INTRODUCCION A LA SIMULACION DE MODELOS. Simulación es la descripción de un sistema a través de modelos que se pueden aplicar a varias disciplinas.

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1 Tema N 1 Definiciones INTRODUCCION A LA SIMULACION DE MODELOS Simulación es la descripción de un sistema a través de modelos que se pueden aplicar a varias disciplinas. La simulación esencialmente es una técnica que enseña a construir el modelo de una situación real, a la realización de experimentos del modelo. La simulación es una técnica numérica que se utiliza para realizar experimentos en una computadora para modelos lógicos, matemáticos que describen el comportamiento de los sistemas. Propiedades de los modelos para simulación Un modelo matemático de un sistema consta de 4 elementos: 1. Los componentes, variables, parámetros y relaciones funcionales. 1) Componentes.- son los elementos que son necesarios para poder simular un sistema y las relaciones que deben existir entre componentes. 2) Variables.- describen el estado del sistema o algunos componentes en un periodo determinado de tiempo. NOTA: en algunos momentos las entradas llegan a ser partes de las salidas a este proceso se llama retroalimentación. 3) Variables endógenas.- llamadas también variables dependientes o salidas del modelo son el resultado final de la simulación de algún sistema. 4) Parámetros.- las variables exógenas pueden ser utilizadas en dos formas diferentes. Determinadas ya sea por medio ambiente o por las que se toman decisiones. Relaciones funcionales Existen dos relaciones fundamentales con los modelos. 1. Las identidades que son formulaciones tautológicas. 2. Característica de operaciones que generalmente son expresiones matemáticas o puede ser que interviene el medio ambiente. Generación de números aleatorios Se denomina un número aleatorio a la secuencia de números que cumplen las siguientes propiedades. 1. Encontrarse uniformemente distribuidos.

2 2. Ser aleatorio en su secuencia o aparición. Existen algunos algoritmos que generan esta clase de número, pero que al hacer uso de esta relación matemática se los denomina generadores de números seudo-aleatorios entre ellos se tiene: 1. El cuadro de control de Von Newman 2. Los congruenciales, etc. El método del cuadro central Generan números aleatorios de del nuevo número., desde el cuadro del entero y la extracción de los Una aplicación puede ser para calcular AREAS con INTEGRALES en ese caso utilizaremos el método de MONTECARLO que consiste en: [ ] Utilice también el generador para la distribución uniforme. Hallar el área estimada de:

3 Donde el Generador congruencial A. Congruencial mixto.- los generadores congruenciales lineales generan una secuencia de números Pseudoaleatorios en la cual al próximo número Pseudoaleatorio es determinado a partir del último número generador y en este caso la relación de recurrencia es: Esta relación indica que es el residuo de dividir [ ]. Lo anterior significa que los valores posibles de son es decir representa el número posible de valores diferentes que pueden ser generados. NOTA 1: si el periodo de un generador es igual a completo. entonces el generador tiene periodo NOTA 2: el periodo de un generador depende de los parámetros.

4 Residuo Periodo =5=m Periodo =10=m 1. Selección del modulo a) Seleccionar de modo que sea el número primo más grande posible y sea menor que donde es la base del sistema (binario, decimal, hexadecimal, etc.) que se está utilizando y es el número de bits que tiene una palabra en la computadora del sistema. b) Seleccionar, cuando toma este valor se facilita el cálculo del número posterior ya que solo se recorre el punto binario o decimal a la izquierda del número. 2. Selección de El valor seleccionado de debe ser entero impar y además no debe ser divisible por 3 ni 5. Sin embargo también se sugiere el siguiente criterio para seleccionar el valor de. También se puede utilizar el valor de como: Cuando se trabaja en el sistema binario y cuando se trabaja en el sistema decimal. En ambos casos el valor de debe ser mayor o igual a. 3. Selección de

5 El valor para este parámetro puede ser cualquier constante para asegurar buenos resultados, el valor de debe ser un entero impar y relativamente primo a. 4. Selección de Para el congruencial mixto el valor de este parámetro resulta tener poca o ninguna influencia sobre las propiedades estadísticas de la asociación de números. Pruebas estadísticas para los números Pseudoaleatorios Puesto que cualquier variable aleatoria no uniforme (normal, exponencial, Poisson, etc.). Es obtenido a partir de números uniformes [ ] se debe tener cuidado en las pruebas estadísticas con respecto al generador de números pseudoaleatorios ya que cualquier deficiencia estadística en la distribución de la variable aleatoria no uniforme se deberá exclusivamente a la utilización de un deficiente generador de números pseudoaleatorios por consiguiente indicaremos algunas pruebas para probar la aleatoriedad de los números Pseudoaleatorios. 1. Prueba de frecuencias Probablemente una de las más importantes pruebas sobre aleatoriedad de los números pseudoaleatorios es la prueba de frecuencias. Esta prueba consiste: en dividir el intervalo [ ] en sub-intervalos para luego comparar para cada sub-intervalo la frecuencia observada con la frecuencia esperada. Si las frecuencias son parecidas entonces la muestra proviene de una distribución uniforme el estadístico que se utiliza en esta prueba es chi-cuadrado. El estadístico se compara con: Si Se acepta la hipótesis de que la muestra proviene de una distribución uniforme. Considere los números Pseudoaleatorios y la muestra.

6 ,20 0,40 0,60 0,80 1,0 Comparando: Proviene de una distribución uniforme y se acepta la hipótesis. Prueba de series

7 Universidad Salesiana de Bolivia Se utiliza para comprobar el grado de aleatoriedad entre números sucesivos. Usualmente esta prueba consiste en formar parejas de números. Las cuales son consideradas como coordenadas en un cuadrado unitario dividido en: En seguida se determina la celda a la que pertenece cada pareja ordenada con la cual se determina la frecuencia observada en cada celda. La frecuencia esperada de cada celda se obtiene al dividir el total de parejas coordenadas por el total de celdas finalmente conocida la frecuencia observada y esperada, de cada celda se obtiene el estadístico. ( ( )) Si: Si se verifica se acepta la hipótesis que los números aleatorios proviene de un a distribución uniforme /n 1/n 0 1/n 2/n... n -1/n ,80 0,60 0,40 0, ,20 5 0,40 2 0,60 6 0,

8 ( ) ( ) Prueba del poker Examina en forma individual los dígitos del número pseudoaleatorio en forma general. La forma como esta prueba se realiza es tomando 5 dígitos a la vez y clasificándolos como par, 2 pares, tercia, poker, quintilla, full y todos diferentes. Lo anterior significa que los números pseudoaleatorios generados son: de 5 dígitos cada uno o bien en caso de que el número tenga más de 5 dígitos solamente reconocerá los primeros 5. Las probabilidades para cada una de las manos de poker posibles son: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Con las probabilidades anteriores y con los números aleatorios generados se puede calcular la frecuencia esperada de cada frecuencia esperada de cada posible resultado. La cual al compararse con la frecuencia observada produce el estadístico.

9 Si n=100 (para todos los ejemplos) => k=4 9 8,56 Entonces: Prueba de la distancia Puede ser realizada de 2 maneras considerando los números pseudoaleatorios como dígitos o considerando como números reales. A) Como dígitos Consiste en contar el número de dígitos que aparece entre las ocurrencias sucesivas de un mismo digito por ejemplo: 0,58245 este tiene un hueco de tamaño 3 entre los cinco dígitos. Las probabilidades de cada uno de los tamaños del hueco está dado por: NOTA: sin embargo como teóricamente el valor del tamaño del hueco puede ser infinito, es conveniente agrupar las probabilidades para valores de a un determinado valor de tal sumatoria es:

10 B) Considerando como números reales Para realizar esta prueba es necesario seleccionar un intervalo A-B que sea subconjunto (0,1) enseguida para cada número pseudoaleatorio generado se pregunta si pertenece al intervalo (A-B). Si Hueco tamaño 3. La distribución de probabilidad del hueco es:

11 Si ,3 5 32*0,3=9, *0.21=6, *0,147=4, *0,1029=3, *0,07203=2, *0,05042=1, *0,03529=1, *0,02471=0, *0,01729=0, =n 9 32*0,01211=0, ,3 5 9,6 2, ,72 4, ,3 11 7,9968 1, ,7792 9,96896

12 Tema N 2 Generación de variables aleatorias Son métodos que permiten obtener una relación entre los números Pseudoaleatorios variable aleatoria. 1. Metodología de la transformada inversa De acuerdo a Montecarlo utiliza la probabilidad acumulada de esta variable siguiente manera. y la de la F(x) Probabilidad Acumulada 1.0 r x X=? para v.a. continua (distribución uniforme) F(x) Área =1 H a F(x) X b x Entonces: { Luego:

13 F(x) v.a. a=2 b=4 x 0, ,3828 0, ,24818 Aclaración: v.a. continúa distribución exponencial. F(x) { λ 0 x x [ ] ( ) [ ]

14 para el anterior ejemplo similar, valores de la v.a. x con v.a. discreta (distribución de Poisson) 0 0, , , , , , , ,1044 Entonces: v.a. continua (distribución normal )

15 F(x) Area=r Z Z generar valores de la v.a. con distribución normal y v.a. discreta ,13 0,46 0,90 0,98 v.a. continúa t 3-8 0,6 0, ,3 0, ,1 1,0 1.0 r 0,9 r 0,6 r 3 t 8 t 13 z 18

16 2. Método del rechazo Consiste en generar un valor de la variable aleatoria y enseguida probar que dicho valor simulado proviene de la distribución de probabilidad que se está analizando. Para comprender la lógica de este método suponga que es una distribución de probabilidad acotado y con rango finito es decir: de acuerdo a esta función de probabilidad la aplicación del método de rechazo implica el desarrollo de los siguientes pasos: Paso 1. Generar dos números uniformes. Paso 2. Determinar el valor de la v.a. de acuerdo a la siguiente relación lineal. Paso 3. Evaluar la función de probabilidad en Paso 4. Determinar si la siguiente desigualdad, se cumple: Si la respuesta es afirmativa se utiliza a como un valor simulado de la variable aleatoria de lo contrario es necesario pasar al Paso 1 tantas veces como se desee. NOTA: por otra parte conviene señalar que si todas las fueran aceptadas entonces estaría uniformemente distribuida entre. NOTA: finalmente es necesario mencionar que algunos autores han demostrado que el numero esperado de intentos para sea aceptada como una v.a. que sigue una distribución.

17 (Esto significa que este método podría ser un tanto ineficiente si la moda M es grande). Ejemplo 1. Se desea generar números al azar que sigan la siguiente distribución de probabilidad. { Solución: Paso 1. Paso 2. Paso 3. Paso 4.