definición. b) Las asíntotas si existen. c) El o los intervalos de

Más detalles

Representaciones gráficas

Representaciones gráficas 1 MAJ99 Representaciones gráficas 1. Se considera la función 3 f ( ) 1 60 3 (a) Hállense sus máimos y mínimos. (b) Determínense sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. (c) Represéntese gráficamente.

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2011 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2011 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 0 MATEMÁTICAS II TEMA : FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,

Más detalles

2º BACHILLERATO. EJERCICIOS DE REPASO 1ª EVALUACIÓN

2º BACHILLERATO. EJERCICIOS DE REPASO 1ª EVALUACIÓN 2º BACHILLERATO. EJERCICIOS DE REPASO 1ª EVALUACIÓN 1.) Resuelve las siguientes derivadas: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) p) q) r) f(x) = arcsen 2.) Resuelve la siguiente derivada, simplificando

Más detalles

TEMA 8. FUNCIONES (I). GENERALIDADES

TEMA 8. FUNCIONES (I). GENERALIDADES TEMA 8. FUNCIONES (I). GENERALIDADES Contenido 1. Definición y formas de definir una función 2 1.1. Definición de función 2 1.2. Formas de definir la función: 4 1.2.1. A partir de una representación gráfica

Más detalles

EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD FUNCIONES

EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD FUNCIONES EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD FUNCIONES Representación gráfica Monotonía Curvatura - Asíntotas 1. Dadas las funciones siguientes, 6 + 1 a) b) = c) = 1 + d) + 4 1 = e) = f) = 1 g) + 1 + 1 = h) = i) =, 1 +

Más detalles

REPRESENTACION GRÁFICA DE FUNCIONES

REPRESENTACION GRÁFICA DE FUNCIONES REPRESENTACION GRÁFICA DE FUNCIONES 1 REPRESENTACION GRÁFICA DE FUNCIONES UNIDADES Pag. 1. DEFINICIÓN DE DOMINIO UNA FUNCIÓN.3 2. CORTES CON LOS EJES...5 3. SIMETRÍA..7 4. PERIODICIDAD 9 5. FUNCIONES INVERSAS....10

Más detalles

FUNCIONES. 7.(99).- Hallar la longitud de los lados del triángulo isósceles de área máxima cuyo perímetro sea 60 m.

FUNCIONES. 7.(99).- Hallar la longitud de los lados del triángulo isósceles de área máxima cuyo perímetro sea 60 m. Enunciados de problemas de selectividad. Matemáticas II. Funciones FUNCIONES.(97).- Hay alguna función f() que no tenga límite cuando y que, sin embargo, [f()] sí tenga límite cuando?. Si la respuesta

Más detalles

4º ESO APLICADAS FUNCIONES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. SAGRADO CORAZÓN COPIRRAI_Julio César Abad Martínez-Losa FUNCIONES

4º ESO APLICADAS FUNCIONES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. SAGRADO CORAZÓN COPIRRAI_Julio César Abad Martínez-Losa FUNCIONES FUNCIONES.- CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES Definición: Una función es una relación entre dos variables de tal forma que a cada valor de la primera (variable independiente, ) le corresponde un valor o

Más detalles

CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO. MÁXIMOS Y MÍNIMOS.

CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO. MÁXIMOS Y MÍNIMOS. pág.1 CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO. MÁXIMOS Y MÍNIMOS. En la figura se observa la recta tangente a una función creciente. La recta tangente es siempre creciente también para cualquier punto, por lo que

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2014 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2014 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 014 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva 1, Ejercicio, Opción A Reserva

Más detalles