Ejercicios para aprender a derivar

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1 Ejercicios para aprender a derivar Derivación de polinomios y series de potencias Reglas de derivación: f ( ) k f '( ) 0 f ( ) a f '( ) a n n f ( ) a f '( ) an f ( ) u( ) + v( ) f '( ) u' + v' Ejemplos: f ( ) f '( ) 0 f ( ) f '( ) f ( ) f '( ) f ( ) f '( ) f ( ) + f '( ) f( ) f '( ) Ejercicios: º Derive las siguientes funciones polinómicas: 0 a) f ( ) + + b) f ( ) + c) f( ) d) ( ) f + e) f( ) + + f) f ( ) + + g) f( ) h) f ( ) + i) f ( ) π + j) f ( ) + k) f ( ) l) f ( ) + m) f ( ) + n) f( ) + ñ) f( ) + 0 Sol: 9 a) f '( ) b) f '( ) + 8 c) f '( ) d) f '( ) e) f '( ) + 0 f) f '( ) 0 + g) f '( ) h) j) f '( ) 0 k) m) f '( ) n) f '( ) + i) f '( ) + l) f '( ) 0 ñ) f '( ) π + f '( ) f '( ) 0 º Derive, con un poco de ingenio, las siguientes funciones: / / a) f ( ) 8 / / b) f ( ) + c) f ( ) + / / d) f ( ) + e) Sol: a) f '( ) / d) f '( ) + e) / / + b) f ( ) 9 + f) / / f '( ) + c) / /9 f '( ) + f) 9 f ( ) f '( ) + f '( ) 0 / / 9/0

2 Reglas de derivación. Ejemplos: Derivación de potencias de funciones f ( ) au n f ( ) anu' u n ( ) ( ) f ( ) + f '( ) (+ ) + f ( ) ( + ) f '( ) 00( + )( + ) f( ) ( + + ) f '( ) ( + ) ( + + ) f( ) ( + + ) f '( ) ( + 0 ) ( + + ) ( + + ) ( + ) ( + + ) f( ) f '( ) 8 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) f( ) + f '( ) + Ejercicios: º Derive las siguientes funciones con paréntesis: a) d) f ( ) ( + ) b) ( ) f( ) e) f ( ) f ( ) ( + + ) c) / f ( ) ( + ) f) f ( ) + f π ( ) ( ) e g) ( + ) h) f( ) ( + + ) i) f ( ) ( + ) 8 ( + ) ( + ) j) f( ) k) f( ) l) m) f ( ) ( ) / n) f ( ) ( ) / Sol: a) f '( ) ( ) + b) c) ( ) f '( ) + + / / e) f '( ) ( )( + ) f) f( ) + f '( ) ( + )( + + ) d) f '( ) ( )( ) f '( ) e( π π )( π e g) '( ) ( + )( + ) h) ( )( f '( ) + + ) f i) ( )( ) k) f '( ) j) ( )( + ) 0 f '( ) l) f '( ) 0 ( + ) ( + ) f '( ) 9 f '( ) + f '( ) m) ( )( ) / n) ( )( ) / )

3 Derivación de raíces cuadradas y raíces de orden superior Reglas de derivación. Ejemplos: f f ( ) '( ) f ( ) n u' u f '( ) n n u n f( ) + f '( ) ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) f( ) f '( ) Ejercicios: º Derive las siguientes funciones con paréntesis: a) f ( ) + 0 b) f ( ) + 0 c) d) g) f ( ) + + e) f ( ) + h) 0 f ( ) + f) f ( ) + f ( ) + f ( ) + i) f ( ) j) f ( ) + + k) f( ) + + l) f( ) + + Sol: a) f '( ) + 0 b) f '( ) 0 9 ( + ) 0 ( + 0 ) c) f '( ) + + d) f '( ) (0 ) e) f '( ) f) f '( ) ( + 0 ) + g) i) k) f '( ) + f '( ) 8 8 f '( ) ( + ) ( + + ) ( ) + h) f '( ) ( + ) + + j) f '( ) + +

4 Derivación de producto de funciones Reglas de derivación. f ( ) uv f '( ) u' v + v' u f ( ) u( v( )) f '( ) u'( v( )) v'( ) Ejemplos: f( ) ( )( + ) f '( ) ( ) + ( ) f ( ) ( + )( + ) f '( ) ( + 8 ) ( + ) + ( + ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) f ( ) + f '( ) Ejercicios: º Derive las siguientes funciones: a) f ( ) ( )( ) b) f ( ) ( + 8) c) f ( ) ( ) ( + ) d) f ( ) ( ) ( + ) e) f( ) + f) f ( ) ( ) ( ) g) f ( ) ( ) ( + ) h) f ( ) ( ) ( ) f j) f ( ) ( + )( + ) i) ( ) ( + )( + )( + ) k) f( ) + l) f ( ) + ( + ) Sol: a) f '( ) ( ) + ( ) 8 b) f '( ) ( + 8) + 9 c) f '( ) ( + ) + d) f '( ) ( ) ( + ) + ( ) e) f '( ) f) f '( ) 0 ( ) ( ) + ( )( ) g) f '( ) ( ) ( + ) + ( ) h) f '( ) ( ) ( ) + ( )( ) + ( ) ( ) i) f '( ) ( + )( + )( + ) + ( + )( + )( + ) + ( + )( + ) f '( ) j) ( )( ) ( )( ) / / ( + ) ( ) k) f '( ) + + l) f '( ) + ( + ) + ( + ) + + ( + ) +

5 Reglas de derivación. v ' f( ) f '( ) v v Ejemplos: Funciones racionales u f ( ) v u' v v' u f '( ) v f( ) f '( ) + ( + ) ( + ) (00 + ) f( ) f '( ) ( + ) + ( + ) ( + ) f( ) f '( ) + ( + ) Ejercicios: º Derive las siguientes funciones: a) f( ) Sol: a) f( ) ( ) b) f( ) b) f '( ) ( ) c) c) f( ) ( ) ( ) f( ) ( ) º Usando las reglas de derivación anteriores derive las siguientes funciones: a) f( ) b) f ( ) + c) ( ) e) f ( ) f) f ( ) g) Sol: ( ) ( ) a) f '( ) b) ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) + c) f '( ) ( + ) f ( ) d) f ( ) h) ( ) ( + ) ( ) ( ) + f '( ) d) f '( ) f ( ) i + f( ) e 9( ) ( ) e) f '( ) f) f '( ) 9 i e e i i ( ) e ( + ) g) f '( ) h) f '( ) e ( ) 8º Demostrar que las siguientes funciones tienen por derivada: + + a) f ( ) f '( ) b) f ( ) f '( ) c) f( ) f '( ) h) f( ) f '( ) ( + )

6 Reglas de derivación. u f ( ) a f '( ) u' a Funciones eponenciales u ln a u f ( ) e f '( ) u' e u Ejemplos: f ( ) e f '( ) e + + ( ) + + f( ) e f '( ) + e f ( ) f '( ) ( ) ln + + f( ) f '( ) + 0 ln f( ) f '( ) ln ( + ) Ejercicios: 9º Usando las reglas de derivación anteriores derive las siguientes funciones: a) ( ) f e + b) f ( ) e + c) f ( ) e d) f( ) e + + e) ( ) + f f) f( ) + g) f( ) h) f( ) π + + Sol: a) f '( ) ( + ) e + b) f '( ) e + c) f '( ) e d) f) h) f '( ) ( + 0 ) e + + e) + f '( ) ln g) + + f '( ) ( + 0 ) π ln π 0º Derive las siguientes funciones: a) f( ) e + e + + b) d) g) f ( ) e e + f ( ) + e) f( ) (( e ) ) + + h) ( ) ( f ) f ( ) + f '( ) ( + ) ln f '( ) ln e + c) f ( ) e + e + e f) i) f ( ) f ( ) 0 e e + e j) f( ) + e + k) f( ) e+ l) ( ) e f + + e Sol: a) f '( ) e + e + b) f '( ) ( ) e + ln c) f '( ) e + e d) f '( ) e + e + e + e + e) f '( ) e f) f '( ) e g) '( ) ln ( ) + f + + ln h) '( ) ( ) f e i) f '( ) e 0 ln0 j) / /( ) e k) f '( ) ln l) ( ) + + f '( ) ln + e / e f ( ) ln + e e e

7 Funciones logarítmicas Reglas de derivación. u' f ( ) loga u f '( ) log u Ejemplos: 8 + ( ) log (8 + ) f '( ) log 8 + a e u' f ( ) ln u f '( ) u f f ( ) ln( + ) f '( ) + Ejercicios: º Usando las reglas de derivación anteriores derive las siguientes funciones: a) f ( ) ln( ) b) f ( ) ln( ) c) f ( ) ln( ) d) f( ) log( ) e) f ( ) log( ) f) f ( ) log( ) g) f ( ) log ( ) h) f ( ) log ( ) i) f ( ) log ( 8 ) Sol: 8 a) f '( ) b) f '( ) c) f '( ) d) f '( ) log e e) f '( ) log e 0 + f) f '( ) log e g) f '( ) log e 8 h) f '( ) log e i) f '( ) log e 8 º Derive las siguientes funciones: a) f ( ) ln b) f( ) ln( + ) + c) f ( ) ln d) f ( ) e) f ( ) ln f) f ( ) log ( ) ln ln g) f( ) log ( ) 0 + h) f ( ) i) ( ) ln ( f + e ) + ln j) f( ) e + k) f( ) ln l) f ( ) ln ( ln ( ln ) ) + Sol: a) f '( ) b) f '( ) ln( + ) + c) f '( ) + + d) f '( ) e) f '( ) f) f '( ) log e (ln ) ( ) + e g) f '( ) log 0 e h) f '( ) ln ln i) f '( ) e + ln + 8 j) f '( ) e e k) f '( ) l) f '( ) ( + ) ( ) ln( ) ln ln e ( )

8 Funciones trigonométricas Reglas de derivación. f ( ) sin u f '( ) u' cosu f ( ) cos u f '( ) u' sinu u ' f( ) tan u f '( ) cos u Ejemplos: f ( ) sin( ) f '( ) 8cos( ) f ( ) cos( ) f '( ) sin( ) cos f( ) tan( ) f '( ) f( ) tan(sin( )) f '( ) cos ( ) cos (sin( )) Ejercicios: º Usando las reglas de derivación anteriores derive las siguientes funciones: a) f ( ) cos() b) f( ) sin( ) c) f ( ) sin cos d) f ( ) sin( + ) e) f ( ) cos(sin ) f( ) sin + f) ( ) g) f( ) tan( + ) h) f ( ) tan( ) f ( ) tan cos + i) ( ) Sol: a) f '( ) sin( ) b) f '( ) cos( ) c) f '( ) cos + sin d) f '( ) cos(+ ) e) f '( ) cos sin(sin ) f '( ) cos sin g) f '( ) h) f '( ) i) f '( ) cos ( + ) cos + cos ( cos ) f) ( ) ( ) º Derive las siguientes funciones y simplifíquelas si fuese posible: a) f ( ) sin( ) b) f ( ) sin ( ) c) f ( ) sin ( ) d) f ( ) sin( ) e) f ( ) cos ( ) f) f ( ) cos ( ) g) f ( ) sin( )cos( ) h) f ( ) cos sin i) f ( ) tan cos j) f ( ) tansin( ) k) f ( ) tan l) f ( ) cotan( ) Sol: a) f '( ) cos ( ) b) f '( ) sin cos c) f '( ) sin( ) cos( ) cos( ) d) f '( ) (sin( )) e) f '( ) sin cos f) f g) f '( ) cos( )cos sin( )sin sin( ) h) f '( ) cos( ) i) f '( ) cos j) f '( ) cos( ) k) f '( ) cos l) f '( ) tan sin ( ) '( ) 8 sin( ) cos ( ) 8

9 Reglas de derivación. f( ) arcsin u f '( ) Ejemplos: ( ) arcsin( ) '( ) f f u ' u u ' f( ) arctan u f '( ) + u f( ) arccos u f '( ) u ' u e f( ) arctan( e ) f '( ) + e + ( ) f( ) arccos e + f '( ) e ( e + ) Ejercicios: º Usando las reglas de derivación anteriores derive las siguientes funciones: a) f ( ) arcsin ( ) b) f( ) arcsin( + ) c) f ( ) arcsin ( e ) d) f ( ) arccos( + ) e) f ( ) arccos( e + ) f) f ( ) arccos( ln) f ( ) arctan f ( ) arctan + i) f ( ) arctan ( ln) g) ( ) h) ( ) Sol: a) f '( ) d) f '( ) + 0 ( ) + b) f '( ) e) f( ) ( ) + e + ( e ) + + g) f '( ) h) f '( ) ( ) º Derive las siguientes funciones y simplifíquelas si fuese posible: + a) f ( ) arcsin e cos c) f '( ) f) b) f ( ) e arcsin c) e e 0 f( ) ln ( ) i) f '( ) + (ln ) arcsin( ) f( ) d) f ( ) arcsin(arccos ) e) f ( ) arccos sin Sol: a) f '( ) cos e + b) f '( ) sin( ) e arcsin + e arcsin( ) ( ) d) f '( ) c) f '( ) arccos e) f '( ) f) f '( ) f) f ( ) sin (arccos ) e cos 9

10 Primer ejemplo: º) Dominio. Dom f( ) { } Representación de funciones f ( ) f( ) º) Simetrías. f( ) No tiene simetría par ni impar. f( ) º) Puntos de corte. Eje : f ( ) 0 0 No corta el eje. Eje y: f ( 0) (0, ) 0 º) Asíntotas. Asíntota vertical: lim f ( ) lim ± Asíntota horizontal: lim f ( ) lim 0 y 0 ± ± Asíntota oblicua: no tiene por tener asuntota horizontal. º) Crecimiento y decrecimiento. Máimos y mínimos. Calculamos e igualamos a cero su primera derivada. f '( ) f '( ) 0 0 ( ) ( ) No tiene puntos candidatos a máimos y mínimos, ahora hacemos un estudio de los signos de la derivada primera para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento: - ( ) + + f '( ) Siempre es decreciente ecepto en. º) Concavidad y conveidad. Puntos de infleión. Calculamos e igualamos a cero su primera derivada. f ''( ) f ''( ) 0 ( ) ( ) 0 No tiene puntos candidatos a puntos infleión, estudiamos ahora los signos de la segunda derivada para determinar los intervalos de concavidad y conveidad. + + ( ) + f ''( ) + Convea en (, ) y cóncava en (,) 0

11 º) Representación gráfica: Segundo ejemplo: f ( ) + º) Dominio. Dom f( ) º) Simetrías. f ( ) f ( ) Simetría impar. ( ) + + º) Puntos de corte. Eje : f ( ) (0,0) + 0 Eje y: f ( 0) 0 (0,0) 0 + º) Asíntotas. Asíntota vertical: Al ser siempre continua, carece de asuntotas verticales. Asíntota horizontal: lim f ( ) lim 0 y 0 ± + Asíntota oblicua: no tiene por tener asuntota horizontal. º) Crecimiento y decrecimiento. Máimos y mínimos. Calculamos e igualamos a cero su primera derivada. ( + ) f '( ) f '( ) 0 0 ± ( + ) ( + ) ( + ) ± Son puntos candidatos a máimos y a mínimos. Estudiamos ahora los signos de la primera derivada: + ( +) f '( ) + Decreciente en (, ) (, ). Creciente en (, ). Máimo por tanto en f (), + Mínimo en f ( ), +

12 º) Concavidad y conveidad. Puntos de infleión. Calculamos e igualamos a cero su primera derivada. ( + ) ( + )( ) f ''( ) ( + ) ( + ) 0 f ''( ) 0 0 ( + ) ± Tres puntos candidatos a puntos infleión. Hacemos un estudio de los signos de la derivada segunda: ( +) f ''( ) + + Cóncava en (, ) (0, ) y convea en (,0) (, ) Los puntos candidatos, son por tanto puntos de infleión con coordenadas: 0 0 f (0) 0 (0,0) 0 + ± f( ± ± ) ± ±, ± + º) Representación gráfica: Tercer ejemplo: f ( ) º) Dominio. Dom f( ) { ± } º) Simetrías. f ( ) f ( ) Simetría par ( ) º) Puntos de corte. Eje : f ( ) 0 0 No tiene. Eje y: f (0) (0, ) 0

13 º) Asíntotas. Asíntotas verticales: lim f ( ) lim ± lim f ( ) lim ± Asíntota horizontal: lim f ( ) lim 0 y 0 ± Asíntota oblicua: no tiene por tener asíntota horizontal. º) Crecimiento y decrecimiento. Máimos y mínimos. Calculamos e igualamos a cero su primera derivada. f '( ) f '( ) ( ) ( ) 0 Punto candidato a máimo o a mínimo. Estudiamos los signos de la derivada: ( ) f '( ) + + Decreciente en ( 0, ) {}. Creciente en (,0) { }. Y como se puede ver, hay un máimo en 0, cuyas coordenadas son: 0 f (0) ( 0, ) 0 º) Concavidad y conveidad. Puntos de infleión. Calculamos e igualamos a cero su primera derivada. ( ) + ( ) + + f ''( ) f ''( ) 0 0 ( ) ( ) ( ) No hay puntos candidatos a puntos infleión. Estudiamos los signos ahora: ( ) + + f ''( ) + + Cóncava en (, ) y convea en (, ) (, ) º) Representación gráfica:

14 Cuarto ejemplo: º) Dominio. Dom f( ) { } f ( ) + ( ) f( ) º) Simetrías. f( ) No tiene simetría par ni impar. + f( ) º) Puntos de corte. Eje : f( ) 0 0 (0,0) + 0 Eje y: f (0) (0, 0) 0+ º) Asíntotas. Asíntotas verticales: lim f ( ) lim ± + Asíntota horizontal: lim f ( ) lim ± No tiene asíntota horizontal. ± + Asíntota oblicua: y m+ n f ( ) m lim lim ± ± + n lim ( f ( ) m) lim lim ± ± + ± + La asíntota oblicua es y. º) Crecimiento y decrecimiento. Máimos y mínimos. Calculamos e igualamos a cero su primera derivada. ( + ) f '( ) f '( ) 0 0 ( + ) ( + ) ( + ) Dos puntos candidatos a máimo o a mínimo. Estudiamos los signos de la derivada: X ( +) f '( ) + + Creciente en (, ) (0, ) y decreciente en (, 0) { }. Por tanto: ( ) Máimo en: f ( ) (, ) + 0 Mínimo en: 0 f (0) 0 (0, 0) 0+ º) Concavidad y conveidad. Puntos de infleión. Calculamos e igualamos a cero su primera derivada. (+ )( + ) ( + ) ( + ) f ''( ) f ''( ) 0 0 ( + ) ( + ) ( + ) Hacemos un estudio de los signos:

15 + + ( +) + f ''( ) + No tiene puntos de infleión. Cóncava en (, ) y convea en (, ). º) Representación gráfica: Quinto ejemplo: º) Dominio. Dom f( ) { ± } f( ) ( ) º) Simetrías. f ( ) f( ) Simetría impar. ( ) º) Puntos de corte. Eje : f( ) (0,0) Eje y: f 0 0 (0) 0 ( 0, 0) 0 º) Asíntotas. Asíntotas verticales: lim f( ) lim ± 0 lim f( ) lim ± 0 Asíntota horizontal: lim f( ) lim ± No tiene. ± ± Asíntota oblicua: y m+ n f( ) ± ± ± m lim lim lim n lim ( f( ) m) lim lim 0 ± ± ± La asíntota oblicua es: y.

16 º) Crecimiento y decrecimiento. Máimos y mínimos. Calculamos e igualamos a cero su primera derivada. ( ) ( ) ( ) 0 f '( ) f '( ) 0 ( ) ( ) ( ) ± Tres puntos candidatos a máimo o a mínimo. Hacemos un estudio de los signos de la derivada primera: ( ) + + ( ) '( ) f + + Creciente en (, ) (, ) Máimo en: Mínimo en: y decreciente en (, ) { } ( ) ( ) ( ) ( ) ±. ( ) f ( ).,. ( ) f ( ).,. º) Concavidad y conveidad. Puntos de infleión. Calculamos e igualamos a cero su primera derivada. ( )( ) + ( ) ( ) ( ) ( + ) f ''( ) ( ) ( ) ( + ) f ''( ) ( ) Hay un punto candidato a punto de infleión. Hacemos un estudio de los signos de la derivada segunda: 0 ( + ) + + ( ) + + f ''( ) + + Cóncava en (, ) (0, ) y convea en (, 0) (, ). º) Representación gráfica:

17 Seto ejemplo: º) Dominio. Dom f( ) { } f( ) ( ) f( ) º) Simetrías. f( ) No tiene simetría par ni impar. ( ) f( ) º) Puntos de corte. (, 0) Eje : f( ) 0 0 ± (,0) 0 Eje y: f (0) 0, 0 º) Asíntotas. Asíntotas verticales: lim f( ) lim ± Asíntota horizontal: lim f( ) lim ± No tiene. ± ± Asíntota oblicua: y m+ n f( ) lim lim m lim ± ± ± n lim ( f( ) m) lim lim ± ± ± La asíntota oblicua es: y +. º) Crecimiento y decrecimiento. Máimos y mínimos. Calculamos e igualamos a cero su primera derivada. ( ) ( ) + f '( ) ( ) ( ) +. f '( ) 0 0 ( ) 0.8 Tres puntos candidatos a máimo o a mínimo. Y ahora estudiamos los signos de la derivada primera: ( ) f '( ) + +,0.8., 0.8,.. Creciente en ( ) ( ) y decreciente en ( ) { } f (.)..,.. Máimo en: 0.8 f (0.8) 0. ( 0.8, 0.) Mínimo en:. ( )

18 º) Concavidad y conveidad. Puntos de infleión. Calculamos e igualamos a cero su primera derivada. ( ) ( ) ( ) ( + ) f ''( ) ( ) ( ) f ''( ) 0 ( ) 0 No tiene puntos candidatos a puntos de infleión. Hacemos un estudio de los signos de la derivada segunda: + + ( ) + f ''( ) + Cóncava en (, ) y convea en (, ). º) Representación gráfica: Séptimo ejemplo: º) Dominio. Dom f( ) { } f( ) ( + ) ( ) f( ) º) Simetrías. f( ) No hay simetría par ni impar. (( ) + ) ) ( ) f( ) º) Puntos de corte. Eje : f( ) 0 0,0 ( + ) 0 Eje y: f (0) 0, (0+ ) º) Asíntotas. Asíntotas verticales: lim f( ) lim ( + ) Asíntota horizontal: lim f( ) lim 0 y 0. ± ± ( + ) Asíntota oblicua: Tiene asuntota horizontal, por ello no tiene oblicua. 8

19 º) Crecimiento y decrecimiento. Máimos y mínimos. Calculamos e igualamos a cero su primera derivada. ( + ) ( + )( ) f '( ) f '( ) 0 ( + ) ( + ) ( + ) 0 Un punto candidato a etremo. Ahora estudiamos los signos de la derivada primera: + + ( + ) + + f '( ) + Decreciente en (, ) (, ) y decreciente en (, ). Máimo en: f (), (+ ) º) Concavidad y conveidad. Puntos de infleión. Calculamos e igualamos a cero su primera derivada. ( + ) ( + ) ( ) + f ''( ) ( + ) ( + ) + f ''( ) 0 0 ( + ) Un punto candidato a punto de infleión. Hacemos ahora un estudio de los signos: / + + ( + ) f ''( ) + y convea en (/, ). Cóncava en (, /) { } º) Representación gráfica: 9

20 Ejercicios de optimización Estrategias para resolver problemas de optimización: - Asignar símbolos a todas las magnitudes a determinar. - Escribir una ecuación primaria para la magnitud que debe ser optimizada. - Reducir la ecuación primaria a una ecuación con solo una variable independiente. Eso puede eigir el uso de las ecuaciones secundarias (ligaduras) que relacionen las variables independientes de la ecuación primaria. - Determinar el dominio de la ecuación primaria. Esto es, hallar los valores para los que el problema planteado tiene sentido. - Determinar el valor máimo o mínimo mediante las técnicas dadas (Derivadas). E Problemas resueltos de optimización: Con una cartulina de 8X metros se desea construir una caja sin tapa, de volumen máimo. Hallar las dimensiones de dicha caja. Solución: Como hay que optimizar el volumen de una caja abierta, la ecuación a optimizar es: V (, y, z) yz Donde define el ancho de la caja, z lo largo e y lo alto. Dichas variables como definen dimensiones, no pueden ser negativas. Tampoco pueden ser nulas porque no habría caja, por tanto: > 0 y > 0 z > 0 Fijándonos en el dibujo adjunto de la cartulina, es posible deducir dos ecuaciones de ligadura: y + y + z 8 Despejando en ellas y z: y z 8 y Dos variables han quedado ligadas a una sola, ahora utilizaremos las ecuaciones de ligadura para que la ecuación del volumen de tres variables pase a ser de una variable: V( y ) ( y) y(8 y) 0y y + y Ahora procedemos a calcular sus máimos y mínimos con derivadas: V' ( y) 0 y + y V'( y ) 0 0 y + y 0 ± 0 ± 8 y 0 / y y Dos valores candidatos a máimos, mínimos o puntos de infleión. Utilizando la derivada segunda: V''(0 / ) 8 mínimo V''( y) + y V''() 8 máimo Una vez determinado el máimo, el resto de dimensiones se halla con las ecuaciones de ligadura: z 8 Luego la caja de volumen máimo tiene por dimensiones. 0

21 E Un rectángulo esta acotado por los ejes y por la gráfica de y ( ) / Qué longitud debe tener el rectángulo para que su área sea máima? Solución: Como tenemos que optimizar una función de área de un rectángulo, por tanto: A (, y) y Estas dos variables definen sus dimensiones y deben cumplir (viendo el dibujo) que: 0 < < y < 0 < La ecuación de ligadura es la que define la recta: y ( ) / Y con esto, y sustituyendo en la ecuación de área: A( ) ( ) / ( ) / Y ahora derivando calculamos sus máimos y mínimos. A '( ) A'( ) 0 0 Realizando la derivada segunda: A''( ) A''() máimo Se trata de un máimo, una vez hallada la longitud de su base hallo la de su altura mediante la ecuación de ligadura: y ( ) / / E Qué puntos de la gráfica de y están mas cerca del punto (0, )? Dato: distancia entre dos puntos, y), ( 0, y ) : d ( ) + ( y ) ( 0 0 y0 Solución: La ecuación que tenemos que optimizar es la de la distancia entre el punto (0, ) y otro punto que pertenecerá a una curva: ( ) ( ) d(, y) 0 + y d y y ( ) (, ) + Donde e y pueden tomar cualquier valor real. El problema nos da la ligadura (con la curva): y Esta curva liga las dos variables e y, sustituyendo en la ecuación de la distancia: ( ) + d ( ) + Derivando ahora esta función buscamos los posibles máimos y mínimos: d'( ) d'( ) ±

22 Recurrir ahora a la derivada segunda puede resultar pesado en cuanto a cálculos, en su lugar utilizaremos crecimiento y decrecimiento para distinguir cuales son los máimos de los mínimos o de los puntos de infleión. / 0 / d '( ) + + A partir de aquí es fácil ver que ± / son mínimos, y que 0 es un máimo. Mediante la ecuación de la curva calculo la coordenada y de cada punto mínimo: y ( ± / ) Por tanto las coordenadas de los puntos mínimos son:,, E Un rectángulo esta limitado por el eje y por el semicírculo: y Para qué longitud y anchura del rectángulo se hace mínima su área? Solución: Como tenemos que optimizar una función de área de un rectángulo, su epresión es: A (, y) () y Las dos variables por definir dimensiones deben ser mayores que cero y menores que los valores lógicos que vemos en la gráfica: 0 < < y < 0 < La ecuación de ligadura es la que define la semicircunferencia: y Y con esto, y sustituyendo en la ecuación de área: A(, y) Procedemos ahora a calcular sus máimos y mínimos: 0 0 A'( ) 0 ± A'( ) 0 0 Solo vale la solución positiva. Recurrir a la derivada segunda es más difícil, así que recurriremos a crecimiento y decrecimiento: 0 / A'( ) + Se trata de un máimo. Ya hemos hallada para que valor de la dimensión de la base se maimiza el área, ahora mediante la ecuación de ligadura calculamos la anchura: y ( / ) /

23 E Dos postes de y 8 m de altura, distan 0 m entre si. Hay que conectarlos mediante un cable que este atado en algún punto del suelo entre los postes. En que punto ha de amarrarse al suelo con el fin de utilizar la menor longitud de cable posible? Solución: Haciendo primero un dibujo del problema, como el realizado a la derecha, nos indica un poco como analizar el problema. Primeramente tenemos una función de longitud que optimizar: L (, y) + y Los valores lógicos que toma e y en el problema son: 0 < < < y < Fijándonos en el dibujo, es posible ligar estas dos variables a otra variable llamada z mediante dos ecuaciones de ligadura que aparecen de la aplicación del teorema de Pitágoras en los dos triángulos formados. + (0 z) y 8 + z Fijémonos que z no tiene sentido si es mayor que 0 o menor que cero. Sustituyendo estas variables en la función de longitud: L( z ) + (0 z) z y derivando para buscar los máimos y los mínimos: 0 + z z L'( z) + + (0 z) 8 + z 0 + z z L'( z) (0 z) 8 + z 0 + z z 0 + z z + (0 z) 8 + z + (0 z) 8 + z Haciendo unas operaciones llegaremos a: m 0 z z 00z z. m De estas dos soluciones hay que descartar la de. m, pues el problema dice que debe atarse la cuerda entre los postes. Dada la dificultad que entraña realizar el método de la derivada segunda, utilizaremos crecimiento y decrecimiento: 0 0 L'( ) + Estamos ante un mínimo. Luego a la distancia que debe encontrarse el nudo de cada poste es a m del poste más alto y a 9 m del poste más bajo.

24 E Se pide calcular el volumen máimo de un paquete rectangular enviado por correo, que posee una base cuadrada y cuya suma de anchura + altura + longitud sea 08. Solución: Hay que optimizar una función de área de un paquete rectangular, de base cuadra: A (, y) y Todas las variables deben ser positivas y menores que 08: 0 < < 08 0 < y < 08 Y sabemos que la suma de anchura + altura + longitud es 08, luego la ligadura es: + y 08 y 08 y sustituyendo en la función de área: A( ) (08 ) 08 Derivando y buscando máimos y mínimos: 0 A'( ) A'( ) 0 0 Descartamos la solución nula por no tener sentido, y ahora con la segunda derivada verificamos si es máimo o mínimo: A' '( ) A'() máimo Por tanto el máimo volumen de dicho paquete es: A() 08() () E Un fabricante desea diseñar una caja abierta con base cuadrada y que tenga un área total de 08 metros cuadrados de superficie. Qué dimensiones producen la caja de máimo volumen? Dato: La abertura de la caja es uno de los lados cuadrangulares. Solución: Nuevamente optimizamos un volumen, esta vez de una caja de base cuadrada, por tanto la ecuación primaria es: V (, y) y Como son dimensiones de una caja las dos variables, entonces: > 0 y > 0 Se trata de una caja abierta por una de sus caras cuadradas, por tanto el área viene dada por: 08 y Esta es una ecuación de ligadura. Si en ella despejamos y: 08 y Utilizando las ecuaciones de ligadura sobre la ecuación de volumen la reducimos a una ecuación de una variable: V( ) Derivándola ahora para calcular sus máimos y mínimos: V'( ) V'( ) ± De estas dos posibles soluciones, no es valida pues las dimensiones no pueden ser negativas. Con la otra solución recurrimos a la derivada segunda: V' '( ) V''() 9 máimo +

25 Se trata de un máimo, ahora recurrimos a las ecuación de ligadura para calcular la dimensión que falta: 08 y Luego las dimensiones son. E8 Una página rectangular debe contener dm de teto, con márgenes superior e inferior de. dm y laterales de dm pulgada, Qué dimensiones de la página requieren la mínima cantidad de papel? Solución: En este caso tenemos que optimizar una epresión de área, como es una página de las características del problema (ver dibujo), entonces la ecuación a optimizar es: A (, y) (. ) + y + ( ) + (. y) + y + + y Evidentemente las variables por definir dimensiones no nulas, sus valores deben estar: > 0 y > 0 Nos dice el problema que deben ser dm de teto, esto quiere decir, viendo el dibujo, que la ecuación de ligadura es: y Que es el área reservada al teto. Despejando de la ligadura: y Y sustituyendo en la ecuación primaria: A ( ) Calculando ahora su derivada y buscando máimos y mínimos: A'( ) A'( ) ± La solución negativa no tiene sentido, por tanto no es válida. En cambio la positiva la analizamos con la derivada segunda: A''( ) A''() mínimo Se trata de un mínimo. Por la ligadura sabemos que: y Por tanto las dimensiones de la página son: ( + + )( ) 9

26 E9 Con metros de alambre se desean construir un círculo y un cuadrado. Cuanto alambre hay que emplear en cada figura para lograr que entre ambas encierren el área mínima posible? Solución: En este problema hay que optimizar una función de área. La ecuación de área viene regida por: A( l, r) l + π r Que es tanto la suma del área del círculo como del cuadrado. Estas dos variables por definir una dimensión de una figura y un radio, deben ser positivas y menores que y / π : 0 l 0 r / π Pues ninguna figura puede tener más alambre que la longitud de m. Por otra parte, como solo pueden usarse m de alambre, llegamos a la siguiente ecuación de ligadura que es la suma del alambre necesario para circulo y cuadrado. l + π r Despejando l : π r π r l y sustituyendo en la ecuación de área, queda reducida a una ecuación de una variable: π r π r A( r) + π r π r + + π r Derivando ahora: r r A'( r) π π π + + πr A'( r) 0 π + + πr 0 r π / Al usar derivada segunda: π π A''( r ) + π A''(0.8) + π mínimo Para este valor de r hay área mínima, el lado del cuadrado valdrá: π 0.8 l 0. m E0 Dado un cilindro de volumen m, determinar sus dimensiones para que su área total sea mínima. Solución: Se trata de optimizar el área de un cilindro. La función de área de un cilindro es la suma de sus dos caras circulares más el área lateral rectangular, tal y como se ve en el dibujo de abajo: A( r, h) π r π rh Ambas variables deben ser mayores que cero por representar dimensiones: 0 < r h < 0 Como el cilindro debe tener m de capacidad, el volumen actúa aquí de ligadura de variables, así mediante la epresión del volumen de un cilindro ligo r con h : + h hπ r π r

27 Y sustituyendo en la función de área: 8 A( r) π r + π r π r + π r r Derivando y buscando máimos y mínimos: 8 8 π r 8 A' ( r ) π r A'( r) 0 π r 0 0 r 0.8 r r r π Recurriendo ahora a la derivada segunda: π r + A''( r ) A''( / π ) π mínimo r Mediante la ecuación de ligadura determino la altura, que vale h.. Por tanto para h. m y r 0.8 m el área del cilindro es mínima teniendo m de volumen. º Inscribir en una esfera de radio m un cilindro circular que tenga a) Volumen máimo b) Área lateral máima. En ambos casos determinar sus dimensiones, radio de la base y altura. Solución: a) Se nos pide optimizar el volumen de un cilindro: V( r, h) π r h Ambas variables, r y h, deben ser positivas: 0 < r h < 0 Fijándonos en el dibujo inferior, que vendría a ser como un corte del dibujo superior por uno de sus meridianos, podemos reconocer a simple vista la ecuación de ligadura: r + ( h / ) r h / Sustituyendo ahora en las función de volumen: π h π h V( h) Ahora derivamos cada epresión para buscar sus máimos y mínimos: π πh π πh V'( h) V'( h) 0 0 ± h ±. m Se desecha la solución negativa por carecer de sentido, y mediante la derivada segunda: π h V' '( h) V''(.). máimo Utilizando ahora la ligadura llego a la conclusión que r 0.8 m b) En este apartado se nos pide optimizar una función de área: A ( r, h) π rh Utilizando las mismas condiciones que en el apartado a) y la misma ligadura, la función a optimizar pasa a ser de una variable: A( h) π h h

28 Derivando y calculando sus máimos y mínimos: π π h π π h A'( h) A'( h) 0 0 h 0 h ± ±. h h Nos quedamos solo con la solución positiva. Ahora verificamos si es máimo o mínimo mediante crecimiento y decrecimiento: 0 A'( ) + Se trata de un máimo. Utilizando ahora la ecuación de ligadura determino que r 0.0 m º Hallar las dimensiones del rectángulo de área máima que tiene un lado sobre el eje y está inscrito en el triangulo determinado por las rectas y 0, y, y. Solución: Hay que optimizar un área rectangular: A (, y) y Por tanto las dos dimensiones deben ser positivas. 0 < 0 < y Una vez construido el dibujo, vemos que la base es la diferencia de las dos variables y, y que estas variables se relacionan con y mediante las ecuaciones de las rectas: y y Que en este problema sirven como ligaduras. Despejando ambas variables, y : y y y como: y y sustituyendo en la función de área: y y y A( y) y y derivando y calculando máimos y mínimos: y A '( y ) y A'( y) 0 y 0 y Haciendo la derivada segunda: A''( y ) A''( / ) máimo Es un máimo, con la ecuación de ligadura: / / Ósea, un rectángulo de dimensiones (/) 8

29 º El alcance R de un proyectil lanzado con velocidad inicial v0 y con un ángulo θ respecto de la horizontal es: v sin 0 ( θ ) R g donde g es la aceleración de la gravedad. Calcular el ángulo θ que produce alcance máimo. Solución: El rango de valores coherentes con el problema deθ es: 0 < θ < π / Ahora, haciendo derivadas y buscando máimos y mínimos: v0 cos( θ) v0 cos( θ) R'( θ) R'( θ) 0 0 cos( θ) 0 g g arccos 0 π kπ θ + Donde k Z. El único valor de θ coherente con el problema es π /, con k 0. Ahora investigándolo con la derivada segunda: v0 sin(θ ) v0 sin( π / ) v0 R' '( θ ) R' '( π / ) g g g Es pues un máimo. º Ecuación que describe la altura en función del tiempo: g h( t) vt t donde la gravedad g 0 m/s. Si se lanza un cuerpo hacia arriba con velocidad inicial 0m/s, Calcule cual es la máima altura que alcanzará si la aceleración gravitacional es 0m/s? Solución: El problema ya nos da la ecuación de altura que tenemos que optimizar: g h( t) vt t Conociendo los valores de la velocidad y de la gravedad: 0 h( t) 0t t 0t t En física, los tiempos no puede ser negativos, por tanto t 0. Derivando y buscando máimos y mínimos: h' ( t ) 0 0t h'( t) 0 0 0t 0 t s Mediante la derivada segunda verificamos si es máimo o mínimo: h' '( t ) 0 h''() 0 máimo Ahora sustituyendo en la función de altura, obtenemos la máima altura alcanzada: h( t ) 0 () 80 m 9

30 Problemas de optimización: º Queremos construir una caja abierta, de base cuadrada y volumen l. Halla las dimensiones para que la superficie, y por tanto el coste, sea mínimo. Sol: 8, y. º Entre todos los rectángulos de área halla el de perímetro mínimo. Sol: y. º De todos los cilindros inscritos en una esfera de radio m, hallar el valor del volumen del que lo tenga máimo. Sol: V /9 π. º Entre todos los rectángulos inscritos en una circunferencia de radio, cuál es el de superficie máima? Sol: Un cuadrado de lado. º La suma de los catetos de un triángulo rectángulo es 0 cm. Halla sus dimensiones para que la superficie de ese rectángulo sea máima. Sol: Dos catetos iguales de 0 cm. º Hallar las dimensiones de un rectángulo de área máima inscrito en una circunferencia de radio. Sol: y 8. º De todos los triángulos isósceles de perímetro 9. Hallar las dimensiones del que tenga área máima. Sol: y. 8º Hallar dos números que sumen 8 y que su producto sea máimo. Sol: 9 y 9. 9º Hallar dos números que sumen 9 y que el producto del cuadrado de uno por el triple del otro sea máimo. Sol:, y. 0º Se quiere vallar una parcela rectangular junto a una carretera. Si la valla junto a la carretera cuesta euro/m y el resto 0 céntimos/m. Cuáles serán las dimensiones de la parcela para que el área sea máima si disponemos de 80 euros? Sol: 0 90 m. º Un ganadero quiere encerrar a sus ovejas en un redil rectangular de área máima, para lo cual aprovecha la pared de la finca y con 00 metros de valla construye ese redil. Halla las dimensiones del rectángulo. Sol: 0. º La suma de las aristas de un prisma recto de base cuadrada es. Halla las dimensiones para que el volumen sea máimo. Sol: y. º Un círculo de diámetro 8 cm se divide en dos trozos para formar los diámetros de otros dos círculos. Halla la medida de los trozos para que la diferencia entre el área del círculo grande y las de los dos pequeños sea máima. Sol: d d' cm. º Halla los puntos de la curva y cuya distancia al punto (/, 0) sea mínima. Sol: (, ± ). º Un folio debe tener 88 cm de teto impreso. Los márgenes superior e inferior deben tener cm cada uno y los laterales cm. Cuáles deben ser las dimensiones del folio para que el gasto de papel sea mínimo? Sol: 8 cm. 0

31 º La vidriera de una iglesia está formada por un rectángulo y sobre él media circunferencia, si se quiere que el perímetro sea mínimo y que el área sea 8 + π m. Cuáles deben ser las dimensiones de la vidriera? Sol:, y m. º Entre los pares de números cuyo producto es encuentra aquellos positivos cuya suma de cuadrados sea mínima. Sol: 8 y 8. 8º En un campo se quiere limitar una parcela de m por medio de una valla rectangular y además dividirla en dos partes iguales por medio de otra valla paralela a uno de los lados. Qué dimensiones deben elegirse para que la cantidad de valla sea mínima? Sol: m de largo por m de ancho. 9º Se quieren fabricar latas de refresco (cilíndricas) cuyo contenido sea de / de litro, de manera que el coste de la chapa sea mínimo; halla su altura y radio de la base. Mide las dimensiones de cualquier lata que tengas en casa y comprueba si se fabrican siguiendo ese criterio. Sol: R π, h / π. 0º Queremos vallar una parcela rectangular de 00 m de una finca aprovechando un muro ya eistente, de modo que en ese lado no es necesaria una valla. Cómo debe ser ese rectángulo para que el coste de la valla sea mínimo? Sol: 0 0 m. º Se desea abrir una ventana rectangular en una pared de una casa. Queremos que nos salga lo más económica posible sin perder luz, para ello pretendemos que el área sea de / m. Sabemos que el coste en vertical es de 0 euros/m y en horizontal 0 euros/m. Cómo debe ser la ventana? Sol: / /.