Primer Examen Parcial Tema A Cálculo Vectorial Septiembre 26 de 2017
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- Felisa Yolanda Venegas Espinoza
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1 Primr Examn Parcial Tma A Cálculo Vctorial Sptimbr 6 d 17 Est s un xamn individual, no s prmit l uso d libros, apunts, calculadoras o cualquir otro mdio lctrónico Rcurd apagar y guardar su tléfono clular Toda rspusta db star justificada matmáticamnt Firm y ntrgu l nunciado junto a la hoja d xamn Timpo máximo 1 hora y minutos Nombr: Código: 1 Uno d los siguints límits no xist, diaga cuál s y por qué: (4 puntos (a lím (x,y (, (x y xy x, (b lím + y (x,y (, x + y Considr las funcions f(x, y, x y y g(u, v ln u, v sn u i Escriba una fórmula para la función compusta f g ii Calcul, usando la rgla d la cadna, D(f g(π,, s dcir la drivada d la función compusta n l punto (π, (6 puntos 3 Considr las suprficis sféricas x + y + z 4 y x + y + z 4y n R 3 i Dmustr qu l punto (, 1, 3 stá n ambas suprficis ii Encuntr la cuación dl plano tangnt a cada sfra n st punto iii Encuntr la cuación d la rcta d intrscción d stos dos planos n l spacio (6 puntos 4 Considr la función f(x, y xy 1 x4 1 y4 + 1 i Encuntr y clasifiqu (n máximos, mínimos, puntos d silla los puntos críticos d f ii Encuntr los xtrmos absolutos d f sujta a la rstricción x + y (1 puntos 5 Considr l campos vctorial F(x, y, z x 3 y, xz, yz 3 i Dmustr qu l campo F no s un gradint (i no xist un campo scalar f para l cual F f ii Dmustr qu l campo F no s un rotacional (i no xist un campo vctorial G para l cual F G (4 puntos
2 Primr Examn Parcial Tma A Cálculo Vctorial Sptimbr 6 d 17 Solución (x y 1 El límit qu no xist s l dl nunciado (a, i lím (x,y (, x +y En fcto, s fácil dars cunta d qu valuando st límit por caminos difrnts s obtinn rsultados difrnts; por jmplo s obtndría como límit l valor al valuars sobr la rcta x y, pro s obtndría al valuars sobr la rcta x y i San f(x, y, x y y g(u, v ln u, v sn u Entoncs la función compusta f g stá dada por f g(u, v f(g(u, v f ( ln u, v sn u ln u+v sn u, (ln u (v sn u u v sn u, (ln u (v sn u ii Para calcular D(f g(π,, usando la rgla d la cadna, dado qu g(π, (ln π,, s ncsario calcular las matrics Df (ln π, y Dg (π, Primro, ( f1 f 1 ( ( Df (ln π, (ln π, π π xy x (ln π, (ln π y, para g(u, v, Entoncs, Dg (π, f ( g1 g f g 1 g ( (π, D(f g(π, Df (ln π, Dg (π, 1 u cos u v ( π π (ln π ( 1 (π, π 1 ( 1 π 1 ( 1 + π (ln π 3 Las suprficis sféricas x + y + z 4 y x + y + z 4y n R 3 s intrsctan como ilustra la figura: i Para dmostrar qu l punto P (, 1, 3 stá n ambas suprficis s suficint vrificar qu tals coordnadas satisfacn ambas cuacions, y vidntmnt n ambos casos ( 3 4 ii Para ncontrar la cuación dl plano tangnt a cada sfra n l punto P, calculamos l gradint d las funcions F 1 (x, y, z x + y + z y F (x, y, z x + y + z 4y, lo qu nos da un vctor normal al plano tangnt a cada sfra n l punto dsado: y F 1 P x, y, z P,, 3, F P x, y 4, z P,, 3 Así, junto con l punto, tnmos la información ncsaria para scribir la cuación d cada plano: (y 1 + 3(z 3 y (y 1 + 3(z 3, lugo tals cuacions son y + 3z 8 y y + 3z 4, rspctivamnt
3 Primr Examn Parcial Tma A Cálculo Vctorial Sptimbr 6 d 17 iii La cuación d la rcta d intrscción d stos dos planos n l spacio stá dtrminada por l punto P (, 1, 3 y un vctor dirctor, qu pud sr calculado d varias formas: ncontrando la rcta d intrscción a los dos planos antriors o calculando l producto cruz d los vctors normals a los planos ncontrados antriormnt Si hacmos sto último tnmos qu F 1 P F P 8 3,,, así qu la rcta qu buscamos tin como cuación vctorial dond t R x(t, 1, 3 + t 8 3,,, 4 i Para ncontrar los puntos críticos d la función f(x, y calculamos su gradint y lo igualamos a cro: f(x, y y x 3, x y 3,, lo qu implica qu x 3 y y y x 3, s dcir qu y 9 y o, lo qu s lo mismo, y(y 8 1 La primra opción s qu y, caso n l cual la primra cuación implica qu x y nos da como primr punto crítico (, ; la sgunda opción s qu y 1, caso n l cual la primra cuación implica qu x 1; finalmnt la trcra opción s qu y 1, caso n l cual la primra cuación implica qu x 1 y, n conscuncia, tnmos dos puntos críticos más, (1, 1 y ( 1, 1 Los puntos críticos son xtrmos (máximos o mínimos locals d f cuando l dtrminant d la matriz d sgundas drivadas ( 6x 6y ( f f f f s positivo, lo cual s cirto n (1, 1 y ( 1, 1 En (, tal dtrminant s ngativo, lugo s un punto d silla Finalmnt, n (1, 1 y ( 1, 1 hay máximos locals pus f < n sos puntos Un bocto d la gráfica d la función s ii Si rstringimos f a puntos sobr l círculo x + y, sgún los rsultados vistos n clas, tndrmos xtrmos absolutos Para ncontrarlos, usando multiplicadors d Lagrang con las funcions f(x, y xy 1 x4 1 y4 + 1 y g(x, y x + y, tndrmos qu f λ g, s dcir y x 3, x y 3 λ x, y Dspjando λ d las dos cuacions qu rsultan d sta cuación tnmos qu y x 3 x x y3, y osa qu xy(y x x y La opción xy 1 n la rstricción no da lugar a solucions rals, mintras qu x y implica qu los puntos a considrar son (1, 1, (1, 1, ( 1, 1 y ( 1, 1 Evaluando n los puntos tndrmos qu (1, 1 y ( 1, 1 son máximos absolutos mimtras qu (1, 1 y ( 1, 1 son mínimos absolutos 5 Sa F(x, y, z x 3 y, xz, yz 3 i El campo F no s un gradint (i no xist un campo scalar f para l cual F f porqu su rotacional s difrnt d cro: F z 3 x,, z x 3 ii El campo F no s un rotacional (i no xist un campo vctorial G para l cual F G porqu su divrgncia no s cro: F 3x y + x + 3yz
4 Primr Examn Parcial Tma B Cálculo Vctorial Sptimbr 6 d 17 Est s un xamn individual, no s prmit l uso d libros, apunts, calculadoras o cualquir otro mdio lctrónico Rcurd apagar y guardar su tléfono clular Toda rspusta db star justificada matmáticamnt Firm y ntrgu l nunciado junto a la hoja d xamn Timpo máximo 1 hora y minutos Nombr: Código: 1 Uno d los siguints límits no xist, diaga cuál s y por qué: (4 puntos (a lím (x,y (, xy (x y, (b lím x + y (x,y (, x + y Considr las funcions f(x, y, xy y g(u, v ln u, v sn u i Escriba una fórmula para la función compusta f g ii Calcul, usando la rgla d la cadna, D(f g(π,, s dcir la drivada d la función compusta n l punto (π, (6 puntos 3 Considr las suprficis sféricas x + y + z 4 y x + y + z 4y n R 3 i Dmustr qu l punto (, 1, 3 stá n ambas suprficis ii Encuntr la cuación dl plano tangnt a cada sfra n st punto iii Encuntr la cuación d la rcta d intrscción d stos dos planos n l spacio (6 puntos 4 Considr la función f(x, y xy 1 x4 1 y4 + 1 i Encuntr y clasifiqu (n máximos, mínimos, puntos d silla los puntos críticos d f ii Encuntr los xtrmos absolutos d f sujta a la rstricción x + y (1 puntos 5 Considr l campos vctorial F(x, y, z xy, x 3 z 3, yz i Dmustr qu l campo F no s un gradint (i no xist un campo scalar f para l cual F f ii Dmustr qu l campo F no s un rotacional (i no xist un campo vctorial G para l cual F G (4 puntos
5 Primr Examn Parcial Tma B Cálculo Vctorial Sptimbr 6 d 17 Solución (x y 1 El límit qu no xist s l dl nunciado (b, i lím (x,y (, x +y En fcto, s fácil dars cunta d qu valuando st límit por caminos difrnts s obtinn rsultados difrnts; por jmplo s obtndría como límit l valor al valuars sobr la rcta x y, pro s obtndría al valuars sobr la rcta x y i San f(x, y, xy y g(u, v ln u, v sn u Entoncs la función compusta f g stá dada por f g(u, v f(g(u, v f ( ln u, v sn u ln u+v sn u, (ln u(v sn u u v sn u, (ln u(v sn u ii Para calcular D(f g(π,, usando la rgla d la cadna, dado qu g(π, (ln π,, s ncsario calcular las matrics Df (ln π, y Dg (π, Primro, ( f1 f 1 ( ( Df (ln π, (ln π, π π y xy (ln π, f f y, para g(u, v, Dg (π, ( g1 g g 1 g ( (π, 1 u cos u v ( 1 (π, π 1 Entoncs, D(f g(π, Df (ln π, Dg (π, ( π π ( 1 π 1 ( 1 + π 3 Las suprficis sféricas x + y + z 4 y x + y + z 4y n R 3 s intrsctan como ilustra la figura: i Para dmostrar qu l punto P (, 1, 3 stá n ambas suprficis s suficint vrificar qu tals coordnadas satisfacn ambas cuacions, y vidntmnt n ambos casos ( 3 4 ii Para ncontrar la cuación dl plano tangnt a cada sfra n l punto P, calculamos l gradint d las funcions F 1 (x, y, z x + y + z y F (x, y, z x + y + z 4y, lo qu nos da un vctor normal al plano tangnt a cada sfra n l punto dsado: F 1 P x, y, z P,, 3, y F P x, y 4, z P,, 3 Así, junto con l punto, tnmos la información ncsaria para scribir la cuación d cada plano: (y 1 + 3(z 3 y (y 1 + 3(z 3, lugo tals cuacions son y + 3z 8 y y + 3z 4, rspctivamnt
6 Primr Examn Parcial Tma B Cálculo Vctorial Sptimbr 6 d 17 iii La cuación d la rcta d intrscción d stos dos planos n l spacio stá dtrminada por l punto P (, 1, 3 y un vctor dirctor, qu pud sr calculado d varias formas: ncontrando la rcta d intrscción a los dos planos antriors o calculando l producto cruz d los vctors normals a los planos ncontrados antriormnt Si hacmos sto último tnmos qu F 1 P F P 8 3,,, así qu la rcta qu buscamos tin como cuación vctorial dond t R x(t, 1, 3 + t 8 3,,, 4 i Para ncontrar los puntos críticos d la función f(x, y calculamos su gradint y lo igualamos a cro: f(x, y y x 3, x y 3,, lo qu implica qu x 3 y y y x 3, s dcir qu y 9 y o, lo qu s lo mismo, y(y 8 1 La primra opción s qu y, caso n l cual la primra cuación implica qu x y nos da como primr punto crítico (, ; la sgunda opción s qu y 1, caso n l cual la primra cuación implica qu x 1; finalmnt la trcra opción s qu y 1, caso n l cual la primra cuación implica qu x 1 y, n conscuncia, tnmos dos puntos críticos más, (1, 1 y ( 1, 1 Los puntos críticos son xtrmos (máximos o mínimos locals d f cuando l dtrminant d la matriz d sgundas drivadas ( f f ( 6x 6y f f s positivo, lo cual s cirto n (1, 1 y ( 1, 1 En (, tal dtrminant s ngativo, lugo s un punto d silla Finalmnt, n (1, 1 y ( 1, 1 hay máximos locals pus f < n sos puntos Un bocto d la gráfica d la función s ii Si rstringimos f a puntos sobr l círculo x + y, sgún los rsultados vistos n clas, tndrmos xtrmos absolutos Para ncontrarlos, usando multiplicadors d Lagrang con las funcions f(x, y xy 1 x4 1 y4 + 1 y g(x, y x + y, tndrmos qu f λ g, s dcir y x 3, x y 3 λ x, y Dspjando λ d las dos cuacions qu rsultan d sta cuación tnmos qu y x 3 x x y3, y osa qu xy(y x x y La opción xy 1 n la rstricción no da lugar a solucions rals, mintras qu x y implica qu los puntos a considrar son (1, 1, (1, 1, ( 1, 1 y ( 1, 1 Evaluando n los puntos tndrmos qu (1, 1 y ( 1, 1 son máximos absolutos mimtras qu (1, 1 y ( 1, 1 son mínimos absolutos 5 Sa F(x, y, z xy, x 3 z 3, yz i El campo F no s un gradint (i no xist un campo scalar f para l cual F f porqu su rotacional s difrnt d cro: F z 3x 3 z,, 3x z 3 x ii El campo F no s un rotacional (i no xist un campo vctorial G para l cual F G porqu su divrgncia no s cro: F y
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