. En tal caso f se llama suma de la serie y se denota por S. Así mismo diremos que f n converge a f.

Transcripción

1 B. Covergeci de series de fucioes: DEFINICION 9. Se f :[,b] IR u sucesió de fucioes. U serie de fucioes es u pr de sucesioes f y s cuyos térmios está relciodos por: i) s ( ) = f( ) i (sums prciles) ii) f ( ) = s ( ); f ( ) = s ( ) s ( ). NOTACION: f( ) o simplemete f. = L fució s se llm -ésim sum prcil de l serie, y l fució f se llm térmio geerl de l serie. Not: Ls series de potecis (-) so csos especiles de series de fucioes. DEFINICION 0. Se f u serie de fucioes sobre u cojuto M de IR. Diremos de f CP coverge si eiste u fució f: M IR tl que s( ) f( ). E tl cso f se llm sum de l serie y se deot por S. Así mismo diremos que f coverge f. Not: Ls series o covergetes se llm divergetes. Ejemplo. =, M=]-,[, coverge S=, ]-,[. Ejemplo. ( ), M=IR diverge, pero l mism serie, co M=[0,] coverge = 0, = 0 f ( ) =, 0 < < DEFINICION. Se f u serie de fucioes sobre u cojuto M de IR. Diremos que f CU coverge uiformemete e M, si eiste u fució f: M IR tl que s f. E tl cso, se dice que f CU f sobre M. CRITERIO PARA LA CU DE SERIES DE FUNCIONES: CRITERIO DE WEIERSTRASS Se f u serie de fucioes sobre u cojuto M de IR y se u serie covergete de úmeros reles, tles que f (),, M. Etoces f es uiforme y bsolutmete covergete. 0

2 Ejemplo 3. Determie l CU de l serie de fucioes, M=[,+ [. SOL: Clrmete:, co >. Luego eiste CU siempre que ],+ [. Ejemplo 4. Determie l CU de l serie de fucioes: se, M=[-½, ½]. SOL: f (),, M Hy CU y CA. Propieddes de ls series uiformemete covergetes: Ls demostrcioes de los siguietes teorems qued como ejercicios l lector. TEOREMA 4. Supogmos que l serie f CU S. Si cd térmio de l serie es cotiuo e [,b], etoces su sum S tmbié es cotiu y b f ( ) d= f ( ) d= S( ) d. b b Cudo eiste CU podemos itercmbir ls opercioes e. TEOREMA 5. Si f () CP S() e [,b] tl que f C [,b] y f '() CU g e [,b], etoces S'()=g(), [,b]. TEOREMA 6. Si f () CU S etoces f () CP S. EJERCICIOS 3. Demuestre que l serie defiid e [0,] por: pero o es uiformemete covergete. =, es covergete,. Demuestre que l serie defiid e IR por covergete. ( ) se + = es uiformemete 3. Estúdiese l covergeci y l CU de ls siguietes series e IR defiids por:

3 ) b) c) d) ( ) e) = ( + ) = l( + ) l f) se = ( + ) = g) e se = = h) cos cos = + = 4. Estúdiese l covergeci y l CU de f sobre M dd por: ) M=[-½,½], f ( ) = ( ) b) M=[-,], f ( )= c) M=[0,+ [, f = ( + )[( + ) + ] d) M=]0,[, f = 34 / + e) M=]0,[, cos f ( ) = log ( + ) 5. Demuestre ls siguietes relcioes: ) = l b) +... = ( l ) c) +... = ( 3) d) = (l ) Demuestre que l serie = + coverge e el itervlo [0,]. Determie su sum y estudie si l covergeci es uiforme. 7. Demuestre que: ) d = 3 = + l d b) = 3 = l l ( + ) 3 3

4 CONVERGENCIA EN MEDIA DEFINICION. Se f u sucesió de fucioes cotius. Decimos que f coverge e CM medi u fució cotiu f, y escribimos f f e [,b], si b / lím f f = lím ( f( ) f( ) ) d =0, 3 Ejemplo 5. L sucesió {,,,...} C[-,] CM f()=0 e [-,]. E efecto, / lím 0 = lím ( d) / 3 = lím = 0, Si embrgo, {,,,...} NO CP 0 + e [-,], pues e = coverge, y e = - o coverge!. Covergeci Uiforme Covergeci e Medi C. ORTOGONALIDAD DE FUNCIONES DEFINICION 3. U fució f:[,b] IR se dice cotd e [,b] si eiste M>0 tl que f() <M [,b], y se dice cudrdo itegrble si f ( ) d<+. NOTA: Co u defiició más geerl de itegrl (itegrl de Lebesgue), el espcio de ls fucioes cudrdo itegrbles sobre [,b], costituye uo de los espcios de fucioes más importtes e ls pliccioes. Se le deot por L [,b]. Se trt de u espcio euclídeo co producto iterior itegrl y es uo de los más coocidos espcios de Hilbert Ejemplo 6. Verificr que l sucesió de fucioes cudrdo itegrbles {cos}, =0,,,.. es OG e C[0, ]. Hllr el cojuto ON socido. SOL: < cos,cosm >= coscosmd, m 0 = [cos( + ) + cos( ) ] m m d, m 0 se( + m) se( m) = +, m + m m 0 = 0. Además, clrmete, <,cos>=0,. Pr obteer el cojuto ON socido, debemos clculr f ( ), =0,,,3... i) 0: f ( ) = cos d = ( + cos ) d = = cos = 0 0 b 0 3

5 ii) =0: = d = =. 0 El cojuto ON será, cos, cos,..., cos / / =. = EJERCICIOS 4. Probr que: ) { se,,cos} = es OG e [-,], y hllr el cojuto ON socido. L OG de este cojuto e C[-,], idic que este cojuto es l.i. Además, como todo cojuto de + vectores e u espcio de dimesió, es l.d.; se cocluye que C[-,] es de dimesió ifiit!! b) se L, L>0, es OG e [0,L] y e [-L,L]. Obteg el cojuto ON socido. = c),se,cos T T, es OG e [-T/,T/]. = d) ( ) 3 5 3,,, ( 3 ), es OG e [-,]. DEFINICION 4. Se ρ:[,b] IR u fució cotiu sobre [,b], ρ>0 e [,b]. U cojuto {g ()} es OG e [,b] co respecto l fució poderdor ρ() si: < g( ), g( ) >= ρ( g ) ( g ) ( d ) = 0, i j. i j i b j Este producto iterior se cooce como producto iterior poderdo. Not: Si ρ(), etoces el producto iterior poderdo coicide co el producto iterior clásico Ejemplo 7. Verifíque que { e } poderdor ρ( ) = 4. e se es ON e [0,] co respecto l fució =.3 SERIES GENERALIZADAS DE FOURIER A. Etesió del cocepto de bse espcios de dimesió ifiit: Sbemos que el cojuto φ, φ, φ3,... φ,... de elemetos de u e.e. V, form u bse si todo elemeto f V puede escribirse e l form () f = c i φ i 4

6 dode ls c i so costtes y l serie CONVERGE!!. QUE SIGNIFICA QUE () CONVERGA? Clrmete, covergeci hci u elemeto de V. Por ejemplo, si V=C[,b] y f es l fució cotiu f:[,b] IR, etoces l covergeci e () o sigific covergeci u vlor prticulr de (dode esté defiids tods ls φ i y f()). Más precismete, si s = ciφi etoces l covergeci e () sigificrá: () lím s f = 0, es decir, covergeci e medi!! Por lo tto, si V=C[,b], etoces () puede escribirse como lím s f d = ( ) ( ) 0. (3) ( ) Not: Es obvio que si eiste CU de s f, etoces () es válido. / E lugr de bses ON, usremos el térmio cojuto ortoorml completo, cudo trtmos co e.e. de dimesió ifiit. Pr clrr esto, ecesitmos el siguiete cocepto: PROPIEDAD DE CAUCHY: Se V u e.e. y {f } V tl que lím f f = 0. Etoces (4) ε > 0, N( ε): f f ε, m N. m DEFINICION 5 U sucesió f que verific l propiedd (4) se llm sucesió de Cuchy. Tod sucesió covergete es u sucesió de Cuchy. DEFINICION 6. Si tod sucesió de Cuchy de V coverge u elemeto de V, se dice que V es u espcio completo. Ejemplo 8. IR co l orm euclíde es u espcio completo. DEFINICION 7. U cojuto ON {φ j } V e.e. es completo si todo elemeto f V es el límite, e el setido de l CM, de u sucesió {f }, dode cd f es u combició liel fiit de los φ j DEFINICION 8. U espcio completo pr u orm socid u producto iterior se llm espcio de Hilbert. 5

7 Ejemplo 9. So espcios de Hilbert : IR, C =espcio de ls -upls de úmeros complejos, l =espcios de ls sucesioes de úmeros reles tles que L [,b], etc. i <, Not: Los espcios de Hilbert so herrmiets básics e l Mtemátic Aplicd, y permite resolver vridos problems de l Igeierí E todo espcio de Hilbert podemos hcer "geometrí": ortogolidd, proyeccioes, Volvmos (): f = c i φ i Si d segur l covergeci de l serie u elemeto f del espcio, escribimos f c i φ i, y se dice que l "represetció e serie" de f es forml, es decir, podrí crecer de sigificdo mtemático. DEFINICION 9. L serie f = c i φ i se llm serie geerlizd de Fourier, y los úmeros (reles o complejos) c i se llm coeficietes geerlizdos de Fourier de f co respecto l cojuto ON completo {φ i }. OBSERVACIONES IMPORTANTES:. Tods ls combicioes lieles de u úmero fiito de seos y coseos costituye u subespcio W de V de dimesió fiit.. Tods ls combicioes lieles fiits de seos y coseos form u subespcio W de V de dimesió ifiit. TEOREMA 9. Se {φ i } u cojuto ON y supogmos que f está ddo por f = c i φ i (CM), etoces c i = <f, φ i >. Pr demostrr este teorem ecesitmos el cocepto de "mejor proimció", que veremos eseguid. 6

8 Este teorem firm que siempre que f pued epresrse como u serie, que coverge e medi, dode los coeficietes de l serie está uívocmete determidos y debe ser los coeficietes geerlizdos de Fourier. Ejemplo 0. Hllr los coeficietes geerlizdos de Fourier de f C[-,], defiid por f()=, co respecto l cojuto ON: se, se, se 3,... se SOL: c =< f, φ >= d, =,,3,..., impr = se =, pr luego podemos escribir c = ( ) se se3 se Not: Más delte veremos que est serie CM, luego, podemos escribir = se ( ) = Ejemplo. Si pr l mism fució del Ej. 0, cosidermos el cojuto ON :, cos, cos,..., etoces, los coeficietes geerlizdos de Fourier so: d = 0, cos d = 0, =,,3, Es clro que est SGF o represet l fució co respecto este cojuto ON, es decir, o se tiee l iguldd =0. MORALEJA: A veces l SGF o represet f V. B. Mejor proimció e medi: 7

9 Se Γ u plo de IR 3, y v Γ. Se u=proy v Γ. Es clro que v-u es OG co u, es decir, <v-u,u>=0 y se cumple l relció pitgóric: u + v-u = v. Observe l Fig.8 Además: i) Si w es culquier otro vector de Γ, etoces v-u < v-w ii) Si i,j so OG y uitrios, es decir, ON e Γ, etoces u=<v,i>i+<v,j>j Geerlicemos ests ides... Figur 8 TEOREMA 0. Se φ, φ,...,φ u cojuto ON fiito e V, y W el subespcio geerdo por ls φ i. Etoces, pr culquier f V eiste g W tl que i) <f-g,g> =0 ii) g + f g = f iii) Si h es culquier otro elemeto de W, etoces f g < f h iv) g está dd por g= c φ, co c =< f,φ > ". = DEM.: Se h= φ u elemeto de W. Etoces, = f h =< f h, f h>=< f, f > < f, h>+< h, h> =< f,f > = < f, φ Pero los φ so ON y c =<f, φ >, luego f h =< f,f > = c + = > + < = φ, = ( 5 ) =< f,f > + ( c) c = = Notdo que est últim epresió lcz u míimo cudo = c, es decir, cudo g=h. Así hemos probdo iii) y iv). Como g = Pr i): Como = c φ >., podemos hcer = c e (5) y result ii). < f g,g >=< f,g > < g,g >=< f, c φ > c 8

10 ž = c c = 0 DEFINICION 0. L fució g determid por el teorem terior se llm mejor proimció e medi (cudrátic) de f e el espcio W. E térmios de l orm de V, g es el elemeto de W "más próimo" f. Ejemplo. Se f()=+ C[-,] y se W el subespcio geerdo por el cojuto ON φ = cos, φ = se, φ3 = cos 3. Hllr l mejor proimció e medi de f e W. SOL.: Debemos hllr g tl que g= c cos + c se+ c3 cos 3. 4 Pero c = ( + )cos d= 4 ; c = ; c3 =. Compruébelo!! 9 4 g ( ) = 4cos se cos3. 9 Ahor estmos e codicioes de probr el teorem 9. DEM.: (Teorem 9). Como f = c i φ i, se tiee que lím f cφ = 0. Pero c φ es u elemeto de W, luego f < f,φ > φ f c φ = =. Así lím f < f,φ > φ = 0. De quí se sigue que f = < f,φ > φ. Luego, restdo de () ( c < f, φ > ) φ = 0. De l CM de est últim serie, result el teorem.ž Notció: W es el espcio geerdo por φ, φ,...,φ. Del Teorem 0, se tiee el siguiete: 9