Seminario de problemas. Curso Soluciones Hoja 18

Transcripción

1 Seminrio de problems. Curso Soluiones Hoj Sen, b, y d utro números enteros. Demostrr que el produto de ls seis diferenis b,, d, b, d b, d es múltiplo de 1. Soluión Vemos que diho produto es divisible por y por 4. * Clsifimos los números,,b, y d según sus restos l ser divididos entre. Hy tres posibles restos (0, 1 y ). Como son utro números, l menos dos de ellos perteneerán l mism lse de restos, por lo que su difereni, será múltiplo de. El produto propuesto es, por tnto, múltiplo de. * Clsifimos los números, b, y d según sus restos l ser divididos entre 4. Hy utro posibles restos (0, 1, y ). -Si dos de ellos en en l mism lse, su difereni será múltiplo de 4 y el produto propuesto será múltiplo de 4. -Si todos perteneen lses distints, entre ellos hbrá dos pres (su difereni, por tnto, será pr) y dos impres (su difereni tmbién será pr). El produto será múltiplo de 4 l ontener dos ftores pres. Por lo tnto ( b )( )( d )( b)( d b)( d ) será siempre múltiplo de ) Ddo un triángulo T 1, demostrr que sus tres medins son ldos de otro triángulo T uy áre es /4 del áre de T 1. b) Demostrr que el triángulo T, que tiene por ldos ls medins de T, es semejnte l triángulo iniil T 1. Soluión ) Se ABC el triángulo T 1 y sen A', B ' y C ' los puntos medios de los ldos BC, AC y AB respetivmente. Trzndo prlels por A BC y por C AB obtendremos un prlelogrmo BCB" A. C ' B ' ort B" C en M y AA' en N.. En l figur se observn diversos prlelogrmos: BA' MB ' es prlelogrmo, por lo que A' M BB ' C ' CMA es prlelogrmo, por lo que AM CC ' Por tnto el triángulo AA' M es T, pues sus ldos son igules ls medins de T 1. 1

2 Tmbién es un prlelogrmo AC ' A' B ', por tnto N es el punto medio de AA' y C ' B '. 1 1 Entones NB ' B ' C ' B ' M y que B ' C ' B ' M Al ser MN un medin de AA' M, se sigue que B ' es el brientro de AA' M. Pr hblr de áres reordemos tres ides básis: i) Un medin divide un triángulo en dos triángulos de igul áre. ii) Ls tres medins de un triángulo lo dividen en seis triángulos de igul áre. iii) Ls prlels medis de un triángulo lo dividen en utro triángulos igules semejntes l triángulo iniil. Si denotmos por [ABC] el áre del triángulo ABC et., tendremos: AA' M 6 ANB ' AC ' B ' ABC.q.d. 4 b) Hemos visto NM es un medin de AA' M su longitud es NM C ' M BC. 4 4 L mism relión se d on ls otrs dos medins de T (d un es igul /4 de un ldo de T 1 ). Sin neesidd de dibujr T onluimos que T es semejnte T 1 y l rzón de semejnz entre ellos es /4. n n Todos los oefiientes del polinomio P( x) x x x 1 son positivos. n1 1 Si ls n ríes de P( x) 0 son tods reles, demostrr que P() n. Soluión Al ser todos los oefiientes positivos, vlores de x que no sen negtivos hrán que P(x) se positivo, en ningún so 0. Por tnto, ls ríes de P( x) 0 hn de ser tods negtivs. Sen tles ríes r1, r,, rn. Podemos poner: P( x) ( x r1 )( x r ) ( x r n ) Al desrrollr el produto, el término independiente será 1 : r1 r rn 1 Por l desiguldd entre ls medis ritméti y geométri : Por tnto, r 1 1 r 1 1 r r i i i i P() r r r r r r 1 n 1 n n n r 1 r rn 1. q. d. n

3 106. Probr que entre n y n hy l menos un ubo perfeto pr d entero n 10. Soluión: Previmente demostrremos un lem que nos será útil. Lem: Si y b son enteros positivos tles que b 1, entones entre y b existe l menos un ubo perfeto. Lo demostrremos por reduión l bsurdo. Supongmos que existe un entero tl que b ( 1) desprenderí que. En tl so se umplirí que b 1 de donde se b 1 que ontrdie l hipótesis. Es fáil de ver que l firmión del enunido se umple pr n 10, 11, 1,,15. Pr n 16 utilizremos el lem teniendo en uent que (,5) 15, 65 y que 1, 4 1, n,5 1 1, 4 1 n 1 1 n n Por tnto, en virtud del lem demostrdo, tmbién se umple pr n 16 onseueni, el enunido se umple pr todo entero n 10. y, en 107. Ddo el polinomio P( x) x x 1, hllr el polinomio de terer grdo uys ríes son ls potenis quints de ls ríes de P(x). Soluión 1 Si es un ríz de P(x) umple que 1, es deir ( ) 1. Elevndo l quint poteni tenemos Desrrollndo el primer miembro: ( ) 4 15 ( )( 9) Pero omo ( ) 1, el primer miembro qued: 15 ( 9) ( ) (el último pso l volver plir 1). 5 Si z, entones z debe umplir l euión z z 15z 198 1, por lo que el

4 polinomio busdo será Q( x) x 15x 198x 1. Soluión Sen, b y ls ríes de P(x). Segun ls fórmuls de Crdno-Vièt: b 0 b b b 1 Queremos enontrr los oefiientes de Q(x), ddos por: Q( x) x ( b ) x ( b b ) x b Obvimente el último oefiiente es -1. Pr los otros dos utilizremos l sum de ls potenis n n n n-ésims de ls ríes de un polinomio (en nuestro so S b ). Y onoemos los vlores de S y S 0. Fáilmente lulmos S : 0 1 ( ) ( ) 6 S b b b b Se un entero no negtivo. El polinomio x P( x) x x x 1 n umple: b b b 0 Sumndo término término se obtiene: S S 1 S Podemos utilizr l reurreni S S S on 0, 1,,... pr obtener: 1 S (y tenemos el oefiiente de x ; S4 18 ; S5 15 ). Pr eder l oefiiente de x tendremos que remontrnos hst S 10, y que: 5 b b b 5 b Seguimos, pues, on l reurreni: S6 57 ; S7 6 ; S8 186 ; S b b S5 S Con lo que el polinomio busdo es Q( x) x 15x 198x Siendo m, mb, m ls medins de un triángulo ABC y r, rb, r los exrdios (rdios de ls irunferenis exinsrits l triángulo ABC), se pide: ) Demostrr que se umple l desiguldd m m m r r r b b m m m r r r b) Demostrr que ABC es equilátero si y solo si Soluión: b b 4

5 ) Sbemos por el teorem de l medin (sol. hoj 10) que Si utilizmos l desiguldd b b m b 4 en el numerdor del rdil, tendremos: b b b b b ( b ) ( b )( b ) p( p ) 4 p( p ) b donde p es el semiperímetro del triángulo. Por tnto, m p( p ) de form nálog m p( p b) ; m p( p ) (I) Luego m m m p p( p )( p b)( p ) b Por otro ldo (ver péndie), los exrdios son: p ( p b )( p ) ( )( ) ( )( ) ; p p p r r b ; r p p p b p p b p b on lo que r r r p p( p )( p b)( p ) b L iguldd se d en el so b y l desiguldd qued probd. (el triángulo ABC es equilátero) b) Si el triángulo es equilátero l ondiión se umple l drse l iguldd entre ls tres medins y los tres exrdios. Supongmos hor que el triángulo no es equilátero poniendo, por ejemplo, b. En tl so, ls desigulddes (I) quedn: m p( p ) ; m p( p b) ; m p( p ) De donde se sigue que b b b p m mb m p p p b p S donde S es el áre del triángulo ABC. Por otro ldo: b p ( p ) ( p b ) ( p ) r r r S S b pero si b, entones b b b on lo que se tendrí que: y no se umplirí l iguldd. m m m r r r b b Luego l iguldd se umple si y solo si el triángulo es equilátero..q.d. 5

6 APÉNDICE: Segmentos tngentes en ls irunferenis insrit y exinsrits Demostrremos brevemente los resultdos que preen en rojo en l figur. b Denotmos por p el semiperímetro del triángulo ABC. Es deir: p. L myor prte de los rzonmientos se bsn en l iguldd de segmentos tngentes (desde un punto un irunfereni y tngentes omunes dos irunferenis). Comenemos por l irunfereni insrit: Sbemos que p b. Hiendo AT=AT =x, BT=BD=y, CD=CT =z tenemos: z y x p p x y z pero x z b y p x y z p b Psmos hor l irunfereni exinsrit tngente l ldo. Ahor hemos DE=w y BT =t mnteniendo CD=CT =z Por ser T'T'''=TT" se tiene : T'C+CD+DE=DE+EB+BT" z w t w z t es deir BT =BE=CD=CT = p Por lo tnto AT " ( p ) ( p b) ( p ) p. Como demás AT " AT ''' debe ser CT ''' CE p b RADIO DE LA CIRCUNFERENCIA INSCRITA De l fórmul de Herón y l expresión del áre S de ABC en funión de p y r : r p( p )( p b)( p ) ( p )( p b)( p ) p p 6

7 EXRADIOS Sen O y O los entros de ls irunferenis insrit y exinsrit tngente. De l semejnz entre los triángulos retángulos AOT y AO T r r r p S p( p b)( p ) r p p p p p Análogmente los otros dos: r b ( )( ) ( )( ) S p p p ; r S p p p b p b p b p p Notemos que entre los utro rdios se d un urios relión: r r rb r p p b p p ( b ) p p p S S S S S S y que Otr uriosidd: ÁREA DE UN TRIÁNGULO EN FUNCIÓN DEL INRADIO Y LOS EXRADIOS De lo nteriormente expuesto se sigue on filidd: S r r r r b ***************************** 7