Ejercicios para aprender a derivar

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Ejercicios para aprender a derivar"

Transcripción

1 Ejercicios para aprender a derivar Derivación de polinomios y series de potencias Reglas de derivación: f ( ) k f '( ) 0 f ( ) a f '( ) a n n f ( ) a f '( ) an f ( ) u( ) + v( ) f '( ) u' + v' Ejemplos: f ( ) f '( ) 0 f ( ) f '( ) f ( ) f '( ) f ( ) f '( ) f ( ) + f '( ) f( ) f '( ) Ejercicios: º Derive las siguientes funciones polinómicas: 0 a) f ( ) + + b) f ( ) + c) f( ) d) ( ) f + e) f( ) + + f) f ( ) + + g) f( ) h) f ( ) + i) f ( ) π + j) f ( ) + k) f ( ) l) f ( ) + m) f ( ) + n) f( ) + ñ) f( ) + 0 Sol: 9 a) f '( ) b) f '( ) + 8 c) f '( ) d) f '( ) e) f '( ) + 0 f) f '( ) 0 + g) f '( ) h) j) f '( ) 0 k) m) f '( ) n) f '( ) + i) f '( ) + l) f '( ) 0 ñ) f '( ) π + f '( ) f '( ) 0 º Derive, con un poco de ingenio, las siguientes funciones: / / a) f ( ) 8 / / b) f ( ) + c) f ( ) + / / d) f ( ) + e) Sol: a) f '( ) / d) f '( ) + e) / / + b) f ( ) 9 + f) / / f '( ) + c) / /9 f '( ) + f) 9 f ( ) f '( ) + f '( ) 0 / / 9/0

2 Reglas de derivación. Ejemplos: Derivación de potencias de funciones f ( ) au n f ( ) anu' u n ( ) ( ) f ( ) + f '( ) (+ ) + f ( ) ( + ) f '( ) 00( + )( + ) f( ) ( + + ) f '( ) ( + ) ( + + ) f( ) ( + + ) f '( ) ( + 0 ) ( + + ) ( + + ) ( + ) ( + + ) f( ) f '( ) 8 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) f( ) + f '( ) + Ejercicios: º Derive las siguientes funciones con paréntesis: a) d) f ( ) ( + ) b) ( ) f( ) e) f ( ) f ( ) ( + + ) c) / f ( ) ( + ) f) f ( ) + f π ( ) ( ) e g) ( + ) h) f( ) ( + + ) i) f ( ) ( + ) 8 ( + ) ( + ) j) f( ) k) f( ) l) m) f ( ) ( ) / n) f ( ) ( ) / Sol: a) f '( ) ( ) + b) c) ( ) f '( ) + + / / e) f '( ) ( )( + ) f) f( ) + f '( ) ( + )( + + ) d) f '( ) ( )( ) f '( ) e( π π )( π e g) '( ) ( + )( + ) h) ( )( f '( ) + + ) f i) ( )( ) k) f '( ) j) ( )( + ) 0 f '( ) l) f '( ) 0 ( + ) ( + ) f '( ) 9 f '( ) + f '( ) m) ( )( ) / n) ( )( ) / )

3 Derivación de raíces cuadradas y raíces de orden superior Reglas de derivación. Ejemplos: f f ( ) '( ) f ( ) n u' u f '( ) n n u n f( ) + f '( ) ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) f( ) f '( ) Ejercicios: º Derive las siguientes funciones con paréntesis: a) f ( ) + 0 b) f ( ) + 0 c) d) g) f ( ) + + e) f ( ) + h) 0 f ( ) + f) f ( ) + f ( ) + f ( ) + i) f ( ) j) f ( ) + + k) f( ) + + l) f( ) + + Sol: a) f '( ) + 0 b) f '( ) 0 9 ( + ) 0 ( + 0 ) c) f '( ) + + d) f '( ) (0 ) e) f '( ) f) f '( ) ( + 0 ) + g) i) k) f '( ) + f '( ) 8 8 f '( ) ( + ) ( + + ) ( ) + h) f '( ) ( + ) + + j) f '( ) + +

4 Derivación de producto de funciones Reglas de derivación. f ( ) uv f '( ) u' v + v' u f ( ) u( v( )) f '( ) u'( v( )) v'( ) Ejemplos: f( ) ( )( + ) f '( ) ( ) + ( ) f ( ) ( + )( + ) f '( ) ( + 8 ) ( + ) + ( + ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) f ( ) + f '( ) Ejercicios: º Derive las siguientes funciones: a) f ( ) ( )( ) b) f ( ) ( + 8) c) f ( ) ( ) ( + ) d) f ( ) ( ) ( + ) e) f( ) + f) f ( ) ( ) ( ) g) f ( ) ( ) ( + ) h) f ( ) ( ) ( ) f j) f ( ) ( + )( + ) i) ( ) ( + )( + )( + ) k) f( ) + l) f ( ) + ( + ) Sol: a) f '( ) ( ) + ( ) 8 b) f '( ) ( + 8) + 9 c) f '( ) ( + ) + d) f '( ) ( ) ( + ) + ( ) e) f '( ) f) f '( ) 0 ( ) ( ) + ( )( ) g) f '( ) ( ) ( + ) + ( ) h) f '( ) ( ) ( ) + ( )( ) + ( ) ( ) i) f '( ) ( + )( + )( + ) + ( + )( + )( + ) + ( + )( + ) f '( ) j) ( )( ) ( )( ) / / ( + ) ( ) k) f '( ) + + l) f '( ) + ( + ) + ( + ) + + ( + ) +

5 Reglas de derivación. v ' f( ) f '( ) v v Ejemplos: Funciones racionales u f ( ) v u' v v' u f '( ) v f( ) f '( ) + ( + ) ( + ) (00 + ) f( ) f '( ) ( + ) + ( + ) ( + ) f( ) f '( ) + ( + ) Ejercicios: º Derive las siguientes funciones: a) f( ) Sol: a) f( ) ( ) b) f( ) b) f '( ) ( ) c) c) f( ) ( ) ( ) f( ) ( ) º Usando las reglas de derivación anteriores derive las siguientes funciones: a) f( ) b) f ( ) + c) ( ) e) f ( ) f) f ( ) g) Sol: ( ) ( ) a) f '( ) b) ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) + c) f '( ) ( + ) f ( ) d) f ( ) h) ( ) ( + ) ( ) ( ) + f '( ) d) f '( ) f ( ) i + f( ) e 9( ) ( ) e) f '( ) f) f '( ) 9 i e e i i ( ) e ( + ) g) f '( ) h) f '( ) e ( ) 8º Demostrar que las siguientes funciones tienen por derivada: + + a) f ( ) f '( ) b) f ( ) f '( ) c) f( ) f '( ) h) f( ) f '( ) ( + )

6 Reglas de derivación. u f ( ) a f '( ) u' a Funciones eponenciales u ln a u f ( ) e f '( ) u' e u Ejemplos: f ( ) e f '( ) e + + ( ) + + f( ) e f '( ) + e f ( ) f '( ) ( ) ln + + f( ) f '( ) + 0 ln f( ) f '( ) ln ( + ) Ejercicios: 9º Usando las reglas de derivación anteriores derive las siguientes funciones: a) ( ) f e + b) f ( ) e + c) f ( ) e d) f( ) e + + e) ( ) + f f) f( ) + g) f( ) h) f( ) π + + Sol: a) f '( ) ( + ) e + b) f '( ) e + c) f '( ) e d) f) h) f '( ) ( + 0 ) e + + e) + f '( ) ln g) + + f '( ) ( + 0 ) π ln π 0º Derive las siguientes funciones: a) f( ) e + e + + b) d) g) f ( ) e e + f ( ) + e) f( ) (( e ) ) + + h) ( ) ( f ) f ( ) + f '( ) ( + ) ln f '( ) ln e + c) f ( ) e + e + e f) i) f ( ) f ( ) 0 e e + e j) f( ) + e + k) f( ) e+ l) ( ) e f + + e Sol: a) f '( ) e + e + b) f '( ) ( ) e + ln c) f '( ) e + e d) f '( ) e + e + e + e + e) f '( ) e f) f '( ) e g) '( ) ln ( ) + f + + ln h) '( ) ( ) f e i) f '( ) e 0 ln0 j) / /( ) e k) f '( ) ln l) ( ) + + f '( ) ln + e / e f ( ) ln + e e e

7 Funciones logarítmicas Reglas de derivación. u' f ( ) loga u f '( ) log u Ejemplos: 8 + ( ) log (8 + ) f '( ) log 8 + a e u' f ( ) ln u f '( ) u f f ( ) ln( + ) f '( ) + Ejercicios: º Usando las reglas de derivación anteriores derive las siguientes funciones: a) f ( ) ln( ) b) f ( ) ln( ) c) f ( ) ln( ) d) f( ) log( ) e) f ( ) log( ) f) f ( ) log( ) g) f ( ) log ( ) h) f ( ) log ( ) i) f ( ) log ( 8 ) Sol: 8 a) f '( ) b) f '( ) c) f '( ) d) f '( ) log e e) f '( ) log e 0 + f) f '( ) log e g) f '( ) log e 8 h) f '( ) log e i) f '( ) log e 8 º Derive las siguientes funciones: a) f ( ) ln b) f( ) ln( + ) + c) f ( ) ln d) f ( ) e) f ( ) ln f) f ( ) log ( ) ln ln g) f( ) log ( ) 0 + h) f ( ) i) ( ) ln ( f + e ) + ln j) f( ) e + k) f( ) ln l) f ( ) ln ( ln ( ln ) ) + Sol: a) f '( ) b) f '( ) ln( + ) + c) f '( ) + + d) f '( ) e) f '( ) f) f '( ) log e (ln ) ( ) + e g) f '( ) log 0 e h) f '( ) ln ln i) f '( ) e + ln + 8 j) f '( ) e e k) f '( ) l) f '( ) ( + ) ( ) ln( ) ln ln e ( )

8 Funciones trigonométricas Reglas de derivación. f ( ) sin u f '( ) u' cosu f ( ) cos u f '( ) u' sinu u ' f( ) tan u f '( ) cos u Ejemplos: f ( ) sin( ) f '( ) 8cos( ) f ( ) cos( ) f '( ) sin( ) cos f( ) tan( ) f '( ) f( ) tan(sin( )) f '( ) cos ( ) cos (sin( )) Ejercicios: º Usando las reglas de derivación anteriores derive las siguientes funciones: a) f ( ) cos() b) f( ) sin( ) c) f ( ) sin cos d) f ( ) sin( + ) e) f ( ) cos(sin ) f( ) sin + f) ( ) g) f( ) tan( + ) h) f ( ) tan( ) f ( ) tan cos + i) ( ) Sol: a) f '( ) sin( ) b) f '( ) cos( ) c) f '( ) cos + sin d) f '( ) cos(+ ) e) f '( ) cos sin(sin ) f '( ) cos sin g) f '( ) h) f '( ) i) f '( ) cos ( + ) cos + cos ( cos ) f) ( ) ( ) º Derive las siguientes funciones y simplifíquelas si fuese posible: a) f ( ) sin( ) b) f ( ) sin ( ) c) f ( ) sin ( ) d) f ( ) sin( ) e) f ( ) cos ( ) f) f ( ) cos ( ) g) f ( ) sin( )cos( ) h) f ( ) cos sin i) f ( ) tan cos j) f ( ) tansin( ) k) f ( ) tan l) f ( ) cotan( ) Sol: a) f '( ) cos ( ) b) f '( ) sin cos c) f '( ) sin( ) cos( ) cos( ) d) f '( ) (sin( )) e) f '( ) sin cos f) f g) f '( ) cos( )cos sin( )sin sin( ) h) f '( ) cos( ) i) f '( ) cos j) f '( ) cos( ) k) f '( ) cos l) f '( ) tan sin ( ) '( ) 8 sin( ) cos ( ) 8

9 Reglas de derivación. f( ) arcsin u f '( ) Ejemplos: ( ) arcsin( ) '( ) f f u ' u u ' f( ) arctan u f '( ) + u f( ) arccos u f '( ) u ' u e f( ) arctan( e ) f '( ) + e + ( ) f( ) arccos e + f '( ) e ( e + ) Ejercicios: º Usando las reglas de derivación anteriores derive las siguientes funciones: a) f ( ) arcsin ( ) b) f( ) arcsin( + ) c) f ( ) arcsin ( e ) d) f ( ) arccos( + ) e) f ( ) arccos( e + ) f) f ( ) arccos( ln) f ( ) arctan f ( ) arctan + i) f ( ) arctan ( ln) g) ( ) h) ( ) Sol: a) f '( ) d) f '( ) + 0 ( ) + b) f '( ) e) f( ) ( ) + e + ( e ) + + g) f '( ) h) f '( ) ( ) º Derive las siguientes funciones y simplifíquelas si fuese posible: + a) f ( ) arcsin e cos c) f '( ) f) b) f ( ) e arcsin c) e e 0 f( ) ln ( ) i) f '( ) + (ln ) arcsin( ) f( ) d) f ( ) arcsin(arccos ) e) f ( ) arccos sin Sol: a) f '( ) cos e + b) f '( ) sin( ) e arcsin + e arcsin( ) ( ) d) f '( ) c) f '( ) arccos e) f '( ) f) f '( ) f) f ( ) sin (arccos ) e cos 9

10 Primer ejemplo: º) Dominio. Dom f( ) { } Representación de funciones f ( ) f( ) º) Simetrías. f( ) No tiene simetría par ni impar. f( ) º) Puntos de corte. Eje : f ( ) 0 0 No corta el eje. Eje y: f ( 0) (0, ) 0 º) Asíntotas. Asíntota vertical: lim f ( ) lim ± Asíntota horizontal: lim f ( ) lim 0 y 0 ± ± Asíntota oblicua: no tiene por tener asuntota horizontal. º) Crecimiento y decrecimiento. Máimos y mínimos. Calculamos e igualamos a cero su primera derivada. f '( ) f '( ) 0 0 ( ) ( ) No tiene puntos candidatos a máimos y mínimos, ahora hacemos un estudio de los signos de la derivada primera para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento: - ( ) + + f '( ) Siempre es decreciente ecepto en. º) Concavidad y conveidad. Puntos de infleión. Calculamos e igualamos a cero su primera derivada. f ''( ) f ''( ) 0 ( ) ( ) 0 No tiene puntos candidatos a puntos infleión, estudiamos ahora los signos de la segunda derivada para determinar los intervalos de concavidad y conveidad. + + ( ) + f ''( ) + Convea en (, ) y cóncava en (,) 0

11 º) Representación gráfica: Segundo ejemplo: f ( ) + º) Dominio. Dom f( ) º) Simetrías. f ( ) f ( ) Simetría impar. ( ) + + º) Puntos de corte. Eje : f ( ) (0,0) + 0 Eje y: f ( 0) 0 (0,0) 0 + º) Asíntotas. Asíntota vertical: Al ser siempre continua, carece de asuntotas verticales. Asíntota horizontal: lim f ( ) lim 0 y 0 ± + Asíntota oblicua: no tiene por tener asuntota horizontal. º) Crecimiento y decrecimiento. Máimos y mínimos. Calculamos e igualamos a cero su primera derivada. ( + ) f '( ) f '( ) 0 0 ± ( + ) ( + ) ( + ) ± Son puntos candidatos a máimos y a mínimos. Estudiamos ahora los signos de la primera derivada: + ( +) f '( ) + Decreciente en (, ) (, ). Creciente en (, ). Máimo por tanto en f (), + Mínimo en f ( ), +

12 º) Concavidad y conveidad. Puntos de infleión. Calculamos e igualamos a cero su primera derivada. ( + ) ( + )( ) f ''( ) ( + ) ( + ) 0 f ''( ) 0 0 ( + ) ± Tres puntos candidatos a puntos infleión. Hacemos un estudio de los signos de la derivada segunda: ( +) f ''( ) + + Cóncava en (, ) (0, ) y convea en (,0) (, ) Los puntos candidatos, son por tanto puntos de infleión con coordenadas: 0 0 f (0) 0 (0,0) 0 + ± f( ± ± ) ± ±, ± + º) Representación gráfica: Tercer ejemplo: f ( ) º) Dominio. Dom f( ) { ± } º) Simetrías. f ( ) f ( ) Simetría par ( ) º) Puntos de corte. Eje : f ( ) 0 0 No tiene. Eje y: f (0) (0, ) 0

13 º) Asíntotas. Asíntotas verticales: lim f ( ) lim ± lim f ( ) lim ± Asíntota horizontal: lim f ( ) lim 0 y 0 ± Asíntota oblicua: no tiene por tener asíntota horizontal. º) Crecimiento y decrecimiento. Máimos y mínimos. Calculamos e igualamos a cero su primera derivada. f '( ) f '( ) ( ) ( ) 0 Punto candidato a máimo o a mínimo. Estudiamos los signos de la derivada: ( ) f '( ) + + Decreciente en ( 0, ) {}. Creciente en (,0) { }. Y como se puede ver, hay un máimo en 0, cuyas coordenadas son: 0 f (0) ( 0, ) 0 º) Concavidad y conveidad. Puntos de infleión. Calculamos e igualamos a cero su primera derivada. ( ) + ( ) + + f ''( ) f ''( ) 0 0 ( ) ( ) ( ) No hay puntos candidatos a puntos infleión. Estudiamos los signos ahora: ( ) + + f ''( ) + + Cóncava en (, ) y convea en (, ) (, ) º) Representación gráfica:

14 Cuarto ejemplo: º) Dominio. Dom f( ) { } f ( ) + ( ) f( ) º) Simetrías. f( ) No tiene simetría par ni impar. + f( ) º) Puntos de corte. Eje : f( ) 0 0 (0,0) + 0 Eje y: f (0) (0, 0) 0+ º) Asíntotas. Asíntotas verticales: lim f ( ) lim ± + Asíntota horizontal: lim f ( ) lim ± No tiene asíntota horizontal. ± + Asíntota oblicua: y m+ n f ( ) m lim lim ± ± + n lim ( f ( ) m) lim lim ± ± + ± + La asíntota oblicua es y. º) Crecimiento y decrecimiento. Máimos y mínimos. Calculamos e igualamos a cero su primera derivada. ( + ) f '( ) f '( ) 0 0 ( + ) ( + ) ( + ) Dos puntos candidatos a máimo o a mínimo. Estudiamos los signos de la derivada: X ( +) f '( ) + + Creciente en (, ) (0, ) y decreciente en (, 0) { }. Por tanto: ( ) Máimo en: f ( ) (, ) + 0 Mínimo en: 0 f (0) 0 (0, 0) 0+ º) Concavidad y conveidad. Puntos de infleión. Calculamos e igualamos a cero su primera derivada. (+ )( + ) ( + ) ( + ) f ''( ) f ''( ) 0 0 ( + ) ( + ) ( + ) Hacemos un estudio de los signos:

15 + + ( +) + f ''( ) + No tiene puntos de infleión. Cóncava en (, ) y convea en (, ). º) Representación gráfica: Quinto ejemplo: º) Dominio. Dom f( ) { ± } f( ) ( ) º) Simetrías. f ( ) f( ) Simetría impar. ( ) º) Puntos de corte. Eje : f( ) (0,0) Eje y: f 0 0 (0) 0 ( 0, 0) 0 º) Asíntotas. Asíntotas verticales: lim f( ) lim ± 0 lim f( ) lim ± 0 Asíntota horizontal: lim f( ) lim ± No tiene. ± ± Asíntota oblicua: y m+ n f( ) ± ± ± m lim lim lim n lim ( f( ) m) lim lim 0 ± ± ± La asíntota oblicua es: y.

16 º) Crecimiento y decrecimiento. Máimos y mínimos. Calculamos e igualamos a cero su primera derivada. ( ) ( ) ( ) 0 f '( ) f '( ) 0 ( ) ( ) ( ) ± Tres puntos candidatos a máimo o a mínimo. Hacemos un estudio de los signos de la derivada primera: ( ) + + ( ) '( ) f + + Creciente en (, ) (, ) Máimo en: Mínimo en: y decreciente en (, ) { } ( ) ( ) ( ) ( ) ±. ( ) f ( ).,. ( ) f ( ).,. º) Concavidad y conveidad. Puntos de infleión. Calculamos e igualamos a cero su primera derivada. ( )( ) + ( ) ( ) ( ) ( + ) f ''( ) ( ) ( ) ( + ) f ''( ) ( ) Hay un punto candidato a punto de infleión. Hacemos un estudio de los signos de la derivada segunda: 0 ( + ) + + ( ) + + f ''( ) + + Cóncava en (, ) (0, ) y convea en (, 0) (, ). º) Representación gráfica:

17 Seto ejemplo: º) Dominio. Dom f( ) { } f( ) ( ) f( ) º) Simetrías. f( ) No tiene simetría par ni impar. ( ) f( ) º) Puntos de corte. (, 0) Eje : f( ) 0 0 ± (,0) 0 Eje y: f (0) 0, 0 º) Asíntotas. Asíntotas verticales: lim f( ) lim ± Asíntota horizontal: lim f( ) lim ± No tiene. ± ± Asíntota oblicua: y m+ n f( ) lim lim m lim ± ± ± n lim ( f( ) m) lim lim ± ± ± La asíntota oblicua es: y +. º) Crecimiento y decrecimiento. Máimos y mínimos. Calculamos e igualamos a cero su primera derivada. ( ) ( ) + f '( ) ( ) ( ) +. f '( ) 0 0 ( ) 0.8 Tres puntos candidatos a máimo o a mínimo. Y ahora estudiamos los signos de la derivada primera: ( ) f '( ) + +,0.8., 0.8,.. Creciente en ( ) ( ) y decreciente en ( ) { } f (.)..,.. Máimo en: 0.8 f (0.8) 0. ( 0.8, 0.) Mínimo en:. ( )

18 º) Concavidad y conveidad. Puntos de infleión. Calculamos e igualamos a cero su primera derivada. ( ) ( ) ( ) ( + ) f ''( ) ( ) ( ) f ''( ) 0 ( ) 0 No tiene puntos candidatos a puntos de infleión. Hacemos un estudio de los signos de la derivada segunda: + + ( ) + f ''( ) + Cóncava en (, ) y convea en (, ). º) Representación gráfica: Séptimo ejemplo: º) Dominio. Dom f( ) { } f( ) ( + ) ( ) f( ) º) Simetrías. f( ) No hay simetría par ni impar. (( ) + ) ) ( ) f( ) º) Puntos de corte. Eje : f( ) 0 0,0 ( + ) 0 Eje y: f (0) 0, (0+ ) º) Asíntotas. Asíntotas verticales: lim f( ) lim ( + ) Asíntota horizontal: lim f( ) lim 0 y 0. ± ± ( + ) Asíntota oblicua: Tiene asuntota horizontal, por ello no tiene oblicua. 8

19 º) Crecimiento y decrecimiento. Máimos y mínimos. Calculamos e igualamos a cero su primera derivada. ( + ) ( + )( ) f '( ) f '( ) 0 ( + ) ( + ) ( + ) 0 Un punto candidato a etremo. Ahora estudiamos los signos de la derivada primera: + + ( + ) + + f '( ) + Decreciente en (, ) (, ) y decreciente en (, ). Máimo en: f (), (+ ) º) Concavidad y conveidad. Puntos de infleión. Calculamos e igualamos a cero su primera derivada. ( + ) ( + ) ( ) + f ''( ) ( + ) ( + ) + f ''( ) 0 0 ( + ) Un punto candidato a punto de infleión. Hacemos ahora un estudio de los signos: / + + ( + ) f ''( ) + y convea en (/, ). Cóncava en (, /) { } º) Representación gráfica: 9

20 Ejercicios de optimización Estrategias para resolver problemas de optimización: - Asignar símbolos a todas las magnitudes a determinar. - Escribir una ecuación primaria para la magnitud que debe ser optimizada. - Reducir la ecuación primaria a una ecuación con solo una variable independiente. Eso puede eigir el uso de las ecuaciones secundarias (ligaduras) que relacionen las variables independientes de la ecuación primaria. - Determinar el dominio de la ecuación primaria. Esto es, hallar los valores para los que el problema planteado tiene sentido. - Determinar el valor máimo o mínimo mediante las técnicas dadas (Derivadas). E Problemas resueltos de optimización: Con una cartulina de 8X metros se desea construir una caja sin tapa, de volumen máimo. Hallar las dimensiones de dicha caja. Solución: Como hay que optimizar el volumen de una caja abierta, la ecuación a optimizar es: V (, y, z) yz Donde define el ancho de la caja, z lo largo e y lo alto. Dichas variables como definen dimensiones, no pueden ser negativas. Tampoco pueden ser nulas porque no habría caja, por tanto: > 0 y > 0 z > 0 Fijándonos en el dibujo adjunto de la cartulina, es posible deducir dos ecuaciones de ligadura: y + y + z 8 Despejando en ellas y z: y z 8 y Dos variables han quedado ligadas a una sola, ahora utilizaremos las ecuaciones de ligadura para que la ecuación del volumen de tres variables pase a ser de una variable: V( y ) ( y) y(8 y) 0y y + y Ahora procedemos a calcular sus máimos y mínimos con derivadas: V' ( y) 0 y + y V'( y ) 0 0 y + y 0 ± 0 ± 8 y 0 / y y Dos valores candidatos a máimos, mínimos o puntos de infleión. Utilizando la derivada segunda: V''(0 / ) 8 mínimo V''( y) + y V''() 8 máimo Una vez determinado el máimo, el resto de dimensiones se halla con las ecuaciones de ligadura: z 8 Luego la caja de volumen máimo tiene por dimensiones. 0

21 E Un rectángulo esta acotado por los ejes y por la gráfica de y ( ) / Qué longitud debe tener el rectángulo para que su área sea máima? Solución: Como tenemos que optimizar una función de área de un rectángulo, por tanto: A (, y) y Estas dos variables definen sus dimensiones y deben cumplir (viendo el dibujo) que: 0 < < y < 0 < La ecuación de ligadura es la que define la recta: y ( ) / Y con esto, y sustituyendo en la ecuación de área: A( ) ( ) / ( ) / Y ahora derivando calculamos sus máimos y mínimos. A '( ) A'( ) 0 0 Realizando la derivada segunda: A''( ) A''() máimo Se trata de un máimo, una vez hallada la longitud de su base hallo la de su altura mediante la ecuación de ligadura: y ( ) / / E Qué puntos de la gráfica de y están mas cerca del punto (0, )? Dato: distancia entre dos puntos, y), ( 0, y ) : d ( ) + ( y ) ( 0 0 y0 Solución: La ecuación que tenemos que optimizar es la de la distancia entre el punto (0, ) y otro punto que pertenecerá a una curva: ( ) ( ) d(, y) 0 + y d y y ( ) (, ) + Donde e y pueden tomar cualquier valor real. El problema nos da la ligadura (con la curva): y Esta curva liga las dos variables e y, sustituyendo en la ecuación de la distancia: ( ) + d ( ) + Derivando ahora esta función buscamos los posibles máimos y mínimos: d'( ) d'( ) ±

22 Recurrir ahora a la derivada segunda puede resultar pesado en cuanto a cálculos, en su lugar utilizaremos crecimiento y decrecimiento para distinguir cuales son los máimos de los mínimos o de los puntos de infleión. / 0 / d '( ) + + A partir de aquí es fácil ver que ± / son mínimos, y que 0 es un máimo. Mediante la ecuación de la curva calculo la coordenada y de cada punto mínimo: y ( ± / ) Por tanto las coordenadas de los puntos mínimos son:,, E Un rectángulo esta limitado por el eje y por el semicírculo: y Para qué longitud y anchura del rectángulo se hace mínima su área? Solución: Como tenemos que optimizar una función de área de un rectángulo, su epresión es: A (, y) () y Las dos variables por definir dimensiones deben ser mayores que cero y menores que los valores lógicos que vemos en la gráfica: 0 < < y < 0 < La ecuación de ligadura es la que define la semicircunferencia: y Y con esto, y sustituyendo en la ecuación de área: A(, y) Procedemos ahora a calcular sus máimos y mínimos: 0 0 A'( ) 0 ± A'( ) 0 0 Solo vale la solución positiva. Recurrir a la derivada segunda es más difícil, así que recurriremos a crecimiento y decrecimiento: 0 / A'( ) + Se trata de un máimo. Ya hemos hallada para que valor de la dimensión de la base se maimiza el área, ahora mediante la ecuación de ligadura calculamos la anchura: y ( / ) /

23 E Dos postes de y 8 m de altura, distan 0 m entre si. Hay que conectarlos mediante un cable que este atado en algún punto del suelo entre los postes. En que punto ha de amarrarse al suelo con el fin de utilizar la menor longitud de cable posible? Solución: Haciendo primero un dibujo del problema, como el realizado a la derecha, nos indica un poco como analizar el problema. Primeramente tenemos una función de longitud que optimizar: L (, y) + y Los valores lógicos que toma e y en el problema son: 0 < < < y < Fijándonos en el dibujo, es posible ligar estas dos variables a otra variable llamada z mediante dos ecuaciones de ligadura que aparecen de la aplicación del teorema de Pitágoras en los dos triángulos formados. + (0 z) y 8 + z Fijémonos que z no tiene sentido si es mayor que 0 o menor que cero. Sustituyendo estas variables en la función de longitud: L( z ) + (0 z) z y derivando para buscar los máimos y los mínimos: 0 + z z L'( z) + + (0 z) 8 + z 0 + z z L'( z) (0 z) 8 + z 0 + z z 0 + z z + (0 z) 8 + z + (0 z) 8 + z Haciendo unas operaciones llegaremos a: m 0 z z 00z z. m De estas dos soluciones hay que descartar la de. m, pues el problema dice que debe atarse la cuerda entre los postes. Dada la dificultad que entraña realizar el método de la derivada segunda, utilizaremos crecimiento y decrecimiento: 0 0 L'( ) + Estamos ante un mínimo. Luego a la distancia que debe encontrarse el nudo de cada poste es a m del poste más alto y a 9 m del poste más bajo.

24 E Se pide calcular el volumen máimo de un paquete rectangular enviado por correo, que posee una base cuadrada y cuya suma de anchura + altura + longitud sea 08. Solución: Hay que optimizar una función de área de un paquete rectangular, de base cuadra: A (, y) y Todas las variables deben ser positivas y menores que 08: 0 < < 08 0 < y < 08 Y sabemos que la suma de anchura + altura + longitud es 08, luego la ligadura es: + y 08 y 08 y sustituyendo en la función de área: A( ) (08 ) 08 Derivando y buscando máimos y mínimos: 0 A'( ) A'( ) 0 0 Descartamos la solución nula por no tener sentido, y ahora con la segunda derivada verificamos si es máimo o mínimo: A' '( ) A'() máimo Por tanto el máimo volumen de dicho paquete es: A() 08() () E Un fabricante desea diseñar una caja abierta con base cuadrada y que tenga un área total de 08 metros cuadrados de superficie. Qué dimensiones producen la caja de máimo volumen? Dato: La abertura de la caja es uno de los lados cuadrangulares. Solución: Nuevamente optimizamos un volumen, esta vez de una caja de base cuadrada, por tanto la ecuación primaria es: V (, y) y Como son dimensiones de una caja las dos variables, entonces: > 0 y > 0 Se trata de una caja abierta por una de sus caras cuadradas, por tanto el área viene dada por: 08 y Esta es una ecuación de ligadura. Si en ella despejamos y: 08 y Utilizando las ecuaciones de ligadura sobre la ecuación de volumen la reducimos a una ecuación de una variable: V( ) Derivándola ahora para calcular sus máimos y mínimos: V'( ) V'( ) ± De estas dos posibles soluciones, no es valida pues las dimensiones no pueden ser negativas. Con la otra solución recurrimos a la derivada segunda: V' '( ) V''() 9 máimo +

25 Se trata de un máimo, ahora recurrimos a las ecuación de ligadura para calcular la dimensión que falta: 08 y Luego las dimensiones son. E8 Una página rectangular debe contener dm de teto, con márgenes superior e inferior de. dm y laterales de dm pulgada, Qué dimensiones de la página requieren la mínima cantidad de papel? Solución: En este caso tenemos que optimizar una epresión de área, como es una página de las características del problema (ver dibujo), entonces la ecuación a optimizar es: A (, y) (. ) + y + ( ) + (. y) + y + + y Evidentemente las variables por definir dimensiones no nulas, sus valores deben estar: > 0 y > 0 Nos dice el problema que deben ser dm de teto, esto quiere decir, viendo el dibujo, que la ecuación de ligadura es: y Que es el área reservada al teto. Despejando de la ligadura: y Y sustituyendo en la ecuación primaria: A ( ) Calculando ahora su derivada y buscando máimos y mínimos: A'( ) A'( ) ± La solución negativa no tiene sentido, por tanto no es válida. En cambio la positiva la analizamos con la derivada segunda: A''( ) A''() mínimo Se trata de un mínimo. Por la ligadura sabemos que: y Por tanto las dimensiones de la página son: ( + + )( ) 9

26 E9 Con metros de alambre se desean construir un círculo y un cuadrado. Cuanto alambre hay que emplear en cada figura para lograr que entre ambas encierren el área mínima posible? Solución: En este problema hay que optimizar una función de área. La ecuación de área viene regida por: A( l, r) l + π r Que es tanto la suma del área del círculo como del cuadrado. Estas dos variables por definir una dimensión de una figura y un radio, deben ser positivas y menores que y / π : 0 l 0 r / π Pues ninguna figura puede tener más alambre que la longitud de m. Por otra parte, como solo pueden usarse m de alambre, llegamos a la siguiente ecuación de ligadura que es la suma del alambre necesario para circulo y cuadrado. l + π r Despejando l : π r π r l y sustituyendo en la ecuación de área, queda reducida a una ecuación de una variable: π r π r A( r) + π r π r + + π r Derivando ahora: r r A'( r) π π π + + πr A'( r) 0 π + + πr 0 r π / Al usar derivada segunda: π π A''( r ) + π A''(0.8) + π mínimo Para este valor de r hay área mínima, el lado del cuadrado valdrá: π 0.8 l 0. m E0 Dado un cilindro de volumen m, determinar sus dimensiones para que su área total sea mínima. Solución: Se trata de optimizar el área de un cilindro. La función de área de un cilindro es la suma de sus dos caras circulares más el área lateral rectangular, tal y como se ve en el dibujo de abajo: A( r, h) π r π rh Ambas variables deben ser mayores que cero por representar dimensiones: 0 < r h < 0 Como el cilindro debe tener m de capacidad, el volumen actúa aquí de ligadura de variables, así mediante la epresión del volumen de un cilindro ligo r con h : + h hπ r π r

27 Y sustituyendo en la función de área: 8 A( r) π r + π r π r + π r r Derivando y buscando máimos y mínimos: 8 8 π r 8 A' ( r ) π r A'( r) 0 π r 0 0 r 0.8 r r r π Recurriendo ahora a la derivada segunda: π r + A''( r ) A''( / π ) π mínimo r Mediante la ecuación de ligadura determino la altura, que vale h.. Por tanto para h. m y r 0.8 m el área del cilindro es mínima teniendo m de volumen. º Inscribir en una esfera de radio m un cilindro circular que tenga a) Volumen máimo b) Área lateral máima. En ambos casos determinar sus dimensiones, radio de la base y altura. Solución: a) Se nos pide optimizar el volumen de un cilindro: V( r, h) π r h Ambas variables, r y h, deben ser positivas: 0 < r h < 0 Fijándonos en el dibujo inferior, que vendría a ser como un corte del dibujo superior por uno de sus meridianos, podemos reconocer a simple vista la ecuación de ligadura: r + ( h / ) r h / Sustituyendo ahora en las función de volumen: π h π h V( h) Ahora derivamos cada epresión para buscar sus máimos y mínimos: π πh π πh V'( h) V'( h) 0 0 ± h ±. m Se desecha la solución negativa por carecer de sentido, y mediante la derivada segunda: π h V' '( h) V''(.). máimo Utilizando ahora la ligadura llego a la conclusión que r 0.8 m b) En este apartado se nos pide optimizar una función de área: A ( r, h) π rh Utilizando las mismas condiciones que en el apartado a) y la misma ligadura, la función a optimizar pasa a ser de una variable: A( h) π h h

28 Derivando y calculando sus máimos y mínimos: π π h π π h A'( h) A'( h) 0 0 h 0 h ± ±. h h Nos quedamos solo con la solución positiva. Ahora verificamos si es máimo o mínimo mediante crecimiento y decrecimiento: 0 A'( ) + Se trata de un máimo. Utilizando ahora la ecuación de ligadura determino que r 0.0 m º Hallar las dimensiones del rectángulo de área máima que tiene un lado sobre el eje y está inscrito en el triangulo determinado por las rectas y 0, y, y. Solución: Hay que optimizar un área rectangular: A (, y) y Por tanto las dos dimensiones deben ser positivas. 0 < 0 < y Una vez construido el dibujo, vemos que la base es la diferencia de las dos variables y, y que estas variables se relacionan con y mediante las ecuaciones de las rectas: y y Que en este problema sirven como ligaduras. Despejando ambas variables, y : y y y como: y y sustituyendo en la función de área: y y y A( y) y y derivando y calculando máimos y mínimos: y A '( y ) y A'( y) 0 y 0 y Haciendo la derivada segunda: A''( y ) A''( / ) máimo Es un máimo, con la ecuación de ligadura: / / Ósea, un rectángulo de dimensiones (/) 8

29 º El alcance R de un proyectil lanzado con velocidad inicial v0 y con un ángulo θ respecto de la horizontal es: v sin 0 ( θ ) R g donde g es la aceleración de la gravedad. Calcular el ángulo θ que produce alcance máimo. Solución: El rango de valores coherentes con el problema deθ es: 0 < θ < π / Ahora, haciendo derivadas y buscando máimos y mínimos: v0 cos( θ) v0 cos( θ) R'( θ) R'( θ) 0 0 cos( θ) 0 g g arccos 0 π kπ θ + Donde k Z. El único valor de θ coherente con el problema es π /, con k 0. Ahora investigándolo con la derivada segunda: v0 sin(θ ) v0 sin( π / ) v0 R' '( θ ) R' '( π / ) g g g Es pues un máimo. º Ecuación que describe la altura en función del tiempo: g h( t) vt t donde la gravedad g 0 m/s. Si se lanza un cuerpo hacia arriba con velocidad inicial 0m/s, Calcule cual es la máima altura que alcanzará si la aceleración gravitacional es 0m/s? Solución: El problema ya nos da la ecuación de altura que tenemos que optimizar: g h( t) vt t Conociendo los valores de la velocidad y de la gravedad: 0 h( t) 0t t 0t t En física, los tiempos no puede ser negativos, por tanto t 0. Derivando y buscando máimos y mínimos: h' ( t ) 0 0t h'( t) 0 0 0t 0 t s Mediante la derivada segunda verificamos si es máimo o mínimo: h' '( t ) 0 h''() 0 máimo Ahora sustituyendo en la función de altura, obtenemos la máima altura alcanzada: h( t ) 0 () 80 m 9

30 Problemas de optimización: º Queremos construir una caja abierta, de base cuadrada y volumen l. Halla las dimensiones para que la superficie, y por tanto el coste, sea mínimo. Sol: 8, y. º Entre todos los rectángulos de área halla el de perímetro mínimo. Sol: y. º De todos los cilindros inscritos en una esfera de radio m, hallar el valor del volumen del que lo tenga máimo. Sol: V /9 π. º Entre todos los rectángulos inscritos en una circunferencia de radio, cuál es el de superficie máima? Sol: Un cuadrado de lado. º La suma de los catetos de un triángulo rectángulo es 0 cm. Halla sus dimensiones para que la superficie de ese rectángulo sea máima. Sol: Dos catetos iguales de 0 cm. º Hallar las dimensiones de un rectángulo de área máima inscrito en una circunferencia de radio. Sol: y 8. º De todos los triángulos isósceles de perímetro 9. Hallar las dimensiones del que tenga área máima. Sol: y. 8º Hallar dos números que sumen 8 y que su producto sea máimo. Sol: 9 y 9. 9º Hallar dos números que sumen 9 y que el producto del cuadrado de uno por el triple del otro sea máimo. Sol:, y. 0º Se quiere vallar una parcela rectangular junto a una carretera. Si la valla junto a la carretera cuesta euro/m y el resto 0 céntimos/m. Cuáles serán las dimensiones de la parcela para que el área sea máima si disponemos de 80 euros? Sol: 0 90 m. º Un ganadero quiere encerrar a sus ovejas en un redil rectangular de área máima, para lo cual aprovecha la pared de la finca y con 00 metros de valla construye ese redil. Halla las dimensiones del rectángulo. Sol: 0. º La suma de las aristas de un prisma recto de base cuadrada es. Halla las dimensiones para que el volumen sea máimo. Sol: y. º Un círculo de diámetro 8 cm se divide en dos trozos para formar los diámetros de otros dos círculos. Halla la medida de los trozos para que la diferencia entre el área del círculo grande y las de los dos pequeños sea máima. Sol: d d' cm. º Halla los puntos de la curva y cuya distancia al punto (/, 0) sea mínima. Sol: (, ± ). º Un folio debe tener 88 cm de teto impreso. Los márgenes superior e inferior deben tener cm cada uno y los laterales cm. Cuáles deben ser las dimensiones del folio para que el gasto de papel sea mínimo? Sol: 8 cm. 0

31 º La vidriera de una iglesia está formada por un rectángulo y sobre él media circunferencia, si se quiere que el perímetro sea mínimo y que el área sea 8 + π m. Cuáles deben ser las dimensiones de la vidriera? Sol:, y m. º Entre los pares de números cuyo producto es encuentra aquellos positivos cuya suma de cuadrados sea mínima. Sol: 8 y 8. 8º En un campo se quiere limitar una parcela de m por medio de una valla rectangular y además dividirla en dos partes iguales por medio de otra valla paralela a uno de los lados. Qué dimensiones deben elegirse para que la cantidad de valla sea mínima? Sol: m de largo por m de ancho. 9º Se quieren fabricar latas de refresco (cilíndricas) cuyo contenido sea de / de litro, de manera que el coste de la chapa sea mínimo; halla su altura y radio de la base. Mide las dimensiones de cualquier lata que tengas en casa y comprueba si se fabrican siguiendo ese criterio. Sol: R π, h / π. 0º Queremos vallar una parcela rectangular de 00 m de una finca aprovechando un muro ya eistente, de modo que en ese lado no es necesaria una valla. Cómo debe ser ese rectángulo para que el coste de la valla sea mínimo? Sol: 0 0 m. º Se desea abrir una ventana rectangular en una pared de una casa. Queremos que nos salga lo más económica posible sin perder luz, para ello pretendemos que el área sea de / m. Sabemos que el coste en vertical es de 0 euros/m y en horizontal 0 euros/m. Cómo debe ser la ventana? Sol: / /.

Julián Moreno Mestre www.juliweb.es tlf. 629381836. / 2 Qué longitud debe tener el rectángulo para que su

Julián Moreno Mestre www.juliweb.es tlf. 629381836. / 2 Qué longitud debe tener el rectángulo para que su www.juliweb.es tlf. 69886 Ejercicios de optimización: Estrateias para resolver problemas de optimización: - Asinar símbolos a todas las manitudes a determinar. - Escribir una ecuación primaria para la

Más detalles

b) Cuántas asíntotas oblicuas y cuántas asíntotas verticales puede tener una función racional cualquiera?. Razónalo. dx x 2 1 x 1 si x >1 x 1 x < 0

b) Cuántas asíntotas oblicuas y cuántas asíntotas verticales puede tener una función racional cualquiera?. Razónalo. dx x 2 1 x 1 si x >1 x 1 x < 0 ANÁLISIS. (Junio 994) a) Encontrar las asíntotas de la curva f () = 2 3 2 4 b) Cuántas asíntotas oblicuas y cuántas asíntotas verticales puede tener una función racional cualquiera?. Razónalo. 2. (Junio

Más detalles

APLICACIONES DE LA DERIVADA

APLICACIONES DE LA DERIVADA APLICACIONES DE LA DERIVADA.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 1 Crecimiento y decrecimiento. APLICACIONES DE LA DERIVADA Cuando una función es derivable en un punto, podemos conocer si es creciente

Más detalles

DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN. APLICACIONES

DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN. APLICACIONES UNIDAD 6 DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN. APLICACIONES Página 5 Problema y f () 5 5 9 Halla, mirando la gráfica y las rectas trazadas, f'(), f'(9) y f'(). f'() 0; f'(9) ; f'() Di otros tres puntos en

Más detalles

APLICACIONES DE LA DERIVADA

APLICACIONES DE LA DERIVADA 7 APLICACIONES DE LA DERIVADA Página 68 Relación del crecimiento con el signo de la primera derivada Analiza la curva siguiente: f decrece f' < 0 f crece f' > 0 f decrece f' < 0 f crece f' > 0 f decrece

Más detalles

Ejercicios de Análisis propuestos en Selectividad

Ejercicios de Análisis propuestos en Selectividad Ejercicios de Análisis propuestos en Selectividad.- Dada la parábola y 4, se considera el triángulo rectángulo T( r ) formado por los ejes coordenados y la tangente a la parábola en el punto de abscisa

Más detalles

FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES

FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES www.matesronda.net José A. Jiménez Nieto FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES 1. FUNCIONES CUADRÁTICAS. Representemos, en función de la longitud de la base (), el área (y) de todos los rectángulos de perímetro

Más detalles

Examen de Matemáticas 2 o de Bachillerato Mayo 2003

Examen de Matemáticas 2 o de Bachillerato Mayo 2003 Examen de Matemáticas o de Bachillerato Mayo 00 1. Expresar el número 60 como suma de tres enteros positivos de forma que el segundo sea el doble del primero y su producto sea máximo. Determinar el valor

Más detalles

11 Aplicaciones. de las derivadas. 1. Máximos, mínimos y monotonía. Piensa y calcula. Aplica la teoría

11 Aplicaciones. de las derivadas. 1. Máximos, mínimos y monotonía. Piensa y calcula. Aplica la teoría Aplicaciones de las derivadas. Máimos, mínimos y monotonía Piensa y calcula Dada la gráfica de la función f representada en el margen, halla los máimos y los mínimos relativos y los intervalos de crecimiento

Más detalles

BLOQUE III Funciones

BLOQUE III Funciones BLOQUE III Funciones 8. Funciones 9. Continuidad, límites y asíntotas 0. Cálculo de derivadas. Aplicaciones de las derivadas. Integrales 8 Funciones. Estudio gráfico de una función Piensa y calcula Indica

Más detalles

7 Aplicaciones de las derivadas

7 Aplicaciones de las derivadas Solucionario 7 Aplicaciones de las derivadas ACTIVIDADES INICIALES 7.I. Calcula el volumen del cilindro que está inscrito en el cono de la figura: cm 8 cm Aplicando el Teorema de Pitágoras, se calcula

Más detalles

MATEMÁTICAS: 2º BACHILLERATO SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN: HOJA 6

MATEMÁTICAS: 2º BACHILLERATO SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN: HOJA 6 MATEMÁTICAS: º BACHILLERATO SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN: HOJA 6 1.- Determina dos números cuya suma sea y tales que el producto de uno de ellos por el cubo del otro sea máimo. = 1 er número;

Más detalles

APLICACIONES DEL CÁLCULO DIFERENCIAL-II

APLICACIONES DEL CÁLCULO DIFERENCIAL-II APLICACIONES DEL CÁLCULO DIFERENCIAL-II. Estudia si crecen o decrecen las siguientes funciones en los puntos indicados: π a) f() cos en 0 b) f() ln ( arc tg ) en 0 π c) f() arc sen en 0 d) f() ln en 0

Más detalles

DERIVADAS. * Definición de derivada. Se llama derivada de la función f en el punto x=a al siguiente límite, si es que existe: lim

DERIVADAS. * Definición de derivada. Se llama derivada de la función f en el punto x=a al siguiente límite, si es que existe: lim DERIVADAS. CONTENIDOS. Recta tangente a una curva en un punto. Idea intuitiva del concepto de derivada de una función en un punto. Función derivada. sucesivas. Reglas de derivación Aplicación de la derivada

Más detalles

Problemas de optimización

Problemas de optimización Problemas de optimización 1º) La producción de cierta hortaliza en un invernadero (Q(x) en Kg) depende de la temperatura x (ºC) según la expresión. a) Calcula razonadamente cuál es la temperatura óptima

Más detalles

1.- Encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones:

1.- Encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones: F. EJERCICIOS PROPUESTOS. 1.- Encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones: (a) f(x) =x 3 /3+3x 2 /2 10x. Resp.: Crece en (, 5) y en (2, ); decrece en ( 5, 2). (b) f(x) =x 3

Más detalles

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada FUNCIONES CONOCIDAS. FUNCIONES LINEALES. Se llaman funciones lineales a aquellas que se representan mediante rectas. Su epresión en forma eplícita es y f ( ) a b. En sentido más estricto, se llaman funciones

Más detalles

Universidad de la Frontera Departamento de Matemática y Estadística. Problemas de Optimización. Cĺınica de Matemática. J. Labrin - G.

Universidad de la Frontera Departamento de Matemática y Estadística. Problemas de Optimización. Cĺınica de Matemática. J. Labrin - G. Universidad de la Frontera Departamento de Matemática y Estadística Cĺınica de Matemática 1 Problemas de Optimización J. Labrin - G.Riquelme 1. Una caja con base cuadrada y parte superior abierta debe

Más detalles

Unidad I Funciones Expresar una función. Dominios

Unidad I Funciones Expresar una función. Dominios Unidad I Funciones Epresar una función 1. Un rectángulo tiene un perímetro de 0m. Eprese el área del rectángulo como función de la longitud de uno de sus lados.. Un rectángulo tiene un área de 16 m. Eprese

Más detalles

RELACIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

RELACIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN 1. En un concurso se da a cada participante un alambre de dos metros de longitud para que doblándolo convenientemente hagan con el mismo un cuadrilátero con los cuatro ángulos rectos. Aquellos que lo logren

Más detalles

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I TERCERA EVALUACIÓN PARCIAL E0700. (1) Considere la función h : R R definida por. h(x) = x2 3

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I TERCERA EVALUACIÓN PARCIAL E0700. (1) Considere la función h : R R definida por. h(x) = x2 3 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I TERCERA EVALUACIÓN PARCIAL E0700 (1) Considere la función h : R R definida por h() = 3 3 Halle el dominio y las raíces de la función Las asíntotas verticales y las horizontales

Más detalles

x - Verticales. No tiene asíntotas verticales porque f(x) está definida en R y no cambia de criterio en ningún punto. - Oblicuas.

x - Verticales. No tiene asíntotas verticales porque f(x) está definida en R y no cambia de criterio en ningún punto. - Oblicuas. f ( ) + +. Dominio D (f ) R 4. Recorrido Im( f ) [, ). Puntos de corte - Con el eje y, donde 0 y + + y P (0,) - Con el eje, donde y 0 No hay punto de corte con el eje 4. Asíntotas - Horizontales lim +

Más detalles

EJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES

EJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES EJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES. Estudiar el crecimiento, el decrecimiento y los etremos relativos de las siguientes funciones: a) f( ) 7 + + b) ln f( ) c) 5 si < f(

Más detalles

UNIVERSIDAD DE CASTILLA-LA MANCHA Departamento de Matemáticas.

UNIVERSIDAD DE CASTILLA-LA MANCHA Departamento de Matemáticas. UNIVERSIDAD DE CASTILLA-LA MANCHA Departamento de Matemáticas. PROBLEMAS DE CÁLCULO INFORMÁTICA DE SISTEMAS . Cálculo diferencial. Probar que a si y sólo si a a, siendo a >. Utilizar estas desigualdades

Más detalles

1. Dominio, simetría, puntos de corte y periodicidad

1. Dominio, simetría, puntos de corte y periodicidad Estudio y representación de funciones 1. Dominio, simetría, puntos de corte y periodicidad 1.1. Dominio Al conjunto de valores de x para los cuales está definida la función se le denomina dominio. Se suele

Más detalles

Análisis de funciones y representación de curvas

Análisis de funciones y representación de curvas 12 Análisis de funciones y representación de curvas 1. Análisis gráfico de una función Aplica la teoría 1. Dada la siguiente gráfica, analiza todas sus características, es decir, completa el formulario

Más detalles

, o más abreviadamente: f ( x)

, o más abreviadamente: f ( x) TEMA 5: 1. CONCEPTO DE FUNCIÓN Observa los siguientes ejemplos: El precio de una llamada telefónica depende de su duración. El consumo de gasolina de un coche depende de la velocidad del mismo. La factura

Más detalles

Se llama dominio de una función f(x) a todos los valores de x para los que f(x) existe. El dominio se denota como Dom(f)

Se llama dominio de una función f(x) a todos los valores de x para los que f(x) existe. El dominio se denota como Dom(f) MATEMÁTICAS EJERCICIOS RESUELTOS DE FUNCIONES FUNCIONES A. Introducción teórica A.1. Definición de función A.. Dominio y recorrido de una función, f() A.. Crecimiento y decrecimiento de una función en

Más detalles

Unidad 6 Estudio gráfico de funciones

Unidad 6 Estudio gráfico de funciones Unidad 6 Estudio gráfico de funciones PÁGINA 96 SOLUCIONES Representar puntos en un eje de coordenadas. 178 Evaluar un polinomio. a) b) c) d) e) Escribir intervalos. a) b) c) 179 PÁGINA 98 SOLUCIONES 1.a)

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2010 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2010 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 010 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio 1, Opción A Junio, Ejercicio 1, Opción B Reserva 1, Ejercicio 1, Opción A Reserva 1, Ejercicio 1, Opción

Más detalles

UNIDAD 2: DERIVADAS Y APLICACIONES

UNIDAD 2: DERIVADAS Y APLICACIONES UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES ÍNDICE DE LA UNIDAD - INTRODUCCIÓN 6 - DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO 7 - INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA 8 4- CONTINUIDAD

Más detalles

ACTIVIDADES UNIDAD 6: Funciones

ACTIVIDADES UNIDAD 6: Funciones ACTIVIDADES UNIDAD 6: Funciones 1. Indica las características de la siguiente función: Dominio:, 1 1,1 1, 1,1 Imagen o recorrido:,0 1, Monotonía: - Creciente:, 1 1,0 - Decreciente: 0,11, - Máimos relativos:

Más detalles

LAS FUNCIONES ELEMENTALES

LAS FUNCIONES ELEMENTALES UNIDAD LAS FUNCIONES ELEMENTALES Página 98. Las siguientes gráficas corresponden a funciones, algunas de las cuales conoces y otras no. En cualquier caso, vas a trabajar con ellas. Las ecuaciones correspondientes

Más detalles

EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS (ANÁLISIS) x +

EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS (ANÁLISIS) x + EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS (ANÁLISIS).- La temperatura T, en grados centígrados, que adquiere una pieza sometida a un proceso viene dada en función del tiempo t, en horas, por la epresión: Tt t

Más detalles

APLICACIONES DE LA DERIVADA

APLICACIONES DE LA DERIVADA CAPÍTULO VI. APLICACIONES DE LA DERIVADA SECCIONES A. Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos locales. B. Concavidad. Puntos de inflexión. C. Representación gráfica de funciones. D. Problemas de

Más detalles

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Tema Representación gráfica de funciones reales de una variable real Elaborado

Más detalles

Concepto de función y funciones elementales

Concepto de función y funciones elementales Concepto de unción unciones elementales Matemáticas I - º Bachillerato Las unciones describen enómenos cotidianos, económicos, psicológicos, cientíicos Tales unciones se obtienen eperimentalmente, mediante

Más detalles

Máximo o mínimo de una función

Máximo o mínimo de una función Análisis: Máimos, mínimos, optimización 1 MAJ00 Máimo o mínimo de una función 1. Dados tres números reales cualesquiera r 1, r y r, hallar el número real que minimiza la función D( ) ( r ) ( r ) ( r 1

Más detalles

Ejemplo: Resolvemos Sin solución. O siempre es positiva o siempre es negativa. Damos un valor cualquiera Siempre + D(f) =

Ejemplo: Resolvemos Sin solución. O siempre es positiva o siempre es negativa. Damos un valor cualquiera Siempre + D(f) = T1 Dominios, Límites, Asíntotas, Derivadas y Representación Gráfica. 1.1 Dominios de funciones: Polinómicas: D( = La X puede tomar cualquier valor entre Ejemplos: D( = Función racional: es el cociente

Más detalles

CAPITULO 3. Aplicaciones de la Derivada. Licda. Elsie Hernández Saborío. Instituto Tecnológico de Costa Rica. Escuela de Matemática

CAPITULO 3. Aplicaciones de la Derivada. Licda. Elsie Hernández Saborío. Instituto Tecnológico de Costa Rica. Escuela de Matemática CAPITULO Aplicaciones de la Derivada Licda. Elsie Hernández Saborío Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática Créditos Primera edición impresa: Rosario Álvarez, 1988. Edición Latex: Marieth

Más detalles

EJERCICIOS DE FUNCIONES REALES

EJERCICIOS DE FUNCIONES REALES EJERCICIOS DE FUNCIONES REALES.- La ley que relaciona el valor del área de un cuadrado con la longitud de su lado es una función. Sabemos que la epresión que nos relacionas ambas variables es. Observa

Más detalles

MURCIA JUNIO 2004. + = 95, y lo transformamos 2

MURCIA JUNIO 2004. + = 95, y lo transformamos 2 MURCIA JUNIO 4 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II OBSERVACIONES IMPORTANTES: El alumno deberá responder a una sola de las dos cuestiones de cada uno de los bloques. La puntuación de las dos

Más detalles

EJERCICIOS DE REPASO SOBRE DERIVABILIDAD III. PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

EJERCICIOS DE REPASO SOBRE DERIVABILIDAD III. PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN EJERCICIOS DE REPASO SOBRE DERIVABILIDAD III. PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Una de las aplicaciones más comunes de los conceptos relacionados con la derivada de una función son los problemas de optimización.

Más detalles

representación gráfica de funciones

representación gráfica de funciones representación gráfica de funciones Esta Unidad pretende ser una aplicación práctica de todo lo aprendido hasta ahora en el bloque de Análisis. En ella nos centraremos en las funciones polinómicas y racionales.

Más detalles

APLICACIONES DE LA DERIVADA

APLICACIONES DE LA DERIVADA APLICACIONES DE LA DERIVADA 1. MONOTONÍA (CRECIMIENTO O DECRECIMIENTO) Si una función es derivable en un punto = a, podemos determinar su crecimiento o decrecimiento en ese punto a partir del signo de

Más detalles

BLOQUE IV. Funciones. 10. Funciones. Rectas y parábolas 11. Funciones racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas 12. Límites y derivadas

BLOQUE IV. Funciones. 10. Funciones. Rectas y parábolas 11. Funciones racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas 12. Límites y derivadas BLOQUE IV Funciones 0. Funciones. Rectas y parábolas. Funciones racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas. Límites y derivadas 0 Funciones. Rectas y parábolas. Funciones Dado el rectángulo

Más detalles

Aplicaciones de las derivadas

Aplicaciones de las derivadas I. E. S. Siete Colinas (Ceuta) Departamento de Matemáticas Matemáticas de º de Bachillerato Aplicaciones de las derivadas (estudio de funciones) Por Javier Carroquino CaZas Catedrático de matemáticas del

Más detalles

a) Buscar dominio, crecimiento, decrecimiento y máximos absolutos. b) Buscar el área delimitada por la función y el eje '0X'.

a) Buscar dominio, crecimiento, decrecimiento y máximos absolutos. b) Buscar el área delimitada por la función y el eje '0X'. .- Dada la función: f(x) = x 9 x a) Buscar dominio, crecimiento, decrecimiento y máximos absolutos. b) Buscar el área delimitada por la función y el eje '0X'..a.- Lo primero que hacemos es buscar el dominio,

Más detalles

3. Operaciones con funciones.

3. Operaciones con funciones. GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. Lección. Funciones derivada. 3. Operaciones con funciones. En esta sección veremos cómo podemos combinar funciones para construir otras nuevas. Especialmente

Más detalles

Ejercicios de Trigonometría

Ejercicios de Trigonometría Ejercicios de Trigonometría 1) Indica la medida de estos ángulos en radianes: a) 0º b) 45º c) 60º d) 120º Recuerda que 360º son 2π radianes, con lo que para hacer la conversión realizaremos una simple

Más detalles

TEMA 5. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

TEMA 5. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES 94 TEMA 5. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES 1. Representación de funciones 1.1. Dominio 1.. Puntos de corte con los ejes 1..1. Con el eje 1... Con el eje y 1.. Signo de la función 1.4. Periodicidad y simetría

Más detalles

Unidad 5 Estudio gráfico de funciones

Unidad 5 Estudio gráfico de funciones Unidad 5 Estudio gráfico de funciones PÁGINA 84 SOLUCIONES Representar puntos en un eje de coordenadas. 43 Evaluar un polinomio. a) P(-1) = 1 + + 1 1 = 3 b) P(0) = -1 c) P(-) = 8 + 8 + 1 = 17 d) P(1) =

Más detalles

Lección 7 - Coordenadas rectangulares y gráficas

Lección 7 - Coordenadas rectangulares y gráficas Lección 7 - Coordenadas rectangulares gráficas Coordenadas rectangulares gráficas Objetivos: Al terminar esta lección podrás usar un sistema de coordenadas rectangulares para identificar puntos en un plano

Más detalles

Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla. GradoenIngenieríadelas Tecnologías de Telecomunicación EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS II

Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla. GradoenIngenieríadelas Tecnologías de Telecomunicación EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS II Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla GradoenIngenieríadelas Tecnologías de Telecomunicación EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS II CURSO 2015-2016 Índice general 1. Derivación de funciones

Más detalles

Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas 3º ESO

Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas 3º ESO Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas º ESO Nombre: C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO Resolver la siguiente ecuación: 5 5 6 Multiplicando por el mcm(,,6) = 6 y

Más detalles

Propiedades de las funciones derivables. Representación gráfica de funciones. Determinar los puntos de inflexión. (Junio 1997)

Propiedades de las funciones derivables. Representación gráfica de funciones. Determinar los puntos de inflexión. (Junio 1997) Matemáticas II. Curso 008/009 de funciones 1 1. Determinar las asíntotas de f () =. Estudiar la concavidad y conveidad. 1 + Determinar los puntos de infleión. (Junio 1997) 1 Por un lado, lim 1 = 0 y =

Más detalles

f( x) = ( x)2 + 11 x + 5 = 0 = x2 + 11 = 0 = No hay solución y = 0 + 11 0 + 5 = 11

f( x) = ( x)2 + 11 x + 5 = 0 = x2 + 11 = 0 = No hay solución y = 0 + 11 0 + 5 = 11 1. y = x + 11 x + 5 a) ESTUDIO DE f: 1) Dominio: Como es un cociente del dominio habrá que excluir los valores que anulen el denominador. Por tanto: x + 5 = 0 x = 5 ) Simetría: A simple vista, como el

Más detalles

58 EJERCICIOS DE FUNCIONES. La función que a cada número le asocia su doble La función que a cada número le asocia su triple más 5

58 EJERCICIOS DE FUNCIONES. La función que a cada número le asocia su doble La función que a cada número le asocia su triple más 5 58 EJERCICIOS DE FUNCIONES FUNCIONES y GRÁFICAS. Construir una tabla de valores para cada una de las siguientes funciones: a) y=3+ b) f()= c) y= -4 d) f(). Completar la siguiente tabla (obsérvese el primer

Más detalles

UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES. OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano.

UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES. OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano. UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano. EL PLANO CARTESIANO. El plano cartesiano está formado

Más detalles

Capítulo 21 Óptica 1

Capítulo 21 Óptica 1 Capítulo 21 Óptica 1 Reflexión y refracción Las leyes de la reflexión y de la refracción nos dicen lo siguiente: Los rayos incidente, reflejado y transmitido están todos en un mismo plano, perpendicular

Más detalles

11 FUNCIONES POLINÓMICAS Y RACIONALES

11 FUNCIONES POLINÓMICAS Y RACIONALES FUNCINES PLINÓMICAS RACINALES EJERCICIS PRPUESTS. Estudia y representa la siguiente función cuadrática: f(). Es una parábola con las ramas hacia arriba, pues a 0. El vértice es el punto V, 5 8. El eje

Más detalles

Funciones lineales. Objetivos. Antes de empezar. 1.Función de proporcionalidad directa pág. 170 Definición Representación gráfica

Funciones lineales. Objetivos. Antes de empezar. 1.Función de proporcionalidad directa pág. 170 Definición Representación gráfica 10 Funciones lineales Objetivos En esta quincena aprenderás a: Identificar problemas en los que intervienen magnitudes directamente proporcionales. Calcular la función que relaciona a esas magnitudes a

Más detalles

TEMA 10 FUNCIONES ELEMENTALES MATEMÁTICAS I 1º Bach. 1

TEMA 10 FUNCIONES ELEMENTALES MATEMÁTICAS I 1º Bach. 1 TEMA 10 FUNCIONES ELEMENTALES MATEMÁTICAS I 1º Bach. 1 TEMA 10 - FUNCIONES ELEMENTALES 10.1 CONCEPTO DE FUNCIÓN DEFINICIÓN : f es una función de R en R si a cada número real, x Dom, le hace corresponder

Más detalles

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD Opción A Ejercicio 1.- [2 5 puntos] Una ventana normanda consiste en un rectángulo coronado con un semicírculo. De entre todas las ventanas normandas de perímetro 10 m, halla las dimensiones del marco

Más detalles

Selectividad Septiembre 2006 SEPTIEMBRE 2006

Selectividad Septiembre 2006 SEPTIEMBRE 2006 Bloque A SEPTIEMBRE 2006 1.- En una fábrica trabajan 22 personas entre electricistas, administrativos y directivos. El doble del número de administrativos más el triple del número de directivos, es igual

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS DE OPTIMIZACIÓN

PROBLEMAS RESUELTOS DE OPTIMIZACIÓN Problemas de optimiación Ejercicio PROBLEMAS RESUELTOS DE OPTIMIZACIÓN Un banco lana al mercado un plan de inversión cua rentabilidad R(, en euros, viene dada en función de la cantidad invertida, en euros,

Más detalles

3 Polinomios y fracciones algebráicas

3 Polinomios y fracciones algebráicas Solucionario 3 Polinomios y fracciones algebráicas ACTIVIDADES INICIALES 3.I. Para cada uno de los siguientes monomios, indica las variables, el grado y el coeficiente, y calcula el valor numérico de los

Más detalles

Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática CONARE-PROYECTO RAMA. Funciones

Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática CONARE-PROYECTO RAMA. Funciones Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática CONARE-PROYECTO RAMA Funciones José R. Jiménez F. Temas de pre-cálculo I ciclo 007 Funciones 1 Índice 1. Funciones 3 1.1. Introducción...................................

Más detalles

Herramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas

Herramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas Herramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas, Grupo de Innovación Didáctica Departamento de Matemáticas Universidad de Extremadura Índice Dada una función f : D R R y un intervalo I D

Más detalles

Límite de una función

Límite de una función Límite de una función Idea intuitiva de límite El límite de la función f(x) en el punto x 0, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x 0. Es

Más detalles

Para la oblicua hacemos lo mismo, calculamos el límite en el menos infinito : = lim. 1 ( ) = = lim

Para la oblicua hacemos lo mismo, calculamos el límite en el menos infinito : = lim. 1 ( ) = = lim ) Sea la función: f(x) = ln( x ): a) Dar su Dominio y encontrar sus asíntotas verticales, horizontales y oblicuas. b) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los máximos y mínimos, los

Más detalles

x 2 a) Calcula el valor de k. b) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto de abscisa x = 1.

x 2 a) Calcula el valor de k. b) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto de abscisa x = 1. . [0] [SEP-B] Sea la función f definida por f() = e- para. - a) Estudia las asíntotas de la gráfica de f. b) Halla los etremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) y los intervalos

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS TEMA: 3

PROBLEMAS RESUELTOS TEMA: 3 PROBLEMAS RESUELTOS TEMA: 3 1. Una partícula de 3 kg se desplaza con una velocidad de cuando se encuentra en. Esta partícula se encuentra sometida a una fuerza que varia con la posición del modo indicado

Más detalles

b) Para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, hay que derivar la función. Como que se trata de un cociente, aplicamos la fórmula:

b) Para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, hay que derivar la función. Como que se trata de un cociente, aplicamos la fórmula: 1. Dada la función f(x) = : a) Encontrar el dominio, las AH y las AV. b) Intervalos de crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos relativos. c) Primitiva que cumpla que F(0) = 0. a) Para encontrar el

Más detalles

2. [2014] [EXT-B] De entre todos los números reales positivos, determina el que sumado con su inverso da suma mínima.

2. [2014] [EXT-B] De entre todos los números reales positivos, determina el que sumado con su inverso da suma mínima. cos() - e + a. [04] [ET-A] Sabiendo que lim 0 sen() es finito, calcula a y el valor del límte.. [04] [ET-B] De entre todos los números reales positivos, determina el que sumado con su inverso da suma mínima..

Más detalles

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN I N D I C E. martilloatomico@gmail.com. Página. Titulo:

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN I N D I C E. martilloatomico@gmail.com. Página. Titulo: Titulo: DOMINIO Y RANGO I N D I C E Página DE UNA FUNCIÓN Año escolar: 4to. Año de Bachillerato Autor: José Luis Albornoz Salazar Ocupación: Ing Civil. Docente Universitario País de residencia: Venezuela

Más detalles

a) PAR: Una función es simétrica con respecto al eje Y cuando se verifica:

a) PAR: Una función es simétrica con respecto al eje Y cuando se verifica: TEMA 10: REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES. 10.1. DOMINIO. El dominio de definición de una función y = f{) (valores para los cuales eiste la función) es, en principio, todo ir, salvo que haya operaciones imposibles

Más detalles

Profr. Efraín Soto Apolinar. Función Inversa

Profr. Efraín Soto Apolinar. Función Inversa Función Inversa Una función es una relación entre dos variables, de manera que para cada valor de la variable independiente eiste a lo más un único valor asignado a la variable independiente por la función.

Más detalles

DOMINIO Y RANGO página 89. Cuando se grafica una función existen las siguientes posibilidades:

DOMINIO Y RANGO página 89. Cuando se grafica una función existen las siguientes posibilidades: DOMINIO Y RANGO página 89 3. CONCEPTOS Y DEFINICIONES Cuando se grafica una función eisten las siguientes posibilidades: a) Que la gráfica ocupe todo el plano horizontalmente (sobre el eje de las ). b)

Más detalles

EJERCITARIO GENERAL DE CÁLCULO DIFERENCIAL

EJERCITARIO GENERAL DE CÁLCULO DIFERENCIAL UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA CPI EJERCITARIO GENERAL DE CÁLCULO DIFERENCIAL AÑO 014 CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA CPI-014 CAPÍTULO 1: FUNCIONES

Más detalles

b1ct Propuesta Actividades Recuperación Matemáticas

b1ct Propuesta Actividades Recuperación Matemáticas b1ct Propuesta Actividades Recuperación Matemáticas Bloque Números 1 Resuelve: a. Si tomas como valor de 11. 1 la aproximación. 1, qué errores absoluto y relativo has cometido?. Solución: 0. 000; 0. 0%

Más detalles

Capítulo 3: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

Capítulo 3: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Capítulo : Aplicaciones de la derivada 1 Capítulo : APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Dentro de las aplicaciones de las derivadas quizás una de las más importantes es la de conseguir los valores máimos y mínimos

Más detalles

ANÁLISIS DESCRIPTIVO DE FUNCIONES Y GRÁFICAS

ANÁLISIS DESCRIPTIVO DE FUNCIONES Y GRÁFICAS ANÁLISIS DESCRIPTIVO DE FUNCIONES Y GRÁFICAS INTRODUCCIÓN La noción actual de función comienza a gestarse en el siglo XIV, cuando empiezan a preocuparse de medir y representar las variaciones de ciertas

Más detalles

1. Funciones y sus gráficas

1. Funciones y sus gráficas FUNCIONES 1. Funciones sus gráficas Función es una relación entre dos variables a las que, en general se les llama e. es la variable independiente. es la variable dependiente. La función asocia a cada

Más detalles

12 ESTUDIO DE FUNCIONES

12 ESTUDIO DE FUNCIONES ESTUDI DE FUNCINES EJERCICIS PRPUESTS. Representa las siguientes funciones lineales e indica el valor de sus pendientes. a) y b) y 5 y = + y = 5 c) y a) m 0 b) m 5 c) m y =. Representa estas funciones

Más detalles

Funciones racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas

Funciones racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas Funciones racionales, irracionales, eponenciales y logarítmicas. Funciones racionales Despeja y de la epresión y = 6. Qué tipo de función es? P I E N S A C A L C U L A 6 y = Es una función racional que

Más detalles

UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA II PROBLEMAS (SOLUCIONES )

UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA II PROBLEMAS (SOLUCIONES ) UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA II PROBLEMAS (SOLUCIONES ) HOJA : Límites continuidad de funciones en R n. -. Dibuja cada uno de los subconjuntos de R siguientes. Dibuja su

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2013 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2013 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 03 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,

Más detalles

Calculadora ClassPad

Calculadora ClassPad Calculadora ClassPad Tema: Ejercicios varios sobre Análisis de funciones y optimización. Nivel: 1º y º de Bachiller Comentario: La siguiente actividad que propongo es para la evaluación de los conceptos

Más detalles

Unidad 6 Cálculo de máximos y mínimos

Unidad 6 Cálculo de máximos y mínimos Unidad 6 Cálculo de máimos y mínimos Objetivos Al terminar la unidad, el alumno: Utilizará la derivada para decidir cuándo una función es creciente o decreciente. Usará la derivada para calcular los etremos

Más detalles

FUNCIONES ELEMENTALES

FUNCIONES ELEMENTALES 0 FUNCIONES ELEMENTALES Página 5 REFLEIONA RESUELVE Asocia a cada una de las siguientes gráficas una ecuación de las de abajo: A B C D 80 (, π) 50 0 5 E F G H 0 (5, ) 50 0 50 0 (, ) 5 I J K L LINEALES

Más detalles

M a t e m á t i c a s I I 1

M a t e m á t i c a s I I 1 Matemáticas II Matemáticas II ANDALUCÍA CNVCATRIA JUNI 009 SLUCIÓN DE LA PRUEBA DE ACCES AUTR: José Luis Pérez Sanz pción A Ejercicio En este límite nos encontramos ante la indeterminación. Agrupemos la

Más detalles

1. Funciones de varias variables: representaciones gráficas, límites y continuidad.

1. Funciones de varias variables: representaciones gráficas, límites y continuidad. GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 0.. Funciones de varias variables: representaciones gráficas, límites y continuidad. En el análisis de los problemas de la ciencia y de la técnica, las cantidades

Más detalles

1. Definición 2. Operaciones con funciones

1. Definición 2. Operaciones con funciones 1. Definición 2. Operaciones con funciones 3. Estudio de una función: Suma y diferencia Producto Cociente Composición de funciones Función reciproca (inversa) Dominio Recorrido Puntos de corte Signo de

Más detalles

Análisis Matemático I (Lic. en Cs. Biológicas) Práctica 4: Derivadas. Primer cuatrimestre de 2009

Análisis Matemático I (Lic. en Cs. Biológicas) Práctica 4: Derivadas. Primer cuatrimestre de 2009 Análisis Matemático I (Lic. en Cs. Biológicas) Primer cuatrimestre de 2009 Práctica 4: Derivadas Notaciones: Dada una función f : R R, un punto a R y un número R que llamaremos incremento en, se define

Más detalles

2FUNCIONES CUADRÁTICAS

2FUNCIONES CUADRÁTICAS CONTENIDOS El modelo cuadrático La función cuadrática Desplazamientos de la gráfica Máximos, mínimos, ceros, crecimiento y decrecimiento Ecuaciones cuadráticas Sistemas mixtos En este capítulo se analizan

Más detalles

EJERCICIOS RESUELTOS

EJERCICIOS RESUELTOS FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS DE LA INGENIERÍA Ingeriería Técnica Industrial. Especialidad en Mecánica. Boletin 6. Funciones de Varias Variables EJERCICIOS RESUELTOS Curso 003-004 1. En cada apartado, calcular

Más detalles

Ejercicios de Matemática para. Bachillerato. Miguel Ángel Arias Vílchez

Ejercicios de Matemática para. Bachillerato. Miguel Ángel Arias Vílchez Ejercicios de Matemática para Bachillerato Miguel Ángel Arias Vílchez 009 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 Se pretende mediante este material contribuir a que los estudiantes que se preparan de

Más detalles

EL TRIÁNGULO. Recordemos algunas propiedades elementales de los triángulos

EL TRIÁNGULO. Recordemos algunas propiedades elementales de los triángulos EL TRIÁNGULO 1. EL TRIÁNGULO. PRIMERAS PROPIEDADES El triángulo es un polígono que tiene tres lados y tres ángulos. Es, por tanto, el polígono más simple y el conocimiento de sus características y propiedades

Más detalles

f(x) = xe para x -1 y x 0, MATEMÁTICAS II PROBLEMAS DE FUNCIONES. Ejercicio 1. (Reserva 1 Septiembre 2013 Opción A) Sea f la función definida por

f(x) = xe para x -1 y x 0, MATEMÁTICAS II PROBLEMAS DE FUNCIONES. Ejercicio 1. (Reserva 1 Septiembre 2013 Opción A) Sea f la función definida por MATEMÁTICAS II PROBLEMAS DE FUNCIONES. Ejercicio. (Reserva Septiembre 0 Opción A) f() = para > 0, (donde ln denota el logaritmo neperiano). ln() a) [ 5 puntos] Estudia y determina las asíntotas de la gráfica

Más detalles