UNIDAD 2. Semejanzas. 14 x

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1 UNIDAD 2 2. TEOREMA DE THALES: Si varias paralelas cortan a dos transversales, determinan en ellas segmentos correspondientes y proporcionales. Hipótesis: AA ' // BB ' // CC ' r, s, transversales AB y BC Segmentos correspondientes de r. A ' B ' y B ' C ' Segmentos correspondientes de s. Tesis: AB ' ' A B BC ' B C ' AC ' A ' C Las rectas a, b y c son paralelas. Halle la longitud de x 14 x, x 4, 2cm 10 Sabiendo que AB 15cm, BC 20cm y B ' C ' 24cm.Halla la longitud del segmento A 'B ' AB BC B ' B ' C ' 15cm 20cm luego B ' 24cm 15cm24cm B ' 18cm 20cm Alfonso López Asprilla, Apuntes de matemáticas 8º pág. 21

2 Ejercicios: 1) L 1 L2 L3, calcular EF, Si AC 12, AB 3 y DF 48 2) Calcular el valor de x en la figura. 3) AA ' BB ' CC ', hallar AC 4) La siguiente grafica muestra tres lotes que colindan uno a uno. Los límites laterales son segmentos perpendiculares a la calle 8 y el frente total de los tres lotes en la calle 9 mide 120 metros. Determine la longitud de cada uno de los lotes de la calle 9. 5) Las dimensiones de una fotografía son 6,5 cm por 2,5 cm. Si se quiere ampliar de manera que el lado mayor mida 26 cm, cuánto medirá el lado menor? 6) Sabiendo que Patricia tiene una altura de 58cm 1, halla la altura de la farola de la figura. Alfonso López Asprilla, Apuntes de matemáticas 8º pág. 22

3 2.1FIGURAS CONGRUENTES Y FIGURAS SEMEJANTES 2.1.1Figuras congruentes Al calcar las Figuras y superponerlas, se observa que coinciden exactamente, excepto en su posición, tal como se observa en el gráfico. Las figuras tienen la misma forma y el mismo tamaño; además, sus lados correspondientes son congruentes (tienen la misma medida) y, a su vez, sus ángulos correspondientes con congruentes. Dos figuras son congruentes si tanto los ángulos correspondientes como los lados correspondientes son congruentes. La relación de congruencia se simboliza con. Los dos triángulos son congruentes, ya que cumple: AB 23cm, DE 23cm, BC 44cm, EF 44cm, AC 40cm, DF 40cm. Por lo tanto, AB DE, BC EF, AC DF. A 84º, D 84º, B 53º, E 53º, C 43º, F 43º. Entonces, A D, B E, C F 2.2FIGURAS SEMEJANTES Dos figuras son semejantes cuando los ángulos correspondientes son congruentes y los lados correspondientes proporcionales. El cociente entre los lados correspondientes se llama la razón de semejanza o escala. Se designa por la letra k. La misma forma pero diferente tamaño. Alfonso López Asprilla, Apuntes de matemáticas 8º pág. 23

4 Explique por qué los cuadriláteros mostrados son semejantes. Indique cual es la razón de semejanza o escala. Solución: A X, B Y, C Z, D W AB BC CD DA 1 y que XY YZ ZW WX 2 Es decir, los ángulos correspondientes son congruentes y los lados correspondientes son proporcionales. La razón de semejanza o escala es 2 1 Ejercicios 1) Identifica cuál de las figuras de la parte inferior no tiene una pieza congruente en el rompecabezas. 2) Calcula la razón de semejanza de dos triángulos semejantes, si un lado del más pequeño mide 4 cm y el lado correspondiente del más grande mide 6 cm. 3) Halle la medida de los lados de un triángulo semejante a otro cuyos lados miden 5 cm, 9 cm y 12 cm, con razón de semejanza igual a 3. 4) Determine si un rectángulo que mide 6 cm de largo por 8 cm de ancho es semejante a uno de 15 cm de largo por 24 cm de ancho. 5) Dado un segmento de 20 cm, se construye otro semejante a él aplicando una escala k 0, 2. Cuánto mide este último? Alfonso López Asprilla, Apuntes de matemáticas 8º pág. 24

5 6) Halle el valor de la x en las siguientes figuras, si se sabe que cada par de triángulos son semejantes. 7)En un triángulo ABC, a 6cm, b 8cm y c 10cm. Calcula los lados de un triángulo A ' semejante al triángulo ABC, de perímetro igual a 36 cm. 2.3SEMEJANZA DE TRIANGULOS. Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos respectivamente iguales y sus lados proporcionales. El signo de semejanza es ~. AB BC CA A B B ' y C C ' y B ' B ' C ' C ' Entonces ABC ~ B ' C ' LADOS HOMOLOGOS. Son los lados que se oponen a los ángulos iguales en la figura anterior los lados homólogos. AB y A 'B ' ; BC y B 'C ' ; CA y C '. En general: Para determinar si dos triángulos son semejantes, basta con comprobar si cumplen algunos criterios que exigen menos condiciones que la definición CRITERIOS DE SEMEJANZAS DE TRIANGULOS Criterio 1: Ángulo - Ángulo (AA) Dos triángulos ABC y A ' son semejantes si tienen dos de sus ángulos correspondientes congruentes. A, B B ' entonces ABC ~ B ' C ' Alfonso López Asprilla, Apuntes de matemáticas 8º pág. 25

6 Los triángulos de la figura, son semejantes, pues cumplen el criterio ánguloángulo Criterio 2: Lado - Ángulo - Lado (LAL) Dos triángulos ABC y A ' son semejantes si tienen dos pares de lados correspondientes proporcionales y los ángulos comprendidos entre ellos son congruentes. Si AB CA A A ', entonces ABC ~ B ' C ' B ' C ' Al observar la figura, se puede afirmar que ABC ~, ya que se cumple el criterio 2 (LAL). La razón de proporcionalidad es: 3 2. Observe que: AC AB 5 7,5 7 10,5 2 3 (simplificando) Alfonso López Asprilla, Apuntes de matemáticas 8º pág. 26

7 Criterio 3: Lado - Lado - Lado (LLL) Dos triángulos ABC y A ' son semejantes si sus lados correspondientes son proporcionales. Sí AB BC B ' B ' C ' CA C ' Entonces ABC ~ B ' C ' Los lados del triángulo de la figura, miden el doble que los lados correspondientes del triángulo ABC, por lo cual se cumple que los lados de los triángulos son proporcionales Observamos que: 2 AB BC AC Según el criterio LLL, se deduce que ABC ~. En un triángulo ABC, A 35º, AB 3cm y AC 6cm. En otro triángulo DEF, D 35º, DE 6cm y DF 12cm. Son los triángulos ABC y DEF semejantes? Solución: Los dos triángulos tienen, respectivamente, un ángulo congruente: A D. Los lados correspondientes que determinan tales ángulos son proporcionales: AB AC 3 6 Reemplazando DE DF 6 12 Por tanto, según el criterio 3, ABC ~ DEF Nota: Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes. Alfonso López Asprilla, Apuntes de matemáticas 8º pág. 27

8 Ejercicios: 1) Determina si cada par de triángulos son semejantes o no. Indica el criterio que aplicaste en caso de que lo sean. 2) Qué valor debe tener k para que el triángulo MNO sea semejante al triángulo PQR? 3) Observe la figura y calcule AD y DE, si se sabe que DE es paralelo a BC. 4) Calcular la altura de la torre de la iglesia Alfonso López Asprilla, Apuntes de matemáticas 8º pág. 28