Análisis del juego televisivo QUIÉN QUIERE SER MILLONARIO? R

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Análisis del juego televisivo QUIÉN QUIERE SER MILLONARIO? R"

Transcripción

1 Análisis del juego televisivo QUIÉN QUIERE SER MILLONARIO? R Federico Perea Justo Puerto * MaMaEuSch ** Management Mathematics for European Schools CP DE - COMENIUS - C21 * Universidad de Sevilla ** Este proyecto ha sido desarrollado con ayuda parcial de la Unión Europea dentro del marco del programa Sócrates. El contenido no refleja necesariamente la posición de la Unión Europea ni implica ninguna responsabilidad por parte de la Unión Europea. 0

2 1. Introducción Este trabajo versa sobre el popular juego televisivo Quién quiere ser millonario? R. Formularemos un modelo matemático del juego y encontraremos la estrategia óptima de un participante del juego. Cuando se escribió este trabajo había 45 versiones del programa en 71 países. En más de 100 países, diferentes cadenas de televisión habían comprado la licencia y emitirían el programa antes o después. Quién quiere ser millonario? R debutó en el Reino Unido en Septiembre de 1998 y tuvo un gran éxito. Después se extendió por todo el mundo, llegando a España en el verano del año 2000, donde fue emitido por la cadena de televisión Telecinco. Aunque las reglas del juego son similares en todos los países, en este trabajo nos referiremos a las reglas seguidas en la versión española del juego. Se elige a un candidato de entre 10, y éste tiene la oportunidad de ganar un premio de 50 millones de pesetas (en adelante las cifras serán dadas en Euros). Para alcanzar dicha cantidad debe responder correctamente a 15 preguntas de respuesta múltiple seguidas. El concursante puede abandonar el juego y mantener sus ganancias. En cada etapa le proponen una pregunta y cuatro posibles respuestas antes de decidir si juega o no. Una vez que ha decidido seguir jugando, tiene que responder correctamente a dicha pregunta para poder seguir en el juego. Cada pregunta tiene un cierto valor monetario, dados en la siguiente tabla en Euros. El dinero que el concursante puede ganar si contesta correctamente a cada una de las preguntas viene dado en la tabla 1. Hay tres estados ( puntos de seguridad ) donde el dinero se acumula y no se puede perder aunque el concursante responda incorrectamente a una de las preguntas. Esas tres cantidades de seguridad son: 1800, y Euros. No hay tiempo límite para responder a una pregunta. Si el tiempo se agota con un jugador concreto, el siguiente programa continuará con el mismo jugador. En cualquier momento el concursante puede usar uno o más comodines. Estos son: Opción del 50 %: la computadora elimina dos de las cuatro posibles respuestas, dejando sólo la correcta y una de las incorrectas. Teléfono: el concursante puede consultar la pregunta por teléfono a un amigo o familiar, con un tiempo máximo de llamada de 30 segundos. Público: cada miembro del público tiene la opción de elegir la respuesta que considere correcta presionando un botón en su asiento. Los resultados de las elecciones del público se muestran al concursante en porcentajes. 1

3 pregunta n o valor monetario Cuadro 1: Recompensas inmediatas En adelante nos referiremos a esos comodines como: comodín 1 para el 50 %, comodín 2 para el Teléfono, comodín 3 para el Público. Cada concursante puede usar cada comodín sólo una vez durante el juego completo. El principal objetivo de este trabajo es mostrar como un problema real de toma de decisión difícil puede ser modelado y resuelto fácilmente mediante herramientas básicas de la Investigación Operativa, en nuestro caso mediante Programación Dinámica Discreta. Este objetivo se alcanzará después de tres fases: 1. modelado, 2. formulación matemática, 3. simulación del proceso real. 2

4 En la fase de modelado identificamos los elementos que describen el problema y los asociamos con elementos matemáticos. En la fase de formulación proponemos una descripción del problema como un proceso de decisión Markoviano, resuelto mediante programación matemática discreta. Se presentarán dos modelos que guiarán a los jugadores a encontrar estrategias óptimas que maximicen su ganancia esperada, modelo llamado estrategia de máxima esperanza, y estrategias óptimas que maximicen la probabilidad de alcanzar una cantidad de dinero fijada, estrategia llamada estrategia de máxima probabilidad. Al hacer esto estableceremos dos modelos matemáticos del juego, y encontraremos estrategias óptimas para un concursante cualquiera. Esto se consigue mediante la descripción matemática del juego como un proceso de decisión Markoviano discreto y su resolución mediante programación matemática discreta. El resto del trabajo se organiza de la siguiente forma: la segunda sección está dedicada a mostrar el modelo matemático general (estados, posibles acciones, recompensas, función de transición, probabilidades de contestar correctamente y sus estimaciones). En la tercera sección presentamos la descripción del primer modelo (estrategia de máxima esperanza). También en esta sección se presenta el caso en el que queremos maximizar la probabilidad de ganar una cierta cantidad de dinero (estrategia de máxima probabilidad), comenzando en un estado de partida. Después de esto, presentamos simulaciones de cómo jugar a este juego de forma dinámica. 2. El modelo general El juego real requiere que el participante tome decisiones cada vez que contesta a una pregunta correctamente. El horizonte es finito, es decir, tenemos N = 16 posibles estados, donde el 16 o estado corresponde a la situación después de contestar correctamente la pregunta número 15. Para tomar una decisión, el concursante tiene que conocer el número de la pregunta en la que está y el número de comodines que ha usado hasta ese momento. La historia del juego se resume con esa información. Definimos S como el conjunto de vectores de estado s = (k, l 1, l 2, l 3 ), donde k es el índice de la pregunta en la que nos encontramos y { 1 si el comodín i no ha sido utilizado, l i = 0 si el comodín i ha sido utilizado en una pregunta anterior. En cualquier estado s S siendo A(s) el conjunto de posibles acciones en ese estado. Si suponemos que estamos en el estado s = (k, l 1, l 2, l 3 ), A(s) dependerá del índice de la pregunta en la que estemos y de los comodines que nos queden por usar. Si k = 16 el juego se ha terminado y no hay posibles acciones. Si k 15, el concursante tiene varias posibilidades: 3

5 r 0 0 r r r r r r r r r r r r r r r r0 0 r1 0 r2 0 r3 0 r4 0 r r r r r r r r r r r Cuadro 2: Recompensas inmediatas y dinero asegurado Responder a la pregunta sin usar comodines. Responder a la pregunta utilizando uno o más comodines, si le queda alguno. En ese caso, el concursante debe especificar el comodín que va a usar. Plantarse y abandonar el juego Si el jugador decide no contestar, la recompensa inmediata que recibe es el valor monetario de la última pregunta contestada. Si decide contestar, la recompensa inmediata es una variable aleatoria y depende de la probabilidad de contestar correctamente. Si al responder lo hace incorrectamente, la recompensa inmediata es el último punto de seguridad alcanzado antes de fallar. Si el concursante contesta correctamente, no hay recompensa inmediata, pues pasará a la siguiente pregunta. Denotemos r k la recompensa inmediata que obtiene el concursante si decide dejar el juego después de responder correctamente la pregunta k-ésima, es decir, si decide pararse en el estado s = (k + 1, l 1, l 2, l 3 ), y denotemos por rk la recompensa inmediata si fallase en el estado s = (k + 1, l 1, l 2, l 3 ). Ver la tabla 2. 4

6 Después de tomar una decisión nos encontraremos en un nuevo estado del proceso. Si el concursante decide plantarse o falla la pregunta, el juego se termina. Si decide seguir jugando y responde correctamente, hay una transición a otro estado t(s, a) = (k, l 1, l 2, l 3) S, donde el índice k de la pregunta es igual a k + 1 y los indicadores de los comodines l i son: l i = { l i 1 l i si el concursante usa el comodín i en esa pregunta, en otro caso. El hecho de contestar correctamente viene definido por su probabilidad, dependiendo de la pregunta en la que estemos, siendo esas probabilidades iguales para todos los candidatos. Además supondremos que en dichas probabilidades influyen los comodines que usemos, que se supone que nos ayudan, es decir, aumentan la probabilidad de contestar correctamente. Denotemos por p a s la probabilidad de contestar correctamente en el estado s S si llevamos a cabo la acción a A(s). Nuestro análisis tiene en cuenta la posible habilidad del participante. Por ello, dividiremos a los concursantes en cuatro grupos, A, B, C, D. El hecho de que un concursante pertenezca a uno de los grupos quiere decir que sus probabilidades a priori de responder correctamente p a s se modifican por un factor, que es diferente para cada grupo. Matemáticamente quiere decir que dichas probabilidades se multiplican por un factor de corrección h G, G {A, B, C, D}, que las modifica de la siguiente forma: h G p a S, G {A, B, C, D}, donde h A = 1, h B = 0,9, h C = 0,8, h D = 0,7. Esto significa que cuanto menor es la habilidad del participante, menores son sus probabilidades de responder correctamente una pregunta. Uno de los principales problemas en la resolución del problema real es la obtención de una buena estimación de las probabilidades en el proceso de decisión. Para una estimación realista, se necesitarían datos de cada pregunta y cada posible combinación de comodines utilizados, un número de concursantes que contestaron correctamente y un número de concursantes que fallaron en cada pregunta y con cada combinación de comodines. Además, dicho número debería ser suficientemente grande para estimar las probabilidades. Como se mencionó antes, sólo hay disponibles datos reales de unos cuarenta programas y, por lo tanto, no tenemos observaciones reales para la mayoría de las combinaciones de 5

7 preguntas y comodines. Aún así, tenemos información suficiente para poder estimar las probabilidades de contestar correctamente sin utilizar comodines y utilizando un único comodín. Y con esa información, y ciertas suposiciones que ahora enunciaremos, podemos resolver el problema de la estimación de probabilidades. Sea p k la probabilidad de contestar correctamente sin usar comodines. Supongamos que existe una relación multiplicativa entre, la probabilidad de fallar una pregunta en un cierto estado utilizando el comodín i y la probabilidad de fallarla sin utilizar comodines. Esta relación es tal que la probabilidad de equivocarse disminuye por un factor c i, 0 < c i < 1, i = 1, 2, 3, o en otras palabras: p i k = 1 (1 p k)c i k, (1) donde p i k es la probabilidad de contestar correctamente la pregunta número k utilizando el comodín i ésimo (conocemos tanto p k como p i k para todo (k, i)). Además suponemos que la combinación de varios comodines modifica las probabilidades originales (1 p k ) multiplicando por las diferentes constantes c. Esta simplificación nos permite dar una expresión heurística de las probabilidades, lo que se puede justificar porque no teníamos suficientes datos para dar una estimación real para cada combinación de comodines. Con esta suposición, podemos usar la información que tenemos sobre los concursantes para estimar sus probabilidades de contestar correctamente con toda combinación posible de comodines. Ahora estimaremos las probabilidades de contestar correctamente sin usar comodines y las constantes c i k a partir de los datos disponibles. Para toda pregunta k, consideramos los concursantes que no emplearon comodines y los que emplearon solo uno. Entonces, para cada uno de esos grupos de concursantes, tendremos en cuenta el número de ellos que contestaron correctamente esta pregunta y aquellos que la fallaron. Esas probabilidades se estiman mediante las frecuencias observadas en los datos, y son las que se muestran en la tabla 3. Sea p k la probabilidad de responder correctamente la k-ésima pregunta sin utilizar comodines, p 1 k la probabilidad de responder correctamente utilizando el comodín 1 (comodín del 50 %), p 2 k la probabilidad de responder correctamente utilizando el comodín 2 (telefonear a un amigo) y p 3 k la probabilidad de responder correctamente utilizando el comodín 3 (consultar al público). En la tabla 3 tenemos las probabilidades de responder correctamente (dadas en %) 1. 1 valor original 100 % reemplazado por 99 % 6

8 pregunta n o k p k p 1 k p 2 k p 3 k Cuadro 3: Estimación de las probabilidades de responder correctamente En nuestro modelo utilizamos la ecuación (1) para estimar los valores de las constantes c. Por lo tanto, para cada pregunta k el factor c i k modifica la probabilidad de acertar cuando se usa el comodín i de la siguiente forma: La tabla 4 presenta los diferentes factores. c i k = 1 pi k. 1 p k 3. Formulación matemática En esta sección presentamos dos modelos diferentes. El primero está pensado para encontrar la estrategia que maximiza la recompensa esperada, y el segundo la que maximice la probabilidad de alcanzar una pregunta determinada. Ambos, además de dar la máxima probabilidad y la recompensa esperada, nos darán también las estrategias óptimas a seguir. 7

9 k c 1 k c 2 k c 3 k Cuadro 4: Factores de corrección 3.1. Modelo 1: recompensa esperada Sea p a s la probabilidad de responder correctamente si en el estado s S se lleva a cabo la acción a A(s). Supongamos que las probabilidades p a s sólo dependen del índice de la pregunta en la que estemos y de los comodines utilizados. Sea f(s) la recompensa máxima esperada que se puede obtener desde el estado s. Podemos evaluar f(s) de la siguiente forma: La máxima recompensa esperada a partir de s será el máximo de todas las recompensas esperadas que se pueden obtener eligiendo las diferentes acciones posibles en el juego a A(s). En ese punto, podemos o bien abandonar el juego, con lo que nos aseguraremos r k 1, o ir a la siguiente pregunta (supondremos que viene indexada por k). En el último caso, si elegimos la acción a A(s), entonces contestaremos correctamente con probabilidad p a s y fallaremos con probabilidad (1 p a s). La recompensa obtenida cuando fallamos una pregunta viene dada por las recompensas aseguradas citadas anteriormente, en nuestro caso, para la pregunta k, es decir, rk 1. Por otro lado, si contestamos correctamente a la pregunta k se produce una transición a la siguiente pregunta con los comodines no utilizados. Denotemos por t(s, a) a la función de transición que nos da el nuevo estado en el que nos encontramos si se elige la acción a en el estado s. Entonces, a partir de ese punto la 8

10 Estado f(estado) 15,1,1, ,0,0, ,0,1, ,0,1, ,1,1, ,1,0, ,1,0, ,0,0, Cuadro 5: Probabilidades en el estado de partida. recompensa esperada es f(t(s, a)). En resumen, la recompensa esperada bajo la acción a es: Por tanto, p a sf(t(s, a)) + (1 p a s)r k 1. f(s) = máx {r k 1, p a sf(t(s, a)) + (1 p a s)rk 1}. a A(s) Para obtener la máxima recompensa esperada tenemos que evaluar f(estado inicial). Si el concursante comienza desde la pregunta número 1 con los tres comodines, tenemos que calcular f(1, 1, 1, 1). Los valores de f se pueden calcular recursivamente mediante inducción inversa, ya que conocemos el valor de f en cada estado factible del estado final. En la tabla 5 se muestran dichos valores, calculados de forma sencilla. Por lo tanto, mediante la inducción inversa y a partir de los datos de la tabla 5, obtenemos f(1, 1, 1, 1) y las estrategias óptimas. En este proceso utilizamos las probabilidades estimadas y las constantes obtenidas en la sección 2. Todos los cálculos se realizaron mediante un programa informático desarrollado con MAPLE. La solución hallada por el programa es f(1, 1, 1, 1) = 2490,89, y la estrategia a seguir para obtener esa ganancia esperada es la que se muestra en la tabla Modelo 2: alcanzar una pregunta En esta sección abordamos una nueva situación. Hemos encontrado en la sección 3.1 la estrategia óptima a seguir si quisiéramos maximizar la recompensa esperada, y cuál es la 9

11 Pregunta Estrategia 1 Sin comodines 2 Sin comodines 3 Sin comodines 4 Sin comodines 5 Público 6 Sin comodines 7 Sin comodines 8 Sin comodines 9 50 % 10 Teléfono 11 Sin comodines 12 Sin comodines 13 Parar Recompensa esperada Cuadro 6: Solución del modelo 1. recomoensa máxima esperada. Ahora queremos encontrar la estrategia óptima a seguir si queremos maximizar la probabilidad de alcanzar una pregunta determinada y responderla correctamente. Además, también damos la probabilidad de conseguirlo si se sigue la estrategia óptima. Definamos el nuevo problema. Recordar que un estado s viene definido como un vector de cuatro componentes, como antes: s = (k, l 1, l 2, l 3 ). Sea k = 1, 2,, 15, un número fijo. Nuestro objetivo es responder correctamente la pregunta número k. Denotamos por f(s) la máxima probabilidad de llegar a la pregunta k y contestarla correctamente, comenzando desde el estado s. Evaluamos f(s) de la siguiente forma: La máxima probabilidad de alcanzar y contestar correctamente la pregunta número k, comenzando en el estado s que es el máximo de entre las probabilidades de contestar correctamente la pregunta actual, dependiendo de la acción a A(s) elegida, multiplicado por la máxima probabilidad de alcanzar nuestro objetivo desde el estado t(a, s), a A(s), donde t(a, s) es el estado en el que nos encontraremos si elegimos la acción a en s y respondemos correctamente. 10

12 Es decir, tenemos que: f(k, l 1, l 2, l 3 ) = máx 0 g i l i g i Z, i {p k,g1,g 2,g 3 f(k + 1, l 1 g 1, l 2 g 2, l 3 g 3 )}, donde p k,g1,g 2,g 3 es la probabilidad de contestar correctamente la k-ésima pregunta utilizando los comodines indicados, donde g i = 1, i = 1, 2, 3 si se utiliza el i-ésimo comodín y 0 en caso contrario. La función f es un funcional recursivo, por lo tanto para obtener sus valores por inducción inversa necesitamos conocer su valor en todos los estados de la etapa final. Notar que el objetivo en esta formulación es alcanzar el estado k. Por lo tanto, la probabilidad de haberlo hecho si estamos en el estado k + 1 es claramente 1. Así pues, tenemos que f(k + 1, l 1, l 2, l 3 ) = 1 l i {0, 1}, i = 1, 2, 3. Una vez que tenemos los valores de la función en la etapa final, la solución de este modelo es el cálculo de f(estado inicial). Si comenzamos desde la primera pregunta y tenemos todos los comodines, el estado de salida es (1,1,1,1). Pero si comenzamos en la tercera pregunta y solo tenemos el comodín del 50 % y el del público, el estado de salida sería (3,1,0,1). De cualquier modo, el algoritmo que proponemos resuelve el problema comenzando desde cualquier posible estado y teniendo como objetivo cualquier nivel del juego. Desarrollamos un programa informático en MAPLE en el que, utilizando las constantes c i calculadas antes, evaluamos el valor de la función f y encontramos las estrategias óptimas. En este modelo no tenemos una única solución, sino 15, ya que podemos tener 15 posibles objetivos: las quince preguntas del juego. Por motivos de brevedad, solo mostraremos la solución obtenida si partimos del estado (1,1,1,1) y queremos alcanzar y responder correctamente las preguntas 5,10,13 y 15. En la tabla 7 aparecen las estrategias óptimas y las probabilidades de alcanzar y contestar correctamente las preguntas mencionadas antes. La última fila de dicha tabla representa la probabilidad de alcanzar el objetivo propuesto. 4. Otras consideraciones del análisis del juego Hemos resuelto el problema de una forma estática, es decir, todas las probabilidades venían determinadas a priori, sin conocer realmente ni el enunciado de las preguntas, ni sus 11

13 Pregunta Objetivo: 5 Objetivo: 10 Objetivo: 13 Objetivo:15 1 Sin comodines Sin comodines Sin comodines Sin comodines 2 Sin comodines Sin comodines Sin comodines Sin comodines 3 50 % Sin comodines Sin comodines Sin comodines 4 Público Sin comodines Sin comodines Sin comodines 5 Teléfono Sin comodines Sin comodines Sin comodines 6 Público Sin comodines Sin comodines 7 Sin comodines Sin comodines Sin comodines 8 Sin comodines Sin comodines Sin comodines 9 50 % Público Sin comodines 10 Teléfono Sin comodines Sin comodines 11 Teléfono Teléfono % Sin comodines 13 Sin comodines Sin comodines 14 Público % Probabilidad Cuadro 7: Estrategias óptimas en el modelo 2. 12

14 posibles respuestas. En el concurso real, el juego se desarrolla de forma que las probabilidades de contestar una pregunta correctamente se modifican cada vez que el concursante lee su enunciado y ve las posibles respuestas. Por ejemplo, estando en la cuarta pregunta se puede estimar la probabilidad de acertarla sabiendo realmente cuál es esa pregunta. Lo que haremos será cambiar la probabilidad de acertar la pregunta y mantener las estimaciones realizadas para los siguientes estados. Este análisis quiere decir que el jugador modifica, en cada estado k, la probabilidad p k de contestar correctamente de acuerdo con su conocimiento de la pregunta. Esto sería una forma realista de jugar al juego dinámicamente. Esta característica ha sido incorporada a nuestro programa informático, por lo que en cada estado el jugador puede cambiar la probabilidad de responder correctamente la pregunta a la que se enfrenta en ese momento. Notar que este argumento no modifica nuestro análisis recursivo del problema. Sólo significa que permitimos cambiar la probabilidad p k en cada etapa del análisis Simulación Como ilustración de nuestro análisis del juego realizaremos una simulación del proceso para comprobar el comportamiento de las estrategias ganadoras propuestas en los modelos. Como mencionamos en la sección 2, clasificamos a los participantes en cuatro grupos de la siguiente forma: Los jugadores del grupo A tienen las probabilidades originales descritas con anterioridad. Las probabilidades de contestar correctamente para los jugadores del grupo B son las del grupo A multiplicadas por 0.9. Las probabilidades de contestar correctamente para los jugadores del grupo C son las del grupo A multiplicadas por 0.8. Los jugadores del grupo D tienen unas probabilidades de acertar que son las del grupo A multiplicadas por 0.7. Ahora presentamos dos tablas (tabla 8) con las estrategias que deben seguir los participantes, dependiendo del grupo al que pertenezcan, para maximizar su ganancia esperada (Modelo 1) y la probabilidad de ganar o al menos, la máxima ganancia esperada (Modelo 2). Por ejemplo, la última fila en la columna del participante A en el Modelo 1 muestra el dinero esperado que conseguiría siguiendo la estrategia descrita en dicha columna, y la última fila en el Modelo 2 es la probabilidad de ganar, al menos, dicha cantidad de dinero. Es decir, como para ganar al menos euros tenemos que contestar correctamente la pregunta número 7, nuestro 13

15 objetivo será alcanzar y contestar correctamente la pregunta número 7. Los otros casos son análogos. En ambas tablas, la última fila muestra la máxima recompensa esperada, en la columna del Modelo 1, o la probabilidad de tener éxito con la estrategia descrita en el Modelo 2. Para terminar esta sección vamos a mostrar una simulación del Modelo 1 del juego jugado dinámicamente. Es decir, supondremos que en cada pregunta la probabilidad de contestarla correctamente se modifica una vez que hemos leído su enunciado y las cuatro posibles respuestas. Supongamos que el concursante se enfrenta ahora a la pregunta k th. Tiene que decidir si la contesta, y en ese caso cómo, o no la contesta, dependiendo del grado de dificultad de la pregunta real. El modelo supone que las probabilidades de contestar correctamente las siguientes preguntas, es decir, de k + 1 en adelante, son las que estimamos originalmente. En la tabla 9 las estrategias de utilizar el comodín del 50 %, el Teléfono o el Público se denotan por 50, T y P respectivamente. Para simplificar la simulación supondremos que las probabilidades de contestar correctamente pueden ser: 1 si el concursante conoce la respuesta correcta. 0.5 si el concursante duda entre dos posibles respuestas si lo único que sabe es que una de las respuestas es incorrecta si no tiene ni idea de cuál de las respuestas puede ser la correcta. El lector puede notar que se puede incoporar al modelo cualquier tipo de información probabilística a priori, basada en el conocimiento del jugador. Esta incorporación se realiza mediante el cálculo posterior de las probabilidades usando la regla de Bayes. Está claro que las estrategias cambian dependiendo de las probabilidades de contestar correctamente la pregunta en la que estemos en este momento, que han sido elegidas aleatoriamente utilizando diferentes funciones de probabilidad para cada pregunta. El primer número en cada celda es la probabilidad real de contestar correctamente la correspondiente pregunta. Como se puede observar, dependiendo de la probabilidad simulada, las estrategias pueden variar, desde parar en la quinta pregunta hasta seguir jugando hasta la duodécima. 14

16 Grupo A Grupo B Pregunta Modelo 1 Modelo 2 Modelo 1 Modelo 2 1 Sin comodines Sin comodines Sin comodines Sin comodines 2 Sin comodines Sin comodines Sin comodines Sin comodines 3 Sin comodines Sin comodines Sin comodines 50 % 4 Sin comodines Sin comodines Público Público 5 Sin comodines Teléfono Teléfono Teléfono 6 Público 50 % Sin comodines Parar 7 Sin comodines Público Sin comodines 8 Sin comodines Parar Sin comodines 9 50 % Sin comodines 10 Teléfono 50 % 11 Sin comodines Sin comodines 12 Sin comodines Sin comodines 13 Parar Parar R.E / Prob Grupo C Grupo D Pregunta Modelo 1 Modelo 2 Modelo 1 Modelo 2 1 Sin comodines Sin comodines Sin comodines Sin comodines 2 Sin comodines Público Sin comodines Sin comodines 3 50 % 50 % 50 % 50 % 4 Público Teléfono Público Público 5 Teléfono Parar Teléfono Teléfono 6 Sin comodines Sin comodines Parar 7 Sin comodines Sin comodines 8 Sin comodines Parar 9 Parar R.E / Prob Cuadro 8: Soluciones óptimas dependiendo de la habilidad del concursante 15

17 Pregunta P1 P2 P3 P4 P5 P6 1 1/SC 1/SC 0.5/50-P 0.5/50-P 0.5/50-P 1/SC 2 0.5/50 0.5/T 1/SC 0.33/ T 1/SC 1/SC 3 1/SC 0.33/P 0.5/T 1/SC 1/SC 0.33/50 4 1/SC 0.5/50 0.5/SC 1/SC 0.5/T 1/SC 5 0.5/T 0.25/Parar 0.5/SC 0.33/SC 0.5/SC 1/SC 6 0.5/P 0.33/SC 0.5/SC 1/SC 0.5/P 7 0.5/SC 1/SC 0.5/SC 0.33/SC 1/SC 8 1/SC 0.5/SC 0.5/SC 1/SC 0.5/SC /Parar 0.33/Parar 0.33/Parar 0.25/Parar 1/SC /T /SC /Parar Cuadro 9: Simulación Referencias [1] Chlond M.J. (2001), The Travelling Space Telescope Problem, INFORMS Transactions on Education 2:1 (58-60). [2] Cochran J.J. (2001), Who Wants To Be A Millionaire R : The Classroom Edition, INFORMS Transactions on Education 1:3 ( ). [3] Rump C.M. (2001), Who Wants to See a $Million Error?. A Neglected Educational Resource, INFORMS Transactions on Education 1:3 ( ). [4] Heyman D. and Sobel M. (1984), Stochastic Models in Operations Research. Vol 2, McGraw-Hill, New York. [5] Sniedovich M. (2003),. A Neglected Educational Resource, INFORMS Transactions on Education 2:3, [6] Sniedovich M. (2002), Towers of Hanoi, INFORMS Transactions on Education 3:1 (34-51). 16

18 [7] Sniedovich M. (2000), Çounterfeit Coin Problem. INFORMS Transactions on Education 3:2 (32-41). [8] Tijms H.C. (1986), Stochastic modeling and analysis. A computational approach. WILEY, New York. 17

Un juego de cartas: Las siete y media

Un juego de cartas: Las siete y media Un juego de cartas: Las siete y media Paula Lagares Federico Perea Justo Puerto * MaMaEuSch ** Management Mathematics for European Schools 94342 - CP - 1-2001 - DE - COMENIUS - C21 * Universidad de Sevilla

Más detalles

ANÁLISIS DE UN JUEGO DE CARTAS: LAS SIETE Y MEDIA

ANÁLISIS DE UN JUEGO DE CARTAS: LAS SIETE Y MEDIA ANÁLISIS DE UN JUEGO DE CARTAS: LAS SIETE Y MEDIA MaMaEuSch (Management Mathematics for European School) http://www.mathematik.uni-kl.de/~mamaeusch/ Modelos matemáticos orientados a la educación Clases

Más detalles

Inferencia Estadística

Inferencia Estadística MaMaEuSch Management Mathematics for European Schools http://www.mathematik.unikl.de/ mamaeusch Inferencia Estadística Paula Lagares Barreiro * Justo Puerto Albandoz * MaMaEuSch ** Management Mathematics

Más detalles

Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas

Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Si decimos: "las edades de mis padres suman 120 años", podemos expresar esta frase algebraicamente de la siguiente forma: Entonces, Denominamos x a la edad

Más detalles

Guías Excel 2007 Matrices Guía 77

Guías Excel 2007 Matrices Guía 77 MATRICES Las hojas de cálculo poseen prestaciones interesantes la gestión de matrices de tipo matemático. Unas consisten en facilitar los cálculos matriciales y otras están orientadas a cálculos estadísticos.

Más detalles

Juego Azar O Matemática?

Juego Azar O Matemática? Juego Azar O Matemática? Carlos Aragón Pérez Grado en Ingeniería en telecomunicaciones c.aragon@edu.uah.es Vamos a explicar las técnicas matemáticas que podremos utilizar para poder ganar en los juegos

Más detalles

Introducción al Cálculo de Probabilidades a través de casos reales

Introducción al Cálculo de Probabilidades a través de casos reales MaMaEuSch Management Mathematics for European Schools http://www.mathematik.unikl.de/ mamaeusch Introducción al Cálculo de Probabilidades a través de casos reales Paula Lagares Barreiro * Federico Perea

Más detalles

Repaso de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales

Repaso de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales Tema 1 Repaso de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales Comenzamos este primer tema con un problema de motivación. Problema: El aire puro está compuesto esencialmente por un 78 por ciento

Más detalles

CAPÍTULO II. 2 El espacio vectorial R n

CAPÍTULO II. 2 El espacio vectorial R n CAPÍTULO II 2 El espacio vectorial R n A una n upla (x 1, x 2,..., x n ) de números reales se le denomina vector de n coordenadas o, simplemente, vector. Por ejemplo, el par ( 3, 2) es un vector de R 2,

Más detalles

x 10000 y 8000 x + y 15000 a) La región factible asociada a las restricciones anteriores es la siguiente: Pedro Castro Ortega lasmatematicas.

x 10000 y 8000 x + y 15000 a) La región factible asociada a las restricciones anteriores es la siguiente: Pedro Castro Ortega lasmatematicas. Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado (PAEG) Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II - Septiembre 2012 - Propuesta A 1. Queremos realizar una inversión en dos tipos

Más detalles

Inversión. Inversión. Arbitraje. Descuento. Tema 5

Inversión. Inversión. Arbitraje. Descuento. Tema 5 Inversión Tema 5 Inversión Los bienes de inversión obligan a gastar hoy para obtener ganancias en el futuro Vamos a estudiar cómo se valoran los pagos futuros Por ejemplo, la promesa de recibir euro dentro

Más detalles

Tutoríal para el cálculo del volumen de trabajo ECTS en una asignatura en un modelo de simulación con hoja de cálculo Excel

Tutoríal para el cálculo del volumen de trabajo ECTS en una asignatura en un modelo de simulación con hoja de cálculo Excel Tutoríal para el cálculo del volumen de trabajo ECTS en una asignatura en un modelo de simulación con hoja de cálculo Excel Objetivos versión 2.0 (19 jun 2007) Agustín Romero Medina - Para que el profesor

Más detalles

EDICIÓN DE ECUACIONES CON WORD y ÁLGEBRA LINEAL CON EXCEL

EDICIÓN DE ECUACIONES CON WORD y ÁLGEBRA LINEAL CON EXCEL EDICIÓN DE ECUACIONES CON WORD y ÁLGEBRA LINEAL CON EXCEL Autores: Ángel Alejandro Juan Pérez (ajuanp@uoc.edu), Cristina Steegmann Pascual (csteegmann@uoc.edu). ESQUEMA DE CONTENIDOS ECUACIONES Y ÁLGEBRA

Más detalles

1.1. Introducción y conceptos básicos

1.1. Introducción y conceptos básicos Tema 1 Variables estadísticas Contenido 1.1. Introducción y conceptos básicos.................. 1 1.2. Tipos de variables estadísticas................... 2 1.3. Distribuciones de frecuencias....................

Más detalles

Escritura de ecuaciones de problemas de algebraicos

Escritura de ecuaciones de problemas de algebraicos 1 Escritura de ecuaciones de problemas de algebraicos Herbert Mendía A. 2011-10-12 www.cimacien.org.gt Conocimientos previos necesarios Operaciones básicas: suma, resta, multiplicación y división. Jerarquía

Más detalles

martilloatomico@gmail.com

martilloatomico@gmail.com Titulo: REGLA DE TRES CON BASE UNITARIA Año escolar: MATEMATICA 1 Autor: José Luis Albornoz Salazar Ocupación: Ing Civil. Docente Universitario País de residencia: Venezuela Correo electrónico: martilloatomico@gmail.com

Más detalles

Sistemas de numeración

Sistemas de numeración Sistemas de numeración Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas que permiten representar datos numéricos. Los sistemas de numeración actuales son sistemas posicionales, que se caracterizan

Más detalles

Toma de decisiones en situación de certeza, riesgo e incertidumbre

Toma de decisiones en situación de certeza, riesgo e incertidumbre Toma de decisiones en situación de certeza, riesgo e incertidumbre Apellidos, nombre Departamento Centro Rueda Armengot, Carlos (crueda@doe.upv.es) Peris Ortiz, Marta (mperis@doe.upv.es) Organización de

Más detalles

4. Se considera la función f(x) =. Se pide:

4. Se considera la función f(x) =. Se pide: Propuesta A 1. Queremos realizar una inversión en dos tipos de acciones con las siguientes condiciones: Lo invertido en las acciones de tipo A no puede superar los 10000 euros. Lo invertido en las acciones

Más detalles

Tema 7: Capital, inversión y ciclos reales

Tema 7: Capital, inversión y ciclos reales Tema 7: Capital, inversión y ciclos reales Macroeconomía 2014 Universidad Torcuato di Tella Constantino Hevia En la nota pasada analizamos el modelo de equilibrio general de dos períodos con producción

Más detalles

Usamos que f( p) = q y que, por tanto, g( q) = g(f( p)) = h( p) para simplificar esta expresión:

Usamos que f( p) = q y que, por tanto, g( q) = g(f( p)) = h( p) para simplificar esta expresión: Univ. de Alcalá de Henares Ingeniería de Telecomunicación Cálculo. Segundo parcial. Curso 2004-2005 Propiedades de las funciones diferenciables. 1. Regla de la cadena Después de la generalización que hemos

Más detalles

ETS Caminos Santander. Curso 2012. Ejercicios de introducción a la programación.

ETS Caminos Santander. Curso 2012. Ejercicios de introducción a la programación. Ejercicio 1. Saludo. El programa preguntará el nombre al usuario y a continuación le saludará de la siguiente forma "Hola, NOMBRE" donde NOMBRE es el nombre del usuario. Ejercicio 2. Suma. El programa

Más detalles

Problemas Resueltos de Desigualdades y Programación Lineal

Problemas Resueltos de Desigualdades y Programación Lineal Universidad de Sonora División de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Matemáticas. Problemas Resueltos de Desigualdades y Programación Lineal Para el curso de Cálculo Diferencial de Químico Biólogo

Más detalles

Técnicas De Conteo. En este caso si k es grande, no es tan sencillo hacer un conteo exhaustivo de los puntos o resultados de S.

Técnicas De Conteo. En este caso si k es grande, no es tan sencillo hacer un conteo exhaustivo de los puntos o resultados de S. Técnicas De Conteo Si en el experimento de lanzar la moneda no cargada, se lanzan 5 monedas y definimos el evento A: se obtienen 3 caras, cómo calcular la probabilidad del evento A?, si todos los resultados

Más detalles

LAS APUESTAS EN EL FRONTÓN

LAS APUESTAS EN EL FRONTÓN Las Apuestas en el Frontón LAS APUESTAS EN EL FRONTÓN Alberto Bagazgoitia (*) En los frontones el juego de la pelota vasca se ha mantenido y se mantiene con fuerza a través de los años. Estos últimos años

Más detalles

ESTRATEGIA DE APUESTAS DE RAFA PAREJA EJEMPLO PRÁCTICO REAL DE LA JORNADA 19 DE 2011/2012

ESTRATEGIA DE APUESTAS DE RAFA PAREJA EJEMPLO PRÁCTICO REAL DE LA JORNADA 19 DE 2011/2012 ESTRATEGIA DE APUESTAS DE RAFA PAREJA Vamos a explicar, utilizando un ejemplo práctico, qué sistema seguimos para generar nuestra combinación de apuestas de cada jornada. La estrategia se divide en 5 pasos

Más detalles

Aproximación local. Plano tangente. Derivadas parciales.

Aproximación local. Plano tangente. Derivadas parciales. Univ. de Alcalá de Henares Ingeniería de Telecomunicación Cálculo. Segundo parcial. Curso 004-005 Aproximación local. Plano tangente. Derivadas parciales. 1. Plano tangente 1.1. El problema de la aproximación

Más detalles

ESCUELA SUPERIOR DE INFORMATICA Prácticas de Estadística UNA SESIÓN EN SPSS

ESCUELA SUPERIOR DE INFORMATICA Prácticas de Estadística UNA SESIÓN EN SPSS UNA SESIÓN EN SPSS INTRODUCCIÓN. SPSS (Statistical Product and Service Solutions) es un paquete estadístico orientado, en principio, al ámbito de aplicación de las Ciencias sociales, es uno de las herramientas

Más detalles

Poder en el congreso de la Unión Europea

Poder en el congreso de la Unión Europea Poder en el congreso de la Unión Europea Federico Perea Justo Puerto * MaMaEuSch ** Management Mathematics for European Schools 94342 - CP - 1-2001 - DE - COMENIUS - C21 * Universidad de Sevilla ** Este

Más detalles

Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado (PAEG) Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II - Junio 2012 - Propuesta B

Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado (PAEG) Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II - Junio 2012 - Propuesta B Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado (PAEG) Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II - Junio 2012 - Propuesta B 1. Una empresa tiene 3000 bolsas de ajo morado de Las

Más detalles

EXAMEN DE SEPTIEMBRE DE CIRCUITOS ELECTRÓNICOS. CURSO 2007/08. PROBLEMA DEL PRIMER PARCIAL

EXAMEN DE SEPTIEMBRE DE CIRCUITOS ELECTRÓNICOS. CURSO 2007/08. PROBLEMA DEL PRIMER PARCIAL EXAMEN DE SEPTIEMBRE DE CIRCUITOS ELECTRÓNICOS. CURSO 27/8. PROBLEMA DEL PRIMER PARCIAL Se desea diseñar un sistema para jugar a Piedra, papel o tijera. Como se sabe, en este juego cada uno de los dos

Más detalles

Programación Lineal Entera

Programación Lineal Entera Programación Lineal Entera P.M. Mateo y David Lahoz 2 de julio de 2009 En este tema se presenta un tipo de problemas formalmente similares a los problemas de programación lineal, ya que en su descripción

Más detalles

SOLUCIONES AL BOLETÍN DE EJERCICIOS Nº 3

SOLUCIONES AL BOLETÍN DE EJERCICIOS Nº 3 Sloan School of Management 15.010/15.011 Massachusetts Institute of Technology SOLUCIONES AL BOLETÍN DE EJERCICIOS Nº 3 1. a. FALSO Los bienes duraderos son más elásticos a corto plazo que a largo (esto

Más detalles

Iniciaremos nuestro estudio de teoría combinatoria enunciando los principios aditivo y multiplicativo de conteo.

Iniciaremos nuestro estudio de teoría combinatoria enunciando los principios aditivo y multiplicativo de conteo. COMBINATORIA Introducción a la Combinatoria Recuento A menudo se presenta la necesidad de calcular el número de maneras distintas en que un suceso se presenta o puede ser realizado. Otras veces es importante

Más detalles

CURSO CERO. Departamento de Matemáticas. Profesor: Raúl Martín Martín Sesiones 18 y 19 de Septiembre

CURSO CERO. Departamento de Matemáticas. Profesor: Raúl Martín Martín Sesiones 18 y 19 de Septiembre CURSO CERO Departamento de Matemáticas Profesor: Raúl Martín Martín Sesiones 18 y 19 de Septiembre Capítulo 1 La demostración matemática Demostración por inducción El razonamiento por inducción es una

Más detalles

Lección 24: Lenguaje algebraico y sustituciones

Lección 24: Lenguaje algebraico y sustituciones LECCIÓN Lección : Lenguaje algebraico y sustituciones En lecciones anteriores usted ya trabajó con ecuaciones. Las ecuaciones expresan una igualdad entre ciertas relaciones numéricas en las que se desconoce

Más detalles

Límites. Definición de derivada.

Límites. Definición de derivada. Capítulo 4 Límites. Definición de derivada. 4.1. Límites e indeterminaciones Hemos visto en el capítulo anterior que para resolver el problema de la recta tangente tenemos que enfrentarnos a expresiones

Más detalles

Cálculo Simbólico también es posible con GeoGebra

Cálculo Simbólico también es posible con GeoGebra www.fisem.org/web/union ISSN: 1815-0640 Número 34. Junio de 2013 páginas 151-167 Coordinado por Agustín Carrillo de Albornoz Cálculo Simbólico también es posible con GeoGebra Antes de exponer las posibilidades

Más detalles

UNIDAD 2. LOS NÚMEROS RACIONALES.

UNIDAD 2. LOS NÚMEROS RACIONALES. IES Prof. Juan Bautista Matemáticas º (Ver. ) Unidad : Los números racionles UNIDAD. LOS NÚMEROS RACIONALES. Unidad : Los números racionales Al final deberás haber aprendido... Usar y operar con fracciones

Más detalles

Tema 2. Espacios Vectoriales. 2.1. Introducción

Tema 2. Espacios Vectoriales. 2.1. Introducción Tema 2 Espacios Vectoriales 2.1. Introducción Estamos habituados en diferentes cursos a trabajar con el concepto de vector. Concretamente sabemos que un vector es un segmento orientado caracterizado por

Más detalles

ECONOMIA DE LA INFORMACION Y DE LA INCERTIDUMBRE EJERCICIOS (TEORIA DE JUEGOS)

ECONOMIA DE LA INFORMACION Y DE LA INCERTIDUMBRE EJERCICIOS (TEORIA DE JUEGOS) ECONOMIA DE LA INFORMACION Y DE LA INCERTIDUMBRE EJERCICIOS (TEORIA DE JUEGOS) Ejercicio 1. Aplicando el concepto de estrategias estrictamente dominadas al siguiente juego, qué estrategias podemos estar

Más detalles

Accesibilidad web GUÍA FUNCIONAL

Accesibilidad web GUÍA FUNCIONAL Accesibilidad web GUÍA FUNCIONAL 0 _ ÍNDICE 01_Introducción 02_Primeros pasos 03_Conceptos 04_Navegación por voz 05_Navegación por teclado 06_Navegación por sonido 07_Compatibilidad con lectores de pantalla

Más detalles

Informática Bioingeniería

Informática Bioingeniería Informática Bioingeniería Representación Números Negativos En matemáticas, los números negativos en cualquier base se representan del modo habitual, precediéndolos con un signo. Sin embargo, en una computadora,

Más detalles

Aplicaciones Lineales

Aplicaciones Lineales Aplicaciones Lineales Ejercicio Dada la matriz A = 0 2 0 a) Escribir explícitamente la aplicación lineal f : 2 cuya matriz asociada con respecto a las bases canónicas es A. En primer lugar definimos las

Más detalles

Tema 7: Juegos con información incompleta

Tema 7: Juegos con información incompleta Tema 7: Juegos con información incompleta Microeconomía Avanzada II Iñigo Iturbe-Ormaeche U. de Alicante 2008-09 Modelo de Spence Introducción y ejemplos Equilibrio Bayesiano de Nash Aplicaciones Señales

Más detalles

MatemásTIC. Estudio y práctica del álgebra matricial con una aplicación TIC didáctica y sencilla. 65 Noviembre 2010, pp. 57-67

MatemásTIC. Estudio y práctica del álgebra matricial con una aplicación TIC didáctica y sencilla. 65 Noviembre 2010, pp. 57-67 65, pp. 57-67 Estudio y práctica del álgebra matricial con una aplicación TIC didáctica y sencilla MatemásTIC A lo largo de los distintos números de Suma nos planteamos en esta sección descubrir distintas

Más detalles

UNIDAD 1 LAS LEYES FINANCIERAS DE CAPITALIZACIÓN DESCUENTO

UNIDAD 1 LAS LEYES FINANCIERAS DE CAPITALIZACIÓN DESCUENTO - 1 - UNIDAD 1 LAS LEYES FINANCIERAS DE CAPITALIZACIÓN Y DESCUENTO Tema 1: Operaciones financieras: elementos Tema 2: Capitalización y descuento simple Tema 3: Capitalización y descuento compuesto Tema

Más detalles

Población y muestra. Técnicas de muestreos

Población y muestra. Técnicas de muestreos MaMaEuSch Management Mathematics for European Schools http://www.mathematik.unikl.de/ mamaeusch Población y muestra. Técnicas de muestreos Paula Lagares Barreiro * Justo Puerto Albandoz * MaMaEuSch **

Más detalles

UNIVERSIDAD DE ATACAMA

UNIVERSIDAD DE ATACAMA UNIVERSIDAD DE ATACAMA FACULTAD DE INGENIERÍA / DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD PAUTA SEGUNDA PRUEBA PARCIAL Profesor: Hugo S. Salinas. Primer Semestre 2009 1. Resolver los siguientes

Más detalles

Nota 1. Los determinantes de orden superior a 3 se calculan aplicando las siguientes propiedades:

Nota 1. Los determinantes de orden superior a 3 se calculan aplicando las siguientes propiedades: Capítulo 1 DETERMINANTES Definición 1 (Matriz traspuesta) Llamaremos matriz traspuesta de A = (a ij ) a la matriz A t = (a ji ); es decir la matriz que consiste en poner las filas de A como columnas Definición

Más detalles

De dos incógnitas. Por ejemplo, x + y 3 = 4. De tres incógnitas. Por ejemplo, x + y + 2z = 4. Y así sucesivamente.

De dos incógnitas. Por ejemplo, x + y 3 = 4. De tres incógnitas. Por ejemplo, x + y + 2z = 4. Y así sucesivamente. 3 Ecuaciones 17 3 Ecuaciones Una ecuación es una igualdad en la que aparecen ligados, mediante operaciones algebraicas, números y letras Las letras que aparecen en una ecuación se llaman incógnitas Existen

Más detalles

SEPTIEMBRE 2005. Opción A

SEPTIEMBRE 2005. Opción A Selectividad Septiembre 005 SEPTIEMBRE 005 Opción A 4 5.- Calcula dos matrices cuadradas A y B sabiendo que A + 3B = y que A B =..- Se considera la parábola p (x) = 0,5 x +,5 x y sea s (x) la línea poligonal

Más detalles

Entramos en el programa de Licencias. Seleccionamos de la barra de menú la opción. Pantalla 1: Menú Licencias.

Entramos en el programa de Licencias. Seleccionamos de la barra de menú la opción. Pantalla 1: Menú Licencias. Licencias 18 SECCIÓN 3 CAPÍTULO 18 LICENCIAS LICENCIAS Licencias. Licencias: Entramos en el programa de Licencias. Seleccionamos de la barra de menú la opción Licencias : Pantalla 1: Menú Licencias. Obtenemos

Más detalles

PROGRAMACIÓN LINEAL. 8.1. Introducción. 8.2. Inecuaciones lineales con 2 variables

PROGRAMACIÓN LINEAL. 8.1. Introducción. 8.2. Inecuaciones lineales con 2 variables Capítulo 8 PROGRAMACIÓN LINEAL 8.1. Introducción La programación lineal es una técnica matemática relativamente reciente (siglo XX), que consiste en una serie de métodos y procedimientos que permiten resolver

Más detalles

DESIGUALDADES E INECUACIONES

DESIGUALDADES E INECUACIONES DESIGUALDAD DESIGUALDADES E INECUACIONES Para hablar de la NO IGUALDAD podemos utilizar varios términos o palabras. Como son: distinto y desigual. El término "DISTINTO" (signo ), no tiene apenas importancia

Más detalles

Para resolver estos problemas podemos seguir tres pasos:

Para resolver estos problemas podemos seguir tres pasos: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Algunos problemas pueden resolverse empleando sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. Muchas veces se pueden resolver utilizando una sola ecuación con una

Más detalles

ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL (16691-ECO) PARTE II: MODELOS DE COMPETENCIA IMPERFECTA TEMA 2: EL MONOPOLIO SOLUCIÓN A LOS PROBLEMAS PROPUESTOS

ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL (16691-ECO) PARTE II: MODELOS DE COMPETENCIA IMPERFECTA TEMA 2: EL MONOPOLIO SOLUCIÓN A LOS PROBLEMAS PROPUESTOS ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL (16691-ECO) PARTE II: MODELOS DE COMPETENCIA IMPERFECTA TEMA 2: EL MONOPOLIO 2.1 ANÁLISIS DE EQUILIBRIO 2.2. DISCRIMINACIÓN DE PRECIOS Y REGULACIÓN SOLUCIÓN A LOS PROBLEMAS PROPUESTOS

Más detalles

Empresa bajo incertidumbre en el precio: modelo con dos destinos y un mercado de futuros

Empresa bajo incertidumbre en el precio: modelo con dos destinos y un mercado de futuros Empresa bajo incertidumbre en el precio: modelo con dos destinos y un mercado de futuros Rodríguez Puerta, Inmaculada (irodriguez@ceade.es) Dpto. de Métodos Cuantitativos CEADE Álvarez López, Alberto A.

Más detalles

Transformación de binario a decimal. Transformación de decimal a binario. ELECTRÓNICA DIGITAL

Transformación de binario a decimal. Transformación de decimal a binario. ELECTRÓNICA DIGITAL ELECTRÓNICA DIGITAL La electrónica es la rama de la ciencia que se ocupa del estudio de los circuitos y de sus componentes, que permiten modificar la corriente eléctrica amplificándola, atenuándola, rectificándola

Más detalles

Práctica 1 - Pista de Carreras 12407 - Programación II

Práctica 1 - Pista de Carreras 12407 - Programación II 1. Introducción Práctica 1 - Pista de Carreras 12407 - Programación II En esta práctica el objetivo es implementar una matriz de adyacencia para el juego Pista de Carreras. Con tal fin, primero hay que

Más detalles

CASO PRAÁ CTICO ANAÁ LISIS DE ESTADOS FINANCIEROS

CASO PRAÁ CTICO ANAÁ LISIS DE ESTADOS FINANCIEROS CASO PRAÁ CTICO ANAÁ LISIS DE ESTADOS FINANCIEROS Deseamos realizar un análisis comparativo de las cuentas consolidadas de dos empresas, concretamente TELEFÓNICA e INDITEX para determinar si responden

Más detalles

Capítulo 2. Técnicas de Evaluación de la inversión en activos no circulantes.

Capítulo 2. Técnicas de Evaluación de la inversión en activos no circulantes. Capítulo 2. Técnicas de Evaluación de la inversión en activos no circulantes. 2.1 Generalidades. En la actualidad, en lo referente a las finanzas uno de los grandes problemas que los administradores y

Más detalles

Elementos de Combinatoria

Elementos de Combinatoria Elementos de Combinatoria 1 Introducción Previamente al estudio de la probabilidad en sí, conviene dedicar algún tiempo al repaso de las técnicas combinatorias. Recordemos que la Combinatoria es la parte

Más detalles

28 = 16 + 8 + 4 + 0 + 0 = 11100 1

28 = 16 + 8 + 4 + 0 + 0 = 11100 1 ELECTRÓNICA DIGITAL 4º ESO Tecnología Introducción Imaginemos que deseamos instalar un sistema electrónico para la apertura de una caja fuerte. Para ello debemos pensar en el número de sensores que nos

Más detalles

Curso Completo de Electrónica Digital

Curso Completo de Electrónica Digital CURSO Curso Completo de Electrónica Digital Departamento de Electronica y Comunicaciones Universidad Pontifica de Salamanca en Madrid Prof. Juan González Gómez Capítulo 3 ALGEBRA DE BOOLE 3.1. Introducción

Más detalles

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Teoría de Juegos MSc. Julio Rito Vargas A. Fecha: 06/11/2014 06/11/2014 Contenidos Conceptuales 1.- Definición de un juego. 2.- Elementos de un juego. 3.- Tipos de juegos:

Más detalles

Este es un ejemplo muy sencillo, un esquema de empleados que trabajan en proyectos, en una relación muchos a muchos.

Este es un ejemplo muy sencillo, un esquema de empleados que trabajan en proyectos, en una relación muchos a muchos. 28/04/2012 La teoría de la normalización va perdiendo peso con el paso de los años como herramienta de diseño de bases de datos relacionales en favor de modelos de datos más ricos en su representación,

Más detalles

SIMULACION. Formulación de modelos: solución obtenida de manera analítica

SIMULACION. Formulación de modelos: solución obtenida de manera analítica SIMULACION Formulación de modelos: solución obtenida de manera analítica Modelos analíticos: suposiciones simplificatorias, sus soluciones son inadecuadas para ponerlas en práctica. Simulación: Imitar

Más detalles

TEMA I: INTRODUCCIÓN A LA ELECTRÓNICA DIGITAL

TEMA I: INTRODUCCIÓN A LA ELECTRÓNICA DIGITAL TEMA I: INTRODUCCIÓN A LA ELECTRÓNICA DIGITAL 1. Electrónica Digital Antes de empezar en el tema en cuestión, vamos a dar una posible definición de la disciplina que vamos a tratar, así como su ámbito

Más detalles

Fórmulas y enfoques utilizados para calcular el Tasa Efectiva de Interés (TEI) o Costo Anual Total (CAT)

Fórmulas y enfoques utilizados para calcular el Tasa Efectiva de Interés (TEI) o Costo Anual Total (CAT) Fórmulas y enfoques utilizados para calcular el Tasa Efectiva de Interés (TEI) o Costo Anual Total (CAT) El propósito del Costo Anual Total (CAT) El precio verdadero del préstamo no solamente incluye los

Más detalles

ESTIMACIÓN. puntual y por intervalo

ESTIMACIÓN. puntual y por intervalo ESTIMACIÓN puntual y por intervalo ( ) Podemos conocer el comportamiento del ser humano? Podemos usar la información contenida en la muestra para tratar de adivinar algún aspecto de la población bajo estudio

Más detalles

Un problema sobre repetidas apuestas al azar

Un problema sobre repetidas apuestas al azar Un problema sobre repetidas apuestas al azar Eleonora Catsigeras 1 10 de marzo de 2003. Resumen En estas notas se da el enunciado y una demostración de un conocido resultado sobre la probabilidad de éxito

Más detalles

Redes de Kohonen y la Determinación Genética de las Clases

Redes de Kohonen y la Determinación Genética de las Clases Redes de Kohonen y la Determinación Genética de las Clases Angel Kuri Instituto Tecnológico Autónomo de México Octubre de 2001 Redes Neuronales de Kohonen Las Redes de Kohonen, también llamadas Mapas Auto-Organizados

Más detalles

Aplicaciones lineales

Aplicaciones lineales Capítulo 4 Aplicaciones lineales 4.1. Introduccción a las aplicaciones lineales En el capítulo anterior encontramos la aplicación de coordenadas x [x] B que asignaba, dada una base del espacio vectorial,

Más detalles

El Ábaco. Descripción. Para qué sirve?

El Ábaco. Descripción. Para qué sirve? El Ábaco El ábaco es un instrumento que sirve para facilitar al alumno el aprendizaje del concepto de sistema posicional de numeración (en cualquier base), cómo se forman las distintas unidades que lo

Más detalles

Manual de Introducción a SIMULINK

Manual de Introducción a SIMULINK Manual de Introducción a SIMULINK Autor: José Ángel Acosta Rodríguez 2004 Capítulo Ejemplo.. Modelado de un sistema dinámico En este ejemplo se realizará el modelado de un sistema dinámico muy sencillo.

Más detalles

PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA (C) Práctica 2

PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA (C) Práctica 2 PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA (C) Práctica 2 1. Se eligen tres autos al azar y cada uno es clasificado N si tiene motor naftero o D si tiene motor diesel (por ejemplo, un resultado posible sería NND). a)

Más detalles

La estrategia básica para jugar blackjack.

La estrategia básica para jugar blackjack. La estrategia básica para jugar blackjack. Por Carlos Zilzer. Concepto básico: En cada turno, el jugador tiene que seleccionar una de 3 posibles jugadas: Plantarse, Pedir una carta o Doblar la apuesta.

Más detalles

CAPITULO V. SIMULACION DEL SISTEMA 5.1 DISEÑO DEL MODELO

CAPITULO V. SIMULACION DEL SISTEMA 5.1 DISEÑO DEL MODELO CAPITULO V. SIMULACION DEL SISTEMA 5.1 DISEÑO DEL MODELO En base a las variables mencionadas anteriormente se describirán las relaciones que existen entre cada una de ellas, y como se afectan. Dichas variables

Más detalles

Charla No 3: Fórmulas de mayor uso.

Charla No 3: Fórmulas de mayor uso. 1 Charla No 3: Fórmulas de mayor uso. Objetivos generales: Explicar el uso de las funciones de mayor uso en MS-Excel Objetivos específicos: Autosuma. Asistente de fórmulas. Max y Min. Buscarv Contar Si

Más detalles

Espacios Vectoriales

Espacios Vectoriales Espacios Vectoriales Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM 4 de enero de 2 Índice 3.. Objetivos................................................ 3.2. Motivación...............................................

Más detalles

NÚMEROS REALES MÓDULO I

NÚMEROS REALES MÓDULO I MÓDULO I NÚMEROS REALES NUEVE planetas principales constituyen el sistema solar. Si los ordenamos de acuerdo a su distancia al Sol Mercurio es el que está más cerca (58 millones de Km ) Plutón el más lejano

Más detalles

Pablo Fernández. IESE. Valoración de opciones por simulación 1 VALORACIÓN DE OPCIONES POR SIMULACIÓN Pablo Fernández IESE

Pablo Fernández. IESE. Valoración de opciones por simulación 1 VALORACIÓN DE OPCIONES POR SIMULACIÓN Pablo Fernández IESE Pablo Fernández. IESE. Valoración de opciones por simulación 1 VALORACIÓN DE OPCIONES POR SIMULACIÓN Pablo Fernández IESE 1. Fórmulas utilizadas en la simulación de la evolución del precio de una acción

Más detalles

Ejemplos de conversión de reales a enteros

Ejemplos de conversión de reales a enteros Ejemplos de conversión de reales a enteros Con el siguiente programa se pueden apreciar las diferencias entre las cuatro funciones para convertir de reales a enteros: program convertir_real_a_entero print

Más detalles

La Teoría del Consumidor: Incertidumbre

La Teoría del Consumidor: Incertidumbre La Teoría del Consumidor: Incertidumbre Incertidumbre y Riesgo La presencia de incertidumbre supone que las consecuencias que se derivan de cada alternativa disponible no se conocen de antemano, sino que

Más detalles

UNIDAD DIDÁCTICA 7 ANÁLISIS DE ÍTEMS Y BAREMACIÓN DE UN TEST

UNIDAD DIDÁCTICA 7 ANÁLISIS DE ÍTEMS Y BAREMACIÓN DE UN TEST UNIDAD DIDÁCTICA 7 ANÁLISIS DE ÍTEMS Y BAREMACIÓN DE UN TEST 7.1. ANÁLISIS DE LOS ÍTEMS Al comenzar la asignatura ya planteábamos que uno de los principales problemas a los que nos enfrentábamos a la hora

Más detalles

MATEMÁTICAS II APUNTES DE TEORÍA CURSO ACADÉMICO 2012-13. Carlos Ivorra

MATEMÁTICAS II APUNTES DE TEORÍA CURSO ACADÉMICO 2012-13. Carlos Ivorra MATEMÁTICAS II APUNTES DE TEORÍA CURSO ACADÉMICO 2012-13 Carlos Ivorra Índice 1 Introducción a la optimización 1 2 Programación entera 18 3 Introducción a la programación lineal 24 4 El método símplex

Más detalles

Imagen de Rosaura Ochoa con licencia Creative Commons

Imagen de Rosaura Ochoa con licencia Creative Commons Imagen de Rosaura Ochoa con licencia Creative Commons Durante el primer tema hemos aprendido a elaborar una encuesta. Una vez elaborada la encuesta necesitamos escoger a los individuos a los que se la

Más detalles

Soluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Probabilidad de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II

Soluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Probabilidad de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Soluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Probabilidad de Antonio Francisco Roldán López de Hierro * Convocatoria de 2008 Las siguientes páginas contienen las soluciones de los ejercicios propuestos

Más detalles

El proyecto realizado consiste en un resolutor de sudokus mediante CSP.

El proyecto realizado consiste en un resolutor de sudokus mediante CSP. Introducción El proyecto realizado consiste en un resolutor de sudokus mediante CSP. El problema del sudoku fue inventado por Howard Garns en 1979 y se volvió muy popular en Japón en 1986. En España ha

Más detalles

UNIDAD 4 Sistemas de ecuaciones lineales... 84 Introducción... 84 4.1.- Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas... 84 4.2.

UNIDAD 4 Sistemas de ecuaciones lineales... 84 Introducción... 84 4.1.- Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas... 84 4.2. FACULTAD DE INGENIERÍA - UNSJ Unidad : Sistemas de Ecuaciones Lineales UNIDAD Sistemas de ecuaciones lineales... 8 Introducción... 8.1.- Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas... 8..- Resolución

Más detalles

CRECIMIENTO DE DIVIDENDOS (Acciones en crecimiento)

CRECIMIENTO DE DIVIDENDOS (Acciones en crecimiento) 1 CRECIMIENTO DE DIVIDENDOS (Acciones en crecimiento) El próximo dividendo de la empresa Hugo Zaragoza SA de CV HZ será de 4 dlls por acción. Los inversionistas requieren de un rendimiento del 16%. La

Más detalles

Apuntes de Matemática Discreta 9. Funciones

Apuntes de Matemática Discreta 9. Funciones Apuntes de Matemática Discreta 9. Funciones Francisco José González Gutiérrez Cádiz, Octubre de 004 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas ii Lección 9 Funciones Contenido 9.1 Definiciones y

Más detalles

Sistemas de Numeración

Sistemas de Numeración UNIDAD Sistemas de Numeración Introducción a la unidad Para la mayoría de nosotros el sistema numérico base 0 aparentemente es algo natural, sin embargo si se establecen reglas de construcción basadas

Más detalles

MODELOS MATEMÁTICOS. Definición Propiedades MODELOS MATEMÁTICOS. Modelo de petróleo refinado

MODELOS MATEMÁTICOS. Definición Propiedades MODELOS MATEMÁTICOS. Modelo de petróleo refinado MODELOS MATEMÁTICOS Autores: Juan Alberto Rodríguez Velázquez (jrodriguezvel@uoc.edu), Cristina Steegmann Pascual (csteegmann@uoc.edu). ESQUEMA DE CONTENIDOS Definición Propiedades MODELOS MATEMÁTICOS

Más detalles

PROGRAMA PARA MEJORAR LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS EN EDUCACIÓN PRIMARIA

PROGRAMA PARA MEJORAR LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS EN EDUCACIÓN PRIMARIA Ctra. Daganzo, Km. 2,300. 28806 Alcalá de Henares (Madrid). Tfno.: 918890650 Fax: PROGRAMA PARA MEJORAR LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS EN EDUCACIÓN PRIMARIA PROGRAMA PARA MEJORAR LA RESOLUCIÓN

Más detalles

UNIDAD Nº 1: 1. SISTEMAS DE NUMERACION. Formalizado este concepto, se dirá que un número X viene representado por una cadena de dígitos:

UNIDAD Nº 1: 1. SISTEMAS DE NUMERACION. Formalizado este concepto, se dirá que un número X viene representado por una cadena de dígitos: UNIDAD Nº 1: TECNICATURA EN INFORMATICA UNLAR - CHEPES 1.1. INTRODUCCION 1. SISTEMAS DE NUMERACION El mundo del computador es un mundo binario. Por el contrario, el mundo de la información, manejada por

Más detalles

IES La Serna Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Comunidad de Madrid. Año 08. Septiembre. Opción B. Ejercicio 1.

IES La Serna Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Comunidad de Madrid. Año 08. Septiembre. Opción B. Ejercicio 1. IES La Serna Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Comunidad de Madrid. Año 08. Septiembre. Opción B. Ejercicio. ( puntos) Se desea invertir una cantidad de dinero menor o igual que 000 euros,

Más detalles

Tema 2: Sistemas de representación numérica

Tema 2: Sistemas de representación numérica 2.1 Sistemas de Numeración Definiciones previas Comenzaremos por definir unos conceptos fundamentales. Existen 2 tipos de computadoras: Analógicas: actúan bajo el control de variables continuas, es decir,

Más detalles

1. Juegos de suma cero con dos jugadores

1. Juegos de suma cero con dos jugadores Teoría de juegos Jesús López Fidalgo Esta teoría está íntimamente relacionada con la teoría de la decisión. Lo que diferencia una de otra es el rival contra el que se entra en juego. En la teoría de la

Más detalles