E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación Curso Grados E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación

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Rosario Pinto Saavedra
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1 E.T.S.I. Idustrils y Tlcomuicció Curso 00-0 Grdos E.T.S.I. Idustrils y Tlcomuicció Asigtur: Cálculo I Tm : Sucsios y Sris Numérics. Sris d Potcis. Ejrcicios propustos Obtr los cutro primros térmios, sí como los térmios y, d cd u d ls sucsios siguits, dfiids por su térmio grl: ) ) b) f) c) cos g) d) h) ( ) Solució: ptdo - + ) / / / /(-) /(+) b) - / -/ / (-) - /(-) (-) + /(+) c) -/ / -/ (/) - (/) d) / /5 /7 (-)/(-) (+)/(+) ) 7/ 9/7 5/ ( -6+5)/(+) ( +6+5)/(+5) f) cos cos g) cos cos 5 cos cos h) 6 0 ) L sucsió rcurrt s llm progrsió gométric d r rzó r. Hllr su térmio grl fució d y l sum d sus primros térmios. Por u jmplo. b) L sucsió rcurrt s llm progrsió ritmétic d d distci d. Hllr su térmio grl fució d y l sum d sus primros térmios. Por u jmplo. Pág.

2 E.T.S.I. Idustrils y Tlcomuicció Curso 00-0 Grdos E.T.S.I. Idustrils y Tlcomuicció Asigtur: Cálculo I Tm : Sucsios y Sris Numérics. Sris d Potcis. Solució: ) r ; b) S d ; r r r r d S ; Dds ls sucsios dfiids por los siguits térmios grls: ) b) c) 5 5 S pid: ) Dmostrr qu so moótos y cotds. b) Clculr su límit. c) ) Cuátos térmios s db cosidrr cd cso pr qu los putos,, sté l bd limitd por ls rcts y L 0., y L 0.. Solució: ) strictmt crcit y cotd; límit = ; dl térmio 0 dlt b) strictmt dcrcit y cotd; límit = ; dl térmio 8 dlt c) strictmt crcit y cotd; límit = ; dl térmio dlt Dtrmir, cso d istci, l límit d ls siguits sucsios si impr si pr b s Solució: o ti límit (los térmios prs form u subsucsió qu tid 0 y los imprs u subsucsió qu tid ). L sucsió k si k ( impr) b s k 0 si k ( pr) o ti límit y qu l subsucsió d los térmios prs s 0 y u subsucsió d los imprs (pr =+m co m u úmro turl) tid uo. Pág.

3 E.T.S.I. Idustrils y Tlcomuicció Curso 00-0 Grdos E.T.S.I. Idustrils y Tlcomuicció Asigtur: Cálculo I Tm : Sucsios y Sris Numérics. Sris d Potcis. 5 Ecotrr pr cd u d ls siguits sucsios otr qu s quivlt, idicdo cuál: 5 log log log 5 7 log log( ) Solució: 5 5 log log log log log log log( ) 6 Clculr, plicdo l Torm dl Ecj, l vlor d los siguits límits: lim ) b) lim Solució: ) límit = ½; b) límit = Pág.

4 E.T.S.I. Idustrils y Tlcomuicció Curso 00-0 Grdos E.T.S.I. Idustrils y Tlcomuicció Asigtur: Cálculo I Tm : Sucsios y Sris Numérics. Sris d Potcis. 7 ) Eprsr utilizdo sumtorio b) Comprobr: k k 5 6 utilizdo qu l sum d los k 6 cudrdos d los primros úmros turls s c) Dsrrollr k j kj d) Dtrmir si s cirt o fls l siguit iguldd 5 k 8 k k k 5 j j j j k j 6. Solució: ) k k k c) d) Sí, s cirt, bst hcr l cmbio j=k+ 8 Rzor si s vrddro o flso. Dd l sri uméric, s vrific: Es codició suficit pr qu l sri s covrgt qu lim 0. Es codició suficit pr qu l sri s covrgt qu lim S 0 S s l sucsió d sums prcils, s dcir, dod qu S... s l sum d los primros térmios d l sri. Es codició csri y suficit pr qu l sri s covrgt qu lim S s covrgt u úmro fiito. Solució: ) Flso; b) Vrddro; c) Vrddro Pág.

5 E.T.S.I. Idustrils y Tlcomuicció Curso 00-0 Grdos E.T.S.I. Idustrils y Tlcomuicció Asigtur: Cálculo I Tm : Sucsios y Sris Numérics. Sris d Potcis. 9 Hllr l térmio grl y l cráctr d u sri cuy sum prcil ésim s: ) S b) S c) S Solució: ). Obsrvr qu S S b) c) 0 Comprobr l codició csri d covrgci ls siguits sris: b )! b) b, b c) ) f) ( ) g) p, p d) h) i) Solució: ), d), ) y f) vrific l codició csri d covrgci; b) vrific l codició csri d covrgci b ; c) vrific l codició csri d covrgci p 0 ; g), h), i) o vrific l codició csri d covrgci Obtr l cráctr d ls siguits sris: ) ) b)!! f)! c) g) d) log 0 h) 8 Solució: ) Covrgt b) Covrgt c) Divrgt d) Covrgt ) Covrgt f) Covrgt g) Divrgt h) Divrgt Pág.5

6 E.T.S.I. Idustrils y Tlcomuicció Curso 00-0 Grdos E.T.S.I. Idustrils y Tlcomuicció Asigtur: Cálculo I Tm : Sucsios y Sris Numérics. Sris d Potcis. Aplicr lguo d los critrios: dl cocit o d l ríz pr studir l cráctr d ls sris siguits: )! b)! 5 c) log Solució: ) divrgt; b) covrgt; c) covrgt Estudir l turlz d l sri plicdo lguo d los critrios d comprció: )! b) c) tg log d) ) f) h) s i) g) 5 log / Solució: ) covrgt (comprr co gométric d rzó ½); b), c), d) y ) divrgts (comprr co l sri rmóic); f) divrgt (comprr co l rmóic grlizd p=/); g) y h) covrgts (comprr co l rmóic grlizd p=/ y, rspctivmt); i) divrgt Estudir l cráctr d ls siguits sris. Justificr dcudmt ls rspusts. ) b) c) log d) g) j) ) f) 5 log h) 5 s 8 k) i) l) log log 9 log 7 Pág.6

7 E.T.S.I. Idustrils y Tlcomuicció Curso 00-0 Grdos E.T.S.I. Idustrils y Tlcomuicció Asigtur: Cálculo I Tm : Sucsios y Sris Numérics. Sris d Potcis. m) s cos Solució: ) Covrgt. b) No covrg. c) Covrgt. d) Covrgt. ) Covrgt. f) El térmio grl o tid cro. No s covrgt por l codició csri d covrgci. No s pud plicr Libiz. g) Es covrgt por comprció co l sri rmóic grlizd pr p=. h) Covrgt. i) Divrgt. j) Covrgt. k) Covrgt. Absolutmt covrgt. l) Covrgt. No bsolutmt covrgt. m) Es bsolutmt covrgt, lugo s covrgt. 5 S l sri ( ). S pid: ) Probr qu s covrgt. b) Clculr S y dtrmir l rror qu s comt l proimr l sum d l sri utilizdo st sum prcil. Es S myor o mor qu l sum ct?. c) Clculr l vlor d csrio pr proimr l sum d l sri por S co rror mor qu Solució: S 9 b) 6 ) sri ltrd covrgt porqu vrific l torm d Libiz Error ; S s myor qu l sum ct 5 60 ; Hllr l rdio d covrgci d ls siguits sris d potcis: ( ) ( ) ) b) ( ) 0!( ) c) 0 ( ). d) ( )! 0 0 ( ) Solució: ) R = ; b) R = 0; c) R = ; d) R = / 7 ) Dsrrollr l fució f ( ) sri d potcis d, obtido Pág.7

8 E.T.S.I. Idustrils y Tlcomuicció Curso 00-0 Grdos E.T.S.I. Idustrils y Tlcomuicció Asigtur: Cálculo I Tm : Sucsios y Sris Numérics. Sris d Potcis. l térmio grl d l sri mdit l drivd ésim d f ( ), plicdo l fórmul d McLuri. b) Obtr l cmpo d covrgci d l sri d potcis dl prtdo trior. c) Hllr l úmro d térmios d l sri qu dbmos sumr pr obtr l vlor proimdo d co dos cifrs dcimls cts, s dcir qu l rror comtido l proimció s ifrior Solució: ) f( ) ; b) ; c) = térmios,! 9 96 ) Dsrrollr f ( ) log sri d potcis d, obtido l térmio grl, hllr l rdio d covrgci d l sri y studir l itrvlo d covrgci d dicho dsrrollo sri. b) Aplicció dl prtdo ): clculr, si utilizr l rgl d L Hôpitl, l vlor d log( ) lim 0 c) Dtrmir l sum d l sri... ( )... ( ) d) Obtr l vlor proimdo d log. tomdo como sum los trs primros térmios dl dsrrollo obtido l prtdo ). Cuál s l rror comtido? ) Cuátos térmios dbrímos tomr l cálculo d log. pr qu l rror comtido fus mor qu 6 0. f) Clculr log. tomdo como sum proimd los trs primros térmios dl dsrrollo d log. Itrprt l solució. ; b) Solució: ) f( ), lim log( ) ; 0 Pág.8

9 E.T.S.I. Idustrils y Tlcomuicció Curso 00-0 Grdos E.T.S.I. Idustrils y Tlcomuicció Asigtur: Cálculo I Tm : Sucsios y Sris Numérics. Sris d Potcis. c) log ; d) log, 0,6 ; ) = 9 térmios; f) log, f, 0,987 o s u bu proimció porqu l sri o covrg f() pr =, 9 Dsrrollr sri d potcis d ls siguits fucios, idicdo l cmpo d vlidz dl dsrrollo cd cso: f rctg b) ) ( ) log f( ) ( ).( ) c) f( ) Solució: ) f( ), ; 0 b) f( ), ; c) ( ) f, 0 0 Pág.9

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