PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO

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1 PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO 1. Los vectores mostrdos en l figur tienen l mism mgnitud (10 uniddes) El vector (+c) + (d+) - c, es de mgnitud: c ) 0 ) 0 c) 10 d) 0 e) 10 d Este es un prolem de plicción del método del polígono. Proced primermente encontrr el vector ( + c), hg lo mismo con el vector (d + ). +c c Notrá usted oservndo el gráfico, que el vector ( + c) tiene l mism mgnitud del vector ( d + ), pero dirección contrri, por tnto: ( + c) + (d + ) = 0 En consecuenci, el resultdo de l operción ( + c) + (d + ) - c = -c. Si el vector c tiene 10 uniddes de mgnitud, entonces el vector c tendrá 0 uniddes d+ d

2 . Si el ángulo con el que un ojeto reot es el mismo con el que incide, con respecto un eje perpendiculr l superficie de impcto. Cuál de los siguientes vectores representrí mejor l vector V - V 1?, donde V es l velocidd con que reot de l superficie II. II V 1 I ) ) c) d) cero e) V II V 1 I Pr poder relizr l diferenci entre los dos vectores, necesitmos conocer l mgnitud y dirección del vector velocidd con que el ojeto reot de l segund pred. Trcemos entonces l tryectori del ojeto luego de reotr de ls dos superficies, como se indic en el gráfico superior. Un vez otenido el vector V, l velocidd con que reot de l segund pred, podemos otener l diferenci entre ellos. Recordemos que l diferenci de dos vectores es equivlente l sum de uno de ellos con el negtivo del otro

3 Al relizr l diferenci entre el vector V y el vector V 1 por el método geométrico, tenemos: -V 1 V + (-V 1 )= V L respuest se proxim l lterntiv C 3. Los vectores A, B y C se muestrn en l figur, cuys mgnitudes son 10 uniddes, 15 uniddes y 0 uniddes respectivmente. El vector A B C es: ) 5 uniddes dirigido hci l derech ) 5 uniddes dirigido hci l izquierd c) 15 uniddes dirigido hci l derech d) 40 uniddes dirigido hci l derech e) 5 uniddes dirigido hci l izquierd Relicemos l operción utilizndo el método del polígono, unmos el extremo de un vector con el origen del otro (de cuerdo l operción que nos estén pidiendo relizr), el vector C lo uicmos ligermente dejo pr que no oculte los otros vectores en el digrm, el vector resultnte es el que se dirige desde el origen del primero l extremo del último B A Serí un vector de 5 uniddes dirigido l izquierd C -C 0 A B

4 4. Pr los vectores mostrdos en l figur. Cuál de ls siguientes lterntivs es l correct? ) j + g - c = + e ) + f - i = j + h - c) + + c = g d) + + d + e = f + h + i e) + f + i = + j + h Tomemos un de ls lterntivs múltiples pr ilustrr l plicción del método del polígono este prolem, escojmos l lterntiv ) j + g - c = + e, podemos comenzr psndo el vector c l ldo derecho de l iguldd j + g = + e + c Comproemos gráficmente si el vector ( j + g) es igul l vector ( + e + c) (j +g) j g ( +e+c) Como podemos oservr en los gráficos estos vectores no son igules, en consecuenci l lterntiv ) no es correct, continución mostrmos el desrrollo de l lterntiv verdder. e c c g L lterntiv correct es l C g

5 PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO ANALÍTICO: LEY DEL SENO, LEY DEL COSENO Y DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL 1. Dos vectores y tienen 10 y 15 uniddes respectivmente, si l resultnte de l sum de los vectores tiene 0 uniddes, el ángulo entre los vectores es ) 75,5º ) 70,0º c) 65,5º d) 60,0 e) 55,5º En este prolem disponemos de ls mgnitudes de los dos vectores componentes y de l resultnte de l sum de ellos. Un prolem típico de plicción de l ley del coseno. Recuerde que l ley del coseno relcion ls mgnitudes de los vectores componentes y de l resultnte, sí como del ángulo formdo entre los vectores componentes. Llmemos c l vector resultnte de l sum de los vectores y c De l ley del coseno C = + + cos represent el ángulo formdo entre los dos vectores y unidos por su origen. c cos( ) cos( ) *10 *15 cos( ) 0.5 = 75,5

6 . Pr el prlelepípedo de l figur, determine el ángulo formdo entre los vectores y. ) 45,0º ) 48,º c) 50,º d) 53,8º e) 55,º y 6 4 x z Apliquemos nuevmente l ley del coseno pr encontrr el ángulo entre los vectores. Aquí necesitmos conocer ls mgnitudes de los vectores y y de l resultnte de l sum de ellos. Con los vlores de los ldos del prlelepípedo otenemos los vectores y en función de sus componentes rectngulres, un vez determindos y psmos clculr l resultnte de l sum de los dos, digmos el vector c; (c = + ). 5 = 6j 4k = 6 +4 = = 5i + 6j = = Llmmos c l vector ( + ) = 5i + 1j 4k c = Utilizndo l ley del coseno 6 4 = 7,1 5 6 = 7, = 13,60 C = + + cos Despejndo el coseno de y reemplzndo los módulos de los vectores, y c Cos = ( )/11,6 Cos = 0,64 Por tnto es igul 50,

7 3. Pr los vectores mostrdos en l figur, el vector que represent l operción: - / es ) 6 i - 9 j + 1 k ) 3 i + 1 j +6 k c) 6i - 9j + 4 k d) 4 i + 8 j +1 k 4 x e) 8 i + 5 j + 10 k 8 z Los vectores y se encuentrn dentro del prlelepípedo, oservndo el origen y el extremo de cd uno de ellos podemos determinr sus componentes rectngulres (ls proyecciones del vector sore cd uno de los ejes coordendos), por ejemplo: l componente sore el eje y del vector vle 6 y punt en dirección negtiv (-j). Pr determinr ls componentes sore los ejes x y z, proyectemos el vector sore el plno x-z, seguidmente podemos oservr que l componente sore el eje x vle 4 y punt en l dirección +i, y l componente sore el eje z vle 8 y punt en l dirección +k. De est mner podemos escriir los vectores: 6 = 4i 6j +8k = -4i +6j +8k El vector / lo otenemos dividiendo cd uno de los módulos de sus componentes pr / = -i +3j +4k Por tnto ( /) = 4i 6j +8k +i 3j 4k y / = 6i 9j +4k l respuest es l c 4. Pr el prolem nterior, el ángulo formdo entre los vectores y es ) 18 º ) 84º c) 56º d) 48º e) 38º

8 Tomndo los vectores y, vmos plicr l ley del coseno pr determinr el ángulo entre estos vectores. Determinemos primermente l resultnte de sumr los dos vectores. = 4i 6j +8k = 116 = -4i +6j +8k = 116 c = ( + ) = 4i 6j + 8k -4i +6j +8k c = 0i + 0j + 16k c = 16 c = + + cos Despejndo el cos y reemplzndo ls mgnitudes de, y c Otenemos cos = ( )/*116 cos = 0,103 Por tnto = Los vectores mostrdos en l figur l sumrse dn un resultnte nul. L mgnitud y dirección del vector A es. ) 60,3 u. ; 5,6º ) 60,3 u ; 108,º c) 47,7 u ; 05,6º d) 50,5 u ; 18,º e) 50,5 u ; 198,º A y u x 0 u Utilizndo el método de descomposición vectoril podemos otener dos ecuciones, un pr ls componentes en x, y l otr pr ls componentes en y. Otenids ls componentes en x y en y del vector, utilizremos el teorem de Pitágors pr clculr l mgnitud del vector A, y luego vliéndonos de un función trigonométric podemos determinr l dirección del vector. Si los tres vectores l sumrse dn un resultnte nul (R = 0), esto signific que sus componentes tmién deen serlo, esto es: Rx = 0, l sum de tods ls componentes en x deen dr cero Ry = 0, l sum de tods ls componentes en y deen dr cero. Rx = Ax + 40 cos cos(-30 ) = 0 Ry = Ay + 40 sen sen(-30 ) = 0

9 Ax + 5,71+ 17,3= 0 Ax=- 43,03 Ay + 30,64-10= 0 Ay = - 0,64 represent el ángulo que form el vector A con el eje positivo de ls x. Los ángulos son positivos cundo se miden en sentido ntihorrio y negtivo cundo se miden en sentido horrio. Es conveniente uicr ests componentes sore ejes coordendos pr identificr l dirección del vector. Ax Ay A Utilizndo el teorem de Pitágors determinmos l mgnitud del vector A 5,6 A Ax Ay A 43,03 0,64 A = 47,7 L líne de cción del vector l determinmos utilizndo un función trigonométric, por ejemplo Tn = Ay/Ax= - 0,64/-43,03 = Tn -1 ( 0,479) = 5,6 Cuiddo! L clculdor le d usted l líne de cción del vector, l cul puede coincidir con l dirección del vector, ve el grfico de los vectores en l prte superior. Por tnto, l dirección será = ,6 = 05,6

10 6. Sen los vectores A = i j + 3k y B = 4i + j k. El ángulo que form el vector A+B con el eje positivo de ls x es ) 16,º ) 0,4º c) 3,5º d) 6,º e) 3,5º Oservndo los vectores nos podemos dr cuent que estmos en presenci de vectores en tres dimensiones, en consecuenci podemos utilizr los cosenos directores pr determinr l dirección del vector con cd uno de los ejes coordendos. Pr utilizr los cosenos directores deemos conocer ls componentes ortogonles del vector, y por su puesto su mgnitud. Como solmente nos piden determinr el ángulo que form el vector A+B con el eje de ls x, necesitmos conocer solmente l componente en x del vector C, esto es Cx Determinemos primero el vector A +B, llmemos C este vector C = A + B = 6i +j + k C = = 6,4 Cx = 6, Cy = 1, Cz = Recordndo l definición de los cosenos directores, el ángulo que form el vector C con el eje positivo de ls x es C x cos( ) C cos( ) = 6/6,4 Por tnto el ángulo es 0,4 7. Con referenci l prlelepípedo de l figur, el vlor de l fuerz resultnte, esto es F 1 + F es: ) 73i + 6,9j k (N) ) 13i j k (N) c) 13i j k (N) d) 73i j k (N) e) 73i j k (N) 5 y (m) F F = F 1 = 100 N F 1 10 x (m) z (m) 8

11 Teng cuiddo con l mgnitud de los vectores y ls dimensiones del prlelepípedo, ls dimensiones del prlelepípedo en este prolem sirven pr indicr l dirección de los vectores. El prolem sólo nos d l mgnitud de los vectores fuerz, pr poder sumrlos tenemos que expresrlos en form vectoril, esto es: Donde: cos, cos F 1 = F 1 cos i + F 1 cos j + F 1 cos k y cos, los cosenos directores, los podemos determinr del gráfico de rri 0 cos( ) cos( ) 0, cos( ) - 0, F 1 = 50(0) i + 50(0,53)j + 50(-0,85)k F 1 = 6,5j 4,5k,, y representn los ángulos que formn cd uno de los vectores con los ejes x, y y z F = F cos i + F cos j + F cos k cos( ) ,73 cos( ) ,36 cos( ) ,58 F = 100(0,73) i + 100(0,364) j + 100(-0,58) k F = 73 i + 36,4 j 58 k Por tnto F 1 + F = 73 i +6,9 j 100,5k; lterntiv

12 8. Dos cuerds A y B hln un cj como se indic en l figur. L cuerd A ejerce un fuerz de (18,13 i + 8,45 j ) Newtons. Determine el vlor del ángulo, de tl form que l resultnte de l sum de ls tensiones de ls dos cuerds se encuentre en l dirección del eje x +, y teng un módulo de 40 Newtons ) 10º ) 15º A c) 1º d) 4º e) 69º x De cuerdo l informción del prolem, el vector A es igul : A = 18,13 i + 8,45 j A 18,13i 8, 45 j Ax Si l resultnte de l sum de los dos vectores se encuentr en l dirección x esto signific que l componente Ay dee tener l mism mgnitud que l componente By, y direcciones contrris, es decir que: By = 8,45 N Tomndo l informción de que l resultnte punt en dirección x Ax + Bx = 40 Siendo Ax = 18,13 N Esto signific que: Bx = 1,87 N Conociendo ls componentes ortogonles del vector B, podemos expresrlo B = 1,87 i + 8,45 j Ay B Oservndo el gráfico del prolem, el ángulo Tn = By/Bx = tn -1 (8,45/1,87) = 1,1 es:

13 PROBLEMAS RESUELTOS PRODUCTO ESCALAR Y PRODUCTO VECTORIAL 1. Ddo los vectores A= i + j y B= 6i, el vlor de pr que l mgnitud de B se igul tres veces l mgnitud de AxB es: ) 3 ) 1/3 c) 6 d) 1/6 e) no puede determinrse L mgnitud del vector B es 6. determinemos l mgnitud del vector AxB i j k AxB = 0 = i (0) j (0) + k (-6 ) = -6 k L mgnitud del vector AxB es 6. Por tnto, el vlor de pr que l mgnitud de B se igul tres veces l mgnitud de AxB, es 6 = 3 (6 ) = 1/3 ) 4 ) 4 c) 6 d) 6 e) 8. Pr que los vectores: = 6 i 3 j + 6 k y = i j + 3 k sen ortogonles, dee tomr el vlor de De cuerdo l definición de producto esclr, si dos vectores son ortogonles su producto esclr es cero. Como los vectores vienen ddos en función de sus componentes ortogonles, es más práctico utilizr l operción: = x x + y y + z z x = 6; y = -3; z = 6 x = ; y = -; z = 3 = = 0 = -4

14 3. Sen lo vectores: = 5i - j + 3k y = i + 5j + 6k. L proyección del vector sore el vector es. ) 4.6 ) 3. c).8 d). e) 1. Por definición, geométricmente, el producto esclr represent el áre de un rectángulo que tiene por uno de sus ldos l mgnitud de uno de los vectores, y el otro ldo l proyección del segundo vector sore el primero. = proyección del vector sore el vector = cos = = x x + y y + z z = = x (5)() x ( y y )(5) = 8,06 =, z z (3)(6) 4. Conociendo que A = 10 u y B = 15 u, el ángulo formdo entre los vectores A y B es y ) 90,0º ) 86,4º c) 80,4 B d) 76,4º e) 70,4º A 5 x

15 En este prolem podemos hcer uso de l definición de producto esclr. Conocemos el módulo de los vectores y sus componentes ls podemos otener del gráfico. A B = AB cos = AxBx + AyBy + AzBz De cuerdo l gráfico, Ay = 0, Bz = 0 Por lo tnto AB cos = AxBx Donde Ax = 5 y Bx = 5 Cos = (5)(5) (10)(15) = cos -1 (0,16666) = 80,4 5. Los vectores A, B y C se dirigen desde el origen de un sistem de coordends rectngulres los puntos (, 3, 5), (4, -5, -6) y (-, 6, -3) respectivmente. El resultdo de l operción (A - B) C es: ) 4i + 48j - 33k ) 19 c) 10 d) 9 e) 5 Con ls coordends del punto del extremo de cd vector, los vectores A, B y C los expresmos como: A = i + 3j + 5k B = 4i 5j 6k C = -i + 6j 3k Relizmos l operción (A B): A B = - i + 8j + 11k Luego multiplicmos esclrmente este resultdo con el vector C. (A - B) C = (- i + 8j + 11k) (-i + 6j 3k) (A - B) C = (A - B) C = 19

16 6. Ddo los vectores A= i + j y B= 6i, el vlor de pr que l mgnitud de B se igul tres veces l mgnitud de AxB es: f) 3 g) 1/3 h) 6 i) 1/6 j) no puede determinrse L mgnitud del vector B es 6. determinemos l mgnitud del vector AxB i j k AxB = 0 = i(0) j(0) + k(-6 ) = -6 k L mgnitud del vector AxB es 6. Por tnto, el vlor de pr que l mgnitud de B se igul tres veces l mgnitud de AxB, es 6 = 3(6 ) = 1/3 f) 4 g) 4 h) 6 i) 6 j) 8 7. Pr que los vectores: = 6 i 3 j + 6 k y = i j + 3 k sen ortogonles, dee tomr el vlor de De cuerdo l definición de producto esclr, si dos vectores son ortogonles su producto esclr es cero. Como los vectores vienen ddos en función de sus componentes ortogonles, es más práctico utilizr l operción: = x x + y y + z z f) 4.6 x = 6; y = -3; z = 6 x = ; y = -; z = 3 = = 0 = Sen lo vectores: = 5i - j + 3k y = i + 5j + 6k. L proyección del vector sore el vector es.

17 g) 3. h).8 i). j) 1. Por definición, geométricmente, el producto esclr represent el áre de un rectángulo que tiene por uno de sus ldos l mgnitud de uno de los vectores, y el otro ldo l proyección del segundo vector sore el primero. = proyección del vector sore el vector = cos = = x x + y y + z z xx yy z z = (5)() ( )(5) (3)(6) = = 8,06 =, 9. Conociendo que A = 10 u y B = 15 u, el ángulo formdo entre los vectores A y B es y f) 90,0º g) 86,4º h) 80,4 B i) 76,4º j) 70,4º A 5 x En este prolem podemos hcer uso de l definición de producto esclr. Conocemos el módulo de los vectores y sus componentes ls podemos otener del gráfico.

18 A B = AB cos = AxBx + AyBy + AzBz De cuerdo l gráfico, Ay = 0, Bz = 0 Por lo tnto AB cos = AxBx Donde Ax = 5 y Bx = 5 Cos = (5)(5) (10)(15) = cos -1 (0,16666) = 80,4 7. El trjo se define como el producto esclr de l fuerz por el desplzmiento. Determine el trjo que reliz un fuerz F = 10i + 0j + 30k (N) l ctur sore un cuerpo hciendo que éste se muev desde un punto de coordends (,10,-5) m hst el punto (-,5,8) m. ) 50 N.m ) 330 N.m c) 450 N.m d) 500 N.m e) 550 N.m El cuerpo se mueve desde el punto A(, 10, -5), hst el punto B(-,5,8). Representemos cd uno de estos puntos por los vectores: A = i + 10j 5k B= -i + 5j + 8k Al ir del punto A l punto B hrá experimentdo un desplzmiento AB = B A, esto es: AB = (-i + 5j + 8k) (i + 10j 5k) AB = -4i 5j + 13k En consecuenci el trjo dee ser: F AB = (10 i + 0j +30k) (-4i 5j + 13k) Trjo = = 50 N

19 8. Pr el gráfico mostrdo, evlúe el producto vectoril entre el vector F de 50 uniddes de mgnitud y el vector posición r. ) -15 i ) 150 i + 15 j c) 75 k d) 15 k e) 150 i r m 6 y F m Podrímos pensr en utilizr Fxr = F r sen, pero recordemos que est expresión es pr el módulo del vector Fxr. Expresemos los vectores F y r en función de sus coordends rectngulres. Oserve que el plno en el que están grficdos los vectores, los ejes representn uniddes de longitud, el vector r se represent en su rel mgnitud, mientrs que pr el vector F ls coordends sirven pr su dirección. F = Fcos i + Fsen j ; r = r x i + r y j represent l dirección del vector F F = 50 cos45 i + 50 sen45 j = 5 i + 5 j r = -5i + 6j i j k Fxr = = [6(5 ) + 5(5 )]k Fxr = 75 k

20 9. Sen los vectores = ( 6i + 8k ) y = ( j - 5/8 k ), el resultdo de l operción: ( ), es ) 0 ) -100 c) 0 d) 60 i 80 k e) No se puede relizr l operción. ( ) es un número, que l multiplicrlo por dee dr un vector, de ls lterntivs, sólo un d l posiilidd que el resultdo se un vector. De tods mners resolvmos el prolem. ( ) = 6(0) + 0() + 8(-5/8) = -5 ( ) = (-5)( 6i + 8k) ( ) = - 60 i 80 k

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