Apellidos: Nombre: Curso: 2º Grupo: A Día: 24-II-2016 CURSO

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1 EXAMEN DE MATEMATICAS II ª EVALUACIÓN Apllidos: Nombr: Curso: º Grupo: A Día: -II-16 CURSO Instruccions: a) Duración: 1 HORA y 3 MINUTOS. b) Dbs lgir ntr ralizar únicamnt los cuatro jrcicios d la Opción A o bin únicamnt los cuatro jrcicios d la Opción B c) Contsta d forma razonada, scrib ordnadamnt y con ltra clara. d) Puds usar calculadora (pud sr programabl o tnr pantalla gráfica). Opción A Ejrcicio 1.- [,5 puntos] Halla a y b sabindo qu s continua la función f : R R dfinida como f(x) = { x + cos(x) a x x si x b si x = Ejrcicio. [,5 puntos] Sa la función f: R R dada por f(x) = { x (x + ax) si x bx +c si x > x+1 Calcula las constants a, b y c sabindo qu f s drivabl y qu la rcta tangnt a la grafica d f n l punto d abscisa x = 1 tin pndint 3. Ejrcicio 3.- Sa f: R R la función dfinida por f(x) = x 3 -x. a) [,75 puntos] Halla la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d f n l punto d abscisa x = 1. b) [,75 puntos] Esboza l rcinto itado por la gráfica d f y la rcta y = -x-, dtrminando los puntos d cort d ambas graficas. c) [1 punto] Calcula l ára dl rcinto antrior. Ejrcicio.- [,5 puntos] Calcula π/ x. sn(x)dx. Opción B Ejrcicio 1.- [,5 puntos] Dada la función f dfinida, para x, por f(x) = x dtrmina las asíntotas 1 d su grafica. Efctúa un sbozo d la misma situándolas rspcto a lla. Ejrcicio.- [,5 puntos] D ntr todos los triángulos rctángulos d ára 8 cm, dtrmina las dimnsions dl qu tin la hipotnusa d mnor longitud. Ejrcicio 3.- San f: R R y g: R R las funcions dfinidas por: f(x) = -3 x y g(x) = x. a) [1 punto] Esboza las graficas d f y g. Dtrmina sus puntos d cort. b) [1,5 puntos] Calcula l ára dl rcinto itado por las graficas d f y g. Ejrcicio.- Sa f: (, + ) R dfinida por f(x) = 1 + ln(x), sindo ln la función logaritmo npriano. a) [1 punto] Compruba qu la rcta d cuación y = 1+ x s la rcta tangnt a la grafica d f n l punto d abscisa x =. b) [1,5 puntos] Calcula l ára dl rcinto itado por la grafica d f, l j d abscisa y la rcta tangnt dl apartado a).

2 SOLUCIÓN DE LA PRUEBA Opción A Ejrcicio 1.- [,5 puntos] Halla a y b sabindo qu s continua la función f : R R dfinida como f(x) = { x + cos(x) a x x si x b si x = Sgún l nunciado f s continua n R, por lo tanto lo s n x =, y cumpl qu f() = x + cos(x) b = f() = f(x) = ax + cos() a x x x = = 1 a x f(x): Como l límit xist y s finito, al sr f continua n x =, l numrador ha d sr cro, para tnr una indtrminación s dcir 1 - a = a = 1. Como ambas funcions f y g son continuas n l intrvalo [a -δ, a + δ] y drivabls n l intrvalo (a -δ, a f(x) + δ), vrificando qu f(a) = g(a) = y tals qu = podmos aplicar la rgla d L Ho pital, qu dic x a g(x) f(x) qu s vrifica qu = f (x). x a g(x) x a g (x) x + cos(x) x 1 + sn(x) x x = x 1 + sn() = = ( ) x x. Volvmos a aplicar la rgla d L Ho pital: cos (x) x cos () = = 1 1 = -1 x Como f() = f(x), rsulta qu b = -1. Quda la función: x f(x) = { x + cos(x) x x si x 1 si x = Ejrcicio. [,5 puntos] Sa la función f: R R dada por f(x) = { x (x + ax) si x bx +c si x > x+1 Calcula las constants a, b y c sabindo qu f s drivabl y qu la rcta tangnt a la grafica d f n l punto d abscisa x = 1 tin pndint 3. a) Sgún l nunciado la función f s drivabl por lo tanto ha d sr continua n R, n spcial n x =. Obligumos a qu lo sa. f() = x x f(x) = x x (x + ax) =. = 1. = bx +c x + x+1 = +c +1 = c f(x) = + Igualando los límits latrals obtnmos qu c =. Obligumos a qu sa drivabl n x = : f ( - f(x) f() ) = = x (x +ax) x x x x bx x+1 x. = x (x+a) x x f ( + f(x) f() bx ) = = = x + x x + x x + x(x+1) = bx x + x+1 = b. +1 = Igualando las drivadas latrals obtnmos qu a =. = x x (x + a) =.(+a) = 1.a = a Utilizando la intrprtación gométrica d la drivada sabmos qu f (1) s la pndint d la rcta tangnt n s punto y su valor s 3. Como x = 1 prtnc a la rama d la drcha y su drivada s:

3 b.(x+1) bx f (x) = (x+1) Sustituimos valors y obtnmos qu: b.(1+1) b.1 (1+1) = 3 3b 1 = 3 3b = 1 b = 3 = Obtnindo la función: f(x) = { x. x si x x si x > x+1 Ejrcicio 3.- Sa f: R R la función dfinida por f(x) = x 3 -x. a) [,75 puntos] Halla la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d f n l punto d abscisa x = 1. b) [,75 puntos] Esboza l rcinto itado por la gráfica d f y la rcta y = -x-, dtrminando los puntos d cort d ambas graficas. c) [1 punto] Calcula l ára dl rcinto antrior. a) Para hallar la cuación d la rcta tangnt, t, a la gráfica d f n l punto d abscisa x = 1 utilizamos la cuación punto-pndint y-f(1) = f (1)(x-1). Sustituimos los valors d la función y la drivada. f(x) = x 3 -x f(1) = = -3. f (x) = 3x - f (1) = = -1. Sustituimos valors y la rcta tangnt pdida s: y+3 = -1(x-1) = -x+1 t: y = -x-. b) Para sbozar l rcinto dtrminado rprsntamos las funcions y hallamos sus puntos d cort. La gráfica d f s la d una función polinómica d grado 3, por lo tanto prsnta ramas parabólicas n l infinito. Para sbozarla hallamos los puntos d cort con l j OX Para x =, l punto s (,f()) = (,) Para y = = x 3 -x = x(x x = -) { x = x = ±. Los puntos son (-,),(,) y(,). La rcta y = -x- s una rcta qu corta a los js n los puntos (-, ) y (,-). Dtrminamos los puntos d cort d ambas graficas igualando sus cuacions: x 3 -x = -x- x 3-3x+ =. Ecuación d trcr grado qu rsolvmos aplicando la rgla d Ruffini: Los puntos d cort son x = - y x = 1. Un sbozo d las graficas y dl rcinto itado por ambas s l d la figura adjunta: 3

4 c) El ára dl rcinto antrior s: A = 1 [x 3 x ( x ]dx = [( ) ( = 1 = (x 3 3x + )dx = [ x 3x3 + x] 7 )] = u Ejrcicio.- [,5 puntos] Calcula π/ x. sn(x)dx. Rsolvmos primro la intgral indfinida I = x. sn(x)dx qu ralizamos por parts sindo: u = x du = dx dv = sn(x) I = x. [ cos(x)] v = cos(x) - cos(x) dx = x.cos(x) Aplicamos la rgla d Barrow: π/ x. sn(x)dx = [ x.cos(x) 1 = ( π) ( 1) = π + sn(x) + 1 x.cos(x) cos(x). dx = + sn(x) ] π/ = [( π/.cos(π) + sn(π) ) (.cos() + k + sn() )] = Opción B Ejrcicio 1. [,5 puntos] Dada la función f dfinida, para x, por f(x) = x 1 asíntotas d su grafica. Efctúa un sbozo d la misma situándolas rspcto a lla. dtrmina las Solución La rcta x = a s una asíntota vrtical d la función f si f(x) =. Como s un cocint d funcions x a dbmos buscar los valors qu anuln l dnominador. Como: x -1 = x = 1 x = Dbmos vr si x = s una asíntota vrtical, tomando los límits latrals d la función: f(x) = x x x 1 = = - f(x) = x + x + x 1 = + = + Por lo tanto la rcta x = s una asíntota vrtical d f. La rcta y = b s una asíntota horizontal d la función f si f(x) = b. x ± Considramos l límit a la izquirda: x x 1 = +1 1 = +1 1 = -1 Por lo tanto la rcta y = -1 s una asíntota horizontal d f hacia la izquirda.

5 Considramos l límit a la drcha: x + x 1 = ( ) Indtrminación qu rsolvmos aplicando la rgla d L Ho pital, qu indica qu si dos funcions f y g son continuas n l intrvalo [a -δ, a + δ] y drivabls n l intrvalo (a -δ, a + δ), vrificando qu f(x) f(a) = g(a) = y tals qu = f(x) s vrifica qu x a g(x) = f (x). La rgla s xtind a los x a g(x) x a g (x) casos n qu f(x) = y g(x) =. x ± x ± x + x 1 = x x + x = 1 = 1 x + Por lo tanto la rcta y = 1 s una asíntota horizontal d f hacia la drcha. Hallmos la posición d la función rspcto d las asíntotas horizontals mdiant l studio d [f(x) b] a izquirda y drcha rspctivamnt: x ± +1 x (x + 1) = +1+x 1 x 1 x (x ) = ( x ) = x 1 x x 1 - La función s acrca por dbajo d la asíntota horizontal a la izquirda. +1 x + (x 1) = +1 x 1 x + (x ) = ( ) = x 1 x + x 1 + La función s acrca por ncima d la asíntota horizontal a la drcha. La rcta y= mx + n s una asíntota oblicua d la función f si [f(x) (mx + n)] =, dond m = x f(x) y n = [f(x) mx]. Esta función no prsnta asíntota oblicua ya qu prsnta asíntota x x x horizontal. Ejrcicio.- [,5 puntos] D ntr todos los triángulos rctángulos d ára 8 cm, dtrmina las dimnsions dl qu tin la hipotnusa d mnor longitud. Es un problma d optimización. Considramos qu x y son las dimnsions dl triángulo (x srá la bas y la altura). Por l nunciado dl problma dbmos optimizar: h(x, y) = x + y 5

6 Sujta a la rlación qu nos da l ára: A = 8 8 = xy D dond dspjamos y = 16 x Sustituyndo n la xprsión d h: h(x) = x + ( 16 x ) = x + 56 = +56 x x x Como optimizar f(x) s igual qu optimizar su radicando intntamos minimizar la xprsión f(x) = x +56 x Para minimizar la xprsión hallamos su primra drivada f (x): f (x) = x3.x (x +56).x = x 51 x x 3 y rsolvmos f (x) = qu srán los posibls máximos o mínimos. f (x) = x -51 = x -56 = x = 56 = Lugo l posibl mínimo s x =. Hallmos P (x) y comprobmos dichos valors para avriguar si s máximo o mínimo: f (x) = 536 x Como f () >, x = s un mínimo rlativo. El valor d la hipotnusa s: h() = + ( 16 ) = = cm. Ejrcicio 3.- San f: R R y g: R R las funcions dfinidas por: f(x) = -3 x y g(x) = x. a) [1 punto] Esboza las graficas d f y g. Dtrmina sus puntos d cort. b) [1,5 puntos] Calcula l ára dl rcinto itado por las graficas d f y g. a) Sabmos qu la función valor absoluto s x = { x, x < + 3x, x < por lo tanto f(x) = 3 x = { x, x 3x, x La gráfica d f s la d dos rctas con pndints 1 y -1 rspctivamnt y d ordnada n l orign. La gráfica d g s la d una parábola convxa con vértic n (,). Un sbozo d sus graficas s la d la figura adjunta: 6

7 Los puntos d cort los calculamos obsrvando qu la figura prsnta simtría axial rspcto al j d ordnadas, por lo tanto igualamos la rama d la izquirda d f con g para x <, y la rama d la drcha d f con g para x > : Para x < : x = +3x x -3x- = x = 3± 9+16 = 3±5 {x 1 = 1 x = Como s la rama d la izquirda únicamnt nos intrsa la solución ngativa y tnmos x = -1. Para x > : x = -3x x +3x- = x = 3± 9+16 = 3±5 { x 1 = 1 x = Como s la rama d la drcha únicamnt nos intrsa la solución positiva y tnmos x = 1. b) Por la simtría axial d las funcions considradas l ára dl rcinto itado por las graficas d f y g s l dobl d uno d los lazos considrados: 1 A =. ( 3x x )dx =. [x 3x x3 ] 1 3 =. [( 1 13 ) ] =. = u Ejrcicio.- Sa f: (, + ) R dfinida por f(x) = 1 + ln(x), sindo ln la función logaritmo npriano. a) [1 punto] Compruba qu la rcta d cuación y = 1+ x s la rcta tangnt a la grafica d f n l punto d abscisa x =. b) [1,5 puntos] Calcula l ára dl rcinto itado por la grafica d f, l j d abscisa y la rcta tangnt dl apartado a). a) La cuación d la rcta tangnt n x = n forma punto-pndint s: y-f() = f ()(x-) Tomamos valors n la función y la drivada: f(x) = 1+Ln(x) f() = 1+Ln() = 1+1 = f (x) = 1 x f () = 1 Sustituyndo valors: y- = 1 (x-) y- = x -1 t(x): y = x +1 como quríamos dmostrar. b) Nos pidn l ára d la figura adjunta. Está comprndida ntr: La rcta tangnt hallada n l apartado antrior qu pasa por los puntos (, 1) y (-, ) La gráfica d f(x) = 1+ln(x) qu s igual a la d ln(x) dsplazada una unidad hacia arriba qu corta al j d abscisas n x = 1. 7

8 Obsrvando la figura l ára pdida s la dl triángulo rctángulo dtrminado por los puntos (-, ), (, ) y (,) mnos la dl triángulo curvo dtrminado la curva 1+ln(x), la rcta x= y l j d abscisas: Ára = ára triangulo [1 + ln(x)]dx 1/ A1 = B.h =. = u A = [1 + ln(x)]dx = dx + ln(x) dx 1/ 1/ 1/ Como la sgunda s una intgral por parts, dond: u = ln(x) du = 1 x dx dv = dx v = x ln(x) dx = x. ln(x) x. 1 dx = x.ln x - x x A = dx + ln(x) dx =[x. ln x ] 1/ 1/ 1/ =. ln 1 ln 1 = 1 [ln(1) ln()] = + 1 u Finalmnt Ára = A1 A = ( + 1 ) = ( 1 ) u 8