FACULTAD DE MATEMÁTICAS XLIII CONCURSO ANUAL DE MATEMÁTICAS DEL SURESTE FASE ABIERTA ÁLGEBRA

Transcripción

1 ÁLGEBRA Determinar el más grande de tres enteros impares consecutivos tales que el producto del primer entero y el segundo es más que el tercer entero. (2.5 minutos) Sean y tres enteros consecutivos impares. En el problema se establece que: Resolviendo para, se obtiene que: Como es impar, se descarta y así, el mayor número impar es: o

2 GEOMETRÍA PLANA En la figura, es diámetro de la circunferencia con centro en. interseca a en, interseca a en y interseca a en. Además y. Calcular la medida de. (5 minutos) Como es un ángulo central y es un ángulo inscrito que subtiende el mismo arco, entonces: En consecuencia, Dado que es un ángulo central y es un ángulo inscrito que subtiende el mismo arco, entonces: Por tanto,

3 ÁLGEBRA Determinar un número con dos dígitos, cuya suma de sus dígitos es y que cuando se invierten sus dígitos es menos que el número original. (2.5 minutos) Sea el número original. Entonces, la suma de sus dígitos es: En orden inverso el número es: Resolviendo el sistema de ecuaciones: Se obtiene que y. Por lo tanto, el número original es.

4 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA La probabilidad de que un estudiante de bachillerato no ingrese posteriormente a una facultad de ciencias ni a estudios de posgrado es De los estudiantes de bachillerato, la probabilidad de que ingresen posteriormente a una facultad de ciencias es 0.40 y la probabilidad de que ingresen a un posgrado es Determinar la probabilidad de que un estudiante de bachillerato ingrese posteriormente a una facultad de ciencias y a estudios de posgrado. (3 minutos) Sean los eventos: A: El estudiante de bachillerato ingresa posteriormente a una facultad de ciencias B: El estudiante de bachillerato ingresa posteriormente a un posgrado La probabilidad de que un estudiante de bachillerato ingrese posteriormente a una facultad de ciencias y a estudios de posgrado es.

5 ÁLGEBRA Determinar todos los números enteros positivos de tres cifras que son divisibles entre y. (2 minutos) Nótese que, es decir, y son primos relativos, entonces los números que son divisibles por éstos son exactamente los múltiplos de. Esto es, los números de tres cifras que son divisibles por y son: con

6 GEOMETRÍA PLANA Las longitudes de los lados de un triángulo son, y. Calcular las longitudes de sus tres medianas. (5 minutos) El es rectángulo con ángulo recto en, pues: Sean y los puntos medios de y respectivamente (ver la figura). B M P A N C Entonces, por el Teorema de Pitágoras se tiene que: Además, como es recto, entonces es diámetro de la circunferencia circunscrita al, así pues son radios de la circunferencia. Por tanto,

7 ÁLGEBRA Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: Donde, (3 minutos) Multiplicando las ecuaciones por y, respectivamente se obtiene: Sumando estas ecuaciones: Sustituyendo en, se tiene que: ( )

8 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA La probabilidad de que un hombre sobreviva 10 años más es ; estar acompañado de su esposa le da seguridad, si su esposa sobrevive al menos 10 años más, la probabilidad de que él sobreviva 10 años más es. La probabilidad de que su esposa sobreviva 10 años más es. Calcular la probabilidad de que al menos uno se encuentre vivo dentro de 10 años. (4 minutos) Sean los eventos: A: Que el hombre sobreviva 10 años más B: Que su esposa sobreviva 10 años más Así, y Donde, Entonces: ( ) ( ) La probabilidad de que al menos uno se encuentre vivo dentro de 10 años es.

9 ÁLGEBRA Determinar dos números tales que un número es el doble del otro y la suma de sus recíprocos es. (2 minutos) Sean y los números. Entonces: Sustituyendo en la segunda ecuación se obtiene que: De donde,

10 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA Determinar la probabilidad de que al lanzar un dado cuatro veces se obtengan por lo menos tres números iguales. (4 minutos) Para cada número 1, 2, 3, 4, 5 y 6 la probabilidad de que en todos los lanzamientos se obtengan todos los números iguales es ( ). Por otro lado, la probabilidad de que en los cuatro lanzamientos se obtengan tres números 1 y un número diferente a éste, es: ( ) ( ) Análogamente para los casos de los números dos, tres, cuatro, cinco y seis. Por lo tanto, la probabilidad de que se obtengan por lo menos tres números iguales es: ( ) ( ) ( ) ( )

11 GEOMETRÍA ANALÍTICA Y TRIGONOMETRÍA Probar que el ángulo entre las rectas tangentes a las circunferencias y en el punto es recto. (4 minutos) Sean y las rectas tangentes a las circunferencias y, respectivamente. T T Los centros de las circunferencias se ubican en y. La pendiente del radio determinado del centro de cada circunferencia al punto es: y Como las rectas tangentes son perpendiculares a los radios, sus pendientes son y, respectivamente. Dado que el producto de dichas pendientes es perpendiculares y, por tanto, forman ángulo recto., entonces las rectas son

12 PRECÁLCULO Sea la función y sea tal que: ( ) Obtener una expresión algebraica para la función. (2.5 minutos) ( ) Como para, ( ) Entonces, Por lo tanto, De donde,

13 GEOMETRÍA ANALÍTICA Y TRIGONOMETRÍA Tres personas, y ubicadas en la orilla de una playa (como se muestra en la figura) nadarán hasta un bote varado en el mar. La distancia entre y es de metros,, y. Calcular la distancia de al bote. D A 2m B C (5 minutos) Se tiene que y. Así, el Entonces, Aplicando la ley de senos, ( )

14 Además, en el, al aplicar la ley de senos se obtiene que: ( ) ( ) metros

15 PRECÁLCULO Determinar el dominio de la siguiente función y expresarlo en notación de intervalos: (3.5 minutos) El dominio del logaritmo se define para valores positivos, entonces se deberá cumplir que: Por propiedades del logaritmo, lo anterior equivale a determinar: Que a su vez, equivale a: Así que el dominio de la función dada, es:

16 GEOMETRÍA ANALÍTICA Y TRIGONOMETRÍA Un automóvil deportivo en una pista de carreras descrita por la ecuación pierde el control en el punto y continúa sobre la tangente a la pista en ese punto hasta golpear un poste en un punto. Determinar el valor de. (5 minutos) Como la recta tangente a la pista en el punto es perpendicular al radio en ese punto, con pendiente, entonces la ecuación de la tangente es: Como el vehículo sigue su trayectoria sobre la tangente, la ordenada del punto es tal que:

17 Sea definida por PRECÁLCULO { a) Bosquejar la gráfica de b) Determinar si la función es invertible y, en su caso, determinar su inversa. (3 minutos) a) b) En la gráfica se observa que la función es inyectiva y suprayectiva, entonces es invertible. Además, por la simetría de los puntos respecto a la recta. Por tanto, {

18 GEOMETRÍA ANALÍTICA Y TRIGONOMETRÍA Determinar la ecuación de la mediatriz del segmento de la recta limitado por los ejes coordenados. (3.5 minutos) Los extremos del segmento son las intersecciones de la recta con los ejes coordenados:, es el punto de intersección de la recta con el eje, es la intersección de la recta con el eje. Por otra parte, la mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento en su punto medio. Sea el punto medio del segmento de recta con extremos en y, entonces: ( ) Por otra parte, la pendiente de la recta dada es: De donde, la pendiente de la mediatriz es: Por tanto, la ecuación de la mediatriz del segmento es: ( )

19 PRECÁLCULO Sea definida por Determinar la función composición:. { (4 minutos) Si es par, es decir para algún. Entonces: Si es impar, es decir, para algún. Entonces:

20 GEOMETRÍA ANALÍTICA Y TRIGONOMETRÍA Sea un triángulo cuyo lado mide unidades, BC mide unidades y. Determinar todos los posibles valores del ángulo. (3 minutos) Por la ley de senos se tiene que: A' A Sustituyendo: B C De donde, Por tanto, o

21 PRECÁLCULO Sin usar derivadas, determinar el valor máximo de la función (5 minutos) La ecuación dada puede expresarse como una cuadrática en : Considerando la forma algebraica estándar de una cuadrática: Se tiene que, ; y Como, hay un valor máximo cuando: Esto es, cuando. Sustituyendo en : Por tanto, el valor máximo de la función dada es y se alcanza en.