Opción A. Para resolver esta indeterminación se aplica la regla de L Hôpital enunciada con anterioridad: (Indeterminación) (1)

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1 º BACHILLERATO. Resuelve los siguientes ites: Opión A ) L= os sen (Indeterminión) g Pr resolver est indeterminión se pli l órmul: Por tnto, L os sen os sen e e Se resuelve el siguiente ite: os sen (Indeterminión) e g Pr resolver est indeterminión se pli l regl de L Hôpitl que estlee que: Si () y g() son derivles en = siendo, g, entones, g g os sen sen os Así pues, Con lo ul se puede onluir que L e e ) e L sen (Indeterminión) Pr resolver est indeterminión se pli l regl de L Hôpitl enunid on nterioridd: Así, se tiene que e L sen os De nuevo, se pli L Hôpitl : (Indeterminión) () e L os os sen os Not: Tmién se podí her plido ininitésimos en (), e ; sen, y huiese sido: Simpliindo e L os os sen os ) L Se puede resolver de dos orms: ª. Aplindo onjugdos (Indeterminión) Pr resolver est indeterminión se pli onjugdos, multiplindo numerdor y denomindor por el onjugdo del numerdor:

2 Por tnto, L Simpliindo ª. Aplindo l regl de L Hôpitl Pr resolver est indeterminión se pli l regl de L Hôpitl enunid on nterioridd: Por tnto, L 6 Operndo Operndo.- ) Se se que l unión, y demás verii que si es ontinu y derivle en el intervlo si. Cuánto vlen, y? Pr lulr, y tenemos que imponer lo siguiente:. es ontinu en,.. es derivle en,. 3. : Al ser un unión deinid trozos pr estudir l ontinuidd y derivilidd hy que seguir los siguientes psos: º Estudir l ontinuidd y derivilidd por trmos. º Estudir l ontinuidd y derivilidd de en los puntos de unión de los trmos, es deir, en los puntos en donde se ps de un epresión otr. Vemos: En primer lugr vemos l ontinuidd y derivilidd por trmos: Si, es ontinu y derivle pr ulquier vlor de y porque se trt de un unión polinómi ontinu y derivle en, y en prtiulr en,. Si,, que es l sum de un unión onstnte más un unión irrionl, por tnto, será ontinu y derivle si, es deir, será ontinu y derivle en,, y en onreto, en,.

3 º BACHILLERATO En segundo lugr vemos l ontinuidd y derivilidd en : será ontinu en 3) ) ) inito y es Vemos: ) ) 3) será ontinu en será derivle en Hllemos l unión derivd de () y lulemos ls derivds lterles: si si Entones, es derivle en Y se h visto l ontinuidd y l derivilidd. Ahor, sólo lt imponer l terer ondiión, es deir,. Y hemos otenido el vlor de, pr otener el resto de vlores hy que resolver el siguiente sistem: Se resuelve por el método de reduión: Sustituyendo en, se tiene que, 3 3

4 Conluimos que pr que se ontinu y derivle y, demás, 3 deen ser: ; y., los vlores de, y ) Hllr l euión de l ret tngente en. L euión punto pendiente de l ret tngente en Por tnto, pr esriir dih euión tenemos que lulr Si, será y y : Así pues, l euión punto pendiente de l ret tngente es: y. L euión eplíit es: y. L euión norml es: y (OJO: L euión norml no puede tener denomindores, por eso, hy que quitr denomindores primero). 3.- ) Estudie el dominio de deiniión, los puntos de orte, ls síntots y l posiión reltiv de l grái de respeto de ls misms, l monotoní y los etremos reltivos de l unión. ) Dominio. Al trtrse de un unión rionl, su dominio será todos los números reles eepto los que nulen el denomindor. Como el únio número que nul el denomindor es -, se tiene que. ) Puntos de orte. Con el eje OX (y=). Por tnto, sólo hy un punto de orte on el eje X: P, Con el eje OY (=) y. Por tnto, el punto de orte on el eje Y es, P.

5 º BACHILLERATO 3) Asíntots 3.) Asíntots vertiles es un síntot vertil de si Al trtrse de un unión rionl, l úni posile síntot vertil que puede eistir es, que es el únio vlor de que nul el denomindor. Vemos:. Por tnto, es un síntot vertil. A ontinuión se lul los ites lterles pr estudir l posiión reltiv de l grái respeto de l síntot. Pr vlores de próimos - por l izquierd se tiene que Pr vlores de próimos - por l dereh se tiene que 3.) Asíntots horizontles y k es un síntot horizontl de si k Vemos: Cundo : (Indeterminión) Pr resolver est indeterminión se oge el término de myor grdo del numerdor y del denomindor: Por tnto, si no eiste síntot horizontl sino rm próli. Cundo : Rzonndo del mismo modo se tiene que Por tnto, si no eiste síntot horizontl sino rm próli.

6 3.3) Asíntots olius m y m n ( m ) es un síntot oliu de si m n y l ordend en el origen n m siendo l pendiente Vemos: Cundo : m Cogiendo el tér min o demyor grdo Simpliindo n m 3 Operndo Cogiendo el tér min o demyor grdo 3 Simpliindo 3 3 Por tnto, y 3es un síntot oliu Cundo : m Cogiendo el tér min o de myor grdo Simpliindo Cmiovrile n m Simpliindo 3 Cmiovrile Operndo 3 Cogiendo el tér min o demyor grdo Por tnto, y 3es un síntot oliu

7 º BACHILLERATO A ontinuión se estudi l posiión reltiv de l grái de respeto de l síntot oliu: Si, se umple que 3 er l síntot por enim. Si, se umple que 3 er l síntot por dejo. 3 3,por tnto, l grái de se,por tnto, l grái de se ) Monotoní Se sigue los siguientes psos: º Se hll l derivd de l unión y se simplii: º Igulmos ero l derivd, hllndo sí los puntos rítios de l unión: 3º Coneionmos un tl pr estudir el signo de l derivd y sí determinr l monotoní de : Intervlos, -, -,, -,,, Signo de Monotoní Creiente Máimo Dereiente Dereiente Mínimo Creiente Así pues: es reiente en,,; es dereiente en, ;, present un máimo reltivo en el punto,. 9 present un mínimo reltivo en el punto,,;,

8 ) Represente l unión () nterior utilizndo los dtos otenidos en el prtdo ).. En un grn prder se tiene que vllr un zon de m que dee tener orm de retángulo. Cd metro de vll uest euros. Si es l medid en metros de uno de sus ldos, se pide: ) Otener rzondmente l unión tl que () se el oste de l vll. L unión ojetivo será:, y y y Como nos dien que el áre de l zon es m, se tiene que y y. Por tnto, l unión ojetivo pedid es: y no, y, porque nos piden ) Deduir rzondmente, el vlor de pr el que () lnz el vlor mínimo. Se trt de hllr el mínimo de pr ello: º Derivmos l unión:

9 º BACHILLERATO º Igulmos ero l derivd pr hllr los puntos singulres de que serán los posiles máimos y mínimos: Operndo Como es l medid en metros de uno de sus ldos, desehmos el vlor negtivo, por tnto, 3º Compromos si es un mínimo, pr ello lulmos l segund derivd:, se umple que es un mínimo de l unión. º Como Si y, por tnto, podemos onluir que pr que el oste de l vll se mínimo l prel tendrá orm de udrdo de m de ldo.

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