lasmatematicas.eu Pedro Castro Ortega materiales de matemáticas 16. Geometría analítica Matemáticas I 1º Bachillerato 0,2

Transcripción

1 lasmatematicaseu Pedro astro Ortega 16 Geometría analítica Matemáticas I 1º achillerato 1 Escribe las ecuaciones vectorial paramétricas de la recta que pasa por tiene dirección paralela al vector u 7 u u 0 a) ; b) Escribe la ecuación de la recta que pasa por P Q de todas las formas posibles (vectorial paramétricas continua implícita explicita) P 6 a) Q 0 ; b) P Escribe las ecuaciones paramétricas e implícitas de los ejes de coordenadas Q 4 Determina un vector normal la ecuación implícita de cada una de las siguientes rectas: x 1 x 1 a) r 1 ; b) 6 ; c) P 00 Q 80 ; d) P 00 Q 0 Obtén para cada una de las siguientes rectas un vector dirección un vector normal su pendiente: x 1 x 1 1 a) r 1 ; b) r ; c) r x 0 ; d) r4 x 4 6 Determina un punto un vector director de cada recta Utilízalos para dar sus ecuaciones continuas paramétricas ; b) x a) x Halla el valor de k 1 7 ; c) x 0 ; d) para que la recta x k 7 0 x 1 contenga al punto 8 Expresa en forma paramétrica la ecuación de la recta r x Expresa en forma explícita la ecuación de la recta x 1 Qué pendiente tiene? Encuentra los cortes con los ejes de coordenadas 10 onsideremos el haz de rectas de centro a) Escribe la ecuación de este haz de rectas b) Qué recta de este haz pasa por el punto 1? c) uál de las rectas del haz es paralela a x 0? d) Halla la recta del haz cua distancia al origen es igual a 11 Determina el centro del haz de rectas de ecuación kx k Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto 8 x 1 1 Dada la recta r obtén en forma explícita las siguientes rectas: 1 a) Paralela a r que pasa por b) Perpendicular a r que pasa por es paralela a la recta x De una cierta recta r conocemos su pendiente a) s es paralela a r pasa por 00 b) s es perpendicular a r pasa por 1 m Halla la recta s en cada caso: 1

2 lasmatematicaseu Pedro astro Ortega 16 Geometría analítica Matemáticas I 1º achillerato 1 Halla en cada caso la ecuación implícita o general de la recta que pasa por el punto a) Paralela a la recta x 0 b) Perpendicular a la recta x 0 c) Paralela a la recta 0 d) Perpendicular a la recta 16 El vector normal de la recta r a) s es paralela a r b) s es perpendicular a r x 0 P 1 es n Obtén en cada caso la ecuación de la recta s pasa por el punto P pasa por Q Halla la ecuación de la recta paralela a x 0 cua ordenada en el origen es 18 Dados los puntos 01 pasa por su punto medio 4 es: halla la ecuación implícita de la recta perpendicular al segmento 19 Dada la recta 4x 6 0 escribe la ecuación de la recta perpendicular a ella en el punto de corte con el eje de ordenadas 0 Determina k para que la recta r x k 8 0 sea perpendicular a la recta s x Halla en cada caso el valor de k para que la recta r kx 1 sea: a) Paralela al eje X b) Perpendicular a la recta x 7 0 Encuentra la recta que pasa por el punto De un triángulo conocemos el vértice 1 altura relativa al vértice x que es paralela a la recta 1 4 que la recta r x 6 0 que contiene al lado Halla la 4 alcula las ecuaciones de las mediatrices del triángulo de vértices 1 4 Halla el punto simétrico de 11 P respecto a la recta x alcula el baricentro del triángulo de vértices Determina el ángulo que forman las rectas x 6 0 4x 0 8 alcula el simétrico del punto respecto a la recta x Qué ángulo forma la recta x 6 0 con el eje de abscisas? 0 Qué ángulo forma la recta x 0 con el eje de ordenadas? 1 Dadas las rectas r mx 0 s nx calcula m n sabiendo que r pasa por el punto P 14 que r s forman un ángulo de 4º Las rectas r x 6 0 s x 6 0 t x 4 0 son los lados de un triángulo Halla sus ángulos alcula k de modo que la distancia entre los puntos k sea igual a 4 Halla la longitud del segmento que determina la recta x 0 al cortar a los ejes de coordenadas Determina c para que la distancia de r x c 0 al punto 6 sea de 10 unidades

3 lasmatematicaseu Pedro astro Ortega 16 Geometría analítica Matemáticas I 1º achillerato 1 6 omprueba que el triángulo de vértices 7 Dado el triángulo de vértices 00 8 En el triángulo de vértices parten de En un triángulo equilátero conocemos dos vértices Un rombo tiene dos vértices opuestos en los puntos Determina los vértices 41 4 calcula su área 0 es rectángulo calcula su área halla las longitudes de la mediana de la altura que 41 Encuentra las rectas que pasan por el punto 11 que distan Dado el triángulo de vértices 6 4 D 0 4 del punto determina: a) La ecuación de la recta que contiene la mediatriz del segmento b) La ecuación de la recta que contiene la mediana que sale del vértice 4 Determina el valor de k 44 Los vértices opuestos de un cuadrado son área para que la distancia de la recta r x k Halla el tercer vértice El vértice está en el eje X al punto 11 sea igual a Determina sus otros vértices el perímetro el 4 Un paralelogramo tiene un vértice en el punto dos lados del paralelogramo están contenidos en las rectas r x 7 0 s x 4 0 Determina las ecuaciones de las rectas que contienen los otros lados 46 alcula las ecuaciones de las alturas del triángulo de vértices ortocentro Halla el 47 Da las ecuaciones de las mediatrices del triángulo de vértices circuncentro Halla el 48 La recta x 6 0 determina al cortar a los ejes de coordenadas el segmento Halla la ecuación de la mediatriz de 49 Halla el pie de la perpendicular trazada desde 1 0 De un rombo D sabemos que los vértices las coordenadas de P a la recta r x 4 0 D están en la recta r x 1 El lado desigual de un triángulo isósceles tiene por extremos 1 4 recta x 8 0 Halla las coordenadas de el área del triángulo que 40 El vértice Halla está en la alcula c para que la distancia entre las rectas de ecuaciones 4x 6 0 4x c 0 sea igual a Determina en cada caso un punto P de la recta r x 1 tal que: a) La distancia de P a s x 4 0 sea 1 b) P diste unidades del eje X c) La distancia de P al eje Y sea 4 unidades d) P equidiste de las rectas x 0 x 1 0

4 lasmatematicaseu Pedro astro Ortega 16 Geometría analítica Matemáticas I 1º achillerato 4 Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas r x 9 0 s x 0 que forma un ángulo de 4º con la recta x 6 0 Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto P 0 forma un ángulo de 0º con la recta x x 6 La recta 0 del ángulo es la bisectriz de un ángulo recto cuo vértice es Dada la recta r x 0 halla la ecuación de la recta simétrica de r 8 Halla la recta t simétrica a r x respecto de la recta s x De un cuadrado conocemos la ecuación de una de sus diagonales d x 0 alcula el resto de vértices su área Halla las ecuaciones de los lados respecto al eje de abscisas un vértice 60 La recta x 4 0 es la mediatriz de un segmento que tiene un extremo en el punto coordenadas del otro extremo 00 1 Halla las 61 Dos de los lados de un paralelogramo están sobre las rectas x 0 x 4 0 uno de sus 60 vértices es el punto Halla los otros vértices 6 De un triángulo conocemos dos vértices 00 0 unidades demás la tangente del ángulo formado por los lados a) alcula la ecuación del lado b) Determina el vértice c) Halla la longitud de la altura relativa al vértice d) Obtén el área del triángulo la longitud del lado es 4 que es igual a 6 Un rombo D tiene un vértice en el eje de ordenadas otros dos vértices opuestos son 1 1 D Halla las coordenadas de los vértices el área del rombo 64 Un punto P que es equidistante de los puntos 4 6 eje de ordenadas uáles son las coordenadas de P? dista el doble del eje de abscisas que del 6 De todas las rectas que pasan por el punto 1 halla la pendiente de aquella cua distancia al origen es 1 66 Halla el punto de la recta x triángulo de área 6 67 Las rectas x 0 9x 4 0 ecuaciones de los lados del triángulo que con el origen de coordenadas el punto 40 P determina un son dos alturas del triángulo de vértice Halla las 68 La diagonal menor de un rombo mide lo mismo que su lado sus extremos son los puntos 1 Halla los vértices D el perímetro del rombo 69 En un triángulo isósceles con lado desigual la ecuación del lado es x 0 la mediatriz del lado es x 0 alcula la ecuación del lado sus vértices si su área es u son dos vértices de un trapecio rectángulo uno de sus lados está sobre la recta x 1 alcula los otros dos vértices (ha dos soluciones) Nota: trapecio rectángulo es aquel que tiene dos ángulos rectos

5 lasmatematicaseu Pedro astro Ortega 16 Geometría analítica Matemáticas I 1º achillerato Soluciones 1 a) Ecuación vectorial: x Ecuaciones paramétricas: b) Ecuación vectorial: x 10 0 Ecuaciones paramétricas: a) Vectorial: x 6 67 Paramétricas: Implícita: 7x Explícita: 7 x 6 b) Vectorial: x 04 Paramétricas: Implícita: x 0 x 4 7 x 1 x 6 6 ontinua: 7 x ontinua: 4 x6 6 7 x 0 4 Esta recta no tiene forma explícita (es una recta paralela al eje Y ) c) Vectorial: x Paramétricas: Implícita explícita: 0 (se trata del eje X ) d) Vectorial: x 00 0 Paramétricas: x 8 0 ontinua: x 0 ontinua: Implícita: x 0 Esta recta no tiene forma explícita (se trata del eje Y ) x Eje X Paramétricas: 0 x 0 Eje Y Paramétricas: 4 a) Vector normal: 1 b) Vector normal: 1 Implícita: 0 Implícita: x 0 n Ecuación implícita: x 1 0 n Ecuación implícita: x 0 a) Vector de dirección: u Vector normal: n b) Vector de dirección: u 4 Vector normal: 4 c) Vector de dirección: u 01 Vector normal: n 10 recta vertical a) Vector de dirección: u 1 Vector normal: 1 6 a) Punto: 1 Vector director: u b) Punto: 0 Vector director: u 1 Pendiente: x 0 0 x x 0 0 x 0 0 m n Pendiente: m n Pendiente: Pendiente: no se puede calcular porque es una 1 m x 1 Paramétricas: ontinua: x Paramétricas: ontinua: x1 x 1

6 lasmatematicaseu Pedro astro Ortega 16 Geometría analítica Matemáticas I 1º achillerato 7 8 c) Punto: d) Punto: k 1 x Ecuación explícita: u 01 Vector director: u Vector director: 1 x Pendiente: 1 Punto de corte con el eje Y : 0 Paramétricas: x ontinua: x Paramétricas: ontinua: 1 Punto de corte con el eje X : x 0 1 x 1 10 a) Ecuación del haz de rectas: x x 0 O bien: mx mx 1 b) La recta del haz que pasa por el punto x c) La recta del haz paralela a 0 es 7x 41 0 es la recta x 4 0 d) La recta del haz cua distancia al origen es igual a es la recta x El centro del haz es el punto 1 1 x a) 1 16 x ; b) x a) x ; b) x 1 a) x 11 0 ; b) x 4 0 ; c) 0 ; d) 0 16 a) x 1 0 ; b) x 0 17 x x 0 19 x k 1 a) k 0 ; b) x x 9 0 k Mediatriz correspondiente al lado : x 1 0 Mediatriz correspondiente al lado : x 0 Mediatriz correspondiente al lado : 0 El simétrico de 11 6 El baricentro es el punto 7 47º 4º 16' '' P respecto a la recta x 4 0 es el punto S 6

7 lasmatematicaseu Pedro astro Ortega 16 Geometría analítica Matemáticas I 1º achillerato 8 El simétrico del punto 9 61º 6º 18' 6'' 0 66º 6º ' 4'' 1 m Para el valor de n El ángulo formado por r es 84º k respecto a la recta x es el punto ha dos posibilidades: s 6 n o n 0 es 606º el ángulo formado por r t 4 1 es 41º el ángulo formado por s t 4 La longitud del segmento es 9 Ha dos posibles soluciones: c 10 c 10 6 Es fácil comprobar que 0 que por tanto los lados triángulo 7 El área del triángulo es es rectángulo en el vértice Su área será 7u 8 Longitud de la mediana que parte de : 9 Ha dos soluciones para el tercer vértice: Los vértices restantes son u son perpendiculares es decir que el 6 40 ltura que parte de : Ha dos rectas que cumplen la condición que se pide: 1 0 4x a) 8x ; b) x k 1 44 Los otros dos vértices del cuadrado son 911 D 1 El perímetro es 8 17 u el área es 4 Las ecuaciones de las rectas que contienen los otros lados del paralelogramo son x 0 x u 46 ltura correspondiente al vértice : x 7 0 ltura correspondiente al vértice : x ltura correspondiente al vértice : x 0 Ortocentro: 47 Mediatriz correspondiente al segmento : x 0 Mediatriz correspondiente al segmento : x 0 Mediatriz correspondiente al segmento : x 0 48 La ecuación de la mediatriz de es 6x El pie de la perpendicular trazada desde 1 El circuncentro es el origen de coordenadas: 00 O P a la recta r x 4 0 es el punto donde la recta 4 8 perpendicular a r que pasa por P corta precisamente a r En este caso es el punto 0 44

8 lasmatematicaseu Pedro astro Ortega 16 Geometría analítica Matemáticas I 1º achillerato 1 Área del triángulo: Ha dos posibles soluciones para c : a) Ha dos puntos posibles: P u c 9 c 1 10 P 7 7 P 4 b) Ha dos puntos posibles: P1 P 4 1 P 4 c) Ha dos puntos posibles: P1 1 d) Ha dos puntos posibles: P 4 4 Ha dos rectas que son solución: x 6 0 x 9 0 Ha dos rectas que son solución: x 0 x 0 6 Las ecuaciones de los lados del ángulo son x 6 0 6x 0 7 La ecuación de la recta simétrica de r 8 tx 9 El área del cuadrado es igual a 10 u Las coordenadas del otro extremo son 61 Los otros vértices del paralelogramo son 0 6 a) La ecuación del lado es 1 u ; d) El área del triángulo es respecto al eje de abscisas es x 0 El resto de vértices del cuadrado son x ; b) ; c) La longitud de la altura relativa al vértice es 6u 6 Las coordenadas de los otros dos vértices son Ha dos posibilidades: 6 La pendiente es m 4 9 P 9 P Ha dos posibles soluciones: El área del rombo es 4 D 4u 67 El lado que pasa por por tiene ecuación x 0 El lado que pasa por por tiene ecuación x 8 0 La ecuación del lado que pasa por es 7x c 0 donde c puede ser cualquier número real 68 El perímetro del rombo es 16 u Los vértices 69 Los otros dos vértices son 11 1 posibilidad es que los vértices sean los puntos 7 0 son 1 1 La ecuación general de lado es x 10 0 Ha otra 70 Ha dos soluciones En una de ellas los vértices son 1 6 En la otra los vértices son 1 7