TEMA 1: FUNCIONES DE UNA VARIABLE y MODELOS DE CRECIMIENTO

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1 MATEMÁTICAS 1 er curso de Ciencias Ambientales TEMA 1: FUNCIONES DE UNA VARIABLE y MODELOS DE CRECIMIENTO 1. El modelo exponencial: si una población, inicialmente con N 0 individuos, crece un α% cada año, entonces el número total de individuos en tiempo t viene dado por ( y(t) = N α ) t. 100 a) Comprobar que y(t) se puede escribir como y(t) = N 0 e rt, tomando r = ln(1 + α 100 ). b) Considerar tres poblaciones dadas por y 1 = 100e 2t, y 2 = 500e 0 5t, y 3 = 1000e t. Determinar qué porcentaje crece al año cada una de las poblaciones. Calcular cuándo se igualan las poblaciones y 1 e y 3, y cuándo se tiene y 3 = 10. Representar en una misma gráfica las funciones y 1, y 2 e y 3. Cuál tendrá más individuos a largo plazo? c) Si cierta población decrece un 5% cada año e inicialmente hay cien mil individuos, escribir el tamaño de la población como y(t) = ae bt, y determinar cuál es la velocidad de crecimiento en los instantes t = 3 y t = El modelo logarítmico y = a + b ln x (para x > 0) se utiliza, por ejemplo, para describir la relación entre la altura y alcanzada por una planta, y la concentración x de cierta hormona de crecimiento. a) Esbozar en una misma gráfica las funciones y 1 = ln x, y 2 = ln x. En cada caso, cuánto crece la planta cuando duplicamos la concentración de hormona? b) Para cierta especie de planta sabemos que la altura es y = 28 cuando x = 2 5, y que cada vez que duplicamos la concentración de hormona la altura aumenta en 3 unidades. Ajustar estos datos a un modelo y = a + b ln x. 3. Una regla experimental en Ecología establece que al duplicar el área X de una parcela el número Y de especies distintas de plantas aumenta en una cantidad fija k (que se denomina índice de diversidad). Comprobar que el modelo logarítmico Y = a + k log 2 X cumple la regla anterior. Si experimentalmente se observa X : Y : a) Hallar a, k y determinar el número de especies en un terreno de 48 m 2. b) Cuántos m 2 tendrá un terreno con 25 especies de plantas? 1

2 4. En Zoología se ha observado que las medidas de dos partes diferentes del cuerpo de un animal (X e Y ) en distintos momentos de su crecimiento cumplen aproximadamente una relación logarítmica lineal (o relación alométrica) ln Y = a + b ln X. a) Comprobar que dicha relación se puede escribir como Y = kx α, para ciertas constantes k, α. b) Se toman los siguientes datos experimentales del perímetro craneal P (en cms) y el peso corporal m (en Kgs) en cierto animal. P : m : Esbozar una gráfica (ln m, ln P ) y comprobar que es aproximadamente lineal. primeros datos para encontrar una relación P = km α. Utiliza los 5. a) Un comerciante sube los precios un 20% justo antes de la campaña de rebajas, para luego aplicar descuentos del 20% en caja durante la campaña. Es rentable el negocio? De cuánto deberían ser los descuentos para que el comerciante no pierda dinero? b) Por otro lado, el comerciante vecino decide bajar sus precios un 20% durante las rebajas, y al finalizar éstas, volverlos a subir un 20%. Es esta estrategia correcta? Cuál debería ser la subida después de las rebajas? 6. Un individuo contrata un fondo de inversión con la mala suerte de que éste cae un 40% durante el primer año. Posteriormente el fondo crece a un ritmo constante del 10% cada año. Cuánto tiempo debe pasar para que recupere su inversión? Y para que la duplique? 7. Un banco ofrece dos productos: un depósito bancario durante un año al 6% de interés, con intereses pagaderos mensualmente. Por otro lado, un depósito anual al 8% de interés, con pago al final del año. Qué beneficios obtendremos con uno u otro si invertimos 1000 euros? 8. a) La política seguida en una reserva natural para proteger cierta especie resulta un éxito, y cada año la población se incrementa en un 8%. Si al iniciar el programa se contaba con 20 ejemplares, cuál es la población estimada al cabo de 30 años? b) Cuál tendría que ser el porcentaje de incremento anual para conseguir la misma población final que en el apartado anterior, pero en sólo 20 años? 9. Una sustancia radiactiva se desintegra a razón de un α% cada año. a) Si la cantidad de sustancia presente en este momento es de 120 Kg., hallar la expresión de la cantidad de sustancia, C(t), al cabo de t años. b) Calcular el valor de α sabiendo que dentro de 20 años la cantidad de sustancia presente será el doble de la que habrá dentro de 40 años. 10. Un gas confinado en un depósito perforado, pierde una proporción fija de las moléculas por unidad de tiempo. A las 7 de la mañana medimos una concentración en el depósito de 15 ppm (partes por millón). Media hora más tarde la concentración ha bajado un 1% respecto a la anterior. a) Escribir la función que expresa la concentración del gas en función del tiempo. b) Que concentración había a las 3 : 30 de la mañana, antes de que hiciésemos nuestra primera medición? c) Cuanto tardará en bajar la concentración hasta 3 ppm? 2

3 11. La carencia de una buena política de protección en una reserva natural produce un decrecimiento del 10% anual en el número de individuos de una especie protegida. Si inicialmente la población contaba con 1000 ejemplares, a) cuál será la población al cabo de 10 años? b) cuántos años deben pasar para que la población disminuya por debajo de 100 individuos? c) Si al llegar a los 100 individuos se introducen políticas de protección que dan lugar a un crecimiento anual del 10% para esta especie, cuántos años llevará recuperar la población inicial de 1000 individuos? 12. Se ha observado que la cantidad de basura generada por una gran ciudad aumenta un 5% cada año. Se construye un vertedero, inicialmente vacío, en el que el primer año se depositan 1000 toneladas de basura. Como la basura no se retira, se va acumulando en años posteriores. a) Escribir la función x(n) que expresa la cantidad de basura generada por la ciudad durante el año n, y calcular x(30). b) Determinar la cantidad de basura acumulada en el vertedero al cabo de n años. c) Si la capacidad del vertedero son toneladas de basura, calcular cuántos años han de pasar para que el vertedero se llene. 13. Se está estudiando una especie de gato montés. Se sabe que en cautividad la tasa anual de crecimiento de la población es de 4,5%, en libertad protegida es de un 1,676%, y en libertad sin protección el número de animales decrece anualmente en un 0,549%. Se cuenta con una población inicial de 100 animales. a) En cada una de esas tres situaciones, escribir la función que expresa el número de animales al cabo de n años, y calcular cuántos ejemplares habrá al cabo de 20 años. b) En un segundo estudio se permite la caza de 3 individuos cada año. Calcula en cada caso la población al cabo de 20 años. c) En el modelo con caza anterior, determinar cuándo se extinguen las poblaciones en libertad, y cuándo se triplica la población en cautividad. 14. Un estudiante decide aceptar un contrato en prácticas de un año (para obtener créditos de libre configuración). Tiene dos ofertas. La empresa A le ofrece un sueldo de 200 euros el primer mes y revisión salarial cada mes con aumento de sueldo: cada mes le pagarán un 5% más que el anterior. La empresa B le ofrece un sueldo de 200 euros el primer mes y revisión salarial cada mes con aumento de sueldo: cada mes le pagarán 5,5 euros más que el anterior. a) Para cada una de las ofertas obtener, razonadamente, el sueldo que obtendría el último mes del año. b) Para cada una de las ofertas obtener, razonadamente, el sueldo total que obtendría en un año. 15. Estudiamos una explotación forestal con una cantidad inicial de 1000 árboles. La masa forestal se regenera de forma natural, aumentando en un 0 5% aproximadamente cada mes. Por otro lado, se talan k árboles cada mes. a) Si k = 10, calcular la cantidad de árboles al cabo de 24 meses. b) Si k = 10, cuántos meses tardaría en extinguirse la población? c) Calcula el valor de k para el que la población al cabo de 24 meses sea c1) 500 árboles, c2) 1000 árboles. 3

4 16. En cierto cultivo de bacterias se observa que la población crece un 5% cada hora, a partir de una población inicial de 1000 individuos. a) Escribir una fórmula para el número de bacterias tras n horas. Cuándo se alcanzará el millón de individuos? b) Se quiere probar un antibiótico, del que se sabe que cada dosis elimina 200 bacterias. Si al cultivo anterior le aplicamos una dosis de antibiótico cada hora, escribe una fórmula para el número de bacterias tras n horas. Cuánto tardará en desaparecer la población de bacterias? 17. El número de individuos en poblaciones con recursos limitados se suele modelizar con una función logística (o sigmoide): f(t) = k, t (0, ), donde a, k, r son ctes > ae rt a) Representa las funciones f 1 (t) = y f 1 + 2e t 2 (t) = para t > e 2t b) Hallar el instante en que las velocidades de crecimiento son máximas. c) En qué tamaño tienden a estabilizarse las poblaciones? Cuándo se alcanza el 90% de la población máxima? 18. La concentración de oxígeno en un estanque contaminado con un residuo orgánico viene dada por la función: y = f(t) = t2 t + 1, para 0 t <, t donde t representa el tiempo en semanas. a) Representar la función. b) Hallar los instantes en los que se alcanzan las concentraciones máxima y mínima de oxígeno. c) Hallar el instante en que la velocidad de crecimiento de la concentración de oxígeno es máxima. 19. El número N de cabezas de ganado vacuno (en miles) en una región se ve afectado por una epidemia. Como consecuencia, este número empieza a disminuir, hasta que las eficaces medidas del gobierno comienzan a solucionar la situación. La función que describe, aproximadamente, la evolución de N en función del tiempo (en años) es: N(t) = 5t2 5t + 10, para t 0. t a) Número de cabezas de ganado al comenzar el problema. b) Cuándo se hace mínimo el número de cabezas de ganado vacuno? Cuál es el número de reses en el peor momento? c) Cuál es la velocidad de crecimiento del número de reses al cabo de 3 años? d) En qué valor tiende a estabilizarse N cuando va pasando el tiempo? e) Con los resultados de los apartados anteriores hacer una representación aproximada de la evolución de N. 4

5 20. Se está estudiando la capacidad de reproducción de una especie de aves en una isla. Si d = densidad de aves (en parejas/m 2 ) y B = número medio de descendientes por pareja, se observa experimentalmente la relación B = 4 + 2d 2d 2. a) Dibujar la gráfica de B(d). b) Hallar d que maximiza el número de descendientes por pareja, y el valor de dicho máximo. c) Hallar d que maximiza el número de descendientes por m 2, y el valor de dicho máximo. 21. Las granjas de patos contaminan el agua con nitrógeno en forma de ácido úrico. Se hace un seguimiento del nivel de ácido úrico (Y ) de un río, cerca de una de estas granjas, a lo largo del tiempo (en meses). Este nivel de ácido úrico se puede describir, durante un buen período de tiempo, mediante la función: y = f(t) = 4 ln(t + 1) 5 ln(t + 2) + 10 para t 0. a) Cuál es el nivel de ácido úrico al comenzar el seguimiento? b) El nivel de ácido úrico, crece o decrece en los primeros meses? Cuándo alcanza su nivel máximo o mínimo? Cuál es este nivel máximo o mínimo? c) Hacer una representación aproximada y razonada de la evolución del nivel de ácido úrico durante el período [0, 24] (los dos primeros años). 22. Dos especies de paramecios (paramecium aurelia y paramecium caudata) compiten en un nicho ecológico por los mismos recursos. El número de individuos por mililitro (N) de paramecium caudata en este ecosistema viene dado por la función: N = 50(6t + 1)e 2t (t = tiempo en días). a) Número de individuos de paramecium caudata al empezar el estudio. b) Calcular el número máximo de individuos e indicar cuando se alcanza. c) Qué ocurre con la población a largo plazo? 23. Considerar el modelo exponencial correspondiente a un crecimiento del 5% en cada unidad de tiempo, partiendo de un valor inicial de N 0 = 100 (en t = 0). a) Hallar el polinomio de Taylor de grado 3 para aproximar f(t) alrededor de t = 0. b) Comparar el valor exacto y el aproximado del tamaño de la población al cabo de 2 unidades de tiempo. 24. Hallar el polinomio de Taylor de grado 4 para aproximar la función y = f(t) = ln(1 + t) alrededor de t = 0. Comparar el valor exacto y el aproximado para t = Cada 4 horas tomamos 20 miligramos de un medicamento y cada 4 horas el cuerpo elimina una quinta parte de lo que tiene. a) Cuántos miligramos de medicamento tendremos inmediatamente después de tomar la tercera dosis? b) Escribir la función que expresa el número de miligramos en el organismo en función del tiempo (tomando como unidad de tiempo los intervalos de 4 horas). c) A largo plazo, cuál será la cantidad de medicamento en el organismo? 5