MATE Dr. Pedro Vásquez UPRM. P. Vásquez (UPRM) Conferencia 1 / 18

Transcripción

1 Dr. Pedro Vásquez UPRM P. Vásquez (UPRM) Conferencia 1 / 18

2 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 2 / 18 MATE 3031 Derivadas y razones de cambio En esta sección se discutirá como hallar la pendiente de una recta tangente y la velocidad de un objeto usando límites. Considere una curva C con ecuación y = f (x), el objetivo es hallar la ecuación de la recta tangente a C en el punto P (a, f (a)), para ello considere al punto Q (x, f (x)), donde x = a y calcule la pendiente a la recta secante PQ. y Q(x,f(x)) P(a,f(a)) x a f(x) f(a) La pendiente de la recta secante: m PQ = f (x ) f (a) x a a x x

3 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 3 / 18 MATE 3031 Definición La recta tangente a la curva y = f (x) en el punto P (a, f (a)) es la recta que pasa por P con pendiente: si el límite existe. f (x ) f (a) m = lim x a x a Nota: La pendiente de la recta secante PQ, se puede calcular considerando h = x a, lo que implica x = a + h y la pendiente de la recta secante es: m PQ = f (a+h) f (a) h Es importante que observe que cuando x se aproxima a a, h se aproxima a 0, y una expresión equivalente para la pendiente de la recta tangente se tiene en la siguiente ecuación: m = lim h 0 f (a+h) f (a) h (1)

4 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 4 / 18. Ejemplo 1. 3 (pág. 150) Halle la pendiente de la recta tangente a la parábola y = 4x x 2 en el punto (1, 3) : a. usando la definición b. usando la ecuación (1). c. Determine la ecuación de la recta tangente

5 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 5 / Halle la ecuación a la recta tangente a la curva y = x 2 + 4x 6 en el punto (1, 1) 3. Halle la ecuación a la recta tangente a la curva y = 2x + 1 x + 2 (1, 1) en el punto

6 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 6 / 18 MATE 3031 Velocidad: En general suponga que un objeto se mueve a lo largo de una línea recta de acuerdo a la ecuación del movimiento s = f (t), donde s es el desplazamiento (distancia dirigida) del objeto desde el origen en el tiempo t. La función f que describe el movimiento es llamada la función posición del objeto. En el intervalo de tiempo de t : [a, a + h], el cambio de posición es: f (a + h) f (a), la velocidad promedio sobre el intervalo de tiempo es: velocidad promedio = desplazamiento tiempo = f (a + h) f (a) h y Q(a+h,f(a+h)) P(a,f(a)) h f(a+h) f(a) La velocidad promedio es la pendiente de la recta secante: PQ a a+h x

7 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 7 / 18 Si la velocidad promedio se calcula en periodos de tiempo más pequeños, [a, a + h], es decir, h se aproxima a 0, entonces se tiene la velocidad (velocidad instantánea) v (a) en el tiempo t = a y se calcula como el límite de la velocidad promedio: si el límite existe. Ejemplo Prob. 14. v (a) = lim h 0 f (a + h) f (a) h

8 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 8 / 18 Prob. 16 MATE 3031

9 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 9 / 18 Definición La derivada de una función f en un número a, denotada por f (a), es: f (a) = lim h 0 f (a + h) f (a) h si el límite existe. Nota: Si x = a + h h = x a y se tiene: f f (x) f (a) (a) = lim x a x a Recta tangente: La ecuación de la recta tangente a y = f (x) en (a, f (a)) es la recta que pasa por (a, f (a)) cuya pendiente es igual a f (a), la derivada de f en a y es dada por: y f (a) = f (a) (x a)

10 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 10 / 18 Prob. 17 MATE 3031 Prob. 20 Si la recta tangente a y = f (x) en (4, 3) pasa por el punto (0, 2), halle f (4) y f (4)

11 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 11 / 18 Prob. 22 Haga el bosquejo de la gráfica de una función g para la cual: g (0) = g (4) = g (2) = 0, g (1) = g (3) = 0, g (0) = g (4) = 1, g (2) = 1, lim g (x) =,, lim g (x) =. x y x x

12 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 12 / 18 MATE a. Si G (x) = 4x 2 x 3, halle G (a) y úselo para hallar las rectas tangentes a la curva y = 4x 2 x 3 en los puntos (2, 8) y (3, 9). 29. Halle f (a) si f (t) = 2t + 1 t + 3

13 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 13 / h El límite lim h 0 h algún número a, halle f y a. MATE 3031 representa la derivada de una función f en tan x El límite lim x π 4 x π representa la derivada de una función f en 4 algún número a, halle f y a.

14 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 14 / 18 MATE 3031 Razones de cambio Suponga que y es una cantidad que depende de otra cantidad x. Así, y es una función de x y se escribe: y = f (x). Si x cambia de x 1 a x 2, entonces el cambio en x (también llamado el incremento de x) es: y el cambio correspondiente en y es: El cociente de las diferencias: x = x 2 x 1 y = f (x 2 ) f (x 1 ) y x = f (x 2) f (x 1 ) x 2 x 1 es llamado la razón de cambio promedio de y conrespecto a x, sobre el intervalo [x 2, x 1 ] y se puede interpretar como la pendiente de una recta secante que pasa por los puntos (x 1, f (x 1 )).y (x 2, f (x 2 )).

15 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 15 / 18 Similar a la velocidad, si se considera la razón de cambio promedio sobre intervalos cada vez más pequeños, haciendo que x 2 se aproxime a x 1 lo que implica que x se aproxima a cero. El límte de la razón de cambio promedio es llamado la razón de cambio (instantánea) de y con respecto a x en x = x 1, que se puede interpretar como la pediente de la recta tangente a la curva y = f (x) en el punto (x 1, f (x 1 )) y se denota por: razón de cambio instantánea = lim x 0 y x = lim f (x 2 ) f (x 1 ) x 0 x 2 x 1 La expresión anterior no es otra cosa que la derivada de f en x 1. Ahora se puede dar una interpretación diferente a y = f (a) que representa la pendiente de la recta tangente a la curva y = f (x) en x = a, como: La derivada f (a) es la razón de cambio instantánea de y = f (x) con respecto a x cuando x = a.

16 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 16 / El número N de locales de una cadena popular de café se presentan en la siguiente tabla: Año N a b. c. d.

17 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 17 / El número de bacterias después de t horas en un laboratorio experimental es n = f (t): a. Cuál es el significado de f (5)? Cuáles son sus unidades? b....

18 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 18 / 18