Capítulo 1: Números y funciones

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1 (Fundamentos Matemáticos de la Biotecnología) Departamento de Matemáticas Universidad de Murcia

2 Contenidos Números Primeras clases de números Números reales Operaciones con números reales Ecuaciones e inecuaciones Sistemas de ecuaciones Funciones Definiciones básicas Operaciones con funciones Gráfica de una función Funciones más relevantes Funciones lineales Funciones potenciales Funciones polinómicas Funciones exponenciales Funciones logarítmicas Funciones periódicas Funciones trigonométricas

3 Números Primeras clases de números Primeras clases de números N = Números naturales (de natural): Los utilizamos para contar. N = {1, 2, 3, 4, 5,...}. Z = Números enteros (de Zahlen): Sirven para contar en direcciones opuestas a partir de un nuevo número: el cero 0. Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Q = Números racionales (de quotient): Son los que resultan de dividir un número entero m por otro n, es decir, m/n. Q = {..., 132, 103, 74, 0, 12, 23, 56 },....

4 Números Números reales Números irracionales La expresión decimal de un número racional tiene: un número finito de cifras decimales (0, 6231), o un número infinito de decimales y es periódico (2, ). I = Números irracionales (de irrational): Tienen infinitas cifras decimales y éstas no siguen ningún patrón. Por ejemplo: π = 3, número pi e = 2, número e 2 = 1, R = Números reales (de real): Son el conjunto formado por los números racionales y los irracionales, y completan todos los huecos de la recta real: R = Q I

5 Números Números reales El orden de los números reales Existe una relación de orden < (que se lee menor que ) tal que dados dos números reales x e y (distintos), se cumple x < y ó y < x. Signo de un número x: positivo si 0 < x; negativo si x < 0. El orden en N: El orden en Z: 1 < 2 < 3 < 4 < < 200 < < 10 6 < < 3 < 2 < 1 < 0 < 1 < 2 < 3 < El orden en R: Dos números reales se ordenan comparando su expresión decimal.

6 Números Números reales Otras relaciones de orden > ( mayor que ) x > y si se cumple que y < x. ( menor o igual que ) x y si se cumple que x = y ó x < y ( mayor o igual que ) x y si se cumple que x = y ó x > y

7 Números Números reales La recta real Los números reales se representan en una recta, en la cual se fija un punto 0, llamado origen, una unidad de longitud y un sentido positivo: Los números positivos (x > 0) se colocan a la derecha del origen, y los negativos (x < 0) a la izquierda: Resultado muy importante: A cada número real le corresponde un único punto en la recta y viceversa. La recta se denomina recta real y es una representación geométrica de R.

8 Números Números reales Subconjuntos especiales: los intervalos finitos abiertos: (a, b) = {x R : a < x < b} cerrados: [a, b] = {x R : a x b} semiabiertos (o semicerrados): [a, b) = {x R : a x < b} (a, b] = {x R : a < x b}

9 Números Números reales Subconjuntos especiales: los intervalos infinitos (a, + ) = {x R : x > a} [a, + ) = {x R : x a} (, a) = {x R : x < a} (, a] = {x R : x a}

10 Números Números reales Propiedades de los números reales La suma y la multiplicación de números reales poseen las siguientes propiedades: Propiedad Suma Multiplicación Conmutativa x + y = y + x xy = yx Asociativa (x + y) + z = x + (y + z) (xy)z = x(yz) Elemento neutro x + 0 = x x1 = x Elemento inverso x + ( x) = 0 xx 1 = 1 Propiedad distributiva x(y + z) = xy + xz

11 Números Operaciones con números reales Operaciones especiales con números reales (I) La potencia Si n es un número natural, se define la potencia n-ésima de x R como x n = x. (n).. x. Propiedades: (x n ) m = x n m, x n x m = x n+m, (xy) n = x n y n, X pero (x + y) n = x n + y n x 0 = 1 y x n = 1 x n.

12 Números Operaciones con números reales Operaciones especiales con números reales (II) La raíz Si n es un número natural, se define la raíz n-ésima de x como Propiedades: n x = y siempre que y n = x. Si n es par, entonces debe ser x 0. Potencias racionales: x m n = n x m.

13 Números Operaciones con números reales Operaciones especiales con números reales (III) Se define el valor absoluto de un número x como { x si x 0 x = x si x < 0 Propiedades básicas del valor absoluto: 1 x = 0 x = 0. 2 x 2 = x. 3 x = x. 4 xy = x y. 5 x n = x n. 6 = x x y y. 7 x + y x + y. 8 x y x y.

14 Números Ecuaciones e inecuaciones Ecuaciones: definición y ejemplos Las ecuaciones son igualdades algebraicas construidas con números (naturales, enteros, racionales, reales) y una variable desconocida, denominada incógnita y representada por una letra (generalmente x, aunque también valdría y, z,... ). Los valores de la incógnita que hacen cierta la igualdad se denominan soluciones de la ecuación. Ecuación Solución en... x 1 = 0 x + 1 = 0 2x + 1 = 0 x 2 2 = 0 x = 0 C = Números complejos (de complex): N Z Q R C C = {a + bi : a, b R}

15 Números Ecuaciones e inecuaciones Inecuaciones: definición y ejemplos Las inecuaciones son desigualdades algebraicas construidas con números (naturales, enteros, racionales, reales) y una variable desconocida, denominada incógnita. Si existen valores de la incógnita que hacen cierta la desigualdad, éstos se denominan conjunto solución de la inecuación. Algunos ejemplos 3x 8 0 2x 1 3x + 2 5x + 1 2x 1 < 3x + 5 x 1 < 2 2x x 1 < 2x + 3 2x + 1 3x 2 0 4x 3 5x 9 < 0 x 2 + 2x + 2 > 0 2x 2 + x 6 0 5x 2 4x + 5 4x 2 2x + 9

16 Números Sistemas de ecuaciones Sistemas de ecuaciones Un sistema de ecuaciones es una serie de igualdades en las que aparecen dos o más variables desconocidas, denominadas incógnitas. Si existen valores de las incógnitas que hacen ciertas todas las ecuaciones a la vez, éstos se denominan soluciones del sistema. Por ejemplo: { x + y = 1 2x y = 2 Ecuaciones y sistemas pueden relacionar funciones de cualquier tipo: { 3x + 2y = 64 log x log y = 1 sen 3x sen x = cos 2x.

17 Funciones Definiciones básicas Definición de función Qué es una función? Sean A y B dos conjuntos (formados por números o no). Una función f : A B es una regla que a cada elemento a A le asigna un único elemento b B (su imagen). Esto se suele escribir como f (a) = b Ejemplos 1 A ={alumnos}, B = R y f (alumno) = su altura. 2 A ={planetas}, B = R y f (planeta) = su diámetro. 3 A ={alumnos}, B ={colores} y f (alumno) = su color favorito. 4 A = N, B = R y f (n) = n.

18 Funciones Definiciones básicas Conceptos básicos f : A B, f (a) = b El conjunto A en el cual está definida la función se denomina dominio de la función, y se denota por dom(f ). a = variable independiente (es variable porque puede tomar cualquier valor en A y es independiente porque su valor no depende de nada externo) b = variable dependiente (es variable porque en principio puede tomar cualquier valor dentro de B y es dependiente porque su valor concreto está en función de a). Dependiendo de los valores que toma la función (es decir, de cómo sea B), se distinguen entre funciones (llamadas, a veces, variables) cuantitativas (peso, altura, edad...) y cualitativas (color, sexo...).

19 Funciones Definiciones básicas Funciones reales de variable real A lo largo del curso, las funciones con las que habitualmente trabajaremos serán las dadas por f : R R. Escribiremos normalmente f (x) = y ó y = f (x) para designar que x e y son números reales, siendo y la variable dependiente mientras que x es la independiente. Nota muy importante! Las letras son irrelevantes, sólo importa la función. Por ejemplo, la función f (x) = 1/ x es la misma que g(t) = 1/ t, aunque las letras sean distintas.

20 Funciones Operaciones con funciones Operaciones básicas con funciones Nombre Operación Dominio Suma (f + g)(x) = f (x) + g(x) dom(f ) dom(g) Resta (f g)(x) = f (x) g(x) dom(f ) dom(g) Producto (fg)(x) = f (x)g(x) dom(f ) dom(g) División f f (x) (x) = g g(x) dom(f ) {x dom(g) : g(x) 0}

21 Funciones Operaciones con funciones Composición de funciones La composición Dadas dos funciones f, g : R R, su composición es la función f g definida por (f g)(x) = f ( g(x) ). El dominio de la composición es { } dom(f g) = x dom(g) : g(x) dom(f ). Es fácil ver que, en general, la composición no es conmutativa, es decir: f g g f.

22 Funciones Operaciones con funciones Función inversa o recíproca La función identidad se define como La representaremos por Id. f (x) = x. La función inversa o recíproca Si f es una función, decimos que g es la función inversa o recíproca de f cuando f g = Id y g f = Id, es decir: f ( g(x) ) = x y g ( f (x) ) = x para todo x en los correspondientes dominios. Se denota por f 1. Ejemplos 1 La función inversa de f (x) = x + 2 es g(x) = x 2. 2 La función inversa de f (x) = 3x es g(x) = x/3.

23 Funciones Gráfica de una función Gráfica o grafo de una función La gráfica o grafo de una función f : R R, cuyo dominio es el conjunto A R, es el subconjunto del plano R 2 definido por { (x, ) } Gr(f ) = f (x) R 2 : x A. Sí Sí No

24 Funciones más relevantes Funciones lineales La función lineal Las funciones más sencillas son las que están dadas por f (x) = ax, donde a es un número constante. Esto significa que y es proporcional a x. Su gráfica es siempre una recta. a representa la velocidad de crecimiento y es la pendiente de la recta. a = 0, pendiente nula y recta horizontal a > 0, pendiente positiva y proporcionalidad directa a < 0, pendiente negativa y proporcionalidad inversa

25 Funciones más relevantes Funciones lineales La función lineal general Es la función dada por f (x) = ax + b, donde a y b son constantes. De nuevo a es la pendiente, mientras que ahora b es simplemente una traslación vertical (se llama la ordenada en el origen). Observación: Ahora y no es proporcional a x y = x y = 1 x y = (1/2)x

26 Funciones más relevantes Funciones potenciales La función potencial Una función se llama potencial si es de la forma f (x) = ax n, donde a y n son constantes. El valor n es el exponente. Este tipo de funciones sí aparecen en las llamadas relaciones alométricas que determinan el tamaño de los organismos en relación al tamaño de alguna de sus partes (el número n se denomina constante alométrica).

27 Funciones más relevantes Funciones potenciales Representación gráfica de funciones potenciales y = 2x 2 y = 8x 3 y = 5x 4

28 Funciones más relevantes Funciones polinómicas Los polinomios Una función polinómica o polinomio es una suma de funciones potenciales: f (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n. Los números a 0,..., a n son los coeficientes del polinomio. El término que no lleva variable (a 0 ) se llama término independiente. Se denominan raíces a las soluciones de la ecuación a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n = 0. Calcular las raíces de un polinomio es, en general, imposible. Cuando los coeficientes son números enteros, las raíces racionales son de la forma r/m, donde r y m son divisores enteros de a 0 y a n, respectivamente. La regla de Ruffini permite obtener, según sea el polinomio, nuevas raíces.

29 Funciones más relevantes Funciones exponenciales La función exponencial La función exponencial de base b es donde a y b son constantes. f (x) = ab x, La función exponencial es similar a la función potencial, con la diferencia que la variable independiente x es el exponente de la potencia, en lugar de ser la base. Obsérvese que a = f (0). Ejemplo La función que explica el crecimiento de N 0 células en condiciones ideales viene dada por una función exponencial de base 2: N(t) = N 0 2 t, donde t es la variable tiempo expresada en las unidades adecuadas.

30 Funciones más relevantes Funciones exponenciales 6 Representación gráfica de funciones exponenciales 4 2 y = e x y = e x y = (0, 7) x -2

31 Funciones más relevantes Funciones exponenciales Función exponencial y tasa de crecimiento La tasa de crecimiento T (t) (en %) de una función f (t) está dada por T (t) = f (t + 1) f (t) f (t) 100. Si f (t) = ab t, la tasa de crecimiento es T = (b 1) 100 constante. Interpretación de la tasa de crecimiento (si a > 0) 1 Si b > 1, entonces T > 0 = f es creciente. 2 Si b = 1, entonces T = 0 = f es constante. 3 Si b < 1, entonces T < 0 = f es decreciente. La función f en términos de la tasa T Si f (t) es una función con tasa de crecimiento constante T, entonces ( f (t) = f (0) 1 + T ) t. 100

32 Funciones más relevantes Funciones exponenciales 15 La función exponencial estándar Entre todas las funciones exponenciales destaca la de base b = e, f (x) = e x = exp(x), que se llama, simplemente, la función exponencial. 10 Propiedades de la función exponencial 5 e 0 = 1. e 1 = e. e x+y = e x e y. e x y = ex e y. e x = 1 e x

33 Funciones más relevantes Funciones logarítmicas La función logaritmo La función logaritmo de base b, que denotaremos por log b, es la función inversa de la función exponencial de base b (con a = 1). Por tanto: log b (b x ) = x = b log b x. Es decir, log b x es el número al que debemos elevar b para obtener x. Casos especiales Entre todas las bases destacan dos: 1 b = 10. Se denomina logaritmo decimal y se denota por log x. 2 b = e. Se denomina logaritmo neperiano y se denota por ln x. 3 b = 2. Se denomina logaritmo binario.

34 Funciones más relevantes Funciones logarítmicas Propiedades básicas de la función logaritmo 2 log b b = 1. log b 1 = y= log 2 x y= ln x y= log x log b (xy) = log b x + log b y. ( ) x log b y = log b x log b y. log b (x y ) = y log b x. log log b ( y x) = b x. y log b x log x b = 1. log b x log k b = log k x (cambio de base)

35 Funciones más relevantes Funciones periódicas Funciones periódicas Una función f : R R es periódica si se repite cada cierto período de tiempo T > 0. Más formalmente, si cumple f (x + T ) = f (x), para todo x. En la Naturaleza uno puede encontrar muchos ejemplos de situaciones periódicas: los ritmos de las estaciones, las órbitas de los planetas, el latido del corazón, las fases de la luna, etc. Las funciones periódicas por excelencia en Matemáticas son las trigonométricas: seno, coseno y tangente.

36 Funciones más relevantes Funciones trigonométricas Definición de las funciones trigonométricas Las funciones trigonométricas elementales pueden definirse utilizando un triángulo rectángulo. sen α = cos α = cateto opuesto hipotenusa cateto contiguo hipotenusa = a h. = b h. tg α = sen α cateto opuesto = cos α cateto contiguo = a b.

37 Funciones más relevantes Funciones trigonométricas Definición de las funciones trigonométricas Las funciones trigonométricas elementales en un círculo:

38 Funciones más relevantes Funciones trigonométricas Gráfica de las funciones trigonométricas elementales

39 Funciones más relevantes Funciones trigonométricas Funciones inversas de las funciones trigonométricas Las funciones inversas: arc sen α: Arcoseno (función inversa del seno), arc sen(sen α) = α. arc cos α: Arcocoseno (función inversa del coseno), arc cos(cos α) = α. arc tg α: Arcotangente (función inversa de la tangente), arc tg(tg α)=α. El inverso de las funciones trigonométricas: cosec α: Cosecante (el inverso del seno), cosec α = 1 sen α. sec α: Secante (el inverso del coseno), sec α = 1 cos α. cotg α: Cotangente (el inverso de la tangente), cotg α = 1 tg α.

40 Funciones más relevantes Funciones trigonométricas Identidades trigonométricas básicas Identidad trigonométrica fundamental: sen 2 α + cos 2 α = 1 1 sen(α + 2π) = sen α 2 cos(α + 2π) = cos α 3 sen( α) = sen α 4 cos( α) = cos α 5 tg( α) = tg α 6 sen(α + π) = sen α 7 cos(α + π) = cos α 8 tg(α + π) = tg α 9 sen( α 2 ) = ± 1 cos α 2 10 cos( α 2 ) = ± 1+cos α 2 11 sen(2α) = 2 sen α cos α 12 cos(2α) = cos 2 α sen 2 α 13 sen(α ± β) = sen α cos β ± cos α sen β 14 cos(α ± β) = cos α cos β sen α sen β 15 tg(α ± β) = tg α±tg β 1 tg α tg β