Hacia la universidad Análisis matemático

Transcripción

1 Soluionrio Hi l universidd Análisis mtemátio OPCIÓN A. ) Define el onepto de funión ontinu en un punto. ) Si e e f( ), indi de form rzond en qué vlor no está definid f (). ) Clul el vlor R pr que l funión f( ) si g ( ) si se ontinu. ) Se R. f es ontinu en si f ( ) f(). Así pues, pr que f se ontinu en, dee ourrir que:. se un número del dominio de f.. Dee eistir f ( ), es deir, en ulquier intervlo entrdo en dee her números del dominio de f.. Dee eistir f( ) y ser el mismo número que f(). ) f no está definid en pues no se puede dividir por. Pr ulquier otro vlor de, eiste f(). f( ) si ) Se pide lulr pr que g () se ontinu. si Si, f es ontinu, por lo que lo serí g. e Si, g serí ontinu si g( ) g(), sí pues, f ( ) indeterminión del tipo, sí que, plindo el teorem de L Hôpitl, se tiene que e. Se present un e e e e, por lo que el vlor requerido es.. Considérese el reinto itdo por l urv Y y y l ret y : (, y ) (, y ) O X De entre los retángulos situdos omo en l figur nterior, determin el que tiene áre máim. Oservndo l figur, se ve que ls dimensiones del retángulo son y. Así pues, Áre ( ) on [, ] pues ls oordends del punto A son (,) Hy que hllr el máimo de f() ( ) en [, ].. f () ( ) 6 6, f () si ó. Se lul, pues, f(), f ( ) y f(), y se elije el de myor vlor. f() f ( ) y f(). Así pues, el retángulo de áre máim viene ddo por los puntos (, ), (, ), (, ) y (, ). 6 Soluionrio

2 . Se f un funión derivle en todos los puntos y tl que f(), f () y f (). Se g() l funión definid por [ ] g( ) f( ) 8 f( ). Clul rzondmente g (). g () f () f () 8 f () f () [ 6 f ( ) 8] y g () f () [ 6 ( ) 8] g () f () ( 6 f () 8) 6 ( ()) f (6 8) f 6 f () f (), por lo que:. Se I d. ) Epres I plindo el mio de vrile t. ) Clul el vlor de I. ) Hiendo t y dt d, se puede poner I d nuev vrile t, serí: I d ) I 5 t 5 t dt. 5 5 t dt t dt. ( 5 ) t t d, y mindo los límites de integrión l 5 t t Otén los máimos y mínimos reltivos, y los puntos de infleión de l funión f( ) ( ln( ) ) ln() el logritmo neperino de. f () (ln ) ln ln [ ln ]. siendo Así que f () solo si ó e on lo que los únios posiles máimos y mínimos reltivos son los puntos de sis y e. Como tmién se nos pide los puntos de infleión, se lul f () y se utiliz l epresión otenid pr deidir los etremos reltivos. f () [ ln ] ln [ ln ]. Se tiene, entones f () >, sí que P (, () ) f (e ) <, on lo que Q (, f ( e ) f (, ) es un mínimo reltivo. e, es un máimo reltivo. e e f () se nul solo si ln, es deir, e. si < e, f () <. si > e, f () >. Se tiene entones que el punto T (, f ( e )) e, es el únio punto de infleión. e e 6. Se f() un funión derivle en (, ) y ontinu en [, ], tl que f () y fórmul de integrión por prtes pr hllr f( ) d. [ f ( ) ] Como f ( ) d f () f ( ) d, es f ( d ) Así pues, f( ) d [ () ] f. f ( ) d. Utiliz l f( ) d f() f( ) d. Soluionrio 7

3 Soluionrio 7. Clul l se y l ltur de un triángulo isóseles de perímetro 8 y áre máim. Llmndo l se del triángulo e y los ldos igules del triángulo, se tiene que: Áre y. Como y 8, es y. Por tnto: Áre ( ) 6 8 (, ) pues si ó no hrí triángulo. Hy que enontrr, pues, el máimo de f en (, ). f () f(). (8 6 ) si ó si. El únio vlor que nul f () y que está en (, ) es. Si <, f () > y si >, f () <, sí que el punto de sis orresponde un máimo soluto de f() en (, ). Se tiene, pues, que l se del triángulo serí 8, por lo que d uno de los dos ldos igules tmién vldrí 8 8 ; el triángulo serí, pues, equilátero y su ltur será. 8. Se f l funión definid pr R;, por f( ). ) Determin, si es que eisten, el vlor de los límites: f( ) y f( ). ) Represent gráfimente l funión. ) f() Así pues: f ( ) f ( ) si < si > ( ) ( ) f ( ) no eiste porque f ( ) f ( ). Por otr prte, f ( ) ( ) f ( ) ( ) f ( ) f ( ), por tnto, f ( ) si < si < <. si ) Y O X 8 Soluionrio

4 OPCIÓN B. Determin el dominio, puntos de orte on los ejes oordendos, síntots, máimos y mínimos reltivos, puntos de infleión e intervlos de reimiento, dereimiento, onvidd y onveidd (onvidd hi rri y hi jo) de l siguiente funión: Y O f X - D( f) R {, } - f es reiente en (, ) (, ) (, ) - Cortes on los ejes: (, ) - f es dereiente en (, ) (, ) - Asíntots horizontles: y - Punto de infleión: no tiene - Asíntots vertiles: - f es ónv hi rri en (, ) (, ) (, ) - Máimo reltivo (, ) - f es ónv hi jo en (, ) (, ). Se R el retángulo del plno on vérties en los puntos V (, ), V (, ), V (, 9) y V (, 9). Demuestr que pr todo vlor de A l urv de euión y A ( A) ps por los vérties V y V y divide l retángulo en dos regiones. Clul el áre de dihs regiones y enuentr el vlor de A pr que l región situd por enim de l urv teng un áre dole que l situd por dejo de l urv. L urv dd ps por V (, ) se ul fuere el número A pues A ( A). Análogmente, ps por (, 9) pues 9 9A ( A) pr ulquier número A. Al trtrse de un práol (slvo que A ) y psr por los puntos (, ) y (, 9) su vértie tendrá ordend myor o igul que 9 si A < ó menor o igul que si A >. En mos sos, divide el retángulo en regiones. Si A, se trt de l ret y que tmién divide l retángulo en dos regiones, en este so de igul áre. Pr lulr el áre de ms regiones, se estudi por seprdo si A < ó si A >. Si A <, se otendrá el punto P, orte de l práol on l ret y 9. En este so, l práol siempre estrí (dentro del retángulo) por enim de l digonl que une V on V, sí que el áre de l región situdo por enim de l urv no podrí ser el dole del áre de l región situd por dejo. Se tiene, pues, que A > : Se lul el punto P, orte de l práol on l ret de euión y : y A ( A) A P : y. Como el áre del retángulo es 7, se otendrá A pr y A A que A ( A) d se 9, y sí l región por enim tendrí dole áre que est. A A ( A) d A A 9 A A ( A) 9A ( A) A A A 9. Resolviendo A ó A. Si A, el únio punto de orte de l gráfi on el eje horizontl es el origen, pero si A,, por A lo que el punto e fuer del retángulo. Así pues, l soluión pedid es A, l urv es y y el áre es d 9, siendo, entones, el áre del resto del retángulo 7 9 8, omo se pretendí. Soluionrio 9

5 Soluionrio. Hll siendo que l ret y divide en dos prtes, que tienen l mism áre, l región otd por l urv de euión y 9 y el eje de siss. L urv y 9 ort l eje de iss en los puntos y. Como (9 ) d ( 9 ) d 9 8 6, se pide hllr pr que (9 ) d 8. L urv y 9 ort l ret y en los puntos 9 y 9 9 Así pues, 9 ( 9 ) d 9 (9 ) d 8; es deir, 9 (9 ) d 9. Se tiene entones que: 9 ( 9 ) 9, de donde (9 ) 9 (9 ) 9 9, por lo que 7 (9 ) 9 9 y 9 9, de donde De l funión f( ), on, R, se se que ps por el punto (, ), y que tiene un síntot oliu uy pendiente es 6. ) Determin los vlores de y de l funión. ) Determin, si eisten, ls síntots vertiles de dih funión. ) Nos dien que f(), es deir, por m f ( ). Por otr prte, l pendiente, m, de un síntot oliu viene dd 6, on lo que 6 y. ) L funión es, por tnto, f() 6 6 y l ret 6 es síntot vertil pues, por ejemplo, f ( ) Hll los vlores, y de form que l funión f () se ontinu en el intervlo [, ], derivle en el intervlo (, ) y tl que f( ) f(): f() es ontinu pr. Se estudi uándo f () es ontinu en : f ( ) ( < si f( ) si ) y f ( ) ( ) f (). Pr que f () se ontinu en dee ser. Luego. f( ) y f (). Como h de ser f ( ) f (), entones. si < f '( ), f es derivle pr. Se estudi uándo f() es derivle pr : si f '( ) ( ) y f '( ). Pr que f () se ontinu en dee ser y, por tnto,. Por onsiguiente, si < f( ). si Soluionrio

6 6. Un lmén tiene form de prism reto de se udrd y un volumen de 768 m. Se se que l pérdid de lor trvés de ls predes lterles vle uniddes por m, mientrs que trvés del teho es de uniddes por m. L pérdid por el suelo es muy pequeñ y se puede onsiderr nul. Clul ls dimensiones del lmén pr que l pérdid de lor totl se mínim. Llmndo, e y ls dimensiones del prism, l pérdid de lor vendrá dd por l funión: P(, y) y. Como 768 y 768, es y y l pérdid de lor se podrá epresr omo 7 f(). >, sí que hy que enontrr el mínimo de f() en (, ). f (), por lo que f () si, o se, 8. Si < < 8, f () < y si > 8, f () >, on lo que est funión present en 8 un mínimo soluto y ls dimensiones del lmén son 8, 8 y m. 7. Consider un funión uy representión gráfi en el intervlo (, ) es l siguiente. ) Determin ls siss de sus puntos etremos reltivos. ) Estudi el reimiento y dereimiento de l funión en el intervlo (, ). ) Hz un esozo de l gráfi de l derivd de est funión. d) Siendo que l funión es de l form f (), enuentr de qué funión se trt. Y O f X ) f present máimos reltivos en los puntos de siss y y un mínimo reltivo si. ) f es reiente en (, ) y en (, ) y dereiente en (, ) y (, ). ) L derivd es positiv en (, ) y en (, ). L derivd es negtiv en (, ) y (, ). Como f present máimos reltivos en los puntos de siss y y un mínimo reltivo si, entones: f () f () f (). Y d) f() y f (), por lo que f () y f () Con est informión, es y 8. Además omo f(), se tiene y. Por tnto, f(). 8 8 O X 8. ) Enuni el Teorem Fundmentl del Cálulo Integrl. ) Apli diho teorem pr lulr ls siss de los máimos y mínimos loles de l funión f :R R definid por f( ) ( t t) dt sin efetur l integrión. ) El teorem fundmentl del álulo integrl firm que si f es ontinu en [, ] y F() ftdt () F es derivle y F () f()., entones ) Por el teorem nterior result que si f () ( t t) dt, es f (), por lo que f () si,,. Como f (), el punto de sis se trt de un máimo reltivo, pues f () <, y los puntos de siss y mínimos reltivos pues en ellos f se nul y f se he positiv. Soluionrio

7 Soluionrio Hi l universidd Prues gloles PRUEBA GLOBAL Opión A. (,5 puntos) Un jero utomátio ontiene 95 illetes de, y 5 euros y un totl de. Si el número de illetes de es el dole que el número de illetes de, verigu uántos illetes hy de d tipo. Si hy illetes de, y illetes de y z de 5, se tiene el sistem: y z 95 y 5z y y z 95 Resolviendo el sistem: y 5z y y z 5 5 Por tnto, el jero utomátio ontiene 5 illetes de, 5 illetes de y illetes de 5. αβ. (,5 puntos) Enuentr un sistem que teng por soluiones: y αβ z α β, donde α, β R. αβ De ls igulddes dds, se otiene: y αβ z α β de donde (, y, z) α(,, ) β(,, ). Por tnto, rg rg y. El primer rngo vle, y que z 5 entones el segundo rngo tiene que vler tmién, luego y y 5z. z Entones l euión on tres inógnits: y 5z tiene por soluiones: αβ y αβ z α β. ( punto) Ddos los vetores u (,,), v (,, ) y w (,,) se pide: ) Determin los vlores de pr los que los vetores u, v y w son linelmente dependientes. ) Justifi rzondmente si pr se umple l iguldd u ( v w) ) Se estudi el rngo de l mtriz uys fils son los vetores: A A ( ) ( ) ( ) si, ó. Si, ó los vetores son linelmente dependientes. por tener dos fils igules. ) u ( v w ). Soluionrio

8 z. ( puntos) Consider l ret r : y. ) De entre los plnos que ontienen l ret r, esrie l euión rtesin del que es prlelo l ret s de euiones: y z ) Hll l proyeión ortogonl de l ret r sore el plno otenido en el prtdo nterior. ) Un vetor de direión de l ret r es u (,, ) y un vetor diretor de l ret s es v (,, ). Por ontener l ret r, u es un vetor diretor del plno y por ser prlelo l ret s otro vetor de direión del plno es v. El punto P (,, ) es un punto de l ret r, y por ontener el plno l ret r, P tmién pertenee l plno que se us. y z L euión del plno será. Operndo, se otiene: π : y. ) L ret r está ontenid en el plno π : y, por tnto, l proyeión ortogonl de l ret r sore el plno es ell mism. 5. ( puntos) Se dispone de un hp de ero que puede representrse por l región del plno determind por l práol y y l ret y. ) Diuj l región que represent l hp y lul su áre. ) Determin ls dimensiones del retángulo de áre máim que se puede otener prtir de dih región on l ondiión de que uno de sus ldos esté en l ret y. ) Puntos de orte: A (, ) y Q ( ),. Áre ( ) d Y P A O Q X ) Pree que el prolem d entender que se trt del retángulo que, teniendo los dos vérties del ldo prlelo l ret y en l práol, tiene máim áre. Llmndo (, ) l vértie P, el prolem se redue enontrr pr que ( ) se máimo donde pues el punto Q, uy ordend es, tiene por sis. Se, pues, f() ( ) ( ). Se us el máimo de f en, : f () ( ) si ±, pero omo nos enontrmos en el intervlo,, entones. Como f() f ( ), ls dimensiones del retángulo son y, es deir, un udrdo de ldo. Soluionrio

9 Soluionrio 6. ( puntos) Clul l siguiente primitiv d, donde se supone que no es ero. ( ) Al trtrse de un oiente de polinomios, se intentrá ftorizr el denomindor. ( ) ( ) ( ) ( )( ) Así pues, se dee hllr d. ( )( ) A B A( ) B( ) Desomponiendo el integrndo en friones simples:, por lo ( )( ) ( )( ) que A( ) B( ) (si ). Tomndo, B y on, A, por lo que d ln ln C ( )( ) Si, hrí que resolver d C. ( ) Opión B. (,5 puntos) Determin ls mtries X que onmutn on l mtriz A, es deir, tles que AX XA. Se X z, supongmos que AX XA y t z z y t y t y z z z y z t y t y t y z z t Igulndo término término y simplifindo se otienen utro euiones: y t y z Suprimiendo l urt euión, que es igul l primer, se resuelve el sistem formdo por ls otrs tres: y z y z z t z t, donde se puede ver que l primer euión se otiene omo rest de ls y t y t λμ y z y λ otrs dos, por lo que el sistem dependerá de dos prámetros: z t z λ t μ Ls mtries usds son de l form: X λ μ λ λ μ. (,5 puntos) Estudi el rngo de l mtriz siguiente, medinte trnsformiones de fils y olumns, indindo en d so ls trnsformiones relizds: M. Pr el álulo del rngo, son válids ls siguientes trnsformiones: F FF M F FF () C C C C () Si se s en F y en F. Si rg (M) Si rg (M) Si rg (M) Si rg (M). Soluionrio

10 . (,5 puntos) Dds ls rets y 6 r : z y y s :. y z ) Averigu si eiste lgún vlor de pr el ul ls rets están ontenids en un plno. En so firmtivo, lul l euión de diho plno. ) Determin, undo se posile, los vlores de pr los ules ls rets son prlels y quellos pr los que se ruzn. ) Se esrien ls rets r y s en form prmétri y se otiene un punto y un vetor diretor de d ret: t r : y t P(,, ) y u,,. Se tomrá omo u (,, ) pues es prlelo l nterior. z t t s: y t Q(,, ) y v (,, ). z t Pr que estén en el mismo plno, los vetores u, v y QP (,, 5) hn de umplir que:. 5 Por tnto, y en este so u (,, ) y v (,, ). Un vetor norml del plno es: n (,, ) (,, ) (,, ) El punto P(,, ) pertenee tmién l plno, luego l euión del plno usd es: ( ) ( y ) ( z ) y z 7 ) Por los resultdos otenidos en el prtdo nterior: No eiste ningún vlor de pr el que ls rets sen prlels. Si ls rets se ruzn.. (,5 puntos) Ddos los puntos A(,, ), B(,, ), C(,, ) y D (,, ) : ) Clul el áre determind por el triángulo de vérties A, B y C. ) Clul l medid de l ltur h que prte del vértie B en el triángulo ABC. ) Clul el volumen del tetredro determindo por A, B, C y D. d) Clul l medid de l ltur H que prte del vértie D en el tetredro ABCD. i j k 7 ) Áre (ABC) AB AC det (,, 7),5 u ) L medid de h oinide on l distni de B l ret AC. Un vetor diretor de est ret es v (,,) y un punto de l ret BA v (,,) (,, ) 7 7 AC es A (,,). Por tnto: dbac (, ) u v (,,) 7 det AB, AC, AD det u ) Volumen (ABCD) ( ) d) El plno determindo por A, B y C es: y z π : z. z Por tnto, dd (, π ) u,, ( ) A H D h C B Soluionrio 5

11 Soluionrio 5. ( puntos) Dd l funión f ( ) e si. si > ) Determin los vlores de y pr los que f umple ls ondiiones del teorem del vlor medio en el intervlo [, ]. ) Pr los vlores de y luldos en el prtdo nterior, hll el punto [, ] uy eisteni grntiz el teorem del vlor medio. ) Pr los mismos vlores de y de, se umplen ls ondiiones del teorem de Rolle en [, ]? ) Pr que se umpln ls ondiiones del teorem del vlor medio h de verifirse: f ontinu en [, ]: Si f es ontinu por trtrse de omposiión de funiones ontinus. Si : f( ) ( e ) f () y f( ) ( ). f es ontinu en si. f derivle en (, ): e si < Si f es derivle y demás f () si > Si : f '( ) ( e ) y f '( ) f es derivle en si demás. Es deir, si. e si Resolviendo el sistem se otiene. Por tnto, f ( ) si > ) Por el teorem del vlor medio, eiste [, ] tl que f( ) f() f () ( ). e e Es deir, f '( ) ( ) f '( ). Busquemos este vlor: 6 Si < : e e. Resolviendo, ln ln(e ),5, que no es posile porque se suponí <. 6 Si > : e. Resolviendo, e,7, que es el vlor usdo. 6 ) Pr verifirse ls ondiiones del teorem de Rolle, demás de ls nteriores dee umplirse f() f( ). e f() f( ). Entones no se verifin tods ls hipótesis del teorem de Rolle. 6. ( puntos) Hll el áre omprendid entre l urv y 9, el eje de siss y ls rets vertiles que psn por los puntos de infleión de dih urv. En primer lugr se hlln los puntos de infleión de l funión: 8 ( ) y ' y '' (9 ) ( 9 ) y. Además estos puntos son puntos de infleión, porque l funión mi de urvtur en estos puntos. Por tnto, se us el áre itd por l urv y 9 y ls rets y, y π π d rtg u. 6 9 O d I d d 8 d Y X 6 Soluionrio

12 PRUEBA GLOBAL Opión A. ( puntos) Sen ls mtries A, B. ) Estudi si eiste l mtriz invers de A y, si es sí, lúll. ) Determin un mtriz X que verifique l euión AB AXA. ) Como A 9, l mtriz A tiene invers. L mtriz djunt de A es: Adj(A) 5 7 Luego A A (Adj (A))t ) AB AXA A ABA X X BA X ( puntos) Disute y resuelve en funión del vlor de, el sistem 5z 7 y z. y z L mtriz del sistem es A 5 det(a) ( ) si ó. Si, el sistem es omptile determindo porque rg(a) rg(a*). Se resuelve el sistem utilizndo l regl de Crmer: , 8 y ( ) 7, z 5 7 Si. rg(a), pues, y rg(a*), pues 8. El sistem es inomptile. 5 7 Si. rg(a), pues, y rg(a*), pues. El sistem es inomptile.. ( puntos) Ddos los plnos π : y z ; π : y ; y π : ( ) z, determin los vlores de pr los ules: ) Los plnos se ortn en un solo punto. ) Los plnos se ortn en un ret. y z Hy que resolver el sistem: y ( ) z L mtriz del sistem es A y l mtriz mplid es A*. det (A) ) Si. rg(a) rg(a*), por tnto, el sistem es omptile determindo y los tres plnos se ortn en un punto. ) Si. rg(a), pues. rg(a*), pues todos los determinntes de los menores de orden se nuln. Como rg(a) rg(a*) el sistem es omptile indetermindo y los plnos se ortn en un ret. Soluionrio 7

13 Soluionrio y z. ( puntos) Ddo el plno π: y z, y l ret r :, se pide: ) Clul el punto Q en el que se ortn el plno π y l ret r. ) Enuentr un plno π, prlelo π, tl que el punto Q en el que se ortn el plno π y l ret r esté distni del punto Q hlldo en el prtdo nterior. t ) Se esrie l ret r en form prmétri: r : y t z t Se sustituye en l euión del plno: t t t. Por tnto, t. El punto de orte de l ret r y el plno π es Q(,, ). ) Por ser π y π prlelos tendrán igul vetor norml. Por tnto, un vetor norml del plno π es n (,,). R(,, ) es un punto del plno π, por tnto, l euión del plno que se us es: ( ) (y ) (z ). Operndo, π : y z. Se hll el punto de orte de l ret r y el plno π. Pr ello se sustituye en l euión del plno l euión prmétri de l ret: t t t. Resolviendo, t. 5 Por omodidd se llm k. Luego el punto de orte de l ret r y el plno π es Q ( k, k, k ). 5 Además, se dee verifir que d(q, Q ). Por tnto: k si k > d(q, Q ) d((,, ),( k, k, k )) 9k { k si k < Por tnto, k ó k. Luego ó. 5 5 Por tnto, ó, por lo que se otienen dos soluiones distints: π : y z ó π : y z. 5. ( puntos) En gosto de 58 el mtemátio Ludovio Ferrri le propuso su oleg Niolo Fontn, poddo Trtgli, el siguiente prolem: Hll dos números reles no negtivos uy sum se 8, de mner que su produto multiplido por su difereni se máimo. Otén ls soluiones de este prolem on dos deimles de proimión. Llmndo e y dihos números, se tiene que her máimo P y( y). Como y 8, es y 8 y P (8 )( 8) ( ) f(). Se dee her máim l funión f() en el intervlo [, 8] pues y si fuer myor que 8, y serí negtivo. Se otiene f (): f () ( ). ± 9 ± 8 f () si ±. 6 6 Ams soluiones están en (, 8), sí que el máimo pedido se enontrrá en lguno de estos utro números:, 8,,. 8 f(), f(8), f 8 f 8 Así pues, el máimo pedido se enuentr en 8. 8., on lo que los números pedidos son, que on dos deimles de proimión son 6,, y,69. y 8 Soluionrio

14 6. ( puntos) Clul un polinomio de terer grdo siendo que se verifi que: p( ) d i) Tiene un máimo reltivo en. ii) Tiene un punto de infleión en el punto de oordends (, ). iii) 5 pd ( ) Por l ondiión i) es p (). Por ii) es p() d y p (), sí que p(). Finlmente, por iii) es ( ) d 5. Así pues, y, de donde y y p() Opión B. ( puntos) ) Si A es un mtriz y R, uándo se umple que rg(a) rg(a)? Justifi l respuest. ) Estudi, en funión de los vlores de, el rngo de l mtriz: B ) Si y A no es l mtriz nul: rg(a) rg(a), pues rg(a) y rg(a). Si, se verifi que rg(a) rg(a) pr todo vlor de, pues ms mtries tienen el mismo número de fils linelmente independientes, y que si se s el ftor omún de l mtriz A, el rngo no vrí. F F F ) F F F Ls fils primer y terer son linelmente independientes. Si, l fil segund es independiente. En mio, si, l fil es linelmente dependiente por ser l fil nul. Si rg(b) Si rg(b). (,5 puntos) Resuelve l euión. () () ( ) () ( ) () ( ) ( )( )( )( ) () Sumndo l primer olumn ls otrs tres () Sndo ( ) ftor omún de l primer olumn. () Restndo tods ls fils l primer () Desrrollndo por l primer olumn. Luego ls soluiones de l euión son: ( ); ; y. Soluionrio 9

15 Soluionrio y z. (,5 puntos) Dds l ret r : y l ret s, determind por los puntos P(,, ) y y z Q(,, ), se pide hllr pr que ests rets estén ontenids en un plno. Esrie l euión generl de diho plno. Se esrien ls rets r en form prmétri y se otiene un punto y un vetor diretor de d ret: 6t r : y t P(6,, 5) y u (,, ). z 5 t s: P(,, ) y v PQ (,, ). Pr que estén en el mismo plno, los vetores u, v y PQ hn de umplir que rg( u, v y AP ) : 5. 5 Por tnto, y, en este so, u (,, ) y v (,, ), luego l euión del plno es: y 5y z 9 z. (,5 puntos) Clul el áre determind por el triángulo de vérties A(,, ), B(,, ) y C(,, ) y hll l medid de l ltur de diho triángulo que prte de A y es perpendiulr l ldo determindo por B y C. Áre (ABC) 97 AB X AC (,, 5) (,, 5) 5,6 u L ltur es l distni de A l ret BC : AC u (,,5) ( 5,, ) 97 d(a, r) 6,u u 5,, 6 ( ) 5 Soluionrio

16 5. ( puntos) Se g() un funión ontinu y derivle pr todo vlor rel de, de l que se onoe l siguiente informión: > pr todo (,) (, ) i) g ( ) > pr todo (, ) ii) g ( ) iii) g( ), g(), g() iv) g ( ), g ( ), mientrs que g ( ) y g ( ) < pr todo (,) < pr todo (,) (, ) Teniendo en uent los dtos nteriores: ) Anliz rzondmente l posile eisteni o no eisteni de síntots vertiles, horizontles y olius. ) Diuj de mner esquemáti l gráfi de l funión g(). ) No hy síntots vertiles pues g es ontinu en R. Hy síntots horizontles por l dereh, l ret y. Puede her, o no, un síntot por l izquierd. ) Y O X 6. (,5 puntos) Estudi los siguientes límites: ) ( e ) ) 5 6 ) ( ) ) ( ) e e y omo e pues e e e ) ) ( ) Soluionrio 5

17 Soluionrio Nots: 5 Soluionrio

18 Nots: Soluionrio 5