TEMA 6 : LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD

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1 TEMA 6 : DE FUNCIONES. CONTINUIDAD. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. Ejercicio: Observa la gráfica siguiente: a) Estudia el dominio, el recorrido y la continuidad de f(). b) Indica si eisten los límites siguientes: f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) Utilizaremos la notación a (que se lee tiende a a ) para epresar que toma una sucesión de valores, distintos de a, pero muy cercanos a a. Si al hacer que a resulta que los valores de f() se acercan cada vez más a un valor l, diremos que l es el límite de la función cuando a. Se escribe: f ( ) l Cuando la variable se acerca al valor a pero tomando valores menores que a se dice que tiende hacia a por la izquierda y se escribe a. Análogamente la epresión a indica que tiende hacia a pero tomando valores mayores que a y se dice que tiende a a por la derecha. Estos conceptos se conocen como límites laterales: f ( ) l a y ( ) a f l Para que una función tenga límite en un punto es necesario que los dos límites laterales coincidan: Si f ( ) f ( ) l entonces f ( ) l a a a a º) Observa las siguientes gráficas y determina cuál es el límite en los puntos que se indican: / IBR-IES LA NÍA

2 º) Representa gráficamente las siguientes funciones y determina, si es posible, el límite de cada una de ellas en los puntos de abscisa, 0, a. f ( ) 5 b. c. g ( ) < 0 0 h( ) < < 5 >. CONTINUIDAD EN UN PUNTO En cada una de las figuras siguiente puedes observar el comportamiento de las distintas funciones cuando toma valores cercanos a. Calcula, a partir de la gráfica, y en los tres casos: a) f ( ), f ( ) y f() b) Es continua f() en? Durante mucho tiempo fue asumida como idea intuitiva la siguiente definición: una función continua es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel. Observa las gráficas de las siguientes funciones y di cuáles son continuas en a y cuáles no. En los casos que no lo sea di la causa. / IBR-IES LA NÍA

3 Luego, una función f() es continua en a si cumple: º) Eiste f(a) (tiene imagen) º) Eiste f ( ) a º) Ambos valores coinciden: f ( ) f ( a) a Ejercicio: 0 º) Dada la función f ( ) 0 < <, se pide: > a) Dominio b) Gráfica c) Puntos de discontinuidad La definición anterior puede ser ampliada a un intervalo. Para que f() sea continua en un intervalo debe ser continua en todos los puntos de su interior. Si el intervalo tiene algún etremo cerrado, por ejemplo [a,b], puesto que sólo se puede calcular un límite lateral, debe cumplir: f ( ) f ( a) y f ( ) f ( b) a b º) Dada la función [, ] ],[ ],[ f ( ) se pide: a) Dominio b) Gráfica c) Puntos de discontinuidad / IBR-IES LA NÍA

4 5º) Representa las siguientes funciones y analiza los puntos de discontinuidad f ( ), 0 g ( ) > 0 ], ] 6º) f ( ) ], [, calcula, sin hacer la representación gráfica, el límite cuando ], [, -, 0, -,, -,. [-; ; ; ; -7/; -5/; no eiste]. INFINITOS Observa el comportamiento de las siguientes funciones: En las figuras del ejemplo observa que las ramas de la curva se acercan cada vez más a una recta de ecuación a ( 0, y -, respectivamente). Dicha recta recibe el nombre de asíntota vertical. Observa que esos valores anulan los denominadores de las tres funciones. En dichos valores, si intentamos calcular el límite de la función cuando a, observamos que los valores de f() son mayores que cualquier nº real cuando toma valores próimos a a. Se dice entonces que la función yf() tiene límite cuando a. (En este caso las ramas de la función van hacia arriba). Si los valores de la función son menores que cualquier nº real cuando toma valores próimos a a, diremos que la función yf() tiene límite - cuando a. (En este caso las ramas de la función van hacia abajo). En particular si la función viene epresada como un cociente, las asíntotas verticales (límites infinitos) se buscarán entre los valores que anulen el denominador. / IBR-IES LA NÍA

5 7º) A la vista de la gráfica de la figura calcula: a. f ( ) b. f ( ) c. f ( ) 0 d. f ( ) e. f ( ) f. f(0) 8º) Estudia si las gráficas de las funciones dadas poseen asíntotas verticales y representa gráficamente la situación en las proimidades de dicha asíntota: a. f ( ) b. f ( ) ( ) c. f ( ) ( ) 9º) Calcula el valor de los siguientes límites: a. 0 b. 0 c. ( ) d. ( ) d. e. f ( ) f ( ) (Analiza el comportamiento con dos tablas de valores 6 e. ( ) f. 5 ( 5 ) g. ( ). EN EL INFINITO Hasta ahora hemos analizado el comportamiento de una función en un punto a, f(a), y en los alrededores de ese punto, f ( ). a También podemos estudiar el comportamiento de una función (la tendencia) cuando los valores de se hacen enormemente grandes ( ) o enormemente pequeños (- ). Ejemplo: Observa el comportamiento de las siguientes funciones para valores de muy alejados del origen: 5/ IBR-IES LA NÍA

6 La gráfica de la función f() se aproima a una recta horizontal tanto como queramos. Dicha recta se llama asíntota horizontal. Una función tiene límite l cuando si los valores de f() se aproiman a l tanto como se quiera cuando toma valores suficientemente grandes: f ( ) l Una función tiene límite l cuando si los valores de f() se aproiman a l tanto como se quiera cuando toma valores suficientemente pequeños: f ( ) l Aunque la función no se estabilice, hay comportamientos que se pueden epresar también con límites de la siguiente forma: Cálculo efectivo de límites cuando ó n n A) El límite de las funciones polinómicas f ( ) an an... a a0 es el de su monomio de mayor grado. Este límite siempre será, sólo debemos averiguar si es ó, dependiendo de si n es par o impar y del signo de a n : Ejemplos: ( ) ( ) ( ( ( ) ) ) ( ( ( ) ) ) B) El límite de funciones racionales (cociente de polinomios) n n an an... a a0 f ( ), dependerá del grado del numerador y del denominador m m bm bm... b b0 ya que esto determinará quién aumenta más rápidamente: si n > m n n an an... a a0 m m 0 sin < m bm bm... b b0 an si n m bm En el primer caso, el signo ó dependerá de si ó, y del signo de los coeficientes de mayor grado. 6/ IBR-IES LA NÍA

7 0º) A la vista de la gráfica del ejercicio 7 calcula: f ( ) y f ( ) º) Calcula el valor de los siguientes límites en el infinito: a. ( 7 8) 8 l. 5 b. ( 0) 5 8 m. c. ( ) d. ( 9 ) n. 7 e. ( 8) 7 o. f. ( ) 7 p. g. ( 7 ) 8 h. q r. i. 8 s. 0 j k. 5 0 º) Es y5 una asíntota horizontal de f ( )? º) Calcula la asíntota horizontal de la función f ( ). 7 º) Estudia las asíntotas verticales de f ( ) 5º) Calcula los siguientes límites tanto en un punto como en el infinito: a. b. c. 5 5 d. 5 5 e. 0 f. 0 g. 0 h. 7 i. ( ) j. k. l. 0 m. 0 n. 7/ IBR-IES LA NÍA

8 o. p. q. r. (7 ) 0 s. t. u. ( ) 8 v. 7 w CLASIFICACIÓN DE LAS DISCONTINUIDADES Cuando falla alguna de las condiciones de la definición de función continua en un punto, se dice que la función es discontinua en ese punto. Según cuál sea la condición que no se cumple da lugar a un tipo distinto de discontinuidad: A) Discontinuidad evitable: cuando eiste f ( ), pero o no coincide con f(a) o f(a) no eiste. a B) Discontinuidad no evitable: cuando no eiste el f ( ) a B) De salto finito: los límites laterales eisten y son finitos pero distintos. B) De salto infinito: cuando uno o los dos límites laterales son infinitos. 8/ IBR-IES LA NÍA

9 6º) Observa la gráfica de la función : Estudia los puntos de discontinuidad e indica los intervalos donde es continua. 7º) Estudia la continuidad de las siguientes funciones: a) f ( ) b) f ( ) c) f ( ) d) f ( ) e) f ( ) f) f ( ) g) f ( ) h) Representa la función f ( ) < < > [Discontinuidad evitable en ] i) j) f ( ). [Disc. no > 5 evitable de salto finito en -; Disc. no evitable de salto infinito en 5, AV] 9 f ( ) 6. INDETERMINACIÓN 0 0 (caso racional) En algunos casos nos ha aparecido la epresión 0 0, y nos hemos acercado al verdadero valor a través de tablas de valores. Esta epresión es una indeterminación, que se puede resolver factorizando los polinomios y simplificando la fracción: Ejemplo: 9 ( )( ) ( ) 6 8º) Terminar el ejercicio anterior 9º) Terminar el 5 (s) pag 8 0º) Calcula [] 9 f ( ) y clasificar la discontinuidad de [/] [-] 9/ IBR-IES LA NÍA

10 º) Estudia la continuidad de las funciones: a) f ( ) b) f ( ) 8 º) La función f ( ), es discontinua en? La discontinuidad es evitable? Cuál es el verdadero valor (imagen de para que sea continua en ese punto)? [-] 6 ], ] º) Estudia la continuidad de la función f ( ) ],[. [Discontinuidad no ],5] evitable de salto finito en -] 7 si º) Estudia la continuidad de la función f ( ) 9 si > < 5º) Estudia la continuidad de la función f ( ) < 6 > 6º) En cierto colectivo de familias, el gasto mensual en ocio, G() en euros, está relacionado con sus ingresos mensuales, en euros, a través de la siguiente epresión: 0' G( ) < 00 a) Estudia la discontinuidad del gasto. El gasto en ocio de una familia es sensiblemente distinto si sus ingresos son ligeramente inferiores o superiores a 000? b) Justifica que ninguna familia realiza un gasto en ocio superior a los 50 7º) Una compañía de suministro de agua incluye cuatro conceptos en el recibo que cobra a los usuarios: Una cantidad fija de 0 euros El importe de los primeros 5 m consumidos, que cobra a 0 /m. El importe del resto de los metros cúbicos consumidos, que cobra a 0 /m. Un 6% de la suma de las cantidades anteriores en concepto de IVA a) Cuánto paga una persona que ha consumido m? [ 99 ] b) Cuánto paga una persona que ha consumido 9 m? [ 69 ] c) Escribe la fórmula de la función definida a trozos I() que epresa el importe de la factura dependiendo del número de m consumidos. d) Calcula: I( ), I( ), I( ) [,] º) Para poner en funcionamiento una fábrica es necesaria una inversión de 5 millones de euros. La elaboración de una unidad determinada de cierto artículo tiene un coste adicional de. a) Encuentra la fórmula de la función F() que epresa el coste de fabricación de unidades. b) Encuentra la fórmula de la función que epresa el coste de fabricación de cada unidad. c) Si se decide fabricar un millón de unidades, cuál tiene que ser el precio de venta para obtener un beneficio de millones de euros? [80 ] d) Qué ocurriría si el número de unidades fabricadas pudiera crecer indefinidamente?[] 0/ IBR-IES LA NÍA

11 < 9º) Calcula el valor de a para que f() sea continua: f ( ), [-/] a 0º) Halla el valor que deben tener a y b para que la siguiente función sea continua en R: 5 f ( ) a b < [a, b-8] > º) Halla el valor que deben tener a y b para que la siguiente función sea continua en R: f ( ) a b < < [a/, b-/] º) Halla el valor que deben tener m y n para que la siguiente función sea continua en R: m < f ( ) 6 [m, n] n > 7. INDETERMINACIÓN 0 0 (caso irracional) Recordar ( a b)( a b) a b. Para resolver la indeterminación multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado de la epresión que presenta radicales. Ejemplos: º) [/] º) [] º) 7 [/] º) [-/7] 8. INDETERMINACIÓN Si es posible se realiza la operación indicada Ejemplos: 5 ( ) ( 5)( ) ) ( ) / IBR-IES LA NÍA

12 ), Si tenemos una epresión irracional se resuelve igual que la indeterminación 0 0, es decir, multiplicando y dividiendo por el conjugado. º) Calcula los siguientes límites: a. ( ) b. ( ) ) [] [-/] c. 5,[-/8] 5 d., [0] e. ( 7) f. g. h., [0], [] 7 ( ), [- ], [0] i. : [ ] j. [0] 7 k. [/] 9 l. 5 [/] 6 m. ( ) n. o., [0] 5 [0] 5 [-/9] PARA REPASAR 7 6 º) º) º) º) 5º) 5 6º) 7 7º) ( ) 8º) 9º) 0º) º) 6 5º) 0 9º) 5 º) º) 6º) 7º) 0º) ( 9 ) º) ( ) 8º) º) / IBR-IES LA NÍA

13 º) 6º) 5 6 º) 5 7º) 9º) ( ) º) 5º) 8º) º) ( 7 0) º) 7º) 5 º) 0º) ( ) 5 º) 6º) 5º) º) 5 ( ) ( ) 9º) 5 º) º) 8º) 0 º) ( ) 7º) º) 5 0º) ( ) º) 7 5 6º) 8º) 5 9º) 5 0 5º) 5º) Soluciones: º) /5; º) ; º) -; º) ; 5º) ; 6º) ½; 7º) 9; 8º) 9/; 9º) /; 0º) 0; º) 8; º) / º) 0; º) ; 5º) -/5; 6º) ; 7º) ; 8º) - ; 9º) ; 0º) -; º) ; º) 0; º) - º) ; 5º) ; 6º) 0; 7º) ¾; 8º) ¼; 9º) ½; 0º) 0; º) -/; º) 9/; º) -5/; º) 5º) 0; 6º) ; 7º) ; 8º) ½; 9º) 0; 0º) ;º) ; º) 0; º) - ; º) 5; 5º) 0; 6º) ½; 7º) ; 8º) 5/; 9º) - ; 50º) -/8; 5º) 0; 5º) / IBR-IES LA NÍA