APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

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1 APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Alicaciones de las derivadas Autores: Paco Martínez Patrici Molinàs ESQUEMA DE CONTENIDOS Concetos Ejemlos Alicaciones de las Derivadas Aritmética Desarrollo de Taylor Comaración de algoritmos Fórmula d e Taylor Resto de Lagrange Regla de l Hôital Fórmula de Mac-Laurin Órdenes de los algoritmos Indeterminaciones Ari tmética Proyecto e-math

2 INTRODUCCIÓN Emezaremos el Math-block hablando de la aroimación olinómica a una función cualquiera en un unto dado de su dominio. Se resenta el roceso de construcción del olinomio de Taylor que aroima una función cualquiera alrededor de un unto cualquiera del dominio (si el olinomio se desarrolla ara describir el comortamiento de la función alrededor de cero recibe el nombre de olinomio o serie de Mac-Lauri. La aroimación de una función hace que se ueda resolver, de forma numérica, muchas situaciones cuyas funciones son difíciles de manejar. De hecho, en informática, en los software, se utiliza mucho las aroimaciones olinómicas. Desués hablaremos de la Regla de l Hôital, que nos ayudará a calcular límites derivando funciones. Por último determinaremos cuál de dos algoritmos es más eficiente, el mejor, i.e.: cuál de los dos requiere de un tiemo de comutación menor ara llegar a la solución. Para determinar cuál de los dos es más eficiente, recurriremos al conceto de límite en el infinito y a la regla de l Hôital. OBJETIVOS. Calcular el olinomio que mejor aroima una función alrededor de un unto, y utilizarlo ara evaluar la función de forma aroimada.. Comarar el olinomio de Taylor con la función original, numérica y gráficamente.. Calcular límites indeterminados or medio de la regla de l Hôital.. Comarar el orden de magnitud de las funciones más usuales en el cálculo de la comlejidad de un algoritmo. CONOCIMIENTOS PREVIOS Para oder seguir con éito esta unidad es recomendable haberse leído los siguientes Mathblocks: Uso básico del Mathcad, Funciones de una variable, Límites de funciones y Derivación. CONCEPTOS FUNDAMENTALES Fórmula de Taylor Si f es n veces derivable en a, el olinomio siguiente se llama olinomio de Taylor de grado n en a. P f '( a)! f ''( a)! f ( a) n! n, a ( ) f ( a) ( a) ( a) L ( La diferencia f() - P n,a () se llama resto o Error, y se designa or R n,a (). Rn, a ( ) f ( ) Pn, a ( ) f ( ) Pn, a ( ) Rn, a ( ) a) n Proyecto e-math

3 Teorema de Taylor:. Si f es una función con derivada n-ésima en a, se cumle Rn ( ), a a n ( a). Si en un entorno E(a) eiste f (), entonces E(a) eiste algún c, comrendido entre a y, tal que n ) f ( c) n n, a ( ) ( a) R (Resto de Lagrange). ( n )! Con lo que el desarrollo de Taylor con el residuo de Lagrange queda así: f ( ) f ( a) f '( a) ( a)! f ''( a) ( a)! L f ( a) ( a) n! n n ) f ( c) ( a) ( n )! n Cuando a se llama fórmula de Mac-Laurin. f '() f ''() f ( ) f () L!! f () n! n n ) f ( c) ( n )! n Esta última eresión es el desarrollo de Mac-Laurin con resto de Lagrange. Ejemlo: Calcular el olinomio de Taylor de grado ara la función unto Solución: f ( ) sin en el La eresión del olinomio de Taylor de grado ara f() en el unto viene dado or f '() f ''() P, ( ) f () ( ) ( ). Así si calculamos la rimera derivada y la!! segunda en el unto, así como f () obtenemos: f ( ) sin f () sin f '( ) sin cos f '() sin cos f ''( ) cos cos ( si f ''() cos cos ( si Substituyendo, P, ( ) ( ) ( )!! Regla de l Hôital Para resolver límites indeterminados del tio /, /, se utiliza la regla de l Hôital. Regla de l Hôital: Sean f y g dos funciones que cumlen: Proyecto e-math

4 a) f ( ) g( ) c c b) Eisten f () y g () en un entorno de E(c), salvo, quizás, en c. c) c, g() y g () no se anulan en E(c). En tales condiciones si f '( ) k g'( ) c f ( ) g( c ) k Variantes de la regla de l Hôital: Todas ellas se ueden resumir así: Si i f ( ) g( ) i j, y f '( ) f ( ) k i g'( ) i g( ) k Donde i uede ser un número real c, c, c-,, -. j uede ser,, -. k uede ser un número real L,, -. Se uede alicar reiteradamente la regla de l Hôital, derivando varias veces hasta que desaarezca la indeterminación. sin sin sin Ejemlo: Es evidente que Sin embargo, al alicar la regla de L Hôital resulta sin cos sin Dónde está el fallo?. 6 Solución: sin Dado que 6 (Indeterminació, alicaremos L Hôital sin cos Por tanto ya no hay indeterminación. El error se comete al alicar L Hôital veces, cuando ya no debe hacerse or no haber indeterminación. Comaración de algoritmos La comlejidad de un algoritmo es una estimación del número de oeraciones (tanto aritméticas como lógicas) que realizará el algoritmo en función de los datos de entrada. Nos centraremos en aquellos casos en los que el número de oeraciones del algoritmo deenda de un único dato de entrada (inut), n, donde n es natural. Se utiliza la notación O(f(), donde f es una función de una variable, ara denotar que un algoritmo tiene que realizar kf( oeraciones (k es una constante) ara obtener un valor de salida a artir de la entrada n. Así, si un algoritmo realiza n 5 oeraciones antes de dar el resultado, diremos que tiene una comlejidad del orden n 5, y lo anotaremos O(n 5 ). La comlejidad algorítmica se traduce, entonces, en coste comutacional y se intenta minimizar al diseñar un algoritmo. Proyecto e-math

5 En este aartado veremos cómo comarar estas funciones entre sí, utilizando límites al infinito, teniendo en cuenta que si f ( ) L f ( L (n Ν). n Ejemlo: Consideremos algoritmos que necesitan f(n 5 n y g(n 5 -n 65 oeraciones, resectivamente, ara llevar a cabo un mismo cálculo. Cuál es más ráido?. Solución: Dando valores vemos que f( < g( n <. Por el contrario, n, f( > g(. Sin embargo ara valores grandes de n, no hay una diferencia relativa areciable entre ambas funciones: f (, ara n grande. Diremos, entonces, que f y g son del mismo orden de magnitud, y g( que los dos algoritmos tienen, también, la misma comlejidad. Definiciones Sean f(, g( funciones tales que: n f ( g( n Decimos que f y g son del mismo orden de magnitud cuando caso, escribiremos f ( g( o bien O(f()O(g(). f ( g ( n ) n,. En este f ( Decimos que f tiene orden de magnitud suerior a g cuando. En este n g ( n ) caso, escribiremos f ( >> g( o bien O(f() > O(g(). f ( Decimos que f tiene orden de magnitud inferior a g cuando. En este caso, n g( escribiremos f ( << g( o bien O(f() < O(g(). 5 En el ejemlo anterior hemos visto que f ( g( n. En general si f es un olinomio de f ( P grado, f ( an L( a ) a > f ( n n n Proyecto e-math 5

6 CASOS PRÁCTICOS CON SOFTWARE Ejemlo de comaración entre el olinomio de Taylor y la función original: Dada la función f ( ) sin, calcula: a) El olinomio de Taylor de grado, P (), ara la función f ( ) sin en el unto. Haz los gráficos de f() y de P() en [-,]. Qué observas?. b) El olinomio de Taylor de grado, P (), ara la función f ( ) sin en el unto. Haz los gráficos de f() y de P() en [-,]. Qué observas?. c) El olinomio de Taylor de grado, P (), ara la función f ( ) sin en el unto. Haz los gráficos de f() y de P() en [-,] y en [-,]. Qué observas?. d) Dibuja, en un mismo gráfico, f(), P (), P (), P 6 () y P () en [-,]. Haz una tabla de valores con f(), P (), P (),P 6 () y P () ara :-, Saca conclusiones. a) La eresión del olinomio de Taylor de grado ara f() en el unto viene dado f '() f ''() or P ( ) f () ( ) ( ). Así si calculamos la rimera derivada y!! la segunda en el unto, así como f () obtenemos: f ( ) sin f () sin f '( ) sin cos f '() sin cos f ''( ) cos cos ( si f ''() cos cos ( si Substituyendo, P ( ) ( ) ( )!! Veamos como Mathcad nos ermite comrobar desarrollos de Taylor de funciones. En este caso: Introducimos la función y luego llamamos la función interna de Mathcad series acomañada de la variable igual al unto alrededor del cual deseamos desarrollar. Finalmente introducimos el grado más la unidad. sin() series,, Podemos ilustrar este cálculo del olinomio de Taylor con las gráficas de la función original y de dicha aroimación: Proyecto e-math 6

7 Vemos claramente como, en un entorno alrededor de, el olinomio aroima muy bien el comortamiento de la función. b) ( ) : sin ( ) series,, 5 6 sin ( ) ( ) Ahora vemos como, en un entorno de mayor que en el anterior aartado, el olinomio aroima mejor el comortamiento de la función. c) ( ) : sin ( ) series,, sin ( ) ( ) sin ( ) ( ) Proyecto e-math 7

8 Ahora el contacto entre el olinomio y la función es mayor, si se toman valores dentro del intervalo [-,] cometeremos errores insignificantes al escribir: f() sin() P (). De hecho son indistinguibles los dos gráficos en [-,]. d) 6 ( ) : sin ( ) series,, sin ( ) ( ) ( ) 6 ( ) ( ) :,.7.. sin ( ) ( ) ( ) 6 ( ) ( ) En esta comarativa final, con tabla de valores incluida, se ve, numéricamente, las aroimaciones de los olinomios de Taylor. Los intervalos de aroimación aumentan a medida que aumenta el grado del olinomio. Proyecto e-math 8

9 Ejemlo de Outut Mathcad: Elica, detalladamente y aso or aso, lo que hace el rograma Mathcad en la siguiente antalla. ) f( ) : sin ( ) ( ) : sin ( ) series,, 5 6 :, f( ) ( ) ) 8 :,.. Error ( ) : f( ) ( ) 9 f( ) ( ) Error ( ) ) :, 5.. f( ) ( ) Error ( ) Proyecto e-math 9

10 Veamos como Mathcad nos ermite hacer desarrollos de Taylor de funciones: Introducimos la función y luego llamamos la función interna de Mathcad series acomañada de la variable igual al unto alrededor del cual deseamos desarrollar, el cero. Finalmente introducimos el grado más la unidad. En este caso el olinomio es de grado. Podemos ilustrar este cálculo del olinomio de Taylor con las gráficas de la función original y de dicha aroimación en el intervalo [-,] el aso de la es de décima. Comarativa con tabla de valores en el intervalo [-,], el aso es de /9. Se ve, numéricamente, la aroimación del olinomio de Taylor. Vemos, claramente, como, en un entorno alrededor de, el olinomio aroima muy bien el comortamiento de la función, el error es rácticamente nulo. A medida que nos alejamos del cero la aroimación es eor y el error es mayor. En esta comarativa final las gráficas se han hecho en el intervalo [-/,/], el aso es de /. Vemos que coinciden y el error es desreciable. Ejemlo de cálculo de un desarrollo (o serie) de Taylor: Desarrollad la función y cos alrededor de hasta el tercer grado. Utilizar el desarrollo ara calcular un valor aroimado del cos (, ). Podéis dar una cota suerior al error entre la aroimación obtenida en el desarrollo de Taylor y el valor eacto? Comrobad la serie de Taylor, la aroimación y el error cometido con Mathcad. El olinomio de Taylor de tercer grado que aroima la función viene dado or: P, ( ) cos d(cos d! ) ( ) d (cos d! ) Si substituimos en la eresión anterior los siguientes resultados: cos ( ) alrededor de d (cos d! ) ( ) cos cos d(cos d ) d (cos d d (cos d llegamos a: ( sin ) sin cos cos ) d ) d ( sin cos ) ( cos sin ) d ( ( sin cos ) 8sin cos 8 d Proyecto e-math

11 P, ( ) (! ) (! ) (! ) ( Alicaciones de las derivadas ) ( ) Veamos como Mathcad nos ermite comrobar desarrollos de Taylor de funciones. En este caso: Introducimos la función y luego llamamos la función interna de Mathcad series acomañada de la variable igual al unto alrededor del cual deseamos desarrollar. Finalmente introducimos el grado más la unidad. ( cos() ) series,, Podemos ilustrar este cálculo del olinomio de Taylor con las gráficas de la función original y de dicha aroimación:. cos( ).5. Vemos claramente como en un entorno alrededor de, 785, el olinomio aroima muy bien el comortamiento de la función. Calculamos la aroimación a cos, Taylor de tercer grado ara, : P, (, ),, evaluando el valor numérico del olinomio de.7865 Sin necesidad de evaluar funciones trigonométricas sólo con oder multilicar y sumar, obtenemos una aroimación de la función cos ( ) alrededor de,. Aquí radica la gran utilidad de los desarrollos de Taylor. Comrobamos dicho resultado fácilmente con Mathcad. Mediante la técnica del coiar y egar construimos la función (). Para luego evaluarla en,. Proyecto e-math

12 La estimación del error cometido se obtiene a artir del cálculo del Residuo de Lagrange del olinomio de Taylor ara la función cos ( ) alrededor del unto : n ( ) n d (cos ) R ( ) n n, ( n )! d ξ donde n es tal que / es mayor que el grado del olinomio de Taylor y / hace que ( ) Rn, sea diferente de cero debido a una derivada n-ésima idénticamente nula. Esta eresión nos roorciona la diferencia entre el valor eacto de la función y del olinomio que la aroima. Como R ( ) )! (, ya que: d (cos d ) d d (cos d ) ξ ( 8sin cos ) 8( cos sin ) d tenemos que calcular R (,, ξ ), Proyecto e-math

13 5 d (cos 5 d ) d 8(cos sin d Alicaciones de las derivadas ( ) Utilizando sin cos 6 obtenemos ara el Residuo de Lagrange: R, (, ( ) 5! ) ( ) d (cos ) ξ ) 5 d ξ es decir: 5 (, ) 5 5 R (,, ξ ) sinξ cosξ sin ξ, 5 ( ) sin cos ξ ξ es un real de valor desconocido ero necesariamente localizado dentro del intervalo,,. Esto nos ermite, ues, acotar el error sueriormente a artir del valor máimo de R (,, ξ ) con ξ,,.acotamos el error entre el valor eacto de la función n, y la estimación derivada del olinomio de Taylor utilizando el valor máimo del valor absoluto del Residuo de Lagrange. Dicho valor máimo se obtiene ara ξ : ε R, (', ) 5 5 sin 5 5,986 7 Esto nos ermite escribir que: cos,.78±. y comarar con el resultado eacto que odemos obtener, or ejemlo, con Mathcad: cos, Este último se encuentra dentro del intervalo definido or las barras de error ara el valor aroimado. Ejemlo de alicación del cálculo diferencial al comuto de límites: Calculad los siguientes límites utilizando la regla de l Hôital: a) e α β e b) con y q > q q Proyecto e-math

14 El límite en a) tiende a cuando y, or lo tanto, odemos alicar la regla de l Hôital. Derivando el numerador y el denominador obtenemos: β α β α β α β α β α )' ( )' ( e e e e e e Notad que no calculamos los límites laterales or searado uesto que coinciden como odéis comrobar. En el caso b) también odemos alicar la regla de l Hôital uesto que el límite tiende a cuando : q q q d d d d q q que simlificando nos conduce a: q q Comrobamos ambos resultados con Mathcad: Proyecto e-math

15 Ejemlos de comaración de algoritmos: El conceto eficiencia de un algoritmo hemos visto que hace referencia al número estimado de oeraciones (tanto aritméticas como lógicas) que realizará éste antes de roorcionar un resultado. Veamos dos ejemlos:.- En Programación Lineal se utiliza el software lindo que está basado en el algoritmo del simle cuyo orden es olinómico, O(n ). Hay otro algoritmo, ero que no se utiliza, que es el de Karmarkar. La razón or la que no se utiliza es orque es de orden eonencial O(a n ), a>. Veamos el or què: n a n n in det (ln a) a (ln a) ( )! a ( Hôital veces) a Luego una eonencial de base mayor que crece con mucha más raidez que cualquier olinómica a n >>> n, con lo que es mejor el algoritmo de orden olinómico. Veamos un ejemlo con el Mathcad ara a y. Decir que el algoritmo del simle hay veces que se cicla y no llega a la solución. La ráctica nos ha demostrado que hay un orcentaje de roblemas, alrededor de un 9%, que el lindo ha odido solucionar. Sin embargo, con el algoritmo de Karmarkar asa al revés, sólo llega a la solución un %, las demás veces se cuelga. Proyecto e-math 5

16 .- Suongamos que, dado un conjunto de n ciudades (n ) y la corresondiente matriz de distancias entre ellas D (d ij ), disonemos de dos algoritmos distintos, que tienen una comlejidad de orden n log( y n resectivamente, caaces de hallar la trayectoria de mínima distancia que las recorra todas. Nuestro objetivo será determinar cuál de los dos algoritmos es más eficiente, el mejor, i.e.: ara un número dado (muy elevado) de ciudades, cuál de los dos requiere de un tiemo de comutación menor ara llegar a la solución. El número de oeraciones a realizar deende del número de ciudades (o nodos) n imlicadas. Para determinar cuál de los dos es más eficiente (ara valores muy grandes del arámetro, recurriremos al conceto de límite en el infinito. n log n log n log n n n n ln {L' Hôital} ln Esto significa que, ara valores grandes de n (nº de nodos o ciudades), n log( << n, con lo que el algoritmo de orden n log( es mucho más eficiente (requiere de muchas menos oeraciones ara llegar a la solució. Podemos recurrir a Mathcad ara que nos ayude en el cálculo del límite anterior, en la reresentación gráfica de las funciones, y en análisis del tio qué asaría si ahora logramos rediseñar el algoritmo menos eficiente de forma que su orden de comlejidad sea de n ln(? Proyecto e-math 6

17 BIBLIOGRAFÍA [] Benker, H. (999): "Practical use of Mathcad. Solving mathematical roblems with a comuter algebra system", Sringer-Verlag New York, Inc. [] Moreno, J.A.; Ser, D. (999): "Mathcad 8. Manual de usuario y guía de referencia de Mathcad 8", ediciones Anaya Multimedia, S.A. [] Agulió, F.; Boadas, J.; Garriga, E.; Villalbí, R. (99): Temes clau de càlcul. Barcelona: UPC. [] Courant, R.; John, F. (97): Introducción al cálculo y al análisis matemático. Méico: Limusa. [5] Vaquero, A.; Fernández, C. (987): La Informática Alicada a la Enseñanza. Eudema S.A. Madrid.P 7. [6] Ortega J. (99): Introducció a l anàlisi matemática. Barcelona: Publicacions de la Universitat Autónoma de Barcelona. [7] Tang, S. (986): Alied Calculus. PWS Publishers. [8] Burbulla, D.(99): Self-Tutor for Comuter Calculus Using Male. Prentice Hall. [9] Hunt, R. (99): "Calculus". Ed. Harer Collins. Proyecto e-math 7

18 ENLACES [W] htt://lanetmath.org/encycloedia/proofoftaylorstheorem.html Página web de la encicloedia de PlanetMath.org sobre el Teorema de Taylor. También se ueden buscar en htt://lanetmath.org/encycloedia otros concetos como Regla de L Hôital, or ejemlo. Está en inglés. [W] htt:// Página web con auntes sobre las derivadas, el Teorema de Taylor y la Regla de L Hôital. [W] htt:// Página web donde aarecen auntes de cálculo de un sicólogo, en la cual ha seleccionado las citas más relevantes de los tetos con los que udo trabajar. Todas las citas tienen el siguiente formato: [teto (autor, ágina)]. [W] htt:// Página web sobre un articulo, que ganó el segundo remio en el "concurso de rogramas educativos ara ordenador" organizado or el M.E.C. el año 99. Trata sobre un rograma, funciones ara windows, con ejemlos gráficos. En articular, habla de la aroimación de una función or medio del olinomio de Taylor. En catalán. [W5] htt:// Página web de Salvador Vera Ballesteros, rofesor del Deartamento de matemáticas alicada de la universidad de Málaga. Contiene roblemas y auntes sobre las derivadas y sus alicaciones. [W6] htt://neko.ciencias.uniovi.es/~jlfm/ader.df Otra web, esta vez del rofesor del Deartamento de matemáticas de la universidad de Oviedo, con roblemas y auntes sobre las derivadas y sus alicaciones. [W7] [W8] htt:// Página web que contiene roblemas resueltos, con niveles de dificultad, sobre la regla de l Hôital. htt://cariari.ucr.ac.cr/~cimm/ca_8/ca8_8-5.html Página web que trata sobre un curso de cálculo diferencial. Hay teoría y ejercicios sobre la regla de l Hôital. [W9] htt:// Página web del Deartamento de matemáticas alicada de la universidad olitécnica de Madrid. Contiene ejercicios y eámenes sobre alicaciones de las derivadas. [W] htt:// Página comleta sobre todo lo relacionado con las matemáticas. Aarecen matemáticos famosos y alicaciones de las matemáticas a diversos camos. Proyecto e-math 8