Educación Estocástica La enseñanza y aprendizaje de la probabilidad y la estadística

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1 I Ecuetro Colombiao de Educació Estocástica La eseñaza y apredizaje de la probabilidad y la estadística COMBINATORIA PARA LA ESCUELA Bejamí Sarmieto y Felipe Ferádez Uiversidad Pedagógica Nacioal (Colombia) bsarmieto@pedagogicaeduco, fjferadez@pedagogicaeduco Co este cursillo se pretede mostrar a los asistetes que el aálisis combiatorio o es ua temática exclusiva para los que se iicia e el estudio de las probabilidades y que o se requiere llegar a ese ivel, para empezar a coocer los pricipios combiatorios y las reglas básicas de esta rama Por eso se ha seleccioado u cojuto de problemas y situacioes que se pueda llevar a la escuela A lo largo del cursillo se propodrá situacioes clásicas relacioadas co los pricipios y reglas básicas, y tambié se presetará alguas situacioes más complejas dode se combie las diferetes reglas de la combiatoria PALABRAS CLAVE Pricipios combiatorios, técicas de coteo PRINCIPIOS COMBINATORIOS El aálisis combiatorio es el estudio de los métodos que os permite determiar el úmero de elemetos de u cojuto o la catidad de posibles resultados de u experimeto, si recurrir a la eumeració directa E el aálisis combiatorio se cueta co uos pricipios (Adició, multiplicació, correspodecia, Dirichlet, iclusió y exclusió y complemetario) y uas técicas de coteo (Permutacioes, variacioes y combiacioes) Pricipio de adició Supogamos que u procedimieto A se puede hacer de m maeras, y que u segudo procedimieto B se puede hacer de maeras Supogamos además que so mutuamete excluyetes Etoces, el úmero de maeras como se puede hacer A o B es (m+) maeras E térmios de cojutos: Si A1, A2, A3,, A so cojutos fiitos o vacíos y disyutos, etoces A1A2 A 3 A = A 1 + A 2 + A 3 ++ A Situació 1 U coleccioista de música de Fast Domio, James Browm y Etta James tiee la oportuidad de elegir u disco de regalo etre 5 discos de Domio, 8 de Browm y 6 de Etta, de cuátas maeras puede seleccioar u disco? Pricipio de multiplicació Tambié se cooce como el pricipio fudametal del coteo Si ua operació se puede ejecutar de 1 maeras, y si para cada ua de estas ejecucioes se puede llevar a cabo ua seguda operació de 2 formas, y si para cada ua de las dos primeras operacioes se puede realizar ua tercera operació de 3 formas, y así sucesivamete, etoces, la serie de operacioes se puede realizar de 1 x 2 x 3

2 I Ecuetro Colombiao de Educació Estocástica La eseñaza y apredizaje de la probabilidad y la estadística x x formas E térmios de cojutos: Si A1, A2, A3,, A so cojutos fiitos o A vacíos, etoces 1 A2 A3 A = A1 A2 A3 A Situació 2 E la figura se muestra u tablero covecioal de ajedrez co dos torres De cuátas maeras se puede colocar las dos torres e el tablero de tal forma que o se ataque etre sí? Pricipio de correspodecia Dos cojutos fiitos cuyos elemetos puede poerse e correspodecia uo-uo, so del mismo tamaño Cuado teemos que calcular el tamaño de u cojuto, podemos ecotrar otro de su mismo tamaño más fácil de medir Situació 3 E ua liga de equipos de fútbol se debe jugar partidos elimiatorios hasta que quede uo solo, que será el campeó ( = 2, atural ) Cada partido acaba co la victoria de u equipo, pues se llega si es ecesario a los pealtis Cuátos partidos se deberá jugar e toda la liga? Pricipio de Dirichlet (Palomar) Si hay (+1) perlas y cajas, etoces algua caja cotedrá más de ua perla E geeral: si se coloca objetos e m cajas, algua caja tiee más de [/m] elemetos, y existe algua caja co a lo sumo [/m] elemetos Este pricipio es más usado para justificar proposicioes que para hacer coteos Situació 4 Cuál es el úmero míimo de persoas que debemos reuir para aseguraros que hay dos de ellas que cumple años e el mismo mes? Pricipio de iclusió y exclusió Para 2 cojutos fiitos este pricipio se defie de la siguiete maera: Si A y B so cojutos fiitos, etoces AB = A + B AB Para 3 cojutos fiitos este pricipio se defie de la siguiete maera: Si A, B y C so cojutos fiitos, etoces A B C = A + B+C A B A C B C+ A B C Para cojutos fiitos este pricipio se defie de la siguiete maera: Si A1, A2,, A so cojutos fiitos, y a1= A 1 + A 2 ++ A 141

3 a2= a3= I Ecuetro Colombiao de Educació Estocástica La eseñaza y apredizaje de la probabilidad y la estadística A1A 2 + A1A 3 ++ A-1A A1A2 A 3 + A1A2 A 4 ++ A-2 A-1A A a= 1A2 A 3 A Etoces: =1 A A A A =a -a +a -+(-1) a = (-1) a Situació 5 Cuátos úmeros eteros hay etre 1 y 500 iclusive, que so divisibles por 2, por 3 o por 5? Pricipio del complemetario Si X es u cojuto fiito co elemetos, XY X Y m Y X co m elemetos, etoces Situació 6 Daiela extrae, co reemplazo, 5 cartas de ua baraja fracesa de 52 cartas Cuátas posibilidades tiee de sacar al meos ua Jota? TÉCNICAS DE CONTEO Y CONFIGURACIONES COMBINATORIAS Las técicas de coteo so las diferetes reglas que permite cotar de maera abreviada la catidad de elemetos que tiee u cojuto E estas reglas aparece co frecuecia los úmeros factoriales y los úmeros combiatorios o coeficietes biomiales Por otra parte, se llama cofiguracioes combiatorias a los diferetes objetos que se puede formar co los elemetos (iiciales) de u cojuto Estas cofiguracioes puede ser permutacioes, variacioes y combiacioes (co o si permitir repeticioes de los elemetos iiciales) Las técicas de coteo so útiles para cotar la catidad de cofiguracioes costruidas bajo ciertas codicioes Para describir las pricipales técicas de coteo es importate teer presete ua otació y vocabulario básico tal como la idea de factorial y coeficiete combiatorio biomial, que se explica a cotiuació Factorial de El factorial de se defie como el producto de los eteros positivos que so meores o iguales a, y se simboliza! = x(-1)x(-2)x(-3)x(-4)x x3x2x1 Además, se defie 0! = 1! Coeficiete biomial El coeficiete biomial C se defie como =, ( 0)!( -)! El coeficiete biomial se puede iterpretar de cuatro maera diferetes: Iterpretació cojutista: C represeta la catidad de subcojutos de tamaño que se puede formar e u cojuto de tamaño Iterpretació aritmética: C es el úmero que resulta de realizar las operacioes!!( -)! 142

4 I Ecuetro Colombiao de Educació Estocástica La eseñaza y apredizaje de la probabilidad y la estadística Iterpretació algebraica: xy C se puede iterpretar como el coeficiete de e el desarrollo de xy x y 0 Iterpretació geométrica: E ua cuadrícula de filas por columas, represeta la catidad de camios ascedetes desde (0,0) hasta (,) Permutació de elemetos diferetes So los diferetes arreglos que puede formarse co los elemetos de u cojuto, de tal modo que dos arreglos difiriere etre sí porque sus elemetos está e distito orde El úmero de permutacioes de objetos distitos es P =! Situació 7 U grupo de 4 iños y 5 iñas va a formar ua fila De cuátas maeras puede orgaizarse, si debe ir alterados (por géeros)? Permutació circular So los diferetes arreglos o grupos que puede formarse co los elemetos de u cojuto alrededor de u círculo, de tal modo que dos arreglos difiriere etre sí porque sus elemetos está e distito orde El úmero de permutacioes de objetos distitos agregados e u círculo es C=(-1)! Situació 8 Dé cuátas maeras se puede orgaizar e ua estatería circular 4 prismas, 6 cilidros, 3 pirámides, 5 esferas y 4 cubos, si todos los sólidos del mismo tipo debe quedar jutos? Permutació co repeticioes Supógase que u cojuto tiee 1 elemetos iguales, 2 elemetos iguales, 3 elemetos iguales,, elemetos iguales, y que = Etoces, las permutacioes co repeticioes so los diferetes grupos o arreglos que puede formarse co los elemetos del cojuto, de tal maera que dos arreglos difiere etre sí porque sus elemetos está e distito orde El úmero de permutacioes de objetos, de los cuales 1 so iguales, 2 so iguales,!, so iguales, es igual a P =,,, 1 2!!! 1 2 Situació 9 E la primera vuelta de u campeoato de fútbol cada equipo juega u total de 15 partidos U equipo X termió la primera vuelta co 17 putos, producto de 4 victorias, 5 empates y 6 derrotas De cuátas maeras se pudiero dar estos resultados? Desarreglos U desarreglo o desorde de objetos, es ua permutació de los objetos tal que iguo de ellos queda colocado e su posició origial El úmero total de desarreglos co objetos es D =! ( 1) 1! 2! 3! 4!! Situació 10 Se tiee 10 sobres marcados co sus respectivos destiatarios y se tiee las 10 cartas marcadas, ua para cada destiatario Se distribuye las cartas al azar De cuatas maeras se puede distribuir para que o haya ua coicidecia? 143 C

5 I Ecuetro Colombiao de Educació Estocástica La eseñaza y apredizaje de la probabilidad y la estadística Variacioes si repeticioes So los diferetes arreglos que puede formarse co los elemetos de u cojuto, tomados de e, de tal modo que dos arreglos difiere etre sí porque cotiee elemetos diferetes o sus elemetos está e distito orde A estas cofiguracioes tambié se les llama -permutació y se deota por P, P(,) o V El úmero de variacioes si repeticioes que se puede formar de u cojuto de elemetos tomado elemetos, es:! V = ( 1)( 2)( 3) ( +1) = ( )! Situació 11 Cuátas baderas de 3 colores se puede obteer, si cotamos co 12 colores diferetes? Variacioes co repeticioes So los diferetes arreglos que puede formarse co los elemetos de u cojuto, tomados de e, e los que puede aparecer elemetos repetidos, de tal modo que dos arreglos difiere etre sí porque cotiee elemetos diferetes o sus elemetos VR está e distito orde El úmero de variacioes de este tipo es VR(,) = = Situació 12 Cuátas palabras de ocho letras se puede formar utilizado sólo las 5 vocales? Combiacioes si repeticioes So los diferetes grupos que puede formarse co los elemetos de u cojuto, tomados de e, de tal maera que dos grupos difiere etre sí cuado tiee al meos u elemeto distito No se tiee e cueta el orde Es decir, ua combiació de tamaño de u cojuto de elemetos es cualquier subcojuto que tega elemetos El úmero de combiacioes de objetos distitos tomados de u cojuto de! objetos distitos es igual a C = C(,) = =!( )! Situació 13 Cuátas diagoales tiee u octágoo regular? Reparticioes Sea A u cojuto co elemetos, y sea 1, 2,, eteros positivos tales que = ; etoces el úmero de reparticioes ordeadas diferetes de A de la forma ( A1, A2,, A ), dode A1 cotiee 1 elemetos, A2 cotiee 2 elemetos, y A cotiee elemetos, está dada por el coeficiete multiomial: ! C = =,,, ! 1! 2! Situació 14 Los 8 itegrates de ua familia se reúe e u restaurate que tiee dos mesas dispoibles, ua mesa tiee 4 puestos y la otra 6 puestos De cuátas maeras se puede repartir etre las dos mesas? 144

6 I Ecuetro Colombiao de Educació Estocástica La eseñaza y apredizaje de la probabilidad y la estadística Combiacioes co repeticioes So los diferetes grupos que se puede formar co los elemetos de u cojuto, tomados de e, e los que puede aparecer elemetos repetidos, de tal maera que dos grupos difiere etre sí cuado tiee al meos u elemeto distito El úmero de combiacioes de objetos, co repeticioes, tomados de u cojuto de objetos es igual a +1 CR = = Ua combiació co repeticioes se puede describir como la selecció de xi objetos de tipo i, (i=1, 2, 3,, ), dode cada xi es u etero o egativo y x1+x2+ +x = Es decir, cada combiació co repeticioes de orde, se correspode co ua solució etera o egativa de la ecuació x1 + x2+ + x = Tambié se puede decir que, si se quiere hallar úmeros eteros o egativos cuya suma sea, hay +1solucioes = Situació 15 Cuátas fichas tiee el juego de Domió, si se sabe que e cada ficha va dos úmeros que so elegidos del cojuto {0,1,2,3,4,5,6} y que estos úmeros se puede repetir? Sumatorias Alguas fórmulas que tambié so útiles para hacer coteos so las siguietes: ( 1) Suma de los primeros eteros positivos: Suma de los primeros impares positivos: ( 1)(2 1) Suma de los primeros cuadrados: (1) Suma de los primeros cubos: Suma geométrica: 1xx x x,si x 1 1 x Situació 16 La pared de u supermercado es decorada co 20 filas de bolas de chocolate, de tal forma que e la primera fila (arriba) se coloca ua bola, e la seguda fila dos bolas, e la tercera fila tres bolas y así sucesivamete (Figura 1) Cuátas bolas de chocolate se requiere para esta decoració? Situació 17 Cuátos cuadrados hay e u tablero de ajedrez (Figura 2)? Situació 18 Cuátos cubos se requiere para costruir ua pirámide de 8 iveles, si cada ivel tiee forma de cuadrado, y los iveles está por 1, 4, 9, cuadrados, como se muestra e la Figura 3? 145

7 I Ecuetro Colombiao de Educació Estocástica La eseñaza y apredizaje de la probabilidad y la estadística Figura 1 Figura 2 Figura 3 Situació 19 A u cubo de lado 3 cm se le atraviesa 6 plaos de tal forma que queda dividido e 27 cubos de lado 1 cm, como se muestra e la Figura 4 Cuátos cubos uevos se ha formado? Situació 20 E la figura 5 se muestra u cuadrado de lado 2 cm que se ha dividido e cuatro partes y ua de las partes se ha sombreado y otra de las partes se ha dividido e cuatro partes Se sigue idefiidamete el proceso de dividir e cuatro partes y de sombrear ua de las cuatro partes Cuál es el área de la regió sombreada? Figura 4 Figura 5 146