< ρ y cuyo coeficiente de viscosidad es η. Se supone que la velocidad de la esferano origina turbulencias en el fluido.

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Isabel Castilla San Segundo
hace 6 años
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1 EY DE STOES Una esfera de radio r y densidad ρ parte del reposo en el seno de un fluido de densidad ρ f < ρ y cuyo coeficiente de viscosidad es η. Se supone que la velocidad de la esferano origina turbulencias en el fluido. Calcúlese: a) a velocidad líite de la esfera. b) a velocidad de la esfera en función del tiepo. c) El tiepo que tarda la esfera en alcanzar su velocidad áxia. d) a posición de la esfera en función del tiepo. e) a posición en la que alcanza la esfera su velocidad líite. f) a aceleración en función del tiepo. SOUCIÓN: Vaos a considerar coo eje coordenado OY para analizar el oviiento de descenso de la esfera, el eje vertical que pasa por su centro, y cuyo sentido positivo lo toareos hacia abajo. A partir del instante en que se abandona la esfera en el seno del fluido, las fuerzas que actúan sobre la esfera son: Su peso g, siendo la asa E = ρ 4 3 πr 3 [] R el epuje hidrostático E, dado por el principio de Arquíedes r E = 4 3 πr 3 ρ f g [2] g y sustituyendo las expresiones [], [2] y [3] en [4] y la fuerza de rozaiento viscoso dada por la ley de Stokes R = 6πηrv Aplicando la ecuación fundaental de la dináica, ΣF = a se obtiene g E R = a 4 3 πr 3 (ρ ρ f )g 6πηrv = a [3] [4] [5] En el instante inicial es v = 0, y la fuerza de rozaiento debida a la viscosidad es nula. a aceleración en dicho instante es a = ρ ρ f ρ g [6] y coo consecuencia, la esfera coienza a overse hacia abajo, y coienza a actuar la fuerza de rozaiento viscoso. El oviiento continúa siendo acelerado, aunque la aceleración es enor que [6], y a edida que la velocidad auenta, el oviiento sigue siendo acelerado, pero con una aceleración cada vez enor, puesto que el sustraendo del prier iebro de la ecuación [5] auenta, ientras que el inuendo peranece constante. A edida que transcurre el tiepo, llega un instante en que la velocidad alcanza un valor tal que la fuerza de rozaiento viscoso es igual a la resultante del peso y el epuje, y a partir de ese instante la velocidad se antiene constante con un valor v denoinado velocidad líite que se obtiene iponiendo la condición encionada anteriorente, de donde, 4 3 πr 3 (ρ ρ f )g = 6πηrv [7] v = 2 9 r 2 g η (ρ ρ f ) [8] b) Para calcular la velocidad en función del tiepo, basta recordar que

2 2 EY DE STOES aletos y teniendo en cuenta [5] a = a = 4 3 πr 3 (ρ ρ f )g 6πηrv Igualando los segundos iebros de [9] y [0] = 4 3 πr 3 (ρ ρ f )g 6πηrv donde, para abreviar, vaos a llaar F = 4 3 πr 3 (ρ ρ f )g = constante [9] [0] [] [2] con lo que [] queda en la fora = 6πηr = constante F v = [3] = F v [4] ecuación de variables separadas que, trasponiendo térinos, se puede escribir en la fora Se observa que si se ultiplican los dos iebros por v, el prier iebro resulta ser la derivada del logarito neperiano de F v, de odo que, integrando en fora indefinida, se obtiene [5] ln(f v)+c = t [6] a constante de integración se calcula a partir de las condiciones iniciales de la esfera: Para t=0, es v=0, y este par de valores deben satisfacer la ecuación, de odo que sustituyendo, levando este valor a la ecuación [6], lnf +C = 0 C = lnf ln(f v) lnf = t [7] y teniendo en cuenta la definición de logarito neperiano y sus propiedades, operando se obtiene ln F v = e F F v = Fe de donde, v = F e Sustituyendo los valores [2] y [3], de F y, respectivaente, en la anterior [8] v v = v e [9] O t ecuación, cuya gráfica, si toaos el tiepo sobre el eje de abscisas y v sobre el de ordenadas, tiene una asíntota horizontal para v = v, lo que significa que la velocidad de la esfera alcanza ese valor al cabo de un tiepo infinito. En la práctica, dependiendo de los valores de y, no se requiere un tiepo uy grande para que la esfera alcance un valor uy próxio a v. En las funciones que dependen del tiepo en la fora

3 EY DE STOES 3 y =Cte e Cte 2 t [20] el valor /Cte 2, es decir el inverso del coeficiente del tiepo en la exponencial, cabiado de signo, recibe el nobre de constante de tiepo = t c, y representa el valor del tiepo al cabo del cual la función y alcanza el valor y =Cte e Cte 2 Cte 2 =Cte e =Cte e Cte 0,369 0,63.Cte es decir, aproxiadaente, el 63% de su valor final. Este valor nos da una idea de la ayor o enor rapidez de la variación de la función y. En nuestro caso, la constante de tiepo es t c =/. c) Se ha indicado anteriorente que el tiepo que tarda la esfera en alcanzar su velocidad áxia es, en teoría, un tiepo infinito. No obstante, para las funciones cuya ecuación es del tipo [20], en la práctica bastan unos pocos segundos para que la función alcance un valor uy próxio al valor de la asíntota horizontal. Podeos hacernos una idea de cóo se va acercando la función a dicho valor, calculando los valores de v para diferentes últiplos de la constante de tiepo. Por ejeplo: t = t c = Para t 2 = 2t c = 2 t 3 = 3 v = v ( e ) = v ( 0,368) 0,63v 63%v v 2 = v ( e 2 ) = v ( 0,35) 0,865v 86,5%v v 3 = v ( e 3 ) = v ( 0,0498) 0,950v 95%v A partir de aquí queda a nuestro criterio decidirnos por un valor u otro, dependiendo de la precisión que se desee en la edida. d) Para calcular la posición de la esfera en función del tiepo basta recordar que v = dy y sustituyendo la expresión [8] de la velocidad, en la anterior dy = F e despejando dx cuya integración en fora indefinida da dy = F e y = F t e +C 3 a integral que aparece dentro de los corchetes se resuelve haciendo el cabio de variable = u = du = du [2] [22] [23] y sustituyendo en [23] y = F t eu ( du) +C 3 = F t + eu du +C 3 = F t + eu +C 3 = F t + e +C 3 [24]

4 4 EY DE STOES aletos a constante C 3 se calcula iponiendo la condición inicial, para t=0, y=0, Sustituyendo en [24] y = F t + e 0 = F +C 3 C 3 = F 2 F = F 2 t + e = F t ( e ) y = F t ( e ) = v t ( e ) [25] e) a posición en la que alcanza la esfera su velocidad líite, se debería obtener lógicaente para un tiepo infinito. a función exponencial que aparece entre paréntesis se anula para t, y queda la expresión y = v t que, para t, resulta ser y =, y nos encontraos con la isa dificultad que en el caso de la velocidad. De anera que, siguiendo un procediiento siilar podeos calcular los valores de y para diferentes últiplos de la constante de tiepo. El inconveniente que surge ahora es que no teneos un térino de coparación, porque así coo para la velocidad sabeos cuál es su velocidad líite, no sabeos en cabio cuál es la posición de la partícula. No obstante los valores de y para los tres prieros últiplos de la constante de tiepo son: t = t c = y = v ( e ) = v ( ( e ) = v e 0,368 v Para t 2 = 2t c = 2 y = v 2 2 ( e ) = v (2 ( e ) = v (+e ),368 v t 3 = 3 y = v 3 3 ( e ) = v (3 ( e ) = v (2 +e ) 2,368 v Puesto que el valor t 3 nos da una buena aproxiación para el valor de la velocidad, podeos decidirnos por este valor, para la posición de la partícula. f) Para calcular la aceleración en función del tiepo basta tener en cuenta que el prier iebro de la ecuación [4] es la expresión de la aceleración, con lo que resulta y sustituyendo el valor [9] de v se obtiene a = F F e v = v e a = F v [26] = F e = F F e = F e = F e a = F e [27] Esta función decrece exponencialente desde el valor F/ hasta cero, valor que alcanza, teóricaente, al cabo de un tiepo infinito.

5 EY DE STOES 5 a gráfica de la aceleración en función del tiepo tiene una asíntota horizontal para a = 0, y es de la fora a = F O a t Se coprueba inediataente que para t=0, a = F/; y para t, resulta ser a = 0, coo corresponde al hecho de que para ese valor de t la velocidad ha alcanzado un valor constante igual a la velocidad líite. Para este otro tipo de funciones exponenciales tabién se define una cons - tante de tiepo, y en funciones coo ésta representa el tiepo al cabo del cual la función decrece hasta /e = 0,368 de su valor inicial, es decir hasta un 36,8%. Otra fora de obtener a = f(t) es a partir de la definición de aceleración a = y hallando la derivada de v respecto al tiepo utilizando la ecuación [8]: que es la isa expresión que la [27]. a = = F e ( ) = F e = F e

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