TRIGONOMETRIA. Diremos que un ángulo tiene medida positiva si la medición se realiza en sentido antihorario y negativo en sentido horario.

Transcripción

1 TRIGONOMETRI. Introduión. Medids de ángulos Ángulos orientdos. onsiderremos los ejes rtesinos, y representremos sore ellos los ángulos de tl form que el vértie oinid on el origen de oordends, y uno de sus ldos sore el semieje de siss positivo, que se denomin origen de ángulos. Diremos que un ángulo tiene medid positiv si l mediión se reliz en sentido ntihorrio y negtivo en sentido horrio Llmremos irunfereni trigonométri ulquier irunfereni uyo entro esté en el origen de oordends y l llmremos goniométri si tiene demás rdio. Grdo sexgesiml. Un grdo sexgesiml (DEG) es el ángulo uyo ro r /360 prte de un irunfereni trigonométri. Se denot por º y tiene dos sumúltiplos el minuto y el segundo. º=60 y =60. Rdián. Un rdián (RD) es el ángulo uyo ro r un longitud igul un rdio de l irunfereni trigonométri. Se denot por rd. 90º=π/ rd Un irunfereni tiene 360º o rd. 80º= rd 0º=0 rd nº rd. long.irunfereni rdio r rd. r El mio de uniddes se reliz medinte regls de tres. 70º=3/ rd L importni de l medid en rdines. Normlmente se representn los ángulos en irunferenis goniométris entones, omo el rdio es, l medid de los ángulos en rdines oinide on l longitud del ro, de este modo medir ángulos d el mismo resultdo que medir longitudes. En generl Ejemplos: long. ro =.rdio (=ángulo en rdines) - Expresr en rdines: 45º, 0º, 35º, 857º. - Expresr en grdos sexgesimles /4 rd., 3/5 rd., 3/5 rd. - /5 -.G.Onndí

2 . Rzones trigonométris en un triángulo retángulo Por el teorem de Thles (semejnz de triángulos): ' ' '' onstn te=sen '' est onstnte se le llm seno y omo solo depende del ángulo l llmmos seno de y l denotmos por sen. Los triángulos,,,... son semejntes (triángulos retángulos on un ángulo gudo igul). Tmién se se que: ' ' ' ' '' '' '' '' onstn te oseno onstn te tn gente de os de tg Ls rzones inverss son: osente de = ose=/sen sente de = se=/os otngente de = otg=/tg tods ests rzones se les llm rzones trigonométri. Por tnto en un triángulo retángulo quedn definids de l siguiente form: teto de enfrente sen hipotenus.e. os teto ontigüo hipotenus. tg.e... ose Ejemplo:.E. llr ls RT en el siguiente triángulo se.. otg...e. 3 5 sen=3/5 os=4/5 tg=3/4 ose=5/3 se=5/4 tg=4/3 4 - /5 -.G.Onndí

3 3. Reliones entre ls rzones trigonométris. Reliones que se deduen de l definiión:.e. tg.. se os.e... sen os os e sen os tg sen Reliones pitgóris. Si plimos el teorem de Pitágors E + = se otiene: sensen +os = E E sen os Relión Pitgóri Dividiendo por sen 0 se tiene: sen os sen sen sen tg ose Dividiendo por os 0 se tiene: sen os os os os tg se Ests igulddes nos permiten resolver triángulos retángulos, simplifir expresiones y demostrr identiddes trigonométris. Ejemplos: sen tg - Demostrr si es verdder o fls os tg ose - Simplifir: os ( tg ) tg - Resolver el siguiente triángulo retángulo en siendo que =3º8 30 y =6 m. - Un esler de omeros de 0 m de longitud se h fijdo en un punto de l lzd. Si se poy sore un de ls fhds form un ángulo de 45º on el suelo y se poy sore l otr fhd form un ángulo de 30º. llr l nhur de l lle qué ltur se lnz on dih esler sore d un de ls fhds?. - lulr ls RT de los ángulos de 30º, 45º y 60º. - 3/5 -.G.Onndí

4 4. Generlizión de ls rzones trigonométris pr ulquier ángulo Llmmos sistem de refereni ngulr ={0,X,Y,} ejes rtesinos y un irunfereni trigonométri. En un sistem de refereni ngulr ls rzones trigonométris ls podemos representr sí: y Siendo el ángulo, P el punto soido l irunfereni r y P(x,y) on oordends (x,y) sí: sen =.E./ = y/r = ordend/rdio 0 x x os =../ = x/r = sis/rdio Teniendo en uent est nuev expresión podemos lulr ls RT de un ángulo ulesquier. y Es más ls RT no dependen del rdio de l irunfereni elegid pr definirls: P(x,y ) Por semejnz de triángulos sen=y/r=y /r os=x/r=x /r P(x,y) omo l definiión de ls RT no dependen del rdio, puedo elegir irunferenis goniométris r= oteniendo: 0 x sen=y=ordend; os=x=sis Ejemplo: - En un irunfereni trigonométri de rdio 0, tres puntos de l irunfereni tienen omo oordends (-6,8), (-8,-6), (6,-8). llr ls RT de los ángulos que tienen omo extremos de los ros los puntos, y. - Diuj, sore l irunfereni goniométri, un ángulo que umpl ls siguientes 3 ondiiones: sen y 90º 80º, hllr el vlor de ls restntes rzones 5 trigonométris. - 4/5 -.G.Onndí

5 Eje de senos Eje de tngentes Trigonometrí 5. Signo y vlor de ls rzones trigonométris. sen os tg I udr II udr III ud IV ud omo ls RT vn soids ls oordends de un irunfereni goniométri los signos son los de l tl y los vlores máximos y mínimos son: -sen -os tgr oser-(-,) ser-(-,) tgr Ejemplo: lulr los signos de ls RT de 30º, 0º, 79º, 99º, 9º, 355º,80º,, 7º. 6. Línes trigonométris Los ángulos POQ y MTO son igules (lternos internos) y por tnto los triángulos OPQ, OSR y MTO son semejntes ( son triángulos retángulos on un ángulo gudo igul ) Son homólogos por tnto los siguientes ldos : OP OS OT OQ OR OM PQ SR MT M y T S onsiderndo el rdio= P PQ OQ sen PQ os OQ OP OP O Q R x tg PQ OQ RS OR RS OP OT OP OS ose OT se OS PQ OM OQ OR tg OQ PQ MT OM MT y Pr reordr: Eje de otngentes Tods ls rzones tienen un senill interpretión omo segmentos orientdos slvo l sente y l osente, pr los ules dee onsiderrse su vlor soluto y luego soirle el signo. Eje de osenos x Ejeriio: - lulr ls RT de III udrnte siendo que os= /5 -.G.Onndí

6 7. Teorem del seno. Se el triángulo y h l ltur orrespondiente l vértie. h sen h h sen h sen.sen.sen.sen.sen sen h h Trzndo l ltur desde el vértie, h, otenemos que expresiones = = =r sen sen sen sen Teorem del Seno uniendo ms sen El teorem de los senos nos relion los ldos de un triángulo on los ángulos opuestos. Ejemplo: Un nten reprodutor de señles de rdio es oservd desde dos puntos del suelo seprdos entre sí 50 m. Los ángulos que ls visules formn on l horizontl son 75º y 55º. lulr ls distnis de d punto de l oservión l prte superior de l nten. =80º--=50º plindo el teorem del seno h 75º 55º =50 m. sen75º sen55º sen50º 50 sen75º 89' 4m sen50º 50 sen55º 60'40m sen50º En el triángulo h=sen=60 40sen75º=54 93 m Ejemplo: Dupliidd de l soluión En un instnte determindo un vión se enuentr 8 km de l torre de ontrol de un eropuerto y 7,5 km de un dirigile. Si mos son oservdos jo un ángulo de 30º, qué distni se enuentr en ese momento el dirigile del eropuerto? Soluión: Los dtos son ˆ 30º, 7,5km y 8km Deemos lulr. plindo el teorem del seno: 8 7,5 senˆ 0,5333 senˆ sen30º - 6/5 -.G.Onndí

7 Existen dos ángulos Ĉ y Ĉ uyo seno es 0,5333 ˆ 3,3º y ˆ 47,77º Si ˆ 3,33º ˆ 80º 30º 3, 3º 7,77º 7,5 7,5.sen7,77º Por tnto Teorem del seno: 3, 7 km. sen30º sen7,77º sen30º Si ˆ 47,77º ˆ 80º 30º 47,77º, 3º 7,5 7,5.sen, 3º Por tnto Teorem del seno: 0,758 km. sen30º sen, 3º sen30º En este so existen dos soluiones. L resoluión gráfi muestr est dupliidd de soluiones. El ro de entro y rdio =7,5 km ort l ldo en dos puntos y, que son vérties de los dos triángulos soluión. Oservión: si modifimos l longitud de, puede ourrir que el ro de entro orte l ldo en un únio punto o que no lo orte. En el primer so, existe un úni soluión y en el segundo, no existe ningun soluión. 0. Teorem del oseno. El teorem del oseno es un generlizión del teorem de Pitágors pr ulquier tipo de triángulos. h os os plindo Pitágors los triángulos retángulos y otenemos h h h h os os os os despejndo os Teorem del oseno y por simetrí en el desrrollo tenemos otrs dos fórmuls semejntes: = + -os = + -os El teorem del oseno nos relion los tres ldos de un triángulo on un ángulo opuesto. - 7/5 -.G.Onndí

8 Ejemplos:.- Se dese onstruir un túnel que un dos puntos determindos de un montñ omo se indi en el diujo. Pr determinr l longitud exvr se hn tomdo ls siguientes medids: el ángulo formdo por ls visules desde el punto hst los puntos y es de 55º. Ls 55º distnis desde el itdo punto hst los extremos del túnel son 500 y 3600 metros. lulr l longitud del túnel..- Resolver el triángulo del que onoemos el ldo =5 m y los ángulos =60º y =40º Sol: ˆ 80º, =4,396 m, =3,63 m 3.- Resolver el triángulo del que onoemos dos ldos =7 m ; =0 m y el ángulo omprendido entre ellos =40º. Sol: =4,753 m. ˆ 44º3' ˆ 96º 7' 4.- Resolver el triángulo del que onoemos los tres ldos =35; =0 y =40 metros. Sol: ˆ 6º'4,48'' ˆ 9º58'4,58'' ˆ 88º58'36,5'' 5.- Resolver el triángulo del que onoemos dos ldos y el ángulo opuesto uno de ellos: = m; =7 m y =40º Sol.: = 6.- Resolver el triángulo del que onoemos dos ldos y el ángulo opuesto uno de ellos: =40º; =30m; =40 m Sol: ˆ 59º ˆ 46,; º 5,85 Oservión: undo en los dtos de un triángulo preen más ldos que ángulos, onviene utilizr el teorem del oseno. 7.- Dos migos simiro (Señor ) y Dionisio (Señor D), están en l hí de Sntnder mirndo el mr, seprdos por,5 km. Oservn dos veleros y quieren ser qué distni se enuentrn entre sí. Pr ello disponiendo de unos teodolitos miden los ángulos que formn sus visules on d uno de los ros, oteniendo los resultdos que preen en el gráfio. Podrís lulrlo? ro ro 70º 0º 30º 65º Señor 500 m Señor D - 8/5 -.G.Onndí

9 Soluión: Sore el triángulo D hllmos el ángulo D 80º 70º 30º 80º plimos el Teorem del seno pr lulr l distni sen30º 69, 83 m sen80º sen30º sen80º Sore el triángulo D hllmos el ángulo D 80º 0º 65º 95º plimos el Teorem del seno pr lulr l distni sen65º 74, 44 m sen95º sen65º sen95º Sore el triángulo hllmos el ángulo 70º 0º 50º plimos el teorem del oseno: 74, 44 69, 83 74, 44 69, 83 os 50º 30777,555 75,936 m Los ros y están seprdos por proximdmente 753 m 8.- lulr l distni entre dos puntos inesiles y, onoidos Ĉ D 400 m, se miden on un teodolito los ángulos Sol 7,4 m 70º, Dˆ 80º, ĈD xˆ 30º, Dˆ ŷ 4º D 9.- Dos irunferenis sentes tienen rdios de 0 m y 3 m sus tngentes omunes formn un ángulo de 30º. lulr ls distnis entre sus entros. Sol,6 m 0.-llr, xˆ y el áre de l figur: Sol: =3, xˆ =3º 5, áre=96, m. 0 m D 75º 60º 8 m xˆ 5 m - 9/5 -.G.Onndí

10 8. Reduión de ángulos l primer udrnte. Dos ángulos y son omplementrios si +=90º y suplementrios si +=80º. Relión entre ls RT de ángulos omplementrios sen = sen(90º-) = os os(90º-) = sen tg(90º-) = tg ose(90º-) = se se(90º-) = ose tg(90º-) = tg x Relión entre ls RT de ángulos suplementrios sen(80º-) = sen os(80º-) = - os tg(80º-) = - tg Ejemplos: ose(80º-) = ose se(80º-) = - se tg(80º-) = - tg x - lulr ls RT del ángulo de 60º en funión de ls de su omplementrio. - lulr ls RT del ángulo de 35º en funión de un ángulo del I udrnte. Relión entre ls RT de ángulos que difieren 90º o / rd. sen(90º+) = os os(90º+)= - sen Ejemplo: Siendo que el sen0º=0 736 lulr ls demás RT de un ángulo de 00º. Relión entre ls RT de ángulos que difieren 80º o rd. sen(+) = sen(80º+) = - sen os(+) = os(80+) = - os Ejemplo: Siendo que os/6= 3 lulr ls RT de un ángulo de 7/6 rd. Relión entre ls RT de ángulos que sumn 70º o 3/ rd. sen(70º-) = sen (3/-) = - os os(70º-) = os(3/-) = - sen Ejemplo: lulr ls RT de un ángulo de 5º en funión de ls de un ángulo del I udr. Relión entre ls RT de ángulos que difieren 70º o 3/ rd. sen(70º+) = sen(3/+) = - os os(70º+) = os(3/+) = sen Relión entre ls RT de ángulos opuestos (sumn 360º o rd.) sen(360º-)=sen(-)=sen(-)=-sen os(360º-)=os(-)=os(-)=os - 0/5 -.G.Onndí

11 9.- Rzones trigonométris de l sum y de l difereni. Sen y dos ángulos uys RT son onoids, se trt de lulr ls RT de los ángulos + y - Tommos O sen(+)= D O D E E () E O sen E Osen y os O E sen os O O OE os os y sen ossen O O O + D llevndo ests expresiones () sen(+)=sen os+os sen sen(-) = sen[+(-)] = senos(-)+ossen(-) = senos-ossen sen(-)=sen os-os sen os(+) = sen[90º-(+)] = sen[(90º-)-] = sen(90º-)os-os(90º-)sen = = osos-sensen os(+)=os os-sen sen os(-)=os[+(-)]=osos(-)-sensen(-)=osos+sensen os(-)=os os+sen sen sen( ) os( ) sen os ossen osos sensen sen os ossen osos osos sensen osos tg sen sen os os tg tg sen sen tgtg os os / k tg tg tg( ) tg / k tg / k / k tg tg( ) tg tg tg tg tg ( ) tg( ) tgtg( ) tgtg tg / k tg / k - /5 -.G.Onndí

12 0. Rzones trigonométris del ángulo dole y del ángulo mitd. Si en ls expresiones de ls rzones trigonométris del ángulo (+) hemos =, otenemos l RT del ángulo dole sen()=sen(+)=senos+ossen=senos os()=os(+)=osos-sensen=os -sen tg tg tg()= tgtg tg tg sen=sen os os=os -sen tg tg= tg Ejemplo: si sen=0 5 lulr el sen3 Prtiendo del oseno del ángulo dole: os=os -sen =-sen -sen =-sen sen =-os sen= os os=os -sen =os -(-os )=os - os =+os os= os Dividiendo ms expresiones: tg os os Ests expresiones se presentn de otr form que se otienen hiendo el mio = sen os os os tg os os Pr lulr ls RT de / hy que ser en qué udrnte está situdo el ángulo pr tomr el signo + o -. - /5 -.G.Onndí

13 . Trnsformiones de sums en produtos y vievers. Trnsformión de l sum de senos en produtos. sen(+)=sen os+sen os () sen(-)=sen os-sen os (3) sen(+)+sen(-)=sen os si hemos otenemos sen sen sen os Trnsformión de produtos en sums sen os=/[sen(+)+sen(-)] Trnsformión de l difereni de senos en produtos. iendo ()-(3) otenemos sen(+)-sen(-)= os sen y on los mismos mios de vrile qued sen sen os sen Trnsformión de produtos en sums os sen=/[sen(+)-sen(-)] Trnsformión de l sum de osenos en produtos. os(+)=os os-sen sen (4) os(-)=os os+sen sen (5) iendo (4)+(5) os(+)+os(-)= os os y on el mio de vrile otenemos os os os os Trnsformión de produtos en sums os os=/[os(+)+os(-)] Trnsformión de l difereni de osenos en produtos. iendo (4)-(5) os(+)-os(-)=- sen sen os os sen sen Trnsformión de produtos en sums sen sen=-/[os(+)-os(-)] Ejemplos: - lulr sen(60º+)-sen(60º-)=sen - Simplifir ls expresiones sen5 sen3 sen7 sen5 tg -tg os5 os3 os7 os5-3/5 -.G.Onndí

14 . Euiones y sistems trigonométris. Un euión es trigonométri undo l inógnit está ligd lgun rzón trigonométri. No hy un método generl on el que poder resolverls, pero son de utilidd ls siguientes indiiones: ) Deen expresrse (medinte trnsformiones onvenientes) tods ls RT que prez en l euión, en funión de un mismo ángulo y de un sol rzón. ) Es onveniente trnsformr ls sums y diferenis en produtos ) y que evitr, en lo posile, suprimir soluiones, o ñdir soluiones de form indeud (Por ej. elevndo l udrdo) y que tener en uent que tienen infinits soluiones Ejemplos: - sen(x+30º)= 3 60º 360º k x 30º 0º 360º k x 5º 80º k k Z x 45º 80º k k Z 5x 3x 5x 3x - sen5x+sen3x=0 sen os 0 sen4x.osx=0 sen4x 0 osx 0 luego 4x 80º k x 90º 80º k x 45º k 90º 80º k k Z osx 0 - senx+osx=0 senxosx+osx=0 osx(senx+)=0 senx 0 x=90º+80ºk; x=0º+360ºk; x=330º+360ºk kz slen - osx+senx=4sen x os x-sen x+senx=4sen x -sen x-sen x+senx=4sen x 0=6sen x-senx- senx=t 6t -t-=0. - senx+osx= Pr sistems tmpoo hy un método generl. Ejemplos: - sen x y os x y - sen(x y) os(x y) 3 6 senx seny sen(x y) - 4/5 -.G.Onndí

15 Resumen de fórmuls sen(+)=senos+ossen sen(-)=senos-ossen os(+)=osos-sensen os(-)=osos+sensen tg tg tg ( ) tgtg tg tg tg ( ) tgtg sen=senos os=os -sen tg tg= tg sen os os os tg os os sen sen sen os senos=/[sen(+)+sen(-)] sen sen os sen ossen=/[sen(+)-sen(-)] os os os os osos=/[os(+)+os(-)] os os sen sen sensen=-/[os(+)-os(-)] Teorem del seno: sen sen sen Teorem del oseno: = + -os = + -os = + -os - 5/5 -.G.Onndí