POLINOMIOS DEF. Llamaremos polinomio en x con coeficientes en C a una expresión de la forma

Transcripción

1 POLINOMIOS DEF. Llamaremos poliomio e x co coeficietes e C a ua expresió de la forma px ( ) ax axax... ax dode a, a, a,..., a GRADO DE UN POLINOMIO DEF. Sea el poliomio e x co coeficietes e C px ( ) ax axax... ax si a el etero o egativo es el grado del poliomio, lo que represetamos co gr( p)

2 LA IGUALDAD DE POLINOMIOS DEF. Sea los poliomios e x co coeficietes e C f( x) y gx ( ) 0 m 0 a x bx Diremos que so iguales, lo que represetaremos co f ( x) g( x), cuado: ia ) bpara yb 0paramsi, m, ii) a b para, si m iii ) a b para m ya 0param, sim

3 LA ADICIÓN DE POLINOMIOS DEF. Sea los poliomios e x co coeficietes e C f( x) y gx ( ) 0 0 a x bx El poliomio f ( x) g( x) se defie como f ( x) g( x) ( a b) x 0 Si f(x), g(x) y h(x) so poliomios e x co coeficietes e C, etoces: i) f(x)+[g(x)+h(x)]=[f(x)+g(x)]+h(x)

4 ii) f(x)+g(x)=g(x)+f(x) iii) Existe u poliomio ( x) tal que f(x) + ( x) = f(x) iv) Existe u poliomio f(x) tal que f(x) +[- f(x)] = ( x) LA SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS DEF. Sea f(x) y g(x) dos poliomios e x co coeficietes e C, el poliomio f(x) g(x) se defie como f(x) g(x) = f(x) + [-g(x)] LA MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS DEF. Sea los poliomios e x co coeficietes e C

5 f( x) y gx ( ) 0 m 0 El poliomio ( ) ( ) a x bx f x g x se defie como f ( x) g( x) m 0 j0 c x dode c a b j j Si f(x), g(x) y h(x) so poliomios e x co coeficietes e C, etoces: i) f(x)[g(x)h(x)]=[f(x)g(x)]h(x) ii) f(x)g(x)=g(x)f(x)

6 iii) Existe u poliomio u(x) tal que f(x) u(x) = f(x) Si f(x), g(x) y h(x) so poliomios e x co coeficietes e C, etoces: i) f(x)[g(x)+h(x)]=[f(x)g(x)]+[f(x)h(x)] DIVISIBILIDAD FACTOR DEF. Sea f(x) y g(x) dos poliomios e x co coeficietes e C y g( x) 0: g( x ) es u factor de f(x) si existe u poliomio q(x) co coeficietes e C tal que f(x) = g(x)q(x) se dice etoces que f(x) es divisible etre g(x).

7 ALGORITMO DE LA DIVISIÓN Sea f(x) y g(x) dos poliomios e x co coeficietes e C. Si g( x) 0, existe dos poliomios úicos q(x) y r(x) co coeficietes e C tales que f(x) = g(x)q(x) +r(x) dode gr(r) < gr(g) o bie r(x)=0 DEL RESIDUO Sea p(x) u poliomio e x co coeficietes e C y cc. El residuo de dividir p(x) etre x c es igual a p(c). DEL FACTOR Sea p(x) u poliomio e x co coeficietes e C y cc. p(x) es divisible etre x c si y sólo si p(c)=0.

8 Divisió sitética Cuado se divide u poliomio etre u poliomio de la forma x c, se puede itroducir alguas simplificacioes al procedimieto geeral de la divisió hasta llegar a lo que se cooce como divisió sitética. RAÍCES DE UN POLINOMIO DEF. Sea p(x) u poliomio e x co coeficietes e C y sea u úmero complejo. es ua raíz de p(x) si p( )=0. FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA Si p(x) es u poliomio e x co coeficietes e C de grado mayor o igual que uo, etoces p(x) tiee al meos ua raíz e C.

9 Si p(x) es u poliomio e x co coeficietes e C de grado 1, etoces p(x) tiee raíces. Las raíces de u poliomio co coeficietes e Q puede ser de tres tipos: a) Raíces racioales. b) Raíces irracioales. c) Raíces complejas. RAÍCES RACIONALES Sea px ( ) ax a x... ax a u poliomio e x co coeficietes eteros, dode a 0, a0 0 y 1. Si u úmero racioal es raíz de p(x) y p q

10 es su míima expresió, etoces es u factor de y es u factor de a. a q 0 Sea p(x) u poliomio e x co coeficietes e R. Si a y b so dos úmeros reales tales que a < b y p(a), p(b) tiee sigos cotrarios, etoces p(x) tiee al meos ua raíz real e el itervalo a< <b. COTAS DE LAS RÍCES REALES Sea px a x a 1 ( ) ax 1... ax 1 0 u poliomio e x co coeficietes reales y a 0. i) Si s R, s>0, y o existe úmeros egativos e el tercer regló de la divisió sitética de

11 p(x) etre x-s, etoces para toda raíz real de p(x) se tiee que s. ii) Si t R, t 0, y los úmeros del tercer regló de la divisió sitética de p(x) etre x-t so alteradamete positivos y egativos, etoces para toda raíz real de p(x) se tiee que t. Los ceros e este tercer regló podrá cosiderarse positivos o egativos a efecto de lograr los sigos alterados. REGLA DE LOS SIGNOS DE DESCARTES Sea px ( ) ax x... ax a0 1 a 1 1 u poliomio e x co coeficietes reales y a0 0 ;

12 i) El úmero de raíces reales positivas de p(x) es igual al úmero de cambios de sigo e la secuecia de coeficietes del poliomio p(x), o meor que éste e u úmero par. ii) El úmero de raíces reales egativas de p(x) es igual al úmero de cambios de sigo e la secuecia de coeficietes del poliomio e x que se obtiee al sustituir x por x e p(x), o meor que éste e u úmero par. RAÍCES IRRACIONALES Sea p(x) u poliomio e x co coeficietes e Q. Si a b c, co b0 y c0, dode a y b so racioales y c es u irracioal, etoces a b c tambié es raíz de p(x).

13 RAÍCES COMPLEJAS Sea p(x) u poliomio e x co coeficietes e R. Si a bi, co b 0, es ua raíz de p(x) etoces a bi es otra raíz de p(x).