ANÁLISIS MATEMÁTICO I TEMA IV : DERIVADA Hoja 1

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1 ANÁLISIS MATEMÁTICO I TEMA IV : DERIVADA Hoja 1 A) Hallar la pendiene de la reca secane a la parábola y + 8,cuyas abscisas de los punos de inersección son 1 y 4 f ( ) f ( a) B) Dada la siguiene epresión Lim. Inerprear geoméricamene y graficar a a f ( ) 4 a ; ) f ) sen ( a 0; ) f ( ) a 4 C) Para la función y f() de la gráfica, calcular f (- ; f ( y f () D) Si se lanza una peloa al aire con una velocidad de 40 pies/seg, su alura en pies, después de segundos, se epresa por y a) Enconrar la velocidad promedio para el período que se inicia cuando y dura (i) 0,5 seg (ii) 0,1 seg (iii) 0,05 seg (iv) 0,01 seg b) Enconrar la velocidad insanánea cuando. E) Analizar la derivabilidad de las siguienes funciones en los punos indicados. Graficar. 1 f ( ) +, en 1 si ) f ( ) en si si > 0 1 si 1 ) f ( ) 1 si < 0 en 0 4) f ( ) en 1 si 0 1- si < 1 ( ) si < 4 5) f ( ) en - si F) Hallar las derivadas de las siguienes funciones aplicando las reglas de derivación: / 5 / y + 5) y g - ln.cos ) y ) + y 1 ) y ln 5.( + ) 4) y.( e 7) 8) y sh() y +

2 ANÁLISIS MATEMÁTICO I TEMA IV : DERIVADA Hoja dy G) Hallar de las siguienes funciones: d 5 4 a) y b) y 7 c) y ( 1 ) ) a) Si c πr, enconrar b) Si s enconrar H) Si f y g son las funciones cuyas gráficas se muesran. Sean u ( ) f ( ). g( ) y f ( ) v ( ) g( ) Hallar: a) du d 1 b) dv d 5 ) Si f ( ) e. g( ), donde ( 0) d d hallar: ( f ( ) ) 0 d d g y ( g( ) ) 5 0 ) Si ( ) 4 d d h y ( h( ) ) hallar: d d h( ) I) Aplicaciones geoméricas: Para la función y ln a) Averiguar si hay punos en la gráfica en que la reca angene enga pendiene. Si es así, indicar sus coordenadas b) Cuál es la pendiene de la reca angene a dicha función en 4? c) Indicar algún puno donde la reca angene enga la misma pendiene que la reca y ) Escribir las ecuaciones de las recas angene y normal a las siguienes curvas, en los punos indicados: a) y en b) y en 0 4 ) Bajo qué ángulo cora al eje la gráfica de la función y + 4 en -1?. En qué oro puno y bajo qué ángulo conacan la curva y el eje? 4) Deerminar el puno P en que la angene a la parábola + y 0 es perpendicular a la reca y 5) Hallar la ecuación de la angene a la parábola y 0, que forma con el eje un ángulo de 45º. 6) La pendiene de una curva en cualquier puno P(,y) de ella es igual a 4 +. Si la curva pasa por P(1, enunciar la ecuación. 7) Deerminar a y b al que la pendiene de la reca angene al gráfico de la función dada por f ( ) a + b + 4 en el puno (,6) sea 7. 8) Deerminar el ángulo que forman las siguienes curvas en sus punos de inersección.

3 ANÁLISIS MATEMÁTICO I TEMA IV : DERIVADA Hoja a) y s b) y sen s cos J) Aplicaciones físicas: Un cuerpo se mueve sobre una reca de acuerdo con la ley: s 4 Hallar la aceleración que posee en el insane en que su velocidad es nula. ) Los espacios que un móvil recorre en una rayecoria recilínea vienen dados por la siguiene función del iempo: s Deerminar: a) La velocidad media en el inervalo ( ; + ) b) La velocidad para seg. K ) Hallar las derivadas de las siguienes funciones aplicando la regla de la cadena: ( ) y + 5) y e ) ( ) 1/ ) y. 1 y ( + 6) ( 1 ) 6) y ln sen(5) 7) y. g - cg( - 4) y ch( ) 8) y cos (ln ( 5 ) T 9) La frecuencia de las vibraciones de una cuerda de violín es f 1 L ρ, en donde L es la longiud de la cuerda, T es su ensión y ρ es su densidad lineal Calcular la rapidez, razón o asa de cambio de la frecuencia respeco de: a) la longiud, cuando T y ρ son consanes. b) la ensión, cuando L y ρ son consanes. c) la densidad lineal, cuando L y T son consanes. 10) Inflamos un globo de modo que el radio del globo aumene con el iempo según la relación r ; r en cm y en segundos. Hallar: a) asa insanánea del volumen del globo respeco al radio. b) asa insanánea del volumen respeco al iempo. c) asa insanánea del radio respeco al iempo. 1 Se iene un vaso cilíndrico de agua. Tiene un orificio en la base de cm. La canidad de líquido que sale por el orificio (o gaso) es q 0h. Calcula la asa insanánea del gaso respeco a la alura. Ciero culivo de bacerias crece de modo que iene una masa de gramos después de horas. a) Cuáno crecerá durane el inervalo? b) Cuál es la asa promedio de crecimieno durane el inervalo? c) Cuál fue su asa insanánea de crecimieno en?

4 ANÁLISIS MATEMÁTICO I TEMA IV : DERIVADA Hoja 4 A un depósio cilíndrico de base circular y 5 m de radio, le esá enrando agua a razón de 5 liros por segundo. Calcular la rapidez con la que se incremena la alura del agua. 1 14) Derivar la función f ( ) + por res caminos diferenes: a) desarrollando la poencia b) epresando la poencia como produco c) considerando a f () como función de función. 15) Es fácil hacer crecer crisales de clorao de sodio en forma de cubos dejando que una solución de esa sal en agua se evapore con leniud. a) Si V es el volumen de uno de esos cubos, con longiud del lado, calcule cuando mm y eplique su significado. b) Demuesre que la razón de cambio del volumen de un cubo con respeco a la longiud de su arisa es igual a la miad del área superficial de ese cubo. 16) Una epidemia de ciera enfermedad para la que no hay cura azoa una ciudad y los médicos esiman que las personas enfermas en un iempo ( medido en días desde el principio de la epidemia esá dado por la función: f ( ) + 60 Cuál es la razón de propagación insanánea de la epidemia para 0 días? L) Calcular las derivadas de las siguienes funciones aplicando derivada logarímica: 1 / y ( ) ) y (ln) 5) y (g ) ( 1 / ) y 4) y (arc g ) ) ( ) M) Calcular la derivada de las siguienes funciones implícias: a) + 5y 4 b) y ( + ) ( ) c) y 4 + d) + ( y + ) 1 5 e) f) + 5y + 9 N) Calcular las siguienes derivadas aplicando las derivadas de sus inversas. Verificar uilizando la regla de la cadena: y arc sen e ) y arc cos ) y arc g (5) Ñ) Calcular las derivadas de la siguienes curvas epresadas en forma paramérica:. a. a sen ) 1+. y a cos.a. ) ln ln y y 1+ O) a) Hallar y, y e y y. ln ) y ln e ) y cos () 1 4) y 1 + f ( 0, f ( y f ( 4 b) Dada f ( ) a + b + c, hallar a, b y c sabiendo que

5 ANÁLISIS MATEMÁTICO I TEMA IV : DERIVADA Hoja 5 c) Indicar qué gráfica corresponde a f ( ), f ( ) y f () : P) Hallar la diferencial 1ra. y da. de las siguienes funciones: 4 + y 1 ) y cos ) y e.ln 4) e 4 +. e + y Q) i) Calcular la diferencia enre y y dy en la función: y, para: ) ii) Obener aproimaciones saisfacorias mediane diferenciales para: ( 18 ) 1 / ) ( 0.98) 4 R) Teoremas del Valor Medio: Probar si se cumple el eorema de Rolle para las siguienes funciones y hallar el puno en donde la angene es horizonal. y ,1 a) [ ] b) y +1 [-1/,1/] 4 c) y [, 5] 4 ) Averiguar el cumplimieno de las condiciones del Teorema del Valor Medio para las siguienes funciones: f ( ) e 1, e a) [ ] b) f ( ) [ 0,1] ) Comprobar que la fórmula de Lagrange es válida para la siguiene función en el inervalo y 0,1 indicado; hallar el valor medio para dicho eorema. [ ]

6 ANÁLISIS MATEMÁTICO I TEMA IV : DERIVADA Hoja 6 4) Aplicar el Teorema de Cauchy a las siguienes funciones en [ 0,] g( ) f ( ) + 1 S) Resolver aplicando la regla de L Hôpial. ln sen Lim ) Lim ) Lim cos.ln ( g) 1 / 4) Lim. e π / 0 1 6) Lim sec g 5) Lim π / ln(1 ) g 1 1 7) Lim 8) Lim sen 9) Lim ) Lim Lim ln T) Máimos y Mínimos: Observar las siguienes gráficas de funciones ; luego analizar y complear los cuadros: a) si no si no - / Puno Mínimo Máimo F () X 0 b) si no si no - / Puno Mínimo Máimo F () X 1 X X

7 ANÁLISIS MATEMÁTICO I TEMA IV : DERIVADA Hoja 7 c) si no si no - / Puno Mínimo Máimo F () X 1 X X d) si no si no - Puno Mínimo Máimo F () X 1 X X X 4 X 5 U) Hallar los eremos (relaivos y/o absoluos) de las siguienes funciones: f + 1 ) f ( ) f ( ) 4) f ) 4 ( ) / ) ( ) + 1 ( en [ 1,4) + 1 si < 1 ( si 1 6) f ( ) en [0, ] 1 7) f ( ) en [ 1,5] f ( ) en -,1/ 5) f ) en [- 5,4] 8) [ ] 9) Hallar dos números posiivos de manera que la suma de sus cuadrados sea mínima y la suma de ellos sea 0. 10) Se desea consruir un recipiene cilíndrico meálico, de base circular y 64 cm de volumen. Hallar las dimensiones que debe ener para que la canidad de meal a uilizar sea mínima.

8 ANÁLISIS MATEMÁTICO I TEMA IV : DERIVADA Hoja 8 1 De una hoja de carón cuadrada de lado a se quiere consruir una caja abiera que enga la mayor capacidad posible, recorando para ello cuadrados iguales en las cuaro esquinas y doblando los lados resulanes. Cuáles serán las dimensiones de la caja? Hallar la ecuación de la reca que pasando por P (, 4), deermina en el primer cuadrane con los ejes coordenados, un riángulo de área mínima (ver figura) Un erreno recangular va a cercarse usando dos clases de cerca. En los lados opuesos se usará cerca era resisene que se vende a $ el mero, mienras que en los dos lados resanes se usará una cerca normal que se vende a $ el mero. Cuáles son las dimensiones del erreno recangular con el área mayor que puede cercarse con un coso de $6000? 14) Enre odos los recángulos de perímero 1 cm, Cuál iene la diagonal menor? Cuáno mide ésa? 15) Descomponer el número 40 en dos pares, ales que el riple del cuadrado de la primera más siee veces el cuadrado de la segunda sea mínimo. 16) A las 10 de la mañana un barco A esa a 10 millas al ese de oro barco B. El barco A navega hacia el oese a 0 nudos y el barco B hacia el sur a 0 nudos. A qué hora será mínima la disancia enre ambos barcos? Cuál será esa disancia? (OBS: Un nudo equivale a una milla/hora) 17) Al comercializar ciero produco, una empresa ha descubiero que la demanda viene dada por El coso de producir unidades viene dado por proporciona el máimo beneficio.. Calcular el precio uniario que V) Esudio compleo de funciones: Trazar los gráficos de las siguienes funciones eniendo en cuena: dominio, simería, coninuidad, inersección con los ejes coordenados, máimos y mínimos, crecimieno y decrecimieno, punos de infleión, concavidad y conveidad; asínoas. ) ) y y + 1 y ) 6) 7) ln y y e () y + / 4) y e 1 / 8) y / + 1

9 ANÁLISIS MATEMÁTICO I TEMA IV : DERIVADA Hoja 9 / 9) ( ) y ) y +1 1 y 4 y 1 y + 1 / 4 / 4

10 ANÁLISIS MATEMÁTICO I TEMA IV : DERIVADA Hoja 10 EJERCICIOS INTEGRADORES 1- Sea f [,14] R : derivable, al que el gráfico de f es el siguiene: Hallar los eremos relaivos, inervalos de crecimieno y decrecimieno de la función f - - Calcular la ecuación de la reca angene a la curva y en su puno de infleión a + b - Hallar a, b y c sabiendo que la función f ( ) iene a como asínoa c 8 verical y que la angene a la gráfica de f en 1 es y + 4- Responder V o F.Jusificar la respuesa. a) Las funciones f() y g() - ienen la misma variación insanánea. b) Las funciones f() y g() ( - ) ienen la misma derivada. c) Si la variación insanánea de f esá dada por el siguiene gráfico enonces la función f es consane en (1,4). d) Si una función f derivable crece para > 0, enonces las pendienes de las recas angenes a f en cada son siempre posiivas. e) Si dos funciones f y g ienen la misma reca angene en a, enonces las funciones son iguales. f) La función y ( - ) crece para > y decrece para <. g) Si una función f iene dos recas angenes paralelas al eje en punos disinos del dominio, enonces no puede ser una parábola Si f ( ), hallar la ecuación de la curva sabiendo que pasa por el puno (1, y que su reca angene iene, en ese puno, una inclinación de Aproimar la gráfica de una función que iene dos asínoas vericales en -1 y, iene una asínoa horizonal en y 1, cora a los ejes en los punos ( 0, -) ; ( 1,0 ) y ( 4,0 ). Es siempre creciene y iene un puno de infleión en ( 0.5, -1 )-

11 ANÁLISIS MATEMÁTICO I TEMA IV : DERIVADA Hoja 11 Ejercicios para resolver con el sofware WinFun Reca Tangene a) La curva y se conoce como curva de nariz de bala. Enconrar la ecuación de la reca angene a la curva en el puno (1, b) Ilusrar el inciso a), graficando la curva y la reca angene en la misma panalla. Esudio de Funciones Para qué valores de c el polinomio P() 4 + c + iene dos punos de infleión? Y sólo un puno de infleión? Y ninguno? Ilusre graficando P para un buen número de valores de c Cómo varía la gráfica al disminuir c? c ) Invesigar la familia de funciones f ( ) ce Qué les ocurre a los punos máimos y mínimos y punos de infleión al cambiar c? Ilusrar sus conclusiones graficando varios miembros de la familia. ) Invesigar la familia de funciones f() c. Deerminar el valor de ransición de c en el que cambia la canidad de punos críicos y el número de punos de infleión. Ilusrar las formas posibles con gráficas. EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS: A) Dada: y ).( + ), 4 ( 1 Hallar la pendiene de la reca secane a la función dada, siendo 1 y las abscisas de los punos de inersección. Graficar. a. Calcular la siguiene epresión geoméricamene y graficar b. Hallar y para la función dada Lim a f ( ) f ( a) a, siendo a. Inerprear c. Enconrar la derivada por definición B) Analizar la derivabilidad de las siguienes funciones en los punos indicados: f ( ), en 1 ln si 0 ) f ( ) en 0 0 si 0

12 ANÁLISIS MATEMÁTICO I TEMA IV : DERIVADA Hoja 1 si 0 ) f ( ) en 0 - si < 0 (Graficar) 4) + 1 f ( ) 1-15 (Graficar) si < si en 1 si 0 5) f ( ) en 0 0 si 0 (Graficar) 6) 4 f ( ) 4 si si en a. Deerminar las consanes para que las funciones siguienes sean derivables en los punos indicados ) ) + + 1; si 0 f ( ) c + 1; si < 0 c f ( ) si en 0 si 1 en - 1 b. Hallar las derivadas de las siguienes funciones 5. g y 5) y a ln si 1 f ( ) 6 c si < 1 en 1 ) / 7 / 4 1 y 8 6) y ln( ln ) ) y ( 6 5 ) 1 / 7) y ( sen()) 1 / ( 4) 4) y ( ) 8) y arcsen G) Aplicaciones Físicas: Se lanza una peloa hacia arriba con una velocidad inicial v 0 0 m/seg y asciende de acuerdo con la ecuación h a. Con qué velocidad asciende a los seg.? b. Después de cuános segundos la peloa empieza a caer?.a qué alura se encuenra cuando sucede eso?

13 ANÁLISIS MATEMÁTICO I TEMA IV : DERIVADA Hoja 1 c. Con qué velocidad regresa a ierra? d. Cuál es la aceleración de la peloa durane odo el viaje? ) La ecuación que localiza la posición, en cada momeno, de un cuerpo que se arroja hacia arriba y cae libremene, es la siguiene: y y0 + v0 1/ g si : y 100( m); v 10( m / seg); g 9,8( m / seg ) a) Deerminar la posición del cuerpo a los : 1,,,4 y 5 seg. de ser lanzado. b) Hallar la ecuación que da la velocidad del cuerpo en cada insane. c) En qué iempo el cuerpo alcanzará la alura máima y cuál será esa alura? d) Cuáno iempo ardará el cuerpo en llegar al suelo? e) Cuál es el valor de la aceleración cuando el cuerpo alcanza la h máima? f) Graficar: y vs v vs a vs ) Los espacios que un móvil recorre en una rayecoria recilínea vienen dados por la siguiene función del iempo: 0 0 Deerminar: s a) La aceleración media en el inervalo ( ; + ) b) La aceleración para seg. F) Aplicaciones geoméricas: Escribir las ecuaciones de las recas angene y normal a las siguienes curvas, en los punos indicados: a) y en b) y + en P(, y ) ) Para la circunferencia y + r, muesre que la reca angene en cualquier puno (1, y, sobre la curva, es perpendicular a la reca a ravés de (, 1 y y el cenro de la circunferencia. ) Muesre que la normal a la curva y 6 5 en el puno P (1 ; 1/ ) pasa por el origen de coordenadas. 4) Dada la función y cos ( 0 π ).Encuenre los punos en los cuales la angene es horizonal, y los punos en los cuales la angene es paralela a la reca y 5) Calcular la inensidad de cambio de y con respeco a en el puno (,), si : 7y y 4 6) Deerminar el ángulo que forman las siguienes curvas en sus punos de inersección: a) y a s b b) s 1 y G) Hallar y, y e y e ) y ln. g y. ) y sen ( ) 4) 1 y

14 ANÁLISIS MATEMÁTICO I TEMA IV : DERIVADA Hoja 14 H) Calcular las siguienes derivadas aplicando derivadas logarímicas 4 y ) y (ln) ) 1 / y ( 4) ) ( ) ln y (cos ) I) Calcular las siguienes derivadas aplicando las derivadas de sus inversas y ) y arc g(/4) ) y ln(sen) J) Calcular la derivada de las siguienes funciones implícias: a) y + y + c) y + y b ) -y 6 d) + 1 b a K) Calcular las derivadas de las siguienes curvas epresadas en forma paramérica. 1 e ) y ) + 1 y e + 1 y 1 L) Enconrar la pendiene de la reca angene a la curva en el puno P(() 1/ ;() 1/ ) si X cos Y sen LL) Escribir las ecuaciones de las recas normal y angene. e en 0 + y. e + y en 1 M) Hallar la diferencial 1ra. y da. de las siguienes funciones: + 4 y 4 ) y 4 4 ) y e. ln( 1+ ) 4) / + y / 1 N) Calcular log 1001 mediane diferenciales. Ñ) Derivar: g + () 1 y.ln g + () 1 / 1 / 1 / ) y (). arcg g 1 / 1+ ( sen) ) y ln 1 / 1 ( sen) argh 4) y 1

15 ANÁLISIS MATEMÁTICO I TEMA IV : DERIVADA Hoja 15 5) 1 1 y 6) y ( 4) ( / ) 7) y arc cos ( e ) 8) acos y bsen 9) ( 4) y ( ) 10) y ( ) ( a + 5b 1 y ln O) Resolver aplicando la regla de L Hospial: sen seny Lim y y ) sen Lim 0 ) 5) + 1 ln Lim ln 1 Lim 0 g 7) Limco g ( 1/ ) 0 4) 6) 1 Lim 0 0 ln(1 ) Lim ( sen) sen 1 1 8) Lim ln( 1 ) Lim 10) Lim( 1 ( 8/ ) ) 9).ln co g 1 ( ) Lim 1+ 0 P) Analizar el crecimieno y decrecimieno de las funciones: + 1 ) f ( ) f ( ) ) 1 e f ( ) Q) Una compañía aérea que realiza vuelos de Buenos Aires al sur de Brasil, cancela sus viajes si no se cubren como mínimo 80 plazas. El pasaje cuesa $10. Si el número de pasajeros ecede los 80, ofrece una rebaja de un peso por cada pasajero que supere ese valor ( la rebaja es para odos los que viajan). Cuál es el número de pasajeros que le produce mayor ganancia a la compañía?.

16 ANÁLISIS MATEMÁTICO I TEMA IV : DERIVADA Hoja 16 ) Un alambre de 1 cm de longiud se cora en dos pares, una de las cuales se dobla para formar un círculo y la ora para formar un cuadrado. Cómo deberá corarse el alambre si la suma de las áreas circundadas debe ser: a) Un máimo? b) Un mínimo? ) Dado el volumen de una cacerola, deermine la relación enre el diámero y la alura, de modo que su superficie sea mínima. R) Analizar la concavidad y conveidad de las siguienes funciones. Deerminar los punos de infleión. f ( ).( ) + f ( ) ) 1 f ( ) S) Esudiar las asínoas de las siguienes funciones: f ( ) ( ) /( ) f ( ) ( + 1 / ) f 1 / ( ) e 4) f ( ) ( 5) 1 / T) Trazar los gráficos de las siguienes curvas eniendo en cuena: dominio, simería, coninuidad, inersección con los ejes coordenados, máimos y mínimos, crecimieno y decrecimieno, punos de infleión, concavidad y conveidad, asínoas. y ( /) ) y. sen + cos ) +1 y 4) e y 5) 1 / y ( 6) y 1 4 7) y. ln / 9) y ( ) ) y ( ) 10) y 1