1. EXPERIMENTOS ALEATORIOS.SUCESOS Se llama experimento aleatorio a aquel en el que no se puede predecir el resultado.
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- Marcos Blázquez Rubio
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1 UNIDAD 8: PROBABILIDAD 1. EXPERIMENTOS ALEATORIOS.SUCESOS 2. CONCEPTO DE PROBABILIDAD. REGLA DE LAPLACE 3. PROBABILIDAD CONDICIONADA. INDEPENDENCIA DE SUCESOS 4. PROBABILIDAD COMPUESTA 5. PROBABILIDAD TOTAL 6. TEOREMA DE BAYES 1. EXPERIMENTOS ALEATORIOS.SUCESOS Se llama experimento aleatorio a aquel en el que no se puede predecir el resultado. Un experimento determinista es aquel en el que, repetidas en las mismas condiciones, siempre se obtiene el mismo resultado. Ejemplo.- Si tiramos una moneda y observamos el resultado, es un experimento aleatorio porque, a priori, no podemos predecir el resultado. Si cogemos un lápiz con la mano sabemos que, si lo soltamos, se caerá. Es un experimento determinista. Espacio muestral: Se llama espacio muestral de un experimento aleatorio al conjunto de todos los posibles resultados de dicho experimento. Lo designaremos por E. Se llama suceso a cada uno de los posibles resultados de dicho experimento aleatorio. Un suceso compuesto de un experimento aleatorio es el conjunto formado por 2 o más sucesos de dicho experimento. Ejemplo.- Lanzamos un dado. El espacio muestral es E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Salir par = {2, 4, 6} Múltiplo de 3 = {3,6} Obtener número impar = {1, 3, 5} Se llama suceso seguro a aquel que siempre ocurre. Este suceso coincide con el espacio muestral. El suceso imposible se representa por y es aquel que nunca ocurre. Por ejemplo, si tiramos un dado el suceso salir 8 es un suceso imposible. Se llama suceso contrario o complementario de un suceso A, a aquel que ocurre cuando no ocurre A. Se representa por A o A C. Ejemplo.- En la tirada de un dado si A = {1, 2, 5, 6}, entonces A = {3, 4}. María de la Rosa Sánchez Página 1
2 EJERCICIOS 1. En el lanzamiento de dos dados, describe: a. El espacio muestral. b. A: La suma de puntuaciones es 7 c. B: Ambas puntuaciones son iguales d. C: Las puntuaciones se diferencian en 2 puntos 2. Lanzamos una moneda y un dado. Describe el espacio muestral. 3. En el lanzamiento de 3 monedas, describe los sucesos: A: Salir 2 caras B: Salir al menos una cara C: No salir cruz 4. Se tiran dos dados y se suman los puntos de las caras superiores. Describe el espacio muestral. OPERACIONES CON SUCESOS Dados los sucesos A y B, se define su unión y se escribe A B, como aquel suceso que ocurre cuando lo hace A o B. Está formado por todos los sucesos de A y todos los de B. Se define la intersección de A y B y se representa por A B, como aquel suceso que ocurre cuando lo hace A y B simultáneamente. Está formado por los sucesos comunes a A y a B. Se define la diferencia de A y B, y se escribe A B como aquel suceso que ocurre cuando lo hace A pero no B. Dos sucesos son incompatibles si no pueden ocurrir a la vez, es decir, si su intersección es el suceso imposible. PROPIEDADES 1. Conmutativa: A B = B A A B = B A 2. Asociativa: A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C 3. Distributiva: A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) 4. Complementaria: A A = E A A = φ 5. Leyes de Morgan: ( A B) = A B ( A B) = A B María de la Rosa Sánchez Página 2
3 EJERCICIOS.- 1. Se lanza un dado y se consideran los sucesos: A: Salir par B: Salir impar C: Salir menos de 3 D: Salir más de 4 Determina A B, A C, A, B, C, A B y B D 2. Si C representa el suceso ser copas de una baraja española de 40 cartas y F el suceso ser figura, determina el suceso C F. 3. Se considera una urna con 9 bolas numeradas del 1 al 9. Sacamos una bola, miramos el número y la devolvemos a la urna. Se consideran los sucesos: A: Salir número primo B: Salir número impar C: Salir múltiplo de 3 Calcula: a) A B b) B C c) ( A B) C d) A B e) B C f) A B 2. CONCEPTO DE PROBABILIDAD. REGLA DE LAPLACE La probabilidad de un suceso es la medida de las posibilidades que tiene de verificarse dicho suceso al realizar el experimento aleatorio. La Regla de Laplace afirma que, en un experimento aleatorio con el espacio muestral formado por sucesos equiprobables (tienen la misma posibilidad de ocurrir), la probabilidad de un suceso A es: Nº casos favorables P(A) = Nº casos posibles Ejemplo.- En el lanzamiento de una moneda P(cara) = 1 2. En la tirada de un dado la probabilidad de que salga un 1 es 1 6 María de la Rosa Sánchez Página 3
4 En el lanzamiento de dos dados, la probabilidad de obtener una suma de 8 puntos es P(A) = 5 36 Ejercicio.- Se considera el experimento aleatorio estudiar las familias de 3 hijos por su sexo y se consideran los sucesos: A: El hijo mayor es varón B: Los tres hijos tienen igual sexo C: Ningún hijo es varón Describe los sucesos E, A, B, C, A B, A C, A B y B y calcula sus probabilidades. PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD 1. La probabilidad de un suceso es un número comprendido entre 0 y 1. Valdrá 0 para el suceso imposible y 1 para el seguro: 0 P(A) 1 2. P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Si A y B son incompatibles P(A B) = 0 P(A B) = P(A) + P(B). 3. P(A) = 1 P(A) EJERCICIOS 1. Consideramos el experimento aleatorio lanzar dos dados. Calcula la probabilidad de que ocurran los siguientes sucesos y señala dos sucesos que sean incompatibles: A: Suma de puntos es igual a 7 B: La diferencia de puntos es 1 C: La puntuación es igual en cada dado D: La suma de puntuaciones es distinta de 7 F: La suma de puntuaciones es 8 G: La diferencia de puntuaciones es Se sabe que P(A) =, P(B) = y P(A B) =. Calcula: a. Probabilidad de que se cumpla A o B b. Probabilidad de que no se cumpla A y si B. c. Probabilidad de que se cumpla uno solamente. d. Probabilidad de que no se cumpla ni A ni B. María de la Rosa Sánchez Página 4
5 3. PROBABILIDAD CONDICIONADA.INDEPENDENCIA DE SUCESOS En una urna hay 5 bolas rojas y 4 verdes. Se extrae una bola y, sin devolverla a la urna, se hace una segunda extracción. Pretendemos calcular la probabilidad de que la 2ª bola sea verde. 1ª Bola 2ª Bola 4 8 R 5 9 R 4 8 V R V 3 8 V En este caso, la probabilidad del suceso la 2ª bola es verde está condicionado al resultado de la primera extracción. Se llama probabilidad condicionada del suceso B condicionado a A, y se escribe P(B / A), a la probabilidad de que ocurra el suceso B suponiendo que ha ocurrido A. Esta probabilidad se calcula: P(A B) P(B / A) =, con P(A) 0 P(A) María de la Rosa Sánchez Página 5
6 En el ejemplo anterior: ( oja) P 2ª V / 1ªR 4 5 P(2ª V 1ªR) = = = = P(1ªR) Ejemplo.- En una clase de 22 alumnos, 7 alumnos son aficionados al baloncesto, 12 son aficionados al fútbol y 6 a ambos deportes. Si elegimos un alumno al azar, calcula la probabilidad de que: a) Sea aficionado al fútbol, sabiendo que es aficionado al baloncesto. b) Sea aficionado al fútbol, sabiendo que no es aficionado al baloncesto. A partir de la probabilidad condicionada se tiene que P(A B) = P(A / B) P(B) Dos sucesos son independientes si la ocurrencia de uno no influye en la del otro. Si dos sucesos son independientes P(A B) = P(A) P(B) Si A y B son independientes P(A / B) = P(A) P(B / A) = P(B) EJERCICIOS 1. En una ciudad el 60 % de sus habitantes es partidario de hacer el centro peatonal, el 30 % de restringir el tráfico en la zona centro y el 25 % de compaginar ambas medidas: cortar el tráfico en algunas calles y restringirlo en otras. a) Si una persona es partidaria de hacer el centro peatonal, cuál es la probabilidad de que también sea partidaria de restringir el tráfico? b) Si una persona no es partidaria de hacer el centro peatonal, cuál es la probabilidad de que tampoco sea partidaria de restringir el tráfico? 2. Extraemos dos bolas de una urna en la que hay 4 bolas blancas, 3 rojas y 2 negras. Calcula la probabilidad de que la primera sea blanca y la segunda roja si: a) Anotamos el color de la primera y la devolvemos a la urna. b) No devolvemos la primera bola a la urna. 3. Extraemos 2 bolas de una urna en la que hay 5 bolas rojas, 2 azules y 3 blancas. Calcula la probabilidad de que la segunda bola sea roja si la primera lo es y no la hemos devuelto a la urna. 4. Sabiendo que P(A B) = 0,55, P(A) = 0,4 y P(B) = 0,35. Son independientes A y B? 4. PROBABILIDAD COMPUESTA En ocasiones hay que calcular probabilidades de experimentos compuestos: Se lanza una moneda (equilibrada) cuatro veces. Determina la probabilidad de obtener un número impar de caras. Una urna contiene 10 bolas blancas y 5 negras. Se extraen 2 bolas al azar sin reemplazamiento. Cuál es la probabilidad de que sean del mismo color?. María de la Rosa Sánchez Página 6
7 3 hombres A, B y C disparan a un objetivo. Las probabilidades de que cada uno de ellos alcance el objetivo son 1/6, 1/4 y 1/3 respectivamente. Calcula: a) La probabilidad de que todos alcancen el objetivo. b) La probabilidad de que ninguno alcance el objetivo. c) La probabilidad de que, al menos uno de ellos alcance el objetivo. 5. PROBABILIDAD TOTAL Sean A 1, A 2,,..,A n sucesos tales que: - Son incompatibles 2 a 2. - Su unión es el espacio muestral Entonces n = i= 1 P(B) P(B / A ) P(A ) i i EJERCICIOS.- 1. Una empresa elabora sus piezas en 3 factorías. El porcentaje de piezas defectuosas y del total de producción en cada factoría viene recogido en la siguiente tabla: F 1 F 2 F 3 Producción 60 % 25 % 15 % Defectuosas 1 % 4 % 2 % Halla la probabilidad de que una pieza elegida al azar sea defectuosa. 2. Disponemos de una urna verde y otra azul. La verde contiene 3 bolas blancas y 2 negras y la azul 4 blancas y 1 negra. Lanzamos una moneda al aire y, si sale cara, se saca una bola de la urna verde y si sale cruz, una de la azul. Cuál es la probabilidad de que la bola sea blanca? 3. En cierta población, un 20 % de los trabajadores lo hace en la agricultura, un 25 % en la industria y el resto en el sector servicios. Un 63 % de los que trabajan en el campo son mayores de 45 años, siendo ese porcentaje del 38 % y el 44 % en los otros 2 servicios. Seleccionando un trabajador al azar, qué probabilidad hay de que tenga menos de 45 años? 4. El volumen diario de producción de tres plantas diferentes de una fábrica es de 500 unidades en la 1ª, 1000 en la 2ª y 2000 en la 3ª. Sabiendo que el porcentaje de unidades defectuosas producidas en cada planta es del 1 %, 0,8 % y 2 %, respectivamente, calcula la probabilidad de que, al seleccionar una unidad al azar sea defectuosa. 6. TEOREMA DE BAYES Tenemos 3 urnas: A 1: 2 R y 3 N A 2: 3 R y 7 N María de la Rosa Sánchez Página 7
8 A 3: 4 R y 4 N Se extrae una bola y, sabiendo que es roja, nos planteamos determinar la probabilidad de que proceda de A 1. Esta probabilidad se llama a posteriori, ya que el suceso ya se ha producido. Teorema de Bayes.- Sean A 1, A 2,,..,A n sucesos incompatibles 2 a 2 tales que A A... A = E. Sea B un suceso cualquiera del espacio muestral, entonces: 1 2 n P(B / A ) P(A ) i i P(A i / B) =,con P(B) 0 P(B) 1 2 P(R / A 1) P(A 1) 1 Así, en el problema planteado: P(A / R) = = = P(R) 0, En un edificio se usan 2 ascensores. El primero lo usan el 45 % de los inquilinos y el resto de los inquilinos utilizan el 2º. El % de fallos del 1º es del 5 %, mientras que el del 2º es del 8 %. Si un cierto día un inquilino queda atrapado en el ascensor, calcula la probabilidad de que haya sido en el 1º. Sol: 0, El 20 % de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20 % son economistas. El 75 % de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50 % de los economistas también, mientras que de los no ingenieros y no economistas solamente el 20 % ocupa un puesto directivo. Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero? María de la Rosa Sánchez Página 8
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