MATEMÁTICAS I: 1º BACHILLERATO Capítulo 2: Álgebra

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1 MATEMÁTICAS I: º BACHILLERATO Cpítulo : Álger LirosMreVerde.tk Autores: José Antonio Enco de Lucs y Edurdo Cuchillo Revisor: Nieves Zusti Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

2 Álger Índice ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO.. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 3. RESOLUCION DE INECUACIONES DE PRIMER GRADO Y SU INTERPRETACIÓN GRAFICA. RESOLUCION DE INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 5. SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES Y SU INTERPRETACIÓN GRÁFICA Krl Friedrich Guss Mtemátics I. Bchillerto de Ciencis. Cpítulo : Álger LirosMreVerde.tk Autores: José Antonio Enco de Lucs y Edurdo Cuchillo Revisor: Nieves Zusti Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

3 68 Álger. ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO En este prtdo vmos centrrnos en l resolución de ecuciones e inecuciones de primer y segundo grdo y en su interpretción gráfic, pr luego eponer los sistems de ecuciones e inecuciones y su plicción ls Ciencis y ls Ciencis Sociles. Y ses que:.. Resolución de ecuciones de primer grdo Recuerd que: L técnic pr resolver un ecución de primer grdo consiste siempre en trnsformr l ecución inicil en otr equivlente hst conseguir islr l incógnit en el primer miemro: 7( ) 5 Resolver l ecución: 3 6 Primer pso: Suprimir los denomindores. El mínimo común múltiplo de los denomindores es 6, multiplicmos por 6 tod l ecución. Segundo pso: Efectur los préntesis: 6.7( ) ( ) Tercer pso: Trsponer términos y simplificr: Curto pso: despejr l incógnit, simplificndo el resultdo. Quinto pso: Compror el resultdo. 0 0 Sustituimos el resultdo otenido en l ecución dd y compromos que se verific l iguldd. Recuerd que: Ls ecuciones permiten resolver muchos tipos de prolems. El trtmiento hitul nte un prolem concreto es el siguiente:. Plnter un ecución que concuerde con el enuncido.. Resolver l ecución. 3. Compror el resultdo e interpretrlo Mtemátics I. Bchillerto de Ciencis. Cpítulo : Álger LirosMreVerde.tk Autores: José Antonio Enco de Lucs y Edurdo Cuchillo Revisor: Nieves Zusti Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

4 69 Álger L sum de tres números enteros consecutivos es 08. Cuáles son esos números? Llmndo l menor. Los tres números, l ser consecutivos, serán: º número: º número: + 3º número: + Plntemos hor l ecución correspondiente l enuncido: l sum h de ser 08. Por tnto: + ( + ) + ( + ) = 08 Los préntesis, en este cso, no son necesrios deido l propiedd socitiv de l sum de números reles. Se hn puesto, eclusivmente, pr clrr l ecución que estmos escriiendo. Eliminmos los préntesis y grupmos términos nos qued: Despejndo l incógnit: = = 08 = 05 3 = = Por tnto los números son 35, 36 y 37, cuy sum es Ecuciones de segundo grdo Y ses que: Recuerd que Un ecución de segundo grdo es quell que tiene como form generl l siguiente: + + c = 0, con 0. Un ecución tiene tnts soluciones como su grdo. Y ses que l ser de grdo tendrá soluciones o o ningun en el cmpo rel. Según se l ecución de segundo grdo sus soluciones se pueden hllr: Cso : El coeficiente de l es 0: = 0: En este cso l ecución es de l form: + c = 0. Pr hllr ls soluciones st con despejr l : c c c c ; c Mtemátics I. Bchillerto de Ciencis. Cpítulo : Álger LirosMreVerde.tk Autores: José Antonio Enco de Lucs y Edurdo Cuchillo Revisor: Nieves Zusti Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

5 70 Álger Resolver l ecución: 8 = 0 Se despej : 8 ; Cso : El término independiente es 0: c = 0 L ecución es hor de l form: 0. Pr resolver st con scr fctor común l : 0 ( ) 0 0; 0 En este cso siempre un de ls dos soluciones v ser l = 0. Los csos y son ecuciones de segundo grdo incomplets, que tmién se pueden resolver plicndo l fórmul generl. Sin emrgo es más rápido resolverls de l mner que cmos de eponer. Cso 3: Resolución nlític de un ecución de segundo grdo complet: Solución gráfic de un ecución de segundo grdo: Considermos l función Su representción gráfic es un práol, donde ls soluciones de l ecución c 0 son los puntos de corte de ést con el eje de sciss. Solución nlític de un ecución de segundo grdo complet: Prtiendo de l ecución c 0 vmos otener el vlor de : Psmos el término independiente l segundo miemro quedndo epresdo de l siguiente mner: Multiplicmos tod l ecución por : c c Summos mos miemros: c El primer miemro es el cudrdo del inomio +. Por tnto: ( + ) = c Etremos l ríz cudrd: c Psmos l segundo miemro y dividimos por, con lo que otenemos el siguiente resultdo: Por tnto: f ( ) c 0 c c c c ; Es l fórmul generl pr clculr ls dos soluciones de l ecución de segundo grdo Fuente Wikipedi Mtemátics I. Bchillerto de Ciencis. Cpítulo : Álger LirosMreVerde.tk Autores: José Antonio Enco de Lucs y Edurdo Cuchillo Revisor: Nieves Zusti Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

6 7 Álger Prticulriddes: El rdicndo, c, recie el nomre de discriminnte de l ecución. Se represent por l letr grieg Δ. Según se el signo del discriminnte pueden drse tres csos: Δ > 0: L ecución tendrá ls dos soluciones y Δ = 0: L ecución tiene un únic solución dole, ls dos soluciones de l ecución son igules: 0 Δ <0: El rdicndo es negtivo, l ecución no tiene ríces reles, (l ríz d lugr un número ** complejo no rel,). Resolver l ecución: 3 0 Su solución gráfic es un práol con el vértice hci jo l tener positivo el coeficiente de, como hemos representdo quí. Vmos ver que sus soluciones nlítics son los puntos de corte de l práol con el eje de sciss. Comproémoslo: 3 0. Aplicndo l fórmul generl de resolución de un ecución de segundo grdo complet ( ) ;, que coinciden con los puntos de corte de l práol con el eje de sciss. Vmos considerr hor un ejemplo de un ecución de segundo grdo con el coeficiente de negtivo 5 cuy representción gráfic es un práol con el vértice hci rri: Como en el ejemplo nterior plicmos l fórmul generl de resolución de ecuciones de segundo grdo, l ecución es: Cuy solución es: 5.( ).5.( ) ; 5, que coinciden con el corte de l práol con el eje de sciss. Mtemátics I. Bchillerto de Ciencis. Cpítulo : Álger LirosMreVerde.tk Autores: José Antonio Enco de Lucs y Edurdo Cuchillo Revisor: Nieves Zusti Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

7 Mtemátics I. Bchillerto de Ciencis. Cpítulo : Álger Autores: José Antonio Enco de Lucs y Edurdo Cuchillo LirosMreVerde.tk Revisor: Nieves Zusti Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF Álger 7 Fórmul de Cárdno. Sum y producto de ls soluciones en un ecución de segundo grdo Vmos clculr hor qué es igul l sum y el producto de ls dos ríces de un ecución de segundo grdo. Llmmos: c y c ls dos soluciones o ríces. Vemos en primer lugr, qué es igul l sum de ms: c c c c Es decir: Vemos hor el producto: c c c c c c ) ( ) ( ) (.. Es decir: Ls igulddes nteriores nos permite resolver el prolem inverso l hitul: en lugr de dd un ecución hllr sus ríces o soluciones, podremos, siendo cuáles son ls soluciones de un ecución, hllr l epresión de dich ecución. En efecto, considermos l ecución de segundo grdo de siempre, de soluciones y : Dividiendo tod l ecución por el coeficiente de : 0 c Ecución equivlente l dd. Fijándonos en dich ecución, vemos que el coeficiente de l es igul l sum de ls dos ríces con el signo contrrio, mientrs que el término independiente es igul l producto de ls dos ríces. Como consecuenci: si ls dos ríces de un ecución de segundo grdo son y, l ecución es: c ) ( p s 0 c

8 73 Álger Ls dos ríces de un ecución de segundo grdo son = / y = /3. Cuál es es ecución? Sumndo ls dos ríces tenemos: Multiplicmos ls dos ríces y tenemos: 7. Lo llmmos s Lo llmmos p. 6 7 Por l fórmul nterior otenemos que l ecución es: Si quitmos denomindores nos qued: = 0. Otr form de resolver este tipo de prolems es hcer uso de l fctorizción de polinomios que se estudió en págins nteriores. Considermos l ecución de segundo grdo complet c 0 de soluciones y. c Semos que est primer ecución es equivlente est otr: 0 En consecuenci, el polinomio correspondiente l mism es: Tiene como ríces los números y y su descomposición fctoril es: p( ) ( )( ) p( ) Si efectumos el producto, podemos escriir l ecución correspondiente: ( )( ) 0 Se pueden plnter múltiples prolems de l vid rel y de plicción otrs ciencis. Ls puts seguir son igules que ls de ls ecuciones de primer grdo. Vemos un ejemplo: Queremos semrr de césped un prcel rectngulr de 7 m, de mner que uno de los ldos de l mism se el triple que el otro. Cuáles son ls dimensiones de l prcel? Llmndo l ldo más pequeño del rectángulo, el otro, l ser triple, medirá 3. Puesto que el áre del rectángulo es igul l producto de l se por l ltur: c Por tnto ls dos soluciones de est ecución son = 3 y = 3. Pero puesto que no tienen sentido que un longitud se negtiv pr un prcel, l únic solución válid pr es = 3 m. Según esto ls dimensiones de l prcel son 3 m y 9 m. Mtemátics I. Bchillerto de Ciencis. Cpítulo : Álger LirosMreVerde.tk Autores: José Antonio Enco de Lucs y Edurdo Cuchillo Revisor: Nieves Zusti Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

9 7 Álger Ecuciones icudrds: Se llmn ecuciones icudrds ls ecuciones del tipo siguiente: c 0 Son ecuciones de curto grdo, en ls cules l incógnit prece únicmente elevd potencis pres. Al ser de curto grdo, tendrá soluciones. El proceso generl pr resolver este tipo de ecuciones es hcer un cmio de vrile. Hciendo t= tendremos l epresión siguiente: c 0 ( ) c 0 t t c 0 Conseguimos convertir l ecución de curto grdo en un ecución de segundo grdo fácil de resolver, de hí que lo hy incluido como un ecución de segundo grdo prticulr. Se resuelve l ecución de segundo grdo como tl y un vez resuelt deemos relizr el último pso: Hemos hlldo el vlor de t, pero l incógnit es. Con lo cul hemos de deshcer el cmio efectudo: Si = t = t Resolver l ecución 3 0 Efectundo el cmio = t, l ecución se convierte en : Que resolvemos pr t: t 3t t 0.3.( ) 7 t.3 6 ; t Es decir, ls dos soluciones de est ecución son t = y t = /3, deshcemos el cmio: t t i 3 Est últim solución no es un número rel, pues un ríz cudrd negtiv no tiene solución rel. Se encuentr dentro de los números imginrios que y conoces del cpítulo nterior. En definitiv, ls cutro soluciones de l ecución icudrd inicil son: 3 ; ; 3 i; 3 3 i 3 3 Mtemátics I. Bchillerto de Ciencis. Cpítulo : Álger LirosMreVerde.tk Autores: José Antonio Enco de Lucs y Edurdo Cuchillo Revisor: Nieves Zusti Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

10 75 Álger Actividdes propuests 39. Resolver ls siguientes ecuciones: ) ) c) ( ) Resolver:. ( 3) / 6 9 c. 8 d Sumndo siete uniddes l dole de un número más los 3/ del mismo otenemos como resultdo el sétuplo de dicho número menos 3. De que número se trt?. Ls dimensiones de un rectángulo son 5 y 36 metro. Trzr un prlel l ldo que mide 36 m de modo que se forme un rectángulo semejnte l primero. Cuáles son ls longitudes de los segmentos en que dich prlel divide l ldo de 5 m? 3. Desemos vender un coche, un piso y un finc por un totl de Si l finc vle veces más que el coche y el piso cinco veces más que l finc. Cuánto vle cd cos? Mtemátics I. Bchillerto de Ciencis. Cpítulo : Álger LirosMreVerde.tk Autores: José Antonio Enco de Lucs y Edurdo Cuchillo Revisor: Nieves Zusti Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

11 76 Álger.3. Resolución de inecuciones de primer grdo y su interpretción gráfic Un inecución es un desiguldd lgeric en l que precen un o más incógnits. El grdo de un inecución es el myor de los grdos l que están elevds sus incógnits. Así, + y + y son inecuciones de primer grdo, mientrs que 5 es de segundo grdo. Resolver un inecución consiste en encontrr los vlores que l verificn. Éstos se denominn soluciones de l mism. Por ejemplo: + (, ] Inecuciones equivlentes Dos inecuciones son equivlentes si tienen l mism solución. A veces, pr resolver un inecución, result conveniente encontrr otr equivlente más sencill. Pr ello, se pueden relizr ls siguientes trnsformciones: Sumr o restr l mism epresión los dos miemros de l inecución. 5 + < < 9 5 < 5 Multiplicr o dividir mos miemros por un número positivo. 5 < 5 5 : 5 < 5 : 5 < Multiplicr o dividir mos miemros por un número negtivo y cmir l orientción del signo de l desiguldd. < ( ) ( ) > ( ) > (, +) Inecuciones de primer grdo con un incógnit Un inecución de primer grdo con un incógnit puede escriirse de l form: >,, < o ien. Pr resolver l inecución en l myorí de los csos conviene seguir el siguiente procedimiento: º) Quitr denomindores, si los hy. Pr ello, se multiplic los dos miemros de l ecución por el m.c.m. de los denomindores. º) Quitr los préntesis, si los hy. 3º) Trnsponer los términos con un miemro y los números l otro. º) Reducir términos semejntes. 5º) Despejr l. Mtemátics I. Bchillerto de Ciencis. Cpítulo : Álger LirosMreVerde.tk Autores: José Antonio Enco de Lucs y Edurdo Cuchillo Revisor: Nieves Zusti Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

12 77 Álger 5 ( 8) ( 5) ( 8) 3(3 ) , ( 5) ( 8) 3(3 ) Actividdes propuests. Resuelve ls siguientes inecuciones y represent l solución en l rect rel: ) < + ) c) 5 + > 3 + d) Resuelve ls siguientes inecuciones y represent l solución en l rect rel: ) (3 + ) < (6 + 8) ) 7( + 3) 5(6 + 3) c) 9( + ) + (5 ) > 3( + ) 6. Resuelve ls siguientes inecuciones y represent l solución en l rect rel: ) < /3 + ) 5 + 5/ 9/ + c) ( + 5)/3 > + d) ( + 5)/ + (3 + 6)/ 7. Escrie un inecución cuy solución se el siguiente intervlo: ) [, ) ) (, 3) c) (, ] d) (, ) 8. Clcul los vlores de pr que se posile clculr ls siguientes ríces: ) 3 ) 9 c) 7 d) 7 Mtemátics I. Bchillerto de Ciencis. Cpítulo : Álger LirosMreVerde.tk Autores: José Antonio Enco de Lucs y Edurdo Cuchillo Revisor: Nieves Zusti Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

13 78 Álger.. Resolución de inecuciones lineles de segundo grdo Un inecución de segundo grdo con un incógnit puede escriirse de l form: + + c > 0, emplendo culquier de los cutro signos de desiguldd. Pr resolverl, clculmos ls soluciones de l ecución socid, ls representmos sore l rect rel, quedndo por tnto l rect dividid en tres, dos o un intervlo, dependiendo de que l ecución teng dos, un o ningun solución. En cd uno de ellos, el signo del polinomio se mntiene constnte, por lo que strá con determinr el signo que tiene dicho polinomio pr un vlor culquier de cd uno de los intervlos. Pr ser si ls soluciones de l ecución verificn l inecución, strá con sustituirl en l mism y comprorlo. Represent gráficmente l práol e indic en qué intervlos es + 3 > 0. y = + 3 Oserv en l gráfic que l práol tom vlores negtivos entre 3 y. L solución de l inecución es: (,3) (, +). El punto 3 no es solución, ni tmpoco el punto, pues el prolem tiene un desiguldd estrict, >. Si tuvier l desiguldd, + 3 0, l solución serí: (,3] [, +). Si fuer + 3 < 0, l solución serí: (3, ). Si fuer + 3 0, l solución serí: [3, ] Ls ríces de = 0 son = y = 5. (, ) (, 5) 5 ( 5, ) Signo de si no si Por tnto, l solución es (, ] [5, ) Mtemátics I. Bchillerto de Ciencis. Cpítulo : Álger LirosMreVerde.tk Autores: José Antonio Enco de Lucs y Edurdo Cuchillo Revisor: Nieves Zusti Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

14 79 Álger Actividdes propuests 9. Resuelve ls siguientes inecuciones de segundo grdo: ) 0 ) 0 c) 9 >0 d) + 0 e) 50 < 0 f) g) 5 5 > 0 h) Resuelve ls siguientes inecuciones de segundo grdo: ) + 0 ) 5 > 0 c) 8 d) 3 e) 3 > 0 f)5 0 < 0 5. Resuelve ls siguientes inecuciones de segundo grdo: ) 3 0 ) c) > 0 d) e) 5 < 0 f) > 0 g) h) Resuelve ls siguientes inecuciones de segundo grdo: ) + 6 > 0 ) 0 c) 0 < 0 d) e) > 0 f) g) h) + 5 < Clcul los vlores de pr que se posile otener ls siguientes ríces: ) ) c) 5 6 d) Resuelve ls siguientes inecuciones de segundo grdo: ) ( + 5)( 5) ) ( 5)( 3) ( 0)( ) 50 c) Mtemátics I. Bchillerto de Ciencis. Cpítulo : Álger LirosMreVerde.tk Autores: José Antonio Enco de Lucs y Edurdo Cuchillo Revisor: Nieves Zusti Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

15 90 Álger 3.. Sistems de inecuciones lineles Un sistem de inecuciones lineles con dos incógnits es el conjunto de dos o más inecuciones, que dee stisfcerse l vez. Pr su resolución, se procede de l mner siguiente: Se resuelve cd inecución por seprdo. El conjunto solución del sistem, tmién llmdo región fctile, está formd por ls soluciones comunes tods ls inecuciones. Tomemos como ejemplo el sistem de inecuciones siguiente: y 3 y º Representmos l región solución de l primer inecución. Trnsformmos l desiguldd en iguldd. + y = 3 Dmos un de ls dos vriles dos vlores, con lo que otenemos dos puntos. = 0; 0 + y = 3; y = 3; (0, 3) = ; + y = 3; y = ; (, ) Al representr y unir estos puntos otenemos un rect. Tommos un punto, por ejemplo el (0, 0), los sustituimos en l desiguldd. Si se cumple, l solución es el semiplno donde se encuentr el punto, si no l solución será el otro semiplno. + y Sí El semiplno que está somredo es l solución de l primer inecución. Mtemátics I. Bchillerto de Ciencis. Cpítulo : Álger LirosMreVerde.tk Autores: José Antonio Enco de Lucs y Edurdo Cuchillo Revisor: Nieves Zusti Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

16 9 Álger Hcemos lo mismo con l segund inecución: º Representmos l región solución de l segund inecución. + y = = 0; 0 + y = ; y = ; (0, ) = ; + y = ; y = 0; (, 0) Tommos un punto, el (0, 0) por ejemplo y lo sustituimos en l inecución, como no se cumple l desiguldd será el semiplno en el que no está el punto. + y No 3º L solución es l intersección de ls regiones soluciones. Actividdes resuelts: Resuelve el siguiente sistem de inecuciones: Conjunto de soluciones de l primer inecución: y = 3 y = + 3. Puntos de corte de l rect con los ejes: = 0 y = + 3 = 3 A = (0, 3) y = 0 0 = + 3 = 3/ B = (3/, 0) Promos con puntos mos ldos de l rect pr ver cuál cumple l inecución: (0, 0), y SI Como se cumple l iguldd pr el punto propuesto l región fctile es el semiplno l que pertenece el punto referido. Mtemátics I. Bchillerto de Ciencis. Cpítulo : Álger LirosMreVerde.tk Autores: José Antonio Enco de Lucs y Edurdo Cuchillo Revisor: Nieves Zusti Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

17 9 Álger Conjunto de soluciones de l segund inecución: + y = y = Puntos de corte de l rect con los ejes: = 0 y = = C = (0, ) y = 0 0 = = D = (, 0) Promos con puntos mos ldos de l rect pr ver qué región verific l inecución: (0, 0), + y < 0 < Como se cumple pr el punto ddo el semiplno elegido es en el que está el punto. El conjunto de soluciones del sistem, o región fctile, está formdo por quellos puntos que cumpln ms inecuciones, por tnto, l solución es l intersección de mos semiplnos: Actividdes propuests ) 6. Encuentr l región fctile del sistem: 0 y 0 6 5y 30 y Resuelve los siguientes sistems de inecuciones: y 3 y 3 y 3y 0 3 y ) y 3 y 5 y 0 c) y 0 6 d) ( ) 0 6( ) ( 0) 6( ) 6 Mtemátics I. Bchillerto de Ciencis. Cpítulo : Álger LirosMreVerde.tk Autores: José Antonio Enco de Lucs y Edurdo Cuchillo Revisor: Nieves Zusti Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

18 95 Álger RESUMEN Noción Descripción Ejemplos Polinomio Grdo de un polinomio Sum, rest y producto de polinomios Epresión construid prtir de l sum de monomios El myor grdo de sus monomios Grdo 3 El resultdo siempre es otro polinomio p = ; q = +. División de dos polinomios Se otienen otros dos polinomios, los polinomios cociente (c()) y resto (r()), ligdos los polinomios iniciles, los polinomios dividendo (p()) y divisor (q()) Regl de Ruffini Nos puede yudr l hor de fctorizr un polinomio y conocer sus ríces Teorem del resto El vlor numérico que dopt un polinomio p() l prticulrizrlo en coincide con el resto que prece l dividir p () entre. Ríz de un polinomio Fctorizción de un polinomio p + q = 3 + 0; p q = 3 + ; p q = p( ) q( ) c( ) r( ) Un número rel concreto es un ríz, o un es ríz de y 3 son cero, del polinomio p, si l evlur p en ríces de 3 otenemos el número 0, es decir, si p( ) 0 Consiste en epresrlo como producto de otros polinomios de menor grdo ( 3) ( ) Frcciones lgerics Resolución de ecuciones de º grdo Resolución de ecuciones de segundo grdo Resoluciones de inecuciones de º grdo Resolución de inecuciones de º grdo Sistems de ecuciones lineles, por el método de Guss Sistems de inecuciones lineles Es un frcción de epresiones polinómics 3 6 Son igulddes lgerics con un sol 7( ) 5 incógnit y de grdo uno. 3 6 Igulddes lgerics con un sol incógnit y 5 elevd l cudrdo. Cuy solución es: = ; =5 Desigulddes lgerics con un sol 3 ( 7) incógnits de grdo uno 3 6 Desigulddes lgerics con un sol > 0 su solución es el incógnit, elevds l cudrdo. intervlo (, 5). Los sistems de ecuciones lineles son ecuciones en ls que tods sus incógnits están elevds l unidd, no pudiendo precer el producto de dos de ells. Resolución por el método de Guss. Los sistems de inecuciones lineles son inecuciones en ls que tods sus incógnits están elevds l unidd. + y + 3z = - - 3y - z = - + y + z = Mtemátics I. Bchillerto de Ciencis. Cpítulo : Álger LirosMreVerde.tk Autores: José Antonio Enco de Lucs y Edurdo Cuchillo Revisor: Nieves Zusti Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF