TAREA N o 1 Investigación de Operaciones

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1 TAREA N o 1 Investigación de Operaciones Profesores Víctor Leiva - Carolina Marchant Ingeniería en Estadística, Universidad de Valparaíso Valparaíso, 13 de diciembre de 2011 Ejercicio 1: Un expendio de carnes de la ciudad acostumbra preparar la carne para albóndigas con una combinación de carne molida de res y carne molida de cerdo. La carne de res contiene 60 % de carne y 20 % de grasa y le cuesta a la tienda $ 80 por libra; la carne de cerdo contiene 68 % de carne y 32 % de grasa y cuesta $ 60 por libra. Qué cantidad de cada tipo de carne debe emplear la tienda en cada libra de albóndiga, manteniendo el contenido de grasa no mayor de 25 %? Ejercicio 2: Una compañía aérea debe decidir cuántas libras de acero puro y cuántas libras de chatarra se deben utilizar para la preparación de una aleación para un cliente. El costo por libra de acero puro es de US$ 3 y el de chatarra es de US$ 6 (por las impurezas). La demanda del cliente es de por lo menos 5 libras y él aceptaría más si así se requiere. La disponibilidad de acero puro es de 4 libras y la de chatarra es de 7 libras. La razón entre la chatarra y acero puro no puede exceder los 7/8. La compañía tiene 18 horas disponibles para derretir y fundir. Una libra de acero puro requiere 3 horas mientras que la chatarra sólo 2. Plantee el problema como uno de PL y halle su solución. Ejercicio 3: Un señor ha desarrollado dos tipos de juegos de salón para adultos, los que vende a tiendas en todo el país. Aunque la demanda de estos juegos exceden la capacidad de producción, el señor sigue trabajando sólo y limita su trabajo semanal a 50 horas. El juego Tipo 1 se produce en 3,5 horas, mientras que el juego Tipo II en 4 horas. El juego 1 arroja una ganancia de $ 250 y el juego Tipo II una ganancia de $ 280. Plantee el problema como uno de PL y responda a: cuántos juegos de cada tipo se deben producir si su objetivo es maximizar la ganancia total en una semana? Ejercicio 4: Supongamos que una máquina puede fabricar 400 artículos de un producto por semana y 300 artículos de otro producto por semana. Si la producción se combina del primer producto al segundo producto durante la semana, se pueden fabricar un total de 600 artículos. Si la ganancia de las ventas del primer producto es de US$ 2 por artículo y la del segundo de US$ 5 por artículo, determine la cantidad de artículos del primer y el segundo producto para que la ganancia sea máxima. 1

2 Ejercicio 5: Se espera que dos de las máquinas de una empresa estén en reparaciones por el resto de la semana, a menos que usted programe fabricar piezas que frecuentemente compra a un proveedor. Normalmente no es conveniente producir estas piezas en su fábrica, ya que el beneficio en el producto estándar es mucho mayor; pero si las máquinas no están funcionando, es más económico producir al menos una de ellas en la fábrica. Produciendo estas piezas usted ahorra $ 805 por cada pieza A y $ 3 por cada pieza B. La pieza A demora 1 minuto en la máquina 1 y 40 segundos en la máquina 2. La pieza B demora 20 segundos en la máquina 1 y 1 minuto en la máquina 2. Usted dispone de 20 horas de tiempo libre en la máquina 1 y 12 horas de tiempo libre en la máquina 2. Para ahorrar al máximo, cuántas piezas de cada tipo debe fabricar y cuánto ahorrará? Formule este problema como uno de PL y resuélvalo. Ejercicio 6: El jefe de personal de una nueva fábrica enfrenta el problema de contratar un cierto número de trabajadores. Este número no puede exceder de 25 y debido a dificultades tenidas en el pasado, el número de mujeres no debe ser mayor que 5. Sin embargo, las mujeres han demostrado ser más eficientes que los hombres en este trabajo, como lo demuestra el hecho que ellas pueden completar 10 piezas diarias contra 8 de los hombres. Si el objetivo es maximizar la producción diaria, cuántos hombres y cuántas mujeres deberían contratar en la empresa? Formule el problema como uno de PL y resuélvalo. Ejercicio 7: Un fabricante de muebles tiene 6 unidades de madera y 28 horas disponibles, durante las cuales fabricará biombos decorativos. Con anterioridad, se han vendido bien dos modelos, de manera que se limitará a producir sólo estos dos tipos. Estima que el modelo I requiere 2 unidades de madera y 7 horas de tiempo disponible, mientras que el modelo II requiere 1 unidad de madera y 8 horas. Los precios de los modelos son US$ 120 y US$ 80, respectivamente. Formular el problema como uno de PL y resuélvalo para responder a: cuántos biombos de cada modelo debe fabricar? Ejercicio 8: La Logan Inc. desea mezclar 2 combustibles (A y B) para sus camiones con el objetivo de minimizar costos. Ellos necesitarán poco más de galones en un transporte de sus camiones durante el último mes. Éstos tienen una capacidad promedio máxima de galones, galones del combustible A y galones del combustible B. La mezcla de combustibles debe tener una razón de octanaje no menor que 80. Así, en la mezcla de combustibles, las cantidades de combustibles es igual a la suma de las cantidades puestas. La razón de octanaje es ponderada con la media de los octanajes individuales, ponderada en proporción al respectivo volumen. Lo siguiente es conocido: El combustible A tiene un octanaje de 90 y costo de $ 1,20 por galón; el combustible B tiene un octanaje de 75 y costo de $ 0,90 por galón. Formular el problema como uno de PL y resuélvalo entregando las cantidades de cada combustible a usar. Ejercicio 9: En una mueblería se planea la producción de mesas y sillas. Cada mesa requiere una hora de máquina y una hora de mano de obra, cada silla requiere dos horas de máquina y una hora de mano de obra. Se dispone de 16 horas de máquina y 9 horade mano de obra. La ganancia de cada silla es de $ y la de cada mesa es de $ Si por condiciones de la demanda se sabe que al menos debe hacerse el doble de sillas, determine: a) La región factible y las restricciones activas. 2

3 b) El plan óptimo de producción y la renta correspondiente. c) Desde qué valor de relación entre sillas y mesas la condición de demanda cambia el punto óptimo. Ejercicio 10: La fábrica de pantalones Blue fabrica dos tipos de pantalones, los manchados y los pintados. Para la confección de ambos se necesita de tela, hilo y mano de obra. Los manchados necesitan: 2 mts. de tela, 1 carrete de hilo, 2 horas de trabajo y su precio de venta es $ Los pintados necesitan: 3 mts. de tela, 4 carretes de hilo, 1 hora de trabajo y su precio de venta es $ Si se dispone de: mts. de tela, carretes de hilo y 700 horas de trabajo, se pide: a) Formular el modelo de programación lineal. b) Resolver gráficamente. c) Cuál(es) de estos recursos es o son abundantes en el punto óptimo? d) Si la mano de obra disponible disminuye en 100 horas, cambia la solución? Por qué? Justifique. Ejercicio 11: El planificador de la producción de la empresa Teggim debe programar eficientemente la utilización de las dos máquinas disponibles para la elaboración de sus dos únicos artículos. A continuación se presentan las horas requeridas por cada artículo producido en las respectivas máquinas, la disponibilidad de éstas y el utilidad unitaria por cada tipo de artículo. Artículo Máquina A Máquina B Utilidad x artículo A-l 2 horas 3 horas US$ 50 A-2 4 horas 2 horas US$ 60 Capacidad disponible 80 horas 60 horas Se desea determinar cuánto fabricar de cada artículo, de modo de maximizar las utilidades de la empresa. Para este propósito: a) Plantee el problema. b) Resuélvalo gráficamente. c) Si las utilidades se invierten, cuál será la nueva situación? d) Debido a una mejora tecnológica en la Máquina A, se reducen los tiempos de proceso: Disminuye a la mitad para el artículo A-1 y a 3/4 de hora para el artículo A-2. Cuál es la nueva solución? e) Si desea aumentar en un 50 % el tiempo disponible en cuál de las máquinas la realizaría? Por qué? Evalúe la nueva solución. 3

4 Ejercicio 12: La Compañía Neoprene posee una pequeña planta que produce dos tipos de pegamento, Neoprene 1 y Neoprene 2. Para fabricar ambos productos utiliza dos tipos de materia prima, A y B. La disponibilidad máxima de A es de 6 toneladas por día y la de B es de 8 toneladas por día. Los requerimientos de materia prima por tonelada para ambos productos se dan en la siguiente tabla. Materia prima Neoprene 1 Neoprene 2 Disponilidad A B Los estudios de mercado han establecido que la demanda diaria para Neoprene 2 no puede exceder la demanda de Neoprene 1 en más de 1 tonelada. La encuesta también indica que la demanda máxima para el Neoprene 2 está limitada a 2 toneladas diarias. El precio de venta por tonelada es de $ 3 para el Neoprene 1 y de $ 2 para el Neoprene 2. Cuánto debería producir la compañía de cada uno de estos productos para maximizar sus ganancias? Ejercicio 13: La Refinería Azteca produce dos tipos de gasolina sin plomo: regular y extra, los cuales vende a su cadena de estaciones de servicio en US$ 12 y US$ 14 por barril, respectivamente. Ambos tipos se preparan del inventario de la Azteca en base a petróleo nacional refinado y a petróleo importado refinado, y deben cumplir con las siguientes especificaciones: Presión Octanaje Demanda Máx. Entregas Min. Máxima Mínimo barriles/sem. barriles/sem. Regular Extra Las características del inventario de petróleos refinados son los siguientes: a) Plantee el problema. Presión Octanaje Inventario Costo US$ de vapor barriles por barril Nacional Importado b) Realice la gráfica de la región factible. c) Encuentre el plan óptimo de producción. Ejercicio 14: Una tienda de artículos de cuero desea programar óptimamente el uso de sus recursos. Dispone de 360 piezas de cuero y de 1320 horas de trabajo artesano. Los productos que la tienda tiene en el mercado son carteras, cuya utilidad es de $ , y maletas, a una utilidad de $ Cada maleta consume 4 piezas de cuero y 8 horas de artesano y cada cartera consume 1 pieza de cuero y 16 horas de artesano. Además tenemos la restricción de que el número de carteras no debe exceder en más de un 50 % el número de maletas ofrecidas. Por otra parte, se dispone de 360 horas de una máquina especial para terminaciones, de las cuales las maletas requieren 1 hora y las carteras 6 horas. 4

5 a) Cuál es la programación que genera óptima utilidad? Cuál es la utilidad total? b) Qué recurso es escaso? Qué recurso es abundante? Cuál es la holgura de estos recursos? c) Habría algún beneficio adicional si se permitiera hasta 7 carteras por cada dos maletas? d) Suponga que usted desea aprovechar una holgura de recursos. Determine para ello: i) Qué otro recurso debe aportar al sistema para lograr el objetivo? ii) Cuánto debe agregar? iii) Qué beneficios se producen? e) Cuánto debería subir la utilidad de las carteras para que el óptimo cambie? Ejercicio 15: Una dieta está siendo preparada para la Universidad de Arizona. El objetivo es generar a los alumnos el menor costo posible, pero que la dieta tenga entre y calorías. No más que calorías pueden ser hidratos y no menos de 400 pueden ser proteínas. La variedad de las dietas está basada en 2 alimentos, A y B. El alimento A cuesta $ 0,75 por libra y contiene 600 calorías, 400 de las cuales son proteínas y 200 hidratos. No más que 2 libras del alimento A pueden ser usada. El alimento B cuesta $ 0,15 por libra y contiene 900 calorías, de las cuales 700 son hidratos, 100 son proteínas y 100 son grasas. a) Escribir las ecuaciones que representan las restricciones. b) Resuelva el problema gráficamente para la cantidad de cada alimento que pueden ser usados. c) Agregando el contraste de no más de 150 calorías pueden ser grasas y que el precio de los alimentos a los estudiantes sería de $ 1.75 por libra del alimento A y $ 2.50 por libra por el alimento B. Encuentre el nuevo plan óptimo. Ejercicio 16: La compañía Reddy Mikks es dueña de una pequeña fábrica de pinturas, tanto de exteriores como de interiores. En la fabricación de estas pinturas se usan dos materias primas básicas (A y B). La disponibilidad máxima de A es de 6 toneladas por día, mientras que la de B es 8 toneladas al día. Los requerimientos de las materias primas se resumen en el cuadro siguiente: Tons. de materia prima por ton. de pintura Disponibilidad máxima Exterior Interior (Tons) Materia prima A Materia prima B Un estudio de mercado ha establecido que la demanda diaria de pintura para interiores no puede exceder la demanda de pintura para exteriores en más de 1 tonelada. El estudio también muestra que la máxima demanda de pintura para interiores está limitada a 2 toneladas diarias. El precio de venta a mayoristas es de $ la tonelada de pintura para exteriores y de $ la tonelada de pintura para interiores. 5

6 a) Con el fin de llegar a construir un modelo matemático que permita responder a las pregunta: Qué cantidad de ambas pinturas debe producir la compañía con el fin de maximizar su ingreso? Responda a lo siguiente: i) Defina las variables de decisión del problema. ii) Qué restricciones deben ser impuestas a las variables para satisfacer las limitaciones del sistema modelado? iii) Cuál es la función objetivo con el fin de determinar la solución óptima? iv) Formule el modelo matemático en forma explícita. b) Reescriba las restricciones que generan las nuevas condiciones siguientes: i) La demanda diaria de pintura interior excede a la de pintura exterior en al menos 1 tonelada. ii) El requerimiento de material A es a lo sumo 6 toneladas y al menos 3 toneladas. iii) La demanda de pintura interior no puede ser menor que la demanda de pintura exterior. c) Resuelva el problema original en forma gráfica. d) Indique cuáles son los recursos escasos y cuáles son los recursos abundantes (señale las restricciones activas y las no activas). e) Si se producen solamente 2 toneladas de pintura interior y 2 toneladas de pintura exterior, determine: i) La cantidad no usada de material A. ii) La cantidad no usada de material B. f) Cuántas soluciones factibles tiene el problema? g) Si se pudiera suministrar una mayor cantidad de material A, determine el aumento máximo permitido (sin que la restricción se haga redundante) h) Determine la utilidad neta generada por la nueva solución óptima. i) Si se pudiera suministrar una mayor cantidad de material B, determine el aumento máximo permitido (sin que la restricción se haga redundante). Determine la utilidad neta generada por la nueva solución óptima. j) Hasta qué nivel mínimo puede disminuir la demanda de pintura interior sin que la solución óptima se vea afectada? k) Qué recursos deberán recibir más alta prioridad en la asignación de fondos? Por qué? l) Asuma que el precio de la pintura para exteriores es variable. Determine el rango en el cual la solución óptima no cambia. 6

7 m) Qué ocurre si el precio de la pintura para exteriores cae a un nivel levemente inferior a los $ la tonelada? n) Suponga que el precio de la pintura para Interiores cae a $ la tonelada, mientras que la pintura para exteriores se mantiene en los $ Seguramente con estos precios usted decidirá no producir ni vender pintura para interiores. Demuestre esta afirmación primero y, luego determine en cuánto debería caer el precio de la pintura para exteriores de modo que la pintura para interiores sea rentable. Ejercicio 17: Una industria textil confecciona chalecos para damas y caballeros, empleando lana natural importada y sintética nacional que tiene en bodegas. Debido a la proximidad de la temporada otoño-invierno, el gerente de producción está interesado en saber cuántos chalecos producir de ambas clases, a fin de cubrir adecuadamente el mercado de la temporada, satisfaciendo las condiciones financieras de la empresa. La empresa realiza sus ventas sólo a grandes tiendas, las que pagan en efectivo, cobrando $ por los chalecos de damas y $ por los de varones. Además, se sabe que se necesitan 1,5 horas-máquinas para la producción de los chalecos de varones y 2 horas-máquina para los de damas. El valor de la hora-máquina es de $ 1.000, el costo de la lana sintética es de $ el kilo y de $ el de lana natural importada. En la siguiente tabla se muestra el consumo de cada tipo de lana según el producto. Consumo de lana Chalecos Sintética Natural Damas 0,3 Kg. 0,7 Kg. Varones 0,4 Kg. 0,6 Kg. El gerente de ventas además informó que se tiene comprometida la venta de 100 chalecos de varones y 300 de damas. Se dispone a lo más de horas de máquina. Finalmente, el Departamento de Adquisiciones informa que en bodega existen 400 kgs. de lana sintética, que no hay disponibilidad en el mercado y que para que la importación de lana natural sea rentable, se deben importar más de 420 Kgs. Por otro lado, se sabe que históricamente la venta ha sido de a lo más 2 chalecos de mujer por cada uno de hombre y que en las ventas de este año se espera que la demanda total máxima sea de chalecos. Qué cantidad de ambos chalecos debe producir la empresa con el fin de maximizar su utilidad? a) Con el fin de llegar a construir un modelo matemático, responda las siguientes preguntas: i) Defina las variables de decisión del problema. ii) Qué restricciones deben ser impuestas a las variables para satisfacer las limitaciones del sistema modelado? iii) Cuál es el objetivo que es necesario alcanzar? Qué representaría la solución óptima? iv) Formule el modelo matemático en forma explícita. b) Reescriba las restricciones que generan las nuevas condiciones siguientes: 7

8 i) La demanda en la temporada de chalecos de damas excede a la de varones en al menos 200 chalecos. ii) El requerimiento de lana natural es a lo sumo 500 Kgs. y al menos 400 Kgs. iii) La demanda de chalecos de damas no puede ser menor que la de chalecos de varones. c) Resuelva el problema original en forma gráfica. d) Indique cuáles son los recursos escasos y cuáles son los abundantes (señale las restricciones activas y las no activas) e) Si se producen sólo 400 chalecos de damas y 200 chalecos de varones, determine la cantidad no usada de lana sintética. f) Cuántas soluciones tiene el problema? g) Si se pudiera arrendar horas-máquina, determine el aumento máximo permitido (sin que la restricción se haga redundante). Determine el ingreso adicional generado por la nueva solución óptima. En estas condiciones, hasta cuánto pagaría por una hora-máquina? Análogamente, hasta cuánto pagaría por un kilo de lana sintética? h) Qué recursos deberán recibir más alta prioridad en la asignación de fondos? Por qué? i) Asuma que el precio de los chalecos de damas es variable. Determine el rango en el cual la solución óptima no cambia. j) Hasta qué nivel mínimo puede bajar la demanda sin que la solución óptima se vea afectada? k) Qué ocurre si el precio de los chalecos de damas sube a un nivel levemente superior a $18.583? l) Cuánto debería bajar el precio de los chalecos de varones, manteniendo el precio de los chalecos de damas en $ , para que cambie el óptimo? Cuál es el nuevo óptimo? Ejercicio 18: La compañía Wyndor Glass produce artículos de vidrio de alta calidad, incluyendo ventanas y puertas de vidrio. Tiene tres plantas. Los marcos y molduras de aluminio se hacen en la planta 1; los marcos de madera se fabrican en la planta 2 y en la planta 3 se produce el vidrio y se ensamblan los productos. Debido a que las ganancias se han reducido, la gerencia general decidió reorganizar la línea de producción. Se descontinuarán varios productos no rentables y se dejará libre una parte de la capacidad de producción para emprender la fabricación de uno o dos productos nuevos que han tenido demanda. Una de los productos propuestos (Producto 1) es una puerta de vidrio de 8 pies con marco de aluminio. El otro (Producto 2) es una ventana grande (4 x 6 pies) para vidrio doble con marca de madera. El departamento de mercadotecnia ha sacado por conclusión que la compañía puede vender todo lo que pueda producir de cualquiera de los productos. Sin embargo, como ambos productos compiten por la misma capacidad de producción en la planta 3, 8

9 no es obvio que mezcla de los productos sería la más rentable. Por todo esto, la gerencia pidió al Departamento de Investigación de Operaciones que estudiara el asunto. Después de hacer algunas investigaciones, el Departamento de investigación de Operaciones determinó: 1) el porcentaje de la capacidad de producción en cada planta que estará disponible para estos productos; 2) el porcentaje de esta capacidad que requiere cada unidad producida por minuto, y 3) la ganancia unitaria por cada producto. Esta Información se resume en la tabla que se indica a continuación. Como cualquiera que sea la capacidad utilizada por uno de los productos en la planta 3, el otro ya no puede aprovecharla. Tabla: Datos para la Compañía Wyndor Glass Capacidad usada por unidad de tasa de producción. Producto Capacidad disponible Planta Ganancia unitaria $3 $5 a) Escriba las ecuaciones del modelo y resuelva el problema gráficamente. b) Cuáles son recursos escasos y cuáles abundantes y cuál es su holgura? c) En cuánto puede variar la ganancia del producto 1 sin que el óptimo cambie? d) Cuánto le convendría pagar por una unidad de capacidad más en la planta 2? e) Qué sucede si se agrega la condición que la demanda del producto 2 es mayor en lo menos un 50 % que la del producto 1? II. PLANTEO DE PROBLEMAS, QSB Y MÉTODO SÍMPLEX Ejercicio 19: Una tienda de autoservicio que funciona las 24 horas tiene los siguientes requerimientos mínimos para los cajeros: Periodo Hora del día (24 horas) Número mínimo (El período 1 sigue inmediatamente a continuación del período 6). Un cajero trabaja 8 horas consecutivas, empezando al inicio de uno de los seis períodos. Determine qué grupo diario de empleados satisface las necesidades con el mínimo de personal. 9

10 Ejercicio 20: Cierto restaurante opera 7 días a la semana. Las meseras son contratadas para trabajar 6 horas diarias efectivas. El contrato colectivo específica que cada mesera debe trabajar 5 días consecutivos y descansar 2. Todas las meseras reciben el mismo sueldo semanal. El restaurante requiere como mínimo los siguientes números de horas de servicio: Día Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo Horas de servicio Suponga que este ciclo de exigencias se repite siempre y pasa por alto el hecho de que el número de meseras contratadas debe ser un número entero. El administrador desea encontrar un plan de programación de empleos que satisfaga estos requerimientos y a un costo mínimo. Ejercicio 21: La H.R. Bedding Fertilizer Company fabrica fertilizantes especiales para clientes del mercado de los cítricos. La compañía acaba de recibir un pedido de toneladas de un fertilizante que debe satisfacer las siguientes especificaciones: Al menos 20 % de nitrógeno Al menos 30 % de potasio. Al menos 8 % de fosfato. La compañía tiene proveedores de 4 mezclas de fertilizantes, a partir de las cuales pueden fabricar sus fertilizantes especiales. Los porcentajes de potasio, nitrógeno y fosfato que contienen los fertilizantes básicos (mezclas) son: Fertilizante Nitrógeno Potasio Fosfato básico El porcentaje restante de cada fertilizante básico consta de ingredientes inertes, pero por características bioquímicas en la mezcla, la cantidad de fertilizantes básicos 3 a lo menos debe superar en un 25 % el total de fertilizantes 2 y 4 utilizados. Los costos para pedidos inferiores a 100 toneladas para el fertilizante 1, 150 toneladas para el fertilizante 2, 400 toneladas para el fertilizante 3 y 100 toneladas para el fertilizante 4, son $ 16, $ 12, $ 15 y $ 8 por tonelada, respectivamente. Para pedidos superiores a estas cantidades, los precios son $ 17, $ 14, $ 17 y $ 10, respectivamente por fertilizante. Plantee el problema y halle su solución. Ejercicio 22: Una empresa constructora debe fabricar tres tipos de casas de dos, tres y cuatro dormitorios. El problema consiste en determinar el número de casas de cada tipo que deben construirse de tal forma de optimizar las utilidades netas bajo las siguientes condiciones. El presupuesto total disponible para la operación alcanza los $ , en tanto que el número total de casas a construir para que la decisión sea económicamente factible debe ser de por lo menos de 350. El análisis de mercado indica que el número máximo de casas a construir de cada tipo es: 10

11 Casas con 2 dormitorios: Casas con 3 dormitorios: Casas con 4 dormitorios: 20 % del total 30 % del total 40 % del total Además, los costos de construcción por cada tipo de casa, incluyendo terreno, gastos de ingeniería y arquitectura, entre otros gastos, son de $ para casa con 2 dormitorios, $ para casa con 3 dormitorios y $ para casa con 4 dormitorios. Las utilidades netas que produce la construcción de una casa son de $20.000, $ y $ para casas con 2, 3 y 4 dormitorios, respectivamente. Por otro lado, una casa con 2 dormitorios será construida sobre un terreno de 40 m 2, las de 3 dormitorios sobre terreno de 50 m 2 y una casa de 4 dormitorios sobre un terreno de 55 m 2. La empresa constructora cuenta con un terreno de m 2, el cual, según contrato previo, debe ser ocupado íntegramente. Se pide construir y resolver un modelo de programación lineal para la situación anterior. Ejercicio 23: Un productor desea un plan de producción de los ítems P y Q para los próximos meses de marzo, abril y mayo. Las demandas mínimas que debe satisfacerse son las siguientes (en unidades): Ítem Marzo Abril Mayo P Q Suponga que el inventario de P y Q a fines de febrero es 100 y 150 unidades, respectivamente. Considere además los siguientes antecedentes relevantes: i) Al menos 150 unidades de Q deben están disponibles a fines de mayo. ii) El costo de mantener inventario de los ítems P y Q en algún mes es de $ 100 y $ 80 por unidad, respectivamente. iii) Por problemas de espacio, la suma de ítems P y Q en stock no puede exceder a 250 unidades en algún mes. El objetivo es minimizar el costo total del inventario (el costo de producción se supone constante). Se pide construir y resolver un modelo de programación lineal para la situación anterior. Ejercicio 24: Un fabricante de un producto alimenticio lo envasa en frascos de tres tamaños: regular (R), especial (E) y extra (X). El alimento se produce en base a tres unidades alimenticias primarias: A, B y C. Cada frasco R contiene una unidad de A, una unidad de B y dos de C. Cada frasco E contiene tres unidades de A, 6 unidades de 8 y 9 unidades de C. Cada frasco X contiene 4 unidades de A, 6 unidades de B y 10 unidades de C. El fabricante tendrá disponible para el próximo mes 960 unidades de A, 1000 unidades de B y 1500 unidades de C. El beneficio por cada frasco R, E, X es de $ 100, $ 150 y $ 200, respectivamente. Por restricciones de espacio, no se podrán producir más de 5000 frascos en total. Plantear el problema que permita obtener la cantidad de frascos de cada tipo que se deben fabricar de modo de optimizar el beneficio total. 11

12 Ejercicio 25: Se desea preparar una mezcla que contenga 4 tipos de materia prima, donde cada uno de ellos contiene un cierto porcentaje de un elemento químico Q como se indica a continuación: Materia Prima Cantidad de Q (en %.) Costos por Kg. de materia en ($kg.) A B C D Se trata de obtener al mínimo costo una tonelada de mezcla cuyo contenido del elemento Q sea a lo menos de un 18 %. Además, las materias primas B y C no pueden, en conjunto, ser más de un 20 % de la mezcla total. En base a la información anterior, construya un modelo que permita resolver dicho problema. III. PLANTEO Y ANÁLISIS DE LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS Ejercicio 26: Un agricultor está preparando el plan anual de siembra en sus 10 hectáreas. Para este fin, él dispone de dos alternativas: maíz, que le da una rentabilidad de $ por hectárea y engorda de ganado, lo cual le significa $ por hectárea. El agricultor dispone además de 4 millones de pesos y sólo 3 jornaleros para implementar su plan. Por otra parte, se sabe que la hectárea de maíz tiene un costo de $ y que 4 jornaleros atienden 10 hectárea de maíz. Al mismo tiempo, se sabe que el costo de 1 hectárea de engorda es de $ y que un jornalero atiende 10 hectárea dedicadas a la engorda. Por último, al agricultor, que al menos debe usar 8 hectárea este año (debido a una negociación bancaria), sólo le quedan 16 kgs. de un herbicida muy especial (no está en el mercado) necesario en dosis de 1 Kg. por hectárea para el maíz y 2 kg. por hectárea para el ganado. a) Dibuje la región factible y las rectas de utilidad que pueden provocar los mayores beneficios. b) Determine el plan óptimo de siembra y el valor óptimo de la utilidad. c) Suponga que el agricultor desea arrendar tierras, hasta cuánto podría gastar en arriendo? Por qué? d) Suponga que el agricultor desea pedir prestado dinero, hasta qué interés anual estaría dispuesto a pagar y, en estas condiciones, hasta cuánto podría pedir? Para responder a las letras c) y d) haga uso de la Figura (tabla) 1. Ejercicio 27: La empresa Buster Sod opera una hacienda con acres de riego en el Red River Valley de Arizona. Las principales actividades de la Sod son el cultivo de trigo, alfalfa y ganado. Las autoridades de recursos hidráulicos del Red River Valley acaban de dar las asignaciones de agua para el próximo año. A Sod se le dotó con acre-pie. Sod está ocupado en la preparación de su plan de producción del próximo año. Ellos estiman que los precios de 12

13 Figura 1: Tabla de resultados del agricultor que produce maíz y engorda ganado Actividad Mano de obra Requerimiento Requerimiento Requerimiento Maquinaria de agua de tierra de alfalfa y otros costos (en acre/pie) (acre/pie) x acre (tonelada) 1 acre de trigo $ acre de alfalfa ton. de carne Cuadro 1: más datos del problema de la Buster Sod la carne se conservará en alrededor de $600 por tonelada y que el trigo se venderá a $ 1,6 por bushel. La mejor predicción es que la alfalfa se podría vender a $ 34 por tonelada, pero si llegara a necesitar más alfalfa, que la que pudiera cosechar para alimentar su ganado, tendría que pagar $ 36 por tonelada para conseguirla. Algunos detalles tecnológicos de la operación de Sod son los siguientes: el trigo produce 50 bushels por acre; la alfalfa, 3 toneladas por acre. Otros datos se dan en la Tabla 1. Defina las variables: W : Trigo cultivado y vendido (en acres) A: Alfalfa cultivada (en toneladas) B: Ganado criado y vendido (en toneladas) A3: Alfalfa comprada (en toneladas) A5: Alfalfa vendida (en toneladas) En el cuadro 2 y la figura (tabla) 2 se muestran la formulación y la solución de problema de la Buster Sod. a) Muestre los cálculos que explican los valores de los coeficientes de W en la función objetivo y los coeficientes de A en la primera y segunda restricciones. 13

14 máx Sujeto a 72W 10A + 560B 36A3 + 34A5 2) W + 0,333A + 0,05B ) 1,5W + 0,833A + 0,1B ) A + 4B A3 + A5 = 0 Cuadro 2: Planteamiento del problema de la Buster Sod b) Qué cantidad de agua se está usando? c) Qué cantidad de carne se está produciendo? d) Comprará o venderá alfalfa Sod? e) Cuánto deberá pagar Sad para adquirir otra acre de tierra? f) Interprete el precio dual del renglón 3. g) Qué le sucede a la política de plantación óptima si el precio de trigo se triplica? Qué ocurre con el VO? h) Qué utilidad recibirá Sod con la operación óptima en su granja? i) Qué sucede con el valor óptimo de la función objetivo si el costo de la alfalfa comprada aumenta de $ 36 a $37? (El coeficiente de A3 es actualmente -$ 36 y se convertirá en -$ 37. Así es que el coeficiente disminuirá en $ 1) j) En cuánto puede disminuir el costo de la compra de alfalfa sin que la política óptima de plantación actual cambie? Ejercicio 28: La Altamont Metalworks es una compañía pequeña que se especializa en la fabricación de aleaciones fuertes para la Industria aeroespacial. En tiempos recientes ganó un contrato para proveer libras de una aleación de aluminio a $ 105 la libra. Además del aluminio, la aleación debe incluir cobre, magnesio y níquel. La compañía que necesita la aleación ha asignado requerimientos al contenido del producto final. Esos requerimientos se muestran a continuación: Tabla 2: Requerimientos para la composición de la aleación. Contenido Requerimiento Cobre Cuando menos 15 % Magnesio Cuando menos 2 % pero no más de 3 % Níquel Cuando menos 20 % Impurezas No más de 1,5 % Aluminio El resto de la aleación 14

15 Figura 2: Tabla de Resultados del problema de la Buster Sod 15

16 Cuadro 3: composición de las materias primas. Metal de Insumo Costo por libra % de Cu % de Mg % de NI % de impurezas Z10 = A Z20 = B Z30 = C Z40 = D Z50 = E La Altamont tiene 5 metales básicos que pueden mezclarse para fabricar el producto final que se requiere. Estos materiales básicos, sus costos y su composición, se muestran en la Tabla 3. Debido a escasez del material Z20, la Altamont no puede utilizar más de 600 libras de él para fabricar la aleación. Usando la Figura (tabla) 3: a) Escriba las ecuaciones del problema. b) Determine la mezcla de producción de materiales básicos que proporciona las mayores utilidades. c) Cómo afectaría a la decisión de producción disminuir el costo por libra del Z30 en $ 5? d) Cómo afectaría una restricción severa sobre las Impurezas (de magnitud desconocida) las decisiones sobre producción? e) Si la disponibilidad del Z20 pudiera aumentarse pagando $ 10 adicionales por tonelada, debería la compañía usar cantidades adicionales de este material? Justifique. IV. MODELOS Y SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE PL Ejercicio 29: gráfico. Para los siguientes problemas, encuentre la solución óptima a través del método a) Max Z = 15X1 + 10X2 s.a. 2X1 + 4X2 44 X1 + 4X2 20 2X1 X2 14 X13X2 2 X1, X2 0 b) Min Z = 10X1 + 4X2 s.a. 2X1 + 4X2 40 6X1 + 3X2 51 X1 4 X2 6 X1, X2 0 16

17 Figura 3: Tabla de resultados del problema de la Altamont 17

18 c) Min Z = X1 + X2 s.a. X1 + 2X2 2 2X1 X2 3 X1, X2 0 d) Min Z = 10,000X X2 s.a. 100X X X X X X X1, X2 0 e) Min Z = 10X1 + 4X2 s.a. X1 4 X2 6 X1 + 2X2 20 2X1 + X2 17 X1, X2 0 f) Max Z = 25X1 + 50X2 s.a. 2X1 + 2X X1 600 X1 + 3X2 600 X1, X2 0 Ejercicio 30: Aplicando el Método Símplex, resolver los siguientes modelos. Indique si el modelo posee solución óptima, infinitas soluciones óptimas, solución no acotada, o no posee solución. Considere además la posibilidad de usar el método de la gran M. a) Max Z = X1 X2 + X3 s.a. X1 + X2 + 2X3 4 X1 2X2 + X3 2 X1, X2, X3 0 b) Max Z = 3X1 + 6X2 s.a. 4X1 3X2 + 6X3 1 X1 + X2 = 10 X1 X2 15 X1, X2 R, X3 0 c) Min Z =2X1 + 4X2 + X4 s.a. X1 + 2X2 X3 + X4 2 2X1 + X2 + 2X3 + 3X4 = 4 X1 X3 + X4 3 X1, X2 0; X3, X4 R 18

19 Ejercicio 31: Considere el siguiente modelo primal: Max Z = 2X1 + 2X2 s.a. 2 X1 0 X1 + X2 0 1 X2 1 a) Escribir el modelo en forma estándar y la primera tabla símplex. b) Resolver el modelo primal. c) Resolver el modelo dual. Ejercicio 32: símplex: Para el siguiente modelo, escribir el dual correspondiente y su primera tabla Min Z = 10X1 6X2 + 8X3 9X5 s.a. X1 + X2 3X3 6X4 + 10X5 7 X1 + 2X2 3X3 2X4 7X5 6 6X1 5X2 + X3 + 7X4 = 3 X5 10 X1, X2, X3, X5 0; X4 IR 19