PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES

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1 PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 00 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva 4, Ejercicio, Opción A Reserva 4, Ejercicio, Opción B Septiembre, Ejercicio, Opción A Septiembre, Ejercicio, Opción B

2 Considera la función f : R R definida por: f ( ) = ( ) e. a) Halla las asíntotas de la gráfica de f. b) Determina los etremos relativos de f y los puntos de infleión de su gráfica. c) Esboza la gráfica de f. MATEMÁTICAS II. 00. JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN B. a) Asíntota vertical: No tiene. Asíntota horizontal: lim = = lim = 0 y= 0. e e Asíntota oblicua: No tiene e e ( ) b) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: y ' = = = 0 = ( e ) e (, ) (, ) Signo y ' Función C D Máimo (, e ) e e ( ) Calculamos la segunda derivada y la igualamos a cero: y '' = = = 0 = ( e ) e (, ) (, ) Signo y ' c) Función Cn C P.I. (, e)

3 De entre todos los rectángulos que tienen uno de sus vértices en el origen de coordenadas, el opuesto de este vértice en la curva y = ( > ), uno de sus lados situado sobre el semieje positivo de abscisas y el otro sobre el semieje positivo de ordenadas, halla el que tiene área mínima. MATEMÁTICAS II. 00. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. a) La función que queremos que sea mínimo es: Superficie min = y b) Relación entre las variables: y= c) Epresamos la función que queremos que sea máimo con una sola variable. Superficie min = = d) Derivamos e igualamos a cero 4 6 S ' = = 0 = ( ) Luego, las dimensiones son: = ; y=

4 Dada la función f definida para por f ( ) = ( ) a) Halla las asíntotas de la gráfica de f. b) Halla los puntos de corte, si eisten, de dicha gráfica con sus asíntotas. MATEMÁTICAS II. 00. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) Asíntota vertical: =. Asíntota horizontal: 6 lim = = lim = = lim = No tiene. Asíntota oblicua: y= m= lim = lim = n= lim = lim = lim = b) Calculamos el punto de corte de la asíntota oblicua con la función. y= 8 =, y=

5 Se sabe que la función f : R R definida por f ( ) = a b c tiene un punto de derivada nula en = que no es etremo relativo y que f () =. Calcula a, b, y c. MATEMÁTICAS II. 00. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A. Si no es etremo relativo, será un punto de infleión, luego: f ''() = 0 f () = a b c= f '() = 0 a b= 0 a= ; b= ; c= 0 f ''() = 0 6 a= 0

6 Sea f : R R la función continua definida por si < a f ( ) = 5 7 si a número real. a) Determina a. b) Halla la función derivada de f. MATEMÁTICAS II. 00. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. donde a es un Lo primero que hacemos es abrir la función si < si < a f ( ) = = si < a 5 7 si a 5 7 si a a) Vamos a estudiar primero la continuidad en = a lim = a a a = a a a a = a = = a a lim a b) Calculamos la función derivada: si < f '( ) = si < < 5 si

7 En la figura adjunta puedes ver representada parte de la gráfica de una función f que está definida en el intervalo (, ) y que es simétrica respecto al origen de coordenadas. a) Razona cuál debe ser el valor de f (0). b) Completa la gráfica de f. c) Halla f '( ) para los (,) en los que dicha derivada eista. MATEMÁTICAS II. 00. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) La única posibilidad para que la función sea simétrica respecto al origen de coordenadas es que f (0) = 0. b) c) Como la función no es continua en = ; = 0 ; =, tampoco es derivable en dichos puntos. La función derivada será: si < < 0 si < < 0 f '( ) = 0 si 0< < si < <

8 Se sabe que la función f : R R definida por f ( ) = a b c d es tal que f (0) = 4 y que su gráfica tiene un punto de infleión en (, ). Conociendo además que la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa = 0 es horizontal, calcula a, b, c y d. MATEMÁTICAS II. 00. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. Calculamos la primera y segunda derivada de la función. f ( ) = a b c d ; f '( ) = a b c ; f ''( ) = 6a b A continuación, aplicamos las condiciones del problema. f (0) = 4 d = 4 f () = a b c d = a = ; b = ; c = 0 ; d = 4 f ''() = 0 6a b= 0 f '(0) = 0 c= 0

9 si Sea la función f : R R definida por f ( ) = si > a) Calcula, si es posible, las derivadas laterales de f en =. b) Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función f. MATEMÁTICAS II. 00. RESERVA 4. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) Vamos a estudiar primero la continuidad en=. Como Como =. ) f () = 4 ) = lim lim No es continua. lim = lim 4 f () = lim La función es continua en =. f () lim La función no es continua en = y, por lo tanto, no puede ser derivable en La derivada a la izquierda de = es f '( ) =. La función derivada es: si f '( ) = si > b) Igualamos a cero la primera derivada: y ' = 0 = 0 (,0) (0,) (, ) Signo y ' Función D C D

10 Considera la función f definida para por f ( ) = a) Halla las asíntotas de la gráfica de f. b) Estudia la posición relativa de la gráfica de f respecto de sus asíntotas. MATEMÁTICAS II. 00. RESERVA 4. EJERCICIO. OPCIÓN B. a) Asíntota vertical es=. Asíntota horizontal: lim = = lim = 4 No tiene. Asíntota oblicua: y= 4 m= lim = lim = 4 4 n= lim = lim = lim = 4 b) Calculamos la posición de la gráfica respecto de las asíntotas: lim ( 4) = lim = lim = 0 encima de la asíntota oblicua. luego, f ( ) está por lim ( 4) = lim = lim = 0 por debajo de la asíntota oblicua. luego, f ( ) está

11 Ln( ) sen Calcula lim 0 sen MATEMÁTICAS II. 00. SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN A. cos sen Ln( ) sen 0 0 ( ) lim lim = = = = lim = 0 sen 0 0 sen cos 0 0 cos cossen

12 Estudia la derivabilidad de la función f : R R definida por: si y f ( ) = 0 si = ó = MATEMÁTICAS II. 00. SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN B. Lo primero que hacemos es abrir la función si < 0 y si y f ( ) = = si > 0 y 0 si ó = = 0 si = ó = A continuación vamos a estudiar la continuidad en = 0 ; = y = lim = 0 f (0) = lim f ( ) = lim f ( ) = lim = Continua en = 0 lim lim f ( ) lim f ( ) lim = = No continua en = y, por lo tanto, no derivable. = lim lim f ( ) lim f ( ) lim = No continua en = y, por lo tanto, no derivable. Vamos a estudiar ahora si es derivable en= 0. f '(0 ) = Si es derivable. f '(0 ) = Luego, la función es derivable en R {,}. si < 0 y ( ) f '( ) = si > 0 y ( ) 0 si = ó =

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