Juegos de Azar y Probabilidad/Estadística

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Juegos de Azar y Probabilidad/Estadística"

Transcripción

1 Juegos de Az y PobbiliddEstdístic Dí. Puo Az Mixtos Esttegi Rulet Poke Ajedez Ddos Bidge Ds Loteí Doió Ds Chis Blckjck Go Ludo Bckgo Loteí tdiciol: e co u boleto co úeos iesos. Poc viedd de elecció. Peio fijo. Melte, loto o loteí iitiv: e seleccio 6 úeos de 56 elte o 49 l yoí de los lotos. Dute el soteo se escoge 6 úeos l z y g el o los boletos ue teg esos úeos eio icil. Este tio de loteí ece hbese oigido e Geov, Itli, e el siglo XVII y se h vuelto uy oul e todo el udo. Cuál es l obbilidd de g? Teeos ue clcul el úeo de boletos distitos ue se uede hce, selecciodo 6 úe os ti de 56: 5 6 * 5 5 * 5 4 * 5 3 * 5 2 * 5 3 2, 4 6 8, * 5 * 4 * 3 * 2 * Po lo tto l obbilidd de cet es el iveso de este úeo: P hceos u ide de cuá eueño es este úeo, es ás obble lz 24 Aguils seguids co u oed ue g l Melte. Núeos Cobitoios. E geel, si teeos u cojuto de objetos y deseos seleccio u subcojuto de tño k, de cuáts e odeos hcelo si o eetios igú objeto? Co ode. i os itees el ode e el cul ece los objetos, el ieo uede se culuie de los objetos, es deci, teeos es de escogelo. U vez escogido éste os ued - es de escoge el segudo, oue o se eite eeticioes. P el teceo tedeos -2 y sí sucesivete. Estos úeos los ultilicos oue cd selecció del ieo le uede coesode culuie selecció del segudo, y sí sucesivete. Resuiedo teeos! k, k! dode! 3 2. Este úeo se cooce coo ls vicioes de objetos todos de k e k.

2 U cso ticul es uel e el cul ueeos seleccio todos los objetos, es deci k. E este cso el deoido de l exesió teio es o coveció 0! y teeos! es de ode los objetos del cojuto. Hblos etoces de ls eutcioes de los objetos. i ode. i os itees los objetos selecciodos eo o el ode e el cuál fueo escogidos es el cso del Melte culuie eutció de los objetos selecciodos tiee los isos úeos. Po lo tto, el esultdo teio, coesodiete l úeo de vicioes, lo debeos dividi ete el úeo de eutcioes de k objetos: k!. k! k! k! Estos úeos se cooce coo úeos cobitoios y se deot. Hblos de ls k cobicioes de objetos todos de k e k. Tiágulo de Pscl Los úeos e l - ési fil so los úeos cobitoios 0 k. El étodo de k costucció del tiágulo se bs e l siguiete oiedd: k k k ue odeos deost de l siguiete e. El ldo izuied o eeset el úeo de subcojutos de k objetos ue odeos fo co los eleetos de u cojuto de tño. i fijos uo de estos eleetos, el ie sudo del ldo deecho es el úeo de subcojutos de tño k ue icluye el eleetos u e fijos, iets ue el segudo eeset el úeo de subcojutos de tño k ue o lo icluye. El tiágulo de Pscl tiee ueoss oieddes iteestes. Coo ejelo ostos u sol de ells. i suos ls fils obteeos los úeos, 2, 4, 8, 6, 32, 64, 28, 256, 52, etc. Es deci, l su de l -ési fil es 2 y o lo tto teeos

3 2 0 Est elció se uede deost tbié ti de l fóul el bioio de Newto. Núeos Cosecutivos Co fecu eci e los esultdos se ecuet dos o ás úeos cosecutivos. Po ejelo, si los úeos gdoes so , teeos tes úeos cosecutivos. Co fecueci se ies ue esto es u idicció de ue hy lgú tio de sesgo l selec cio los úeos. Veos si esto es cieto. uogos ue escogeos úeos l z de u sucesió de, Cuál es l obbilidd de ue hy dos úeos cosecutivos? P esolve esto bst cot de cuáts es s odeos seleccio objetos de e sucesió, de odo ue hy l eos u objeto o selecciodo coo seció ete culuie de objetos selecciodos. L obsevció cucil es est: i igoos los - sedoes ecesios, teeos u situció de selecció si esticcioes de objetos ete. Recíocete, culuie selecció de objetos ete se uede coveti e u selecció de objetos de si úeos cosecutivos, ñdiedo los - sedoes. Po lo tto el úeo ue buscos es s Po lo tto, l obbilidd de ue o hy úeos cosecutivos e los úeos gdoes es E el cso del Melte esto es , es deci ue e el 45% de los csos, oxidete, eseíos tee ú eos cosecutivos. Ejecicio. Puedes clcul l obbilidd de tee l eos tes úeos cosecutivos? y de tee dos es de úeos cosecutivos? Esttegis. Hy esttegis ue os eit uet ls obbiliddes de g? i, co ás boletos! El oble es ue iets ás coos, ás iesgos y e oedio ás edeos. Peo o siee. Ls loteís tio Loto, e geel o tiee u eio fijo los boletos gdoes. e bs e u siste utul de eto, o edi o del cul se distibuye u ooció del dieo ostdo ete los gdoes. i ebgo, si e u soteo o hy gdoes el dieo se cuul el óxio soteo. Esto eite gtiz otos íios el eio yo del soteo. i ebgo, el oto ue eseos g o boleto debe se egtivo. Qué uiee deci esto? P silific suogos ue hy u solo eio, digos 60,000,000 y el boleto cuest $5. uogos tbié ue el eio o se cote. Eto ces, co obbilidd 3 2, 4 6 8, gos 60,000,000 y co obbilidd - 3 2, 4 6 8, edeos 5. El vlo esedo es, etoces

4 E l oto ue eseos g o boleto es egtivo, es deci, el oto totl de los eios dividido ete el úeo de boletos vedidos debe se eo ue el costo del boleto. i ebgo, hy ocsioes uy s e ls cules el vlo esedo d e u boleto es ositivo. E 992 se dio u situció de este tio. Uos ivesioists ustl ios obsevo ue l Loteí de Vigii o stisfcí el iciio ue ecioos. Est loteí euiee seleccio 6 úeos de 44, de odo ue hy 7,059,052 boletos distitos osibles. El ecio de cd uo es de U$, de odo ue co todos los boletos osibles se euiee lgo ás de 7 illoes de dóles. El eio o cet 6 úeos e d e 27 illoes y sudo los eios secudios el totl e de 27,98,56. i dividios de odo ue si coos todos los boletos osibles, eseíos g dóles o cd dól ivetido, siee ue o tegos ue coti co die ás. Los ustlios cosiguieo 2500 esos disuests iveti 3,000 dóles e oedio cd u. i el esue fuciob, cd u ecibií uos,800 dóles. i ebgo, existí el iesgo de tee ue coti el eio co oto gdo. Revisdo l histoi del soteo obsevo ue de 70 veces ue se hbí jugdo l loteí, e 20 de ells o hubo gdoes, e 40 hubo u solo gdo y e ls 0 esttes dos gdoes cotieo el eio. i cosideos sólo el eio yo de 27 illoes, odeos eclcul el oto ue eseos g de l siguiete e: y dividiedo o el úeo de boletos teeos u gci esed o boleto de 2.20 dóles. L co de los boletos fue u esdill y l fil sólo logo co uos 5 illoes de boletos. i ebgo go, uue tdo ses e ecot el boleto gdo! Luego de u btll legl logo ue les g el eio. E el cso del Melte cuá gde debeí se el eio ue hy u vlo esedo o s i t i v o? Teeos 32,468,435 de boletos y cd boleto vle $5, de odo ue hí flt u eio de $487,026,525. Actulete el eio es de 30 illoes Melte y 66 Revch. Hy oto uto iteeste ue obsev e elció ls osibles esttegis. L gete o seleccio los úeos l z y o lo tto, o todos los boletos tiee igul obbilidd de se codos. P ve u ejelo de esto cosideos u loteí ás sile ue el Melte, y o lo tto ás secill de liz. e tt de Pick3 de l loteí de New Jesey. El juego cosiste e seleccio tes úeos ete los dígitos 0,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Es osible eeti úeos de odo ue hy,000 cobicioes osibles: los úeos de P g es ecesio cet los tes úeos e ode, uue hy u oció de ost culuie eu tció de los úeos selecciodos gdo eos. Est loteí coezó el ño 975. Vos exlo los úeos gdoes e todos los soteos de ese ño. el esto del álisis se hizo usdo el softwe R

5 Dí 2. Juego de Ddos Chuck--luck. Escoges u úeo del l 6 y uests 0 esos. i o sle el úeo ue escogiste, iedes los 0 esos. i sle el úeo te devuelve tus 0 esos y gs 0 esos ultilicdos o el úeo de veces ue slg tu úeo, o se ue si tu úeo sle tes vec es, gs 30 esos. Debeís jug este juego? Es iosible edeci si vos g o o, i cuáto vos g si gos. P to u decisió debeos clcul cuto eseos g o ede e u juego e oedio si jugos uchs veces. Esto se cooce coo el vlo esedo del juego. P esto debeos ultilic cd gci o édid osible o l obbilidd de ue ocu y luego su todos los esultdos. E este juego hy cuto esultdos osibles: ede $0 o g $0, $20 o $30. Ls obbiliddes esectivs so ; ; ; El vlo esedo es O se ue e oedio edeos 64.5 cétios cd vez ue jugos 0 esos es deci, 6.45%. El vlo esedo se clcul ultilicdo cd esultdo osible o su obbilidd de ocui y luego sudo estos oductos. Po ejelo, si los esultdos osibles y sus obbiliddes está descitos o l siguiete tbl 2 Vloes x x 2 x 3 x Pobbiliddes 2 3 el vlo esedo seá E X i x i i U juego es justo si el vlo esedo es 0. Es desfvoble si el vlo esedo es egtivo y fvoble si es osi tivo. E u csio todos los juegos de z uo so desfvobles. E los juegos ue eite u esttegi o es fácil clcul el vlo esedo. Cálculo de vloes esedos vios ejelos ejecicio

6 L Rui del Jugdo. A y B jueg u sucesió de juegos e los cules A g co obbilidd y iede co obbilidd -. El citl iicil de A es, el de B, de odo ue el totl es. A y B decide jug hst ue lguo de los dos se uie Lleos, l obbilidd de ue A se uie si tiee citl iicil y B tiee citl iicil. Cosideos los osibles esultdos del ie juego. i A g, lo ue ocue co obbilidd, su citl es ho, y su obbilidd de ui es. E cbio si A iede co obbilidd -, su citl s - y su obbilidd de ui es ho -. Po lo tto teeos l siguiete ecució, eo coo esto es lo iso ue. Regudo téios,. Llos ho, l ecució teio se escibe ho, de dode obteeos l siguiete elció ecusiv: 2 2 0, y veos ue t e e o s u e detei el v lo de 0. P esto ecesitos detei lo ue se cooce coo ls codicioes iiciles. Obsevos ue si A coiez co citl 0, l obbilidd de ui es : 0, iets ue si el citl iicil de A es, es deci, el citl iicil de B es 0, l obbilidd de ui es 0: 0. Vos us ests dos ecucioes detei l solució. Obsevos e ie lug ue 0 0. Po oto ldo, Veos ue l su de l deech es u su telescóic: todos los téios, eos el segudo y el eúltio, ece dos veces y co sigos difeetes, de odo ue se ccel. Desejdo obteeos Au os flt detei 0. P esto usos l segud codici ó iicil y l ecució teio: 0

7 0 0 0 y sustituyedo e l ecució obteeos. Cso. 5 0., juego justo. E este cso y. Veos ue e este cso l obbilidd de ui es l ooció del citl totl ue tiee uesto ooete. Quizás es ás clo deci ue l obbilidd de g y ue uesto ooete se uie es l ooció del citl totl ue teeos. Cso 2.. Alguo de los jugdoes tiee l vetj. Es el cso si jugos lgú juego de uo z e u csio, ue siee tiee l vetj. P ve cuáto vle e este cso ecesitos l fóul l su de u sucesió geoétic. Lleos y l su de los ieos téios de l sucesió: [ ] 2 y o oto ldo sbeos ue. Cobido ls dos ecucioes teeos ue de dode obteeos ue Regesdo l exesió teeos -. Ls siguietes tbls eset l obbilidd de ui coo fució del citl iicil tes juegos, ulet eic, ulet euoe y ddos cs.

8 Cuáto Aost? L secció teio os dice ue si teeos uiddes, uesto ooete tiee y jugos u seie de juegos co obbilidd de g, hst ue lguo de los dos se uie, l obbilidd de ui está dd o l fóul teio. Qué sucede si cbios de uid d? Es deci, si cbios el oto de l uest? Vos ll uidd de uest l oto ue ostos e cd juego. Este oto debe est fijo lo lgo de l sucesió de juegos y lo vos deot o u. E téios de est uidd, uesto citl iicil ho es u, el citl totl es u y l obbilidd de ui es. u u u u Coo ejelo cosideos l siguiete situció. Teeos 500 esos y jugos hst g,000 o uios. L siguiete tbl uest l obbilidd de ui segú l uidd de uest ls distits obbiliddes ue heos cosidedo u u u Veos ue uet l uest disiuye uest obbilidd de ui. Esto es cosecueci de ue l exesió teio es u fució dececiete de u. E u situció coo l ue heos descito, e l cul estos decididos jug hst log uesto objetivo o uios, u esttegi óti es ost e cd juego lo ecesio log uesto objetivo, o si o teeos suficiete loglo e u solo juego, ost todo uesto citl. Es t esttegi, coocid coo de juego iesgdo, es siee óti.

9 Esttegis. Vos coside el siguiete juego. Yo tego u juego de cts 52 bie ezcldo y voy voltedo ls cts u u. E culuie oeto ue uies tú uedes ost ue l óxi ct es oj. i o uests uc se to ue ostste l últi ct e sli. E oedio, coo l itd de ls cts so ojs, debes g l itd de ls veces, de odo ue se tt de u juego justo si decides l z cudo ost. Hy lgu esttegi ue te eit hce este juego fvoble? L esuest es o, slvo ue odos ve el futuo coo e Flsh Fowd. Hy u foso teoe co u obe colicdo Teoe de Po Ociol de Mtigls ue dice ue igu esttegi bsd e l ifoció ue teeos del sdo uede hce fvoble u juego justo, o hce justo u juego desfvoble. L deostció o es secill, eo e el cso del juego ue heos ltedo hy u deostció sile. uog os ue heos dotdo u ciet esttegi E el juego, y l licos l juego teio odificdo de l siguiete e. De uevo ls cts se v voltedo u u y de cuedo l esttegi E iteuios ost, eo ho e lug de ost l óxi ct, estos ostdo l últi. Está clo ue e culuie oeto del juego, l obbilidd de ue l óxi ct se oj es l is ue l obbilidd de ue l últi ct se oj, sí ue si l esttegi E fucio l uest oigil tbié debeí fucio est vesió odificd del juego. Peo si es sí, l esttegi o uede fucio oue ho sólo se g si l últi ct es oj, y esto sucede co obbilidd 0.5. Coo ueb l bc e Mote Clo Joseh Jgge htt:es.wikiedi.ogwikijoseh_jgge Guo Eudeos o Chos Cbl htt:www.oulette2002.coes estfs2.h Edwd Tho htt:es.wikiedi.ogwikiedwd_o._tho MIT Blckjck gou htt:lcouidd.elis.coutes - cietificos -d e s d e-el - it200832los -illoios -del- it -blckjck-t e Gcí Pelyo htt:es.wikiedi.ogwikigozlo_gc%c3%ad- Pelyo

10 Refeecis Edwd O. Tho, Bet the Dele: A Wiig ttegy fo the Ge of Twety-O e, Vitge. Edwd O. Tho & hee T. Kssouf, Bet the Mket: A cietific tock Mket yste, 967, Rdo House. Edwd O. Tho. The Mthetics o f Gblig. 984, Lyle tut htt:www.bjth.cobjththotog.ht Edwd Pckel, The Mthetics of Ges d Gblig: 2 d Editio. 2006, MAA Richd A. Estei, T h e Theoy of Gblig d ttisticl Logic, 2 d Editio. 2009, Acdeic Pess. Richd Isc, The Plesues of Pobbility. 995 ige Be Mezich, Bekig Vegs Aow. Be Mezich, B ig i g Dow the House Vl. Thos Bss, Eudeoic Pie. 986 Vitge. Ivá y Gozlo Gcí- Pelyo, L Fbulos Histoi de Los Pelyos Plz y Jés.

Progresiones aritméticas y geométricas

Progresiones aritméticas y geométricas Pogesioes itétics y geoétics Pogesioes itétics U pogesió itétic es scesió de úeos, tles qe l difeeci ete dos cosectivos clesqie de ellos es costte, po ejeplo, l scesió de los úeos ipes,,, dode l difeeci

Más detalles

Definición. una sucesión, definimos la sumatoria de los n primeros

Definición. una sucesión, definimos la sumatoria de los n primeros MATEMATICA GENERAL 00, HERALDO GONZALEZ S SUMATORIAS Suto sle Defcó U sucesó el es tod fucó co doo u sucouto de los úeos tules y co vloes e, sólcete, l sucesó es : N tl que Osevcó Deotos l sucesó o N,

Más detalles

ÁLGEBRA DE MATRICES. * Tenemos aquí el mapa de una ciudad (Konigsberg) que está atravesada por un río sobre el que hay varios puentes:

ÁLGEBRA DE MATRICES. * Tenemos aquí el mapa de una ciudad (Konigsberg) que está atravesada por un río sobre el que hay varios puentes: º Bchilleto Mteátics II Dvid Miguel del Río IES Euop (Móstoles) Vos coside ls tices coo u disposició ectgul de úeos que cotiee ifoció. Si se quiee es u fo de ode ifoció. Po ejeplo: * Teeos quí el p de

Más detalles

POLINOMIOS, ECUACIONES, POLINOMICAS PROBLEMAS RESUELTOS 1. Dados los polinomios en x sobre R : Encontrar : a) p(x) + q(x), b) p(x) q(x)

POLINOMIOS, ECUACIONES, POLINOMICAS PROBLEMAS RESUELTOS 1. Dados los polinomios en x sobre R : Encontrar : a) p(x) + q(x), b) p(x) q(x) POLINOMIOS, ECUACIONES, POLINOMICAS PROBLEMAS RESUELTOS Ddos los polioios e soe R : p 5 8 q 7 Ecot : p q, c p - q p q Solució : p q 5 7 8 9 5 8 5 7 9 5 6 56 5 65 5 8 7 8 5 p q c p q p q 5 7 8 Detei ls

Más detalles

Permutaciones y combinaciones

Permutaciones y combinaciones Perutacioes y cobiacioes Cotaos posibilidades Coezaos co u secillo ejeplo E España los coches tiee ua atrícula que costa de cuatro dígitos deciales seguidos de tres letras sacadas de u alfabeto de 26 Cuátas

Más detalles

REALES EALES. DEFINICIÓN Y LÍMITES

REALES EALES. DEFINICIÓN Y LÍMITES Uidd. Fucioes. Defiició y Líites TEMA. FUNCIONES REALES EALES. DEFINICIÓN Y LÍMITES. Fucioes reles de vrile rel. Doiio de u fució.. Doiios de ls fucioes ás hitules. Coposició de fucioes. Propieddes. Fució

Más detalles

TEMA 1. ÁLGEBRA LINEAL

TEMA 1. ÁLGEBRA LINEAL Te Álgebr Liel Mteátics TEMA. ÁLGEBRA LINEAL - VECTORES DE R Defiició R {(,,..., )/,,..., R } (-tupls de os reles ordeds) Defiios e este cojuto opercioes: Su () Pr culesquier eleetos, (,,..., ), (y,y,...,y

Más detalles

COMBINATORIA. Las variaciones ordinarias se representan por el símbolo Vm,n o por V

COMBINATORIA. Las variaciones ordinarias se representan por el símbolo Vm,n o por V COMBINATORIA Por Aálisis Cobitorio o Cobitori, se etiede quell prte del álgebr que se ocup del estudio y propieddes de los grupos que puede forrse co eleetos ddos, distiguiédose etre sí: por el úero de

Más detalles

Operaciones en el conjunto de los números racionales Q

Operaciones en el conjunto de los números racionales Q lsteátics.eu Pedo Csto Oteg teiles de teátics Fccioes. Núeos eles. Potecis. Ríces. º ESO Opecioes e el cojuto de los úeos cioles Q Opeció Su c d bc b d bd Rest (difeeci) c d bc b d bd b) ) Ejeplo 5 5 5

Más detalles

MODULO: MÉTODOS CUANTITATIVOS CURSO: 2011-2012

MODULO: MÉTODOS CUANTITATIVOS CURSO: 2011-2012 TEMA 2: La Tabla de otalidad: La otalidad coo feóeo disceto. Ideedecia, hoogeeidad, estacioaiedad. La tabla de otalidad y sus eleetos. Relació ete los eleetos de ua tabla de otalidad. Tios de seguo: Cálculo

Más detalles

LABORATORIO DE PROGRAMACIÓN EN LENGUAJE ENSAMBLADOR x86-16bits

LABORATORIO DE PROGRAMACIÓN EN LENGUAJE ENSAMBLADOR x86-16bits LBORTORIO DE PROGRMCIÓN EN LENGUJE ENSMBLDOR x86-6ts Covesó o-scii Ojetvo El ojetvo de est páctc es l pogcó del códgo eceso p covet u úeo eteo o lcedo e eo l cde SCII coespodete su codfccó e u vedd de

Más detalles

TEMA 1. FUNCIONES REALES. DEFINICIÓN Y LÍMITES

TEMA 1. FUNCIONES REALES. DEFINICIÓN Y LÍMITES Uidd. Fucioes. Defiició y Líites TEMA. FUNCIONES REALES. DEFINICIÓN Y LÍMITES. Fucioes reles de vrible rel. Doiio de u fució.. Doiios de ls fucioes ás hbitules. Coposició de fucioes. Propieddes. Fució

Más detalles

TRABAJO PRÁCTICO TEMA: SUCESIONES Y SERIES

TRABAJO PRÁCTICO TEMA: SUCESIONES Y SERIES TRABAJO PRÁCTICO TEMA: SUCESIONES Y SERIES SUCESIÓN NUMÉRICA: es u fució cuyo domiio es el cojuto de los úmeros turles (o u subcojuto de él) y l imge está icluid e el cojuto de los Reles ( ) SUCESIÓN ARITMÉTICA:

Más detalles

Integral Definida. Aplicaciones

Integral Definida. Aplicaciones Itegrl Defiid. Apliccioes. Itegrl defiid. Defiició Se f(x u fució cotiu e u itervlo cerrdo [, b] y cosideremos el itervlo dividido e prtes igules x < x < x s < < x b. Pr cd subitervlo [x i, x i ], l fució

Más detalles

lasmatemáticas.eu Pedro Castro Ortega materiales de matemáticas son equivalentes porque 2 10 4 5.

lasmatemáticas.eu Pedro Castro Ortega materiales de matemáticas son equivalentes porque 2 10 4 5. Itroducció º ESO º ESO Pr operr co frccioes se sigue el mismo método que pr operr co úmeros eteros. Es decir, hy que respetr u jerrquí. Recordémosl: 1. Corchetes y prétesis.. Multipliccioes y divisioes..

Más detalles

1. Da las aproximaciones por defecto y por exceso y redondea los siguientes números con 1, 2, 3 y 4 cifras ,8 1,72 1,715 1,7143

1. Da las aproximaciones por defecto y por exceso y redondea los siguientes números con 1, 2, 3 y 4 cifras ,8 1,72 1,715 1,7143 IS Jun Gcí ldeo TMA. HOJA. APROXIMACIONS Y NOTACIÓN CINTÍFICA Deptento de Mteátics º SO. D ls poxiciones po defecto y po exceso y edonde los siguientes núeos con,, y cifs deciles:,,0... y π,0...,..., Defecto

Más detalles

SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE LA OME 49ª. 1. Sean a, b y n enteros positivos tales que a b y ab 1 n. Prueba que

SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE LA OME 49ª. 1. Sean a, b y n enteros positivos tales que a b y ab 1 n. Prueba que SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE LA OME 49ª Sea a, b y eteros positivos tales que a b y ab Prueba que a b 4 Idica justificadamete cuádo se alcaa la igualdad Supogamos que el resultado a demostrar fuera falso

Más detalles

TEMA 7. SUCESIONES NUMÉRICAS.

TEMA 7. SUCESIONES NUMÉRICAS. º EO Tem 7 TEMA 7. UCEIONE NUMÉRICA.. UCEIONE NUMÉRICA. Imgiemos el ecoido que efectú u bló que se h lzdo l suelo y midmos ls distcis ete bote y bote: Ls distcis fom u sucesió de úmeos: 0, 5, 0, 5,. U

Más detalles

= 41. =, halla los términos primero, quinto, b n

= 41. =, halla los términos primero, quinto, b n Sucesioes. 00 Ejecicios p pctic co solucioes E ls sucesioes de témio geel y b, hll los témios pimeo, segudo y décimo. 0 0 b b b 0 0 0 Hll los cico pimeos témios de l sucesió 0 9 9 6 6 Compueb que es el

Más detalles

1º ITIS Matemática discreta Relación 4 NÚMEROS NATURALES Y ENTEROS

1º ITIS Matemática discreta Relación 4 NÚMEROS NATURALES Y ENTEROS º ITIS Mtemátic discet Relció 4 NÚMEROS NATURALES Y ENTEROS. Pob po iducció que si c es u úmeo el, c, y N, etoces ( + c) + c.. Pob ) c) c) d) ( + ) ( + )(+ ) i = 6 3 ( + ) i = 4 (i+ ) = ( + ) 7 ( ) e)

Más detalles

b) (1 punto) * = * Al intercambiar la posición de dos líneas (filas o columnas), el determinante cambia de signo

b) (1 punto) * = * Al intercambiar la posición de dos líneas (filas o columnas), el determinante cambia de signo Modelo. Ejecicio. lificció máim puos Siedo que el vlo del deemie es igul clcul el vlo de los deemies: ) ( puo) ) ( puo). dos co comú e colum duo co comú e colum * * l iecmi l posició de dos líes (fils

Más detalles

En este capítulo expondremos brevemente (a modo de repaso) conceptos básicos sobre los sistemas de numeración.

En este capítulo expondremos brevemente (a modo de repaso) conceptos básicos sobre los sistemas de numeración. Arquitectur del Computdor ots de Teórico SISTEMAS DE UMERACIÓ. Itroducció E este cpítulo expodremos brevemete ( modo de repso) coceptos básicos sobre los sistems de umerció. o por secillo el tem dej de

Más detalles

Tema 2 Sucesiones Matemáticas I 1º Bachillerato. 1

Tema 2 Sucesiones Matemáticas I 1º Bachillerato. 1 Tem Sucesioes Mtemátics I º Bchillerto. TEMA SUCESIONES. CONCEPTO DE SUCESIÓN DEFINICIÓN DE SUCESIÓN Se llm sucesió u cojuto de úmeros ddos ordedmete de modo que se pued umerr: primero, segudo, tercero,...

Más detalles

TEMA 1: MATEMÁTICAS FI F NAN A CI C ER E AS A

TEMA 1: MATEMÁTICAS FI F NAN A CI C ER E AS A TEMA : MATEMÁTIAS FINANIERAS ONTENIDO. pitles ficieos. Leyes de cpitlizció: simple y compuest; fcciod y cotiu. Vlo Actul y vlo Futuo. Tss Equivletes. Tss Nomiles y Efectivs de Iteés.. Rets ficies. Seies

Más detalles

A) Se considera el problema de contorno bidimensional constituido por la ecuación diferencial

A) Se considera el problema de contorno bidimensional constituido por la ecuación diferencial Elemetos tos bdmesoles. U vsó pelm A Se cosde el poblem de cotoo bdmesol costtdo po l eccó deecl (, e el domo, smplemete coeo ls codcoes de cotoo: (, coocd e α coocd e Recédese qe qe, s se deom l ccdte

Más detalles

Tema 5: Operación de amortización. Préstamos

Tema 5: Operación de amortización. Préstamos Te 5: Opecó de otzcó. Péstos.- Plteeto geel de l opecó de otzcó co teeses pospgbles. Recbe est deocó tod opecó de pestcó úc y cotpestcó últple: Pestcó - { 0,t 0 } otpestcó -{, t, t..., t } El cptl de l

Más detalles

Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto de factores iguales:

Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto de factores iguales: POTENCIAS. POTENCIAS DE NÚMEROS ENTEROS U poteci es u for revid de escriir u producto de fctores igules E ls potecis, el fctor repetido se ll se, y el úero de veces que se repite, expoete. Al utilizr ls

Más detalles

ESTIMACIÓN DE VARIANZAS Y PROPORCIONES POBLACIONALES MEDIANTE INTERVALOS DE CONFIANZA

ESTIMACIÓN DE VARIANZAS Y PROPORCIONES POBLACIONALES MEDIANTE INTERVALOS DE CONFIANZA UNP-Facultad de Igeiería Carreras: Ig. Electróica y Electricista CAPÍTUO 6 ESTIMACIÓN DE VARIANZAS PROPORCIONES POBACIONAES MEDIANTE INTERVAOS DE CONFIANZA 6.1 Itervalo de cofiaza ara la variaza de ua

Más detalles

TEMA 3: RADICALES 3.1 DEFINICIÓN. Colegio Mater Salvatoris. Se llama raíz n-ésima de un número a, y se representa n a, a otro nº b tal que b n = a.

TEMA 3: RADICALES 3.1 DEFINICIÓN. Colegio Mater Salvatoris. Se llama raíz n-ésima de un número a, y se representa n a, a otro nº b tal que b n = a. Colegio Mter Slvtoris TEMA : RADICALES.1 DEFINICIÓN Se ll ríz -ési de u úero, se represet, otro º tl que. Se l epresió geerl de u ríz -esi es el ídice es el rdicdo c Al síolo lo llos Rdicl c es el coeficiete

Más detalles

1. Números reales. 2. Raíces y potencias. 3. Operaciones con radicales. Matemáticas 3º ESO

1. Números reales. 2. Raíces y potencias. 3. Operaciones con radicales. Matemáticas 3º ESO Mteátis º ESO 1. Núeros reles Clsifiió de los úeros reles Aroxiió de deiles Itervlos. Ríes y oteis Notió ietífi. Oerioes Rdiió. Proieddes de ls oteis de exoete riol Rdiles equivletes Silifir rdiles Extrió

Más detalles

INTEGRALES INDEFINIDAS

INTEGRALES INDEFINIDAS INTEGRALES INDEFINIDAS Pág.: ÍNDICE:.- FUNCIÓN PRIMITIVA..- INTEGRAL INDEFINIDA..- INTEGRALES INMEDIATAS...- INTEGRACIÓN INMEDIATA DE ALGUNAS FUNCIONES. 4.- PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA. 5.- MÉTODOS

Más detalles

EL TEOREMA DEL PUNTO FIJO Y APLICACIONES SEGUNDA PARTE. Alberto E. J. Manacorda*

EL TEOREMA DEL PUNTO FIJO Y APLICACIONES SEGUNDA PARTE. Alberto E. J. Manacorda* EL TEOREA DEL PUNTO FIJO Y APLICACIONES SEGUNDA PARTE Alerto E. J. cord* *Igeiero Geogrfo Profesor Titulr de Alisis temtico II Fcultd de Ciecis Ecoomics Estdistic Uiversidd Nciol de Rosrio 5.- Aliccioes

Más detalles

1) Simplificar radicales: si dividimos el exponente de radicando y el índice del radical

1) Simplificar radicales: si dividimos el exponente de radicando y el índice del radical RADICALES jp ºESO BC TEORIA DE RADICALES Defiició de ríz -esi de u úero rel Llos ríz -ési de u úero rel otro úero rel b que elevdo l poteci os d coo resultdo el rdicdo b b Ejeplos : pues 8 pues ( ) 8 E

Más detalles

Matemáticas 1 1 EJERCICIOS RESUELTOS: Sucesiones numéricas. Elena Álvarez Sáiz. Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación. Universidad de Cantabria

Matemáticas 1 1 EJERCICIOS RESUELTOS: Sucesiones numéricas. Elena Álvarez Sáiz. Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación. Universidad de Cantabria Mtemátics EJERCICIOS RESUELTOS: Sucesioes umérics Ele Álvrez Sáiz Dpto. Mtemátic Aplicd y C. Computció Uiversidd de Ctbri Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I Ejercicios: Sucesioes umérics Sucesioes

Más detalles

1 Sucesiones. Ejemplos. a n = n a n = n! a n = n n. a n = p n. a n = 2n3 + n 2 + 5 n 2 + 8. a n = ln(n)

1 Sucesiones. Ejemplos. a n = n a n = n! a n = n n. a n = p n. a n = 2n3 + n 2 + 5 n 2 + 8. a n = ln(n) 1 Sucesioes De ició. Ua sucesió, a, es ua fució que tiee como domiio el cojuto de los úmeros aturales y como cotradomiio el cojuto de los úmeros reales: a : N! R. Se usa la siguiete otació: a () = a :

Más detalles

GRAVITACIÓN I: LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL

GRAVITACIÓN I: LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL 8 0 GRVICIÓ I: LEY DE L GRVICIÓ UIVERSL j Sigue pcticndo Indic sobe l tyectoi de un plnet con óbit elíptic lededo del Sol, que ocup uno de los focos, los puntos de áxi y íni elocidd Rzon l espuest b t

Más detalles

Tema 3. Polinomios y otras expresiones algebraicas (Estos conceptos están extraídos del libro Matemáticas 1 de Bachillerato.

Tema 3. Polinomios y otras expresiones algebraicas (Estos conceptos están extraídos del libro Matemáticas 1 de Bachillerato. UH ctualizació de oocimietos de Matemáticas ara Tema Poliomios y otras eresioes algebraicas Estos cocetos está etraídos del libro Matemáticas de achillerato McGrawHill Poliomios: oeracioes co oliomios

Más detalles

Tema 1: NÚMEROS REALES.

Tema 1: NÚMEROS REALES. I.E.S. Slvdor Serro - Deprteto de Mteátics MATEMÁTICAS ACADÉMICAS º ESO - 0 / Te : NÚMEROS REALES. Actividdes pr preprr el exe: Teorí: Cotest si so cierts ls siguietes fircioes: Todo úero etero es turl.

Más detalles

Propuesta de un modelo para la gestión de los neumáticos de una flota de vehículos

Propuesta de un modelo para la gestión de los neumáticos de una flota de vehículos 5 th Iteratioal oferece o Idustrial Egieerig ad Idustrial Maageet XV ogreso de Igeiería de Orgaizació artagea, 7 a 9 de Setiebre de 2 Prouesta de u odelo ara la gestió de los euáticos de ua flota de vehículos

Más detalles

Definición.- Llamamos POTENCIA a la expresión abreviada usada para escribir un producto de n factores no necesariamente iguales.

Definición.- Llamamos POTENCIA a la expresión abreviada usada para escribir un producto de n factores no necesariamente iguales. POTENCIAS Y RAÍCES. 1.- POTENCIAS. Defiició.- Llos POTENCIA l expresió revid usd pr escriir u producto de fctores o ecesriete igules. Escriios: =... ( veces) dode es l BASE y el EXPONENTE. Ejeplo: 7 2

Más detalles

Resumen: Límites de funciones. Asíntotas

Resumen: Límites de funciones. Asíntotas Resue: Líites de ucioes. Asítots epre que se pued sustituir probles e l epreó de Los csos e los que o se pued sustituir es: k cudo tegos Es ideterido el go del y depede de l regl de los gos. Ejeplos: *?

Más detalles

TEMA1: MATRICES Y DETERMINANTES:

TEMA1: MATRICES Y DETERMINANTES: TEM: MTRICES Y DETERMINNTES: MTRICES: U triz de diesió, es u tbl ford por fils y colus. j i siedo ij,.,,., ) ( Por ejeplo: Se ll Mtriz Fil l que tiee u sol fil, ejeplo: Se ll Mtriz Colu l que tiee u sol

Más detalles

Algunas funciones elementales

Algunas funciones elementales Apédice B Algus fucioes eleetles B Fució poteci -ési U fució poteci -ési es u fució de l for f ( ) dode l se es u vrile y el epoete u úero turl Es l for ás secill de ls fucioes polióics f ( ) Ls fucioes

Más detalles

Actividades para preparar el examen Global de la Primera Evaluación:

Actividades para preparar el examen Global de la Primera Evaluación: I.E.S. Slvdor Serro - Deprteto de Mteátics MATEMÁTICAS ACADÉMICAS º ESO - 0 / 6 Actividdes pr preprr el exe Globl de l Prier Evlució: Teorí: Cotest si so cierts ls siguietes fircioes: Todo úero etero es

Más detalles

Espacios Afín y Euclídeo Resumen ESPACIOS AFÍN Y EUCLÍDEO

Espacios Afín y Euclídeo Resumen ESPACIOS AFÍN Y EUCLÍDEO ESACIOS AFÍN Y EUCLÍDEO Nota: Los pocedimietos expestos o so los úicos qe eselve los poblemas Defiició El espacio afí so los ptos coexistiedo jto al espacio vectoial V, co sistema de efeecia ( pto fijo

Más detalles

TEMA 2: NÚMEROS RACIONALES: FRACCIONES.

TEMA 2: NÚMEROS RACIONALES: FRACCIONES. TEMA NÚMEROS RACIONALES FRACCIONES.. Cojuto e los Núeros Rioles, Q. El ojuto e los úeros rioles es u pliió e los úeros eteros, los que se le ñe uevos úeros que se ostruye o úeros eteros y se ll FRACCIONES.

Más detalles

Licenciatura en Electrónica y Computación: Métodos Numéricos

Licenciatura en Electrónica y Computación: Métodos Numéricos CIICp VLORES Y VECTORES PROPIOS Los vlores y vectores propios se cooce tmié como eigevlores y eigevectores. Estos vlores y vectores propios se utiliz geerlmete e sistems lieles de ecucioes homogéeos que

Más detalles

5. Aproximación de funciones: polinomios de Taylor y teorema de Taylor.

5. Aproximación de funciones: polinomios de Taylor y teorema de Taylor. GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. Lecció. Fucioes y derivada. 5. Aproimació de fucioes: poliomios de Taylor y teorema de Taylor. Alguas veces podemos aproimar fucioes complicadas mediate otras

Más detalles

GESTIÓN FINANCIERA. 1. Por qué se caracteriza una operación financiera? (1,5 puntos)

GESTIÓN FINANCIERA. 1. Por qué se caracteriza una operación financiera? (1,5 puntos) Escuel Técic Superior de Iformátic Covoctori de Juio - Primer Sem Mteril Auxilir: Clculdor ficier GESTIÓN FINANCIERA 27 de Myo de 2-8, hors Durció: 2 hors. Por qué se crcteriz u operció ficier? (, putos)

Más detalles

Mg. Marco Antonio Plaza Vidaurre 1 LA TASA DE INTERÉS ANTICIPADA Y SUS APLICACIONES

Mg. Marco Antonio Plaza Vidaurre 1 LA TASA DE INTERÉS ANTICIPADA Y SUS APLICACIONES Mg. Mrco Atoio Plz Viurre LA TASA E ITERÉS ATICIPAA Y SUS APLICACIOES L ts e iterés veci es quell que se utiliz e u operció ficier cuy liquició se efectú l fil el u perioo y l ts e iterés ticip, ifereci

Más detalles

RADICALES. Entre los números reales se encuentran los radicales, que se pueden expresar como raíz de un índice n 2 de un número real.

RADICALES. Entre los números reales se encuentran los radicales, que se pueden expresar como raíz de un índice n 2 de un número real. RADICALES Etre los úeros reles se euetr los rdiles, ue se uede exresr oo ríz de u ídie de u úero rel. Ríz eési de u úero rel. Si R y Ν, o, direos ue l ríz eési de es u úero rel r y lo otreos sí: r, si

Más detalles

1.3.6 Fracciones y porcentaje

1.3.6 Fracciones y porcentaje Ejemplo : Se hor u situció e l que ecesitmos clculr l frcció de otr frcció. Por ejemplo de. Pr u mejor iterpretció de l regl terior, recurrimos l represetció gráfic. Represetemos l frcció de Es decir:

Más detalles

Programación Entera (PE)

Programación Entera (PE) Programació Etera (PE) E geeral, so problemas de programació lieal (PPL), e dode sus variables de decisió debe tomar valores eteros. Tipos de PE Cuado se requiere que todas las variables de decisió tome

Más detalles

LOGARITMO 4º AÑO DEF. Y PROPIEDADES

LOGARITMO 4º AÑO DEF. Y PROPIEDADES LOGARITMO º AÑO DEF. Y PROPIEDADES E l epresió c, puede clculrse u de ests tres ctiddes si se cooce dos de ells resultdo de este odo, tres opercioes diferetes: º Poteci º Rdicció º Logrito c pr clculr,

Más detalles

DELTA MASTER FORMACIÓN UNIVERSTARIA C/ Gral. Ampudia, 16 Teléf.: 91 533 38 42-91 535 19 32 28003 MADRID

DELTA MASTER FORMACIÓN UNIVERSTARIA C/ Gral. Ampudia, 16 Teléf.: 91 533 38 42-91 535 19 32 28003 MADRID / Grl. Ampudi, 6 Teléf.: 9 5-9 55 9 ADRID FBRRO 5 UNIVRSIDAD PONTIFIIA D SALAANA ATÁTIAS DISRTAS FBRRO 5 (TARD) PROBLA : Se cooce el siguiete comportmieto de Luis e u resturte l que v comer: - No es verdd

Más detalles

1.- POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO

1.- POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO º ESO - UNIDAD.- POTENCIAS Y RAÍCES OBJETIVOS MÍNIMOS DE LA UNIDAD.- Clculr potecis de se rciol y epoete etero.- Relizr opercioes co potecis de epoete etero usdo sus propieddes.- Epresr úeros e otció cietífic.-

Más detalles

( ) ( ) 60 ( ) ( ) ( ) Opción A. Ejercicio A.1- Se sabe qué Calcular, de manera razonada, aplicando las propiedades

( ) ( ) 60 ( ) ( ) ( ) Opción A. Ejercicio A.1- Se sabe qué Calcular, de manera razonada, aplicando las propiedades IES Mditáo d Málg Soluió Juio Ju Clos loso Giotti Oió Ejiio.- S s ué. Clul d od lido ls oidds duds l lo d los siguits dtits: B B IES Mditáo d Málg Soluió Juio Ju Clos loso Giotti Ejiio..- Hll l uió dl

Más detalles

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO. Resolver la ecuación de segundo grado aplicando propiedades de la

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO. Resolver la ecuación de segundo grado aplicando propiedades de la ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Ojetivos: Defiir ecució de segudo grdo. Resolver l ecució de segudo grdo plicdo propieddes de l iguldd. Resolver l ecució de segudo grdo plicdo fctorizcioes. Resolver l ecució

Más detalles

Z={...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...}

Z={...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...} TEMA Prelimires: Números y cojutos P- Números eteros: Se deomi úmeros turles (tmbié llmdos eteros positivos) los úmeros que os sirve pr cotr objetos:,,,4,5,... El cojuto de los úmeros turles se desig por

Más detalles

Q, entonces b equivale a un radical. Es decir:

Q, entonces b equivale a un radical. Es decir: UNIDAD : POTENCIACIÓN, RADICACIÓN Y LOGARITMACIÓN. POTENCIACIÓN L potecició se utili pr epresr u producto de fctores igules. Es u operció teátic etre dos térios deoidos se epoete... Eleetos de l potecició

Más detalles

DETERMINANTES. A toda matriz cuadrada se le puede hacer corresponder un número (determinante) cuyo cálculo se puede hacer de las siguientes maneras:

DETERMINANTES. A toda matriz cuadrada se le puede hacer corresponder un número (determinante) cuyo cálculo se puede hacer de las siguientes maneras: Deterites DETERMINNTES. DEFINICIÓN. tod tri udrd se le uede her orresoder u úero (deterite uo álulo se uede her de ls siguietes ers:.. DETERMINNTE DE SEGUNDO ORDEN. det Es deir, es el roduto de los eleetos

Más detalles

MATEMÁTICAS LOS NÚMEROS REALES 4º DE ESO

MATEMÁTICAS LOS NÚMEROS REALES 4º DE ESO MATEMÁTICAS LOS NÚMEROS REALES º DE ESO 1. Núeros reles Clsifiió de los úeros reles Frió geertriz de u úero deil Reresetió de úeros rioles e l ret rel Aroxiioes Itervlos. Ríes y oteis Proieddes de ls oteis

Más detalles

MANUAL MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE FINANZAS. Exponentes

MANUAL MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE FINANZAS. Exponentes _ Defiició: Epoetes Pr u úero rel u etero positivo, veces se le deoi l se l poteci o epoete Ejeplos:..... Not: oserv que del segudo es. o so igules, el resultdo del priero es Lees de epoetes: Pr cd u de

Más detalles

Resumen: Límites, Continuidad y Asíntotas

Resumen: Límites, Continuidad y Asíntotas Resue: Líites, Cotiuidd y Asítots epre que se pued sustituir probles e l epreó de Los csos e los que o se pued sustituir es: k cudo tegos Es ideterido el go del y depede de l regl de los gos. : *? ** *

Más detalles

1. Demuestra que si p es un natural y p es compuesto, entonces existe un divisor m de p con 1 < m p.

1. Demuestra que si p es un natural y p es compuesto, entonces existe un divisor m de p con 1 < m p. Divisibilidad Matemática discreta Dados dos úmeros aturales a y b, escribiremos a b y leeremos a divide a b si existe u c N tal que ac = b. E este caso, decimos que a es u divisor de b o que b es divisible

Más detalles

Anillos de Newton Fundamento

Anillos de Newton Fundamento Aillos de Newto Fudmeto Los illos de Newto so producidos por itererecis cudo dos hces de luz, procedetes de l mism uete, recorre cmios ópticos dieretes. Eiste distitos modos de logrr este eómeo, el que

Más detalles

Introducción a la dinámica Segunda Ley de Newton

Introducción a la dinámica Segunda Ley de Newton noduión l dinái Seund e de Newon Objeio Deeinión de l eleión de un óil io usndo diess énis eeienles on el disosiio indido esqueáiene en l Fiu, que inlue un ooineuo edi el deslzieno en unión del ieo. Esudio

Más detalles

Podemos decir también que número real es todo número que podemos representar en la recta numérica - 1, ¼ 0,

Podemos decir también que número real es todo número que podemos representar en la recta numérica - 1, ¼ 0, Uidd EL NÚMERO REAL E etps sucesivs del estudio de l Mteátic se trbj co cpos uéricos que v pliádose co l icorporció de uevos y distitos tipos de úeros. Así, se coiez lizdo el cpo de los úeros turles (

Más detalles

SELECCIÓN ADVERSA Y RACIONAMIENTO DE CREDITO

SELECCIÓN ADVERSA Y RACIONAMIENTO DE CREDITO SCCIÓN ADVRSA Y RACIONAMINTO D CRDITO Biliofí Básic: Wlsh (003 º d.) Monety Theoy nd Policy. MIT ess. Citulo 7. SCCIÓN ADVRSA Cundo hy ieso de insolvenci l fijción del tio de inteés dee conteml tl osiilidd

Más detalles

Por: Lic. Eleazar J. García. República Bolivariana de Venezuela Tinaco.- Estado Cojedes. INTEGRALES INDEFINIDAS

Por: Lic. Eleazar J. García. República Bolivariana de Venezuela Tinaco.- Estado Cojedes. INTEGRALES INDEFINIDAS Por: Lic. Eleazar J. García. República Bolivariaa de Veezuela Tiaco.- Estado Cojedes. INTEGRALES INDEFINIDAS Usted está familiarizado co alguas operacioes iversas. La adició y la sustracció so operacioes

Más detalles

FÓRMULA DE TAYLOR 1. Introducción formula de Taylor Brook Taylor 2. Objetivos Aproximación de funciones por polinomios f(x) P(x) f(x)

FÓRMULA DE TAYLOR 1. Introducción formula de Taylor Brook Taylor 2. Objetivos Aproximación de funciones por polinomios f(x) P(x) f(x) FÓRMULA DE TAYLOR. Itroducció Los poliomios igur etre ls ucioes más secills que se estudi e Aálisis. So decuds pr trjr e cálculos uméricos por que sus vlores se puede oteer eectudo u úmero iito de multipliccioes

Más detalles

CORPORACION NACIONAL DE EDUCACION SUPERIOR C.U.N. LOGICA Y PENSAMIENTO MATEMATICO DOCENTE: YAMILE MEDINA CASTAÑEDA GUIA N 4: POTENCIACION

CORPORACION NACIONAL DE EDUCACION SUPERIOR C.U.N. LOGICA Y PENSAMIENTO MATEMATICO DOCENTE: YAMILE MEDINA CASTAÑEDA GUIA N 4: POTENCIACION CORPORACION NACIONAL DE EDUCACION SUPERIOR C.U.N. LOGICA Y PENSAMIENTO MATEMATICO DOCENTE: YAMILE MEDINA CASTAÑEDA GUIA N : POTENCIACION L operció de Potecició stisfce ls siguietes propieddes: L Potecició

Más detalles

MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS II

MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS II UED FUTD DE. EOÓIS Y ERESRIES TEÁTI DE S OERIOES FIIERS II URSO / l uevo Eme e JUIO Dí // l ho TERI UXIIR: lulo fe DURIÓ: ho. El bo X oee u pétmo hpoteo l S. Y. utí el ptl peto e el % el peo e tó el po

Más detalles

Capítulo 7. Series Numéricas y Series de Potencias.

Capítulo 7. Series Numéricas y Series de Potencias. Cpítulo Series Numérics y Series de Potecis.. Itroducció. E este cpítulo le dremos setido l cocepto de sum ifiit de úmeros ó serie uméric, es decir, diremos que sigific sumr u ifiidd de úmeros... 4 El

Más detalles

suma sucesiva de los primeros m términos como se ve a continuación m 1

suma sucesiva de los primeros m términos como se ve a continuación m 1 A veces se ecest deterr l su de uchos téros de u sucesó ft. Pr expresr co fcldd ess sus, se us l otcó de sutor. Dd u sucesó ft,,,...,... el síbolo represet l sutor o su sucesv de los preros téros coo se

Más detalles

TEMA 5: INTERPOLACIÓN

TEMA 5: INTERPOLACIÓN 5..- ITRODUCCIÓ TEMA 5: ITERPOLACIÓ Supogamos que coocemos + putos (x,y, (x,y,..., (x,y, de la curva y = f(x, dode las abscisas x k se distribuye e u itervalo [a,b] de maera que a x x < < x b e y k = f(x

Más detalles

ejemplo j 4 j 2 Tanto de interés nominal, tanto efectivo y tanto periódico.-

ejemplo j 4 j 2 Tanto de interés nominal, tanto efectivo y tanto periódico.- Tto e teés ol, tto efectvo y tto peóco.- El tto e teés ol o tee e cuet l evesó e los teeses cobos o pgos peócete ute los peoos posteoes. Poeos epeset l tto ol ul cptlzble c / e ño coo. Se poí tepet el

Más detalles

A = 1. Demuestra que P (1) es cierta. 2. Demuestra que si P (h) es cierta, entonces P (h + 1) es cierta.

A = 1. Demuestra que P (1) es cierta. 2. Demuestra que si P (h) es cierta, entonces P (h + 1) es cierta. . POTENCIAS DE MATRICES CUADRADAS E este capítulo vamos a tratar de expoer distitas técicas para hallar las potecias aturales de matrices cuadradas. Esta cuestió es de gra importacia y tiee muchas aplicacioes

Más detalles

. De manera sucesiva, si x se multiplica por si misma n veces, se

. De manera sucesiva, si x se multiplica por si misma n veces, se Fcultd de Cotdurí Adiistrció UNAM Lees de eoetes ritos Autor: Dr José Muel Becerr Esios MATEMÁTICAS BÁSICAS LEYES DE EXPONENTES Y LOGARITMOS LEYES DE EXPONENTES Se u úero rel Si se ultilic or sí iso se

Más detalles

AYUDAS GRAFICAS CARTA DE SMITH Y APLICACIONES

AYUDAS GRAFICAS CARTA DE SMITH Y APLICACIONES 7 CAPITULO 4 AYUDAS GRAFICAS CARTA DE SMITH Y APLICACIONES Existe vaios métodos de ayudas gáficas paa el diseño, acople y solució de poblemas e líeas de tasmisió, que ha ido evolucioado co el tiempo. Keell

Más detalles

(PROBABILIDAD) (tema 15 del libro)

(PROBABILIDAD) (tema 15 del libro) (PROBABILIDAD) (tema 15 del libro) 1. EXPERIMENTOS ALEATORIOS. ESPACIO MUESTRAL. SUCESOS Defiició: U feómeo o experiecia se dice aleatorio cuado al repetirlo e codicioes aálogas o se puede predecir el

Más detalles

Tema 5. DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES

Tema 5. DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES José Maía Maíe Mediao Tema DGONLZCÓN DE MTRCES oducció Poecia de ua mai Sea Supogamos que se desea calcula : 7 7 8 8 Deemia ua egla paa o esula imediao Compobemos, aes de segui adelae, que MDM, siedo M

Más detalles

TEMA 2 MATEMÁTICAS FINANCIERAS

TEMA 2 MATEMÁTICAS FINANCIERAS Tema Matemáticas fiacieas 1 TEMA MATEMÁTICAS FINANCIERAS EJERCICIO 1 : Po u atículo que estaba ebajado u 1% hemos pagado, euos. Cuáto costaba ates de la ebaja? 1 Solució: El ídice de vaiació es: IV = 1

Más detalles

POTENCIAS.- a determina la potencia de base a y exponente n, significa que hemos de multiplicar a por si mismo n veces.

POTENCIAS.- a determina la potencia de base a y exponente n, significa que hemos de multiplicar a por si mismo n veces. POTENCIAS.- determi l oteci de se y exoete, sigific ue hemos de multilicr or si mismo veces. Defiició: L otció Bse Exoet El exoete,, idic ls veces ue se reite l se e el roducto de ést or si mism. L se,,

Más detalles

5. Repaso de matrices. ( Chema Madoz, VEGAP, Madrid 2009)

5. Repaso de matrices. ( Chema Madoz, VEGAP, Madrid 2009) . epso de trices he Mdoz, VEGP, Mdrid ) Mtrices Eleeto: ij Tño: Mtriz cudrd: orde ) Eleetos de l digol: Vector colu triz ) Vector fil triz ) ) 8, B ) 8) B Su: ij k k k k k k k k k k k ) Multiplicció por

Más detalles

IES Mediterráneo de Málaga Reserva1.- 2012 Juan Carlos Alonso Gianonatti. Propuesta A

IES Mediterráneo de Málaga Reserva1.- 2012 Juan Carlos Alonso Gianonatti. Propuesta A ES Medieáeo Málg Reev.- Ju lo loo Gioi Popue.- ) Eui el eoe vlo edio Lgge d u iepeió geoéi ( puo) ) lul u puo l ievlo [ ] e que l e gee l gái l uió e plel l ued (o egeo) que ue lo puo () e ( puo) ) Teoe

Más detalles

1. Números reales. 2. Raíces y potencias. 3. Operaciones con radicales. Matemáticas 4º ESO

1. Números reales. 2. Raíces y potencias. 3. Operaciones con radicales. Matemáticas 4º ESO Mteátis º ESO 1. Núeros reles Clsifiió de los úeros reles Frió geertriz de u úero deil Reresetió de úeros rioles e l ret rel Aroxiioes Itervlos. Ríes y oteis Proieddes de ls oteis de exoete riol Rdiles

Más detalles

OPERACIONES CON POLINOMIOS.

OPERACIONES CON POLINOMIOS. OPERACIONES CON POLINOMIOS. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Ua epresió ateática que usa úeros o variables o abos para idicar productos o cocietes es u tério. Los térios,, (ab), so todos epresioes algebraicas.

Más detalles

( ) ( ) El principio de inducción

( ) ( ) El principio de inducción El priipio e iuió U ejemplo seillo pr empezr Si hemos oío hlr e progresioes ritmétis (series e úmeros e form que l iferei etre os oseutivos es siempre l mism, omo,,, 0,) prolemete o será fáil lulr l sum

Más detalles

3 Potencias y raíces de números

3 Potencias y raíces de números Potecis y ríces de úeros reles. Potecis de expoete turl. Defiició. El producto tiee sus siete fctores igules. Este producto se puede idicr de for brevid coo. se ll poteci, y l fctor, bse. El úero de veces

Más detalles

Solución del examen de Investigación Operativa de Sistemas de septiembre de 2004

Solución del examen de Investigación Operativa de Sistemas de septiembre de 2004 Solució del eame de Ivestigació Operativa de Sistemas de septiembre de 4 Problema (,5 putos: Ua marca de cereales para el desayuo icluye u muñeco de regalo e cada caja de cereales. Hay tres tipos distitos

Más detalles

16/11/2015. Tema 1: Números reales REALES. Racionales (Q) Irracionales (I) Naturales (N) REALES (I) (Q) (Z) (N)

16/11/2015. Tema 1: Números reales REALES. Racionales (Q) Irracionales (I) Naturales (N) REALES (I) (Q) (Z) (N) rrcioles () //0 Te : úeros reles úeros reles (rcioles e irrcioles) Aproxició de úeros reles L rect rel Vlor soluto tervlo y seirrects Potecis de expoete etero otció cietífic dicles Potecis de expoete frcciorio

Más detalles

Teoría Combinatoria. Capítulo 2. 2.1. Dos Principios Básicos.

Teoría Combinatoria. Capítulo 2. 2.1. Dos Principios Básicos. Capítulo 2 Teoría Combiatoria La Teoría Combiatoria es la rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de las formas de cotar Aparte del iterés que tiee e sí misma, la combiatoria tiee aplicacioes

Más detalles

INSTRUMENTOS FINANCIEROS Y COBERTURAS DE RIESGOS

INSTRUMENTOS FINANCIEROS Y COBERTURAS DE RIESGOS Maste de Cotabilidad, Auditoía y Cotol de Gestió INSTRUMENTOS FINANCIEROS Y COBERTURAS DE RIESGOS Cuso 007/008 Cuso 007/008 Maste de Cotabilidad, Auditoía y Cotol de Riesgos DEPÓSITO FORWARD-FORWARD Acuedo

Más detalles

DIRECCIÓN FINANCIERA I

DIRECCIÓN FINANCIERA I DIRECCIÓN FINNCIER I GRDO EN DMINISTRCIÓN DIRECCIÓN DE EMPRESS UNIVERSIDD DE VLLDOLID Este documeto ha sido elaboado po Susaa loso Bois, Pablo de dés loso, Valetí zofa Palezuela, José Maía Fotua Lido,

Más detalles

3. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

3. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Teorí ejercicios de teátics II. Álger Sistes de ecucioes lieles - -. SISTES DE ECUCIONES INEES. DEFINICION U ecució liel es u ecució de l for e l que, so los coeficietes de ls icógits, es el tério idepediete

Más detalles

BINOMIO DE NEWTON página 171 BINOMIO DE NEWTON

BINOMIO DE NEWTON página 171 BINOMIO DE NEWTON págia 171 Los productos otables tiee la fialidad de obteer el resultado de ciertas multiplicacioes si hacer dichas multiplicacioes. Por ejemplo, cuado se desea multiplicar los biomios cojugados siguietes:

Más detalles

Matemática 1 Capítulo 4

Matemática 1 Capítulo 4 Mtemátic Cpítulo 4 Comitori Ejemplo Cuáts comids diferetes que coste de u plto pricipl y u eid puede hcerse prtir del siguiete meú? Etrds Sop Esld Pltos priciples Pst Miles de pollo Filete de pescdo Beids

Más detalles

Binomio de Newton. Teorema: Sean a, b dos números reales no nulos, y sea n N un número natural. Entonces: a n k b k. n 1 a n 1 b + 2.

Binomio de Newton. Teorema: Sean a, b dos números reales no nulos, y sea n N un número natural. Entonces: a n k b k. n 1 a n 1 b + 2. Biomio de Newto Teorem del biomio de Newto Teorem: Se, b dos úmeros reles o ulos, y se N u úmero turl. Etoces: b b b b b b L expresió l derech se deomi el desrrollo biomil de b. Observmos que este desrrollo

Más detalles

CONVEXIDAD R 2. Conjuntos convexos. Combinación lineal convexa de m puntos. λ x. Ejemplos de conjuntos convexos en R 2

CONVEXIDAD R 2. Conjuntos convexos. Combinación lineal convexa de m puntos. λ x. Ejemplos de conjuntos convexos en R 2 Cojutos coveos Ejeplos de cojutos coveos e R CONVEXIDAD Cojutos coveos Coveidad de fucioes DEFINICION: U cojuto A es coveo cuado, y A y λ [0,] se cuple λ + ( λ) y A R λ + ( λ) y λ = / y λ = 0 Cojuto coveo:

Más detalles