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2 ATRICES Definición: Un mtriz A, es un rreglo rectngulr de elementos ordendos en m fils y n columns. n [ ] n A ij m m mn donde A es el nomre de l mtriz, ij es el elemento en el renglón i y l column j. El orden o dimensión de un mtriz está ddo por el número de fils y columns, es decir un mtriz de m fils y n columns es de orden mn Si un mtriz tiene sólo un fil se le denomin mtriz fil o vector fil y si tiene un sol column se le denomin mtriz column o vector column. vector fil [ K n ] n vector column m Un mtriz que tiene el mismo número de fils que de columns se denomin mtriz cudrd. Si el número de fils no es igul l número de columns se l llm mtriz rectngulr. m Digonl principl. En un mtriz cudrd, l digonl principl es el conjunto de elemento ij tles que i j. digonl principl est formd por los elementos,, - triz digonl. temátics (propedeutico). en C. José uis Hernández González

3 temátics (propedeutico). en C. José uis Hernández González Es un mtriz cudrd en que los elementos no digonles son todos cero. triz identidd. Es un mtriz cudrd cuyos elementos en l digonl principl son todos igules y los demás son cero. triz nul. Es quell donde todos lo elementos son cero. triz tringulr superior. Es un mtriz en que todos los elementos dejo de l digonl principl son cero. triz simétric. Es un mtriz cudrd en que ij ji, pr todo i,j. Trz de un mtriz. Es l sum de los elementos de l digonl principl ij (A) Tr (B) Tr triz trnspuest. En un mtriz A, su trnspuest A t o A, es un mtriz cuys fils son l columns de A. I B

4 A A t Sum de mtrices. Sen A y B dos mtrices del mismo tmño. sum de A y B, denotd por A B, es l mtriz otenid l sum los elementos correspondientes de A y B. m m n n mn m m n n mn m m m m n n mn n n mn Ejemplo: 9 ultiplicción esclr. El producto de un esclr k y un mtriz A, denotdo como ka o Ak, es l mtriz otenid l multiplicr cd elemento de A por k. k m m n n mn k k k m k k k m k k k n n mn Ejemplo: Tmién definimos que. -A (-)A y A B A ( B ) temátics (propedeutico). en C. José uis Hernández González

5 ultiplicción de mtrices. Sen A y B dos mtrices tles que el número de columns de A es igul l número de fils de B, el producto de A y B, es l mtriz que se otiene multiplicndo los elementos de l fil i de A por los correspondientes elementos de l column j de B y luego sumndo todos estos productos. i m p ip mp p j pj n c pm c m c ij cn c mn en donde Ejemplo: c ij i ()() ()() ()() ( )() j i j ()() ()( ) ()() ( )( ) ip pj p k ik kj ()( ) ()() ()( ) ( )() Si el número de columns de A no es igul l número de fils de B, entonces el producto AB no está definido. Determinnte de un mtriz. El determinnte de un mtriz A es un esclr y de denot por o A o det(a) se define como det( A) ( ) ± i j k rn donde l sum se hce sore tods ls permutciones de los primeros suíndices de y (±) tom el signo más si l permutción es pr y menos si l permutción es impr. os determinntes de orden uno, dos y tres se definen como sigue: temátics (propedeutico). en C. José uis Hernández González

6 Ejemplos: ( )() ()() [ ( )( ) ] [()() ( )() ] [()( ) ()()] ()() ( ) ( ) ( ) Not: El determinnte de un mtriz tringulr superior es igul multiplicr los elementos de l digonl principl. ()( )() triz de menores. mtriz de menores de un mtriz A se otiene de l siguiente mner; pr el elemento ij, clculr el determinnte de A omitiendo el renglón i y l column j. A,, K temátics (propedeutico). en C. José uis Hernández González

7 temátics (propedeutico). en C. José uis Hernández González triz de cofctores. El cofctor de cof ij del elemento ij se define como ij j i ij ) ( cof Pr lo cul es útil cmir sólo los signos de cuerdo l siguiente regl Ejemplo: Se l mtriz A, clculr l mtriz de menores y cofctores. A ; ; triz de menores de A triz de cofctores de A (A) cof triz singulr. Un mtriz cuyo determinnte es cero se denomin mtriz singulr. Invers de un mtriz. Dd un mtriz cudrd A, se dice que l mtriz B es l invers de A si y solo si, el producto de AB es l identidd I, AB I y B se denot como A -.

8 temátics (propedeutico). en C. José uis Hernández González Pr clculr l invers de un mtriz se sigue l siguiente regl. ) Clculr el determinnte ) Encontrr l mtriz de menores ) Clculr l mtriz de cofctores de l mtriz de menores otenid ) Trsponer l mtriz de cofctores ) Dividir l mtriz resultnte con el determinnte de l mtriz originl Not : mtriz resultnte de plicrle los psos ), ) y ) l mtriz A, se le llm mtriz djunt, entonces det(a) dj(a) A Not : El orden en que se efectúen ls operciones de los psos ) ) y ) no lter el resultdo finl en l mtriz djunt. Ejemplo: Clculr l mtriz invers de A A ) det(a) - ) A de menores ) menores de mtriz l de cofctores ) cofctores de mtriz l de trnspuest ) A

9 SISTEAS DE ECUACIONES SIUTANEAS Considérese un sistem de l form: m m n n... mn n n n m Donde ij, i son números reles, lo podemos escriir como: m m n n mn n m Es decir A Donde A es l mtriz de coeficientes del sistem, el termino independiente y ls incógnits. solución es un conjunto donde n vlores de, stisfcen ls soluciones simultánemente. Presentndo lguno de los siguientes csos: Cso : m n sistem comptile y determindo. El número de ecuciones es igul l número de incógnits. Cso : m < n sistem sudetermindo, el número de ecuciones es menor que el de ls incógnits. Cso : m > n sistem soredetermindo, el número de ecuciones es myor que el número de incógnits. étodo Grfico (sistems de ) Cundo el sistem es de, podemos oservr l solución grficndo ls ecuciones. Ec. Ec. No eiste solución Un solución Infinidd de soluciones temátics (propedeutico). en C. José uis Hernández González

10 Considerremos que el número de incógnits, será igul l número de ecuciones. Resolver y y Despeje el vlor de y en cd un de ls ecuciones y y mtriz umentd se escrie como: n n n n nn n EIINACIÓN GAUSIANA (con sustitución hci trás) eliminción Gussin const de dos prtes, l primer consiste en encontrr medinte sums y rests, un mtriz tringulr: segund prte consiste en resolver el sistem tringulr por sustitución hci trás, como:.- Intercmir los renglones (seleccionr un pivote), equivlente reordenr ls ecuciones..- ultiplicr los elementos de un renglón (pivote) por un esclr diferente de cero..- Sumr todos los elementos correspondientes los dos renglones pr formr un mtriz tringulr superior. temátics (propedeutico) 9. en C. José uis Hernández González

11 Ejemplo. Resolver...()...()...() Seleccione como pivote el elemento (,), multiplique por / y l producto resultnte sume con el renglón () del termino eliminr (,) Repit el procedimiento seleccionndo nuevmente el elemento (,) como pivote y multiplique por / y l producto resultnte sume con el renglón () del termino eliminr (,) Seleccione como pivote el elemento (,), multiplique por / y l producto resultnte sume con el renglón () del termino eliminr (,). 9 9 Ahor que h formdo un mtriz tringulr superior escri el sistem de ecuciones resultnte (')...(')...(') temátics (propedeutico). en C. José uis Hernández González

12 Sustituyendo hci trás. Despeje el vlor de en l ecución ( ) 9 9 De l ecución ( ) despeje y sustituy el vlor de. De l ecución ( ) despeje y sustituy el vlor de,. 9 ( ) 9 ( ) solución es: El determinnte estrá ddo por: 9 9 Que consiste en multiplicr los elementos de l digonl principl. ETODO DE GAUSS JORDAN (eliminción complet) Consiste en otener un sistem equivlente prtir del originl, medinte operciones elementles sore los renglones de l mtriz mplid. (se puede encontrr l mismo tiempo, l solución del sistem y l invers). Siguiendo los psos del método de sustitución hci trás:.- Conviert en uno el elemento selecciondo como pivote..- Conviert en ceros todos los elementos de l column donde se encuentr el pivote..- Seleccione un nuevo pivote, en un renglón y column diferente l nterior. temátics (propedeutico). en C. José uis Hernández González

13 temátics (propedeutico). en C. José uis Hernández González.- Repetir los psos nteriores hst otener un mtriz de coeficientes formdos por ceros y unos (mtriz identidd). Ejemplo. Resolver...()...()...() Oteng l mtriz umentd, según se el cso (encontrr l solución, clculr l invers o mos), multiplique el elemento pivote por / pr convertirlo en uno. ultiplique por el renglón () y sume el resultdo del producto con el renglón () pr eliminr el elemento (,) ultiplique por - el renglón del pivote y sume el producto resultnte con el renglón () pr eliminr el elemento (,) Seleccione como pivote el elemento (,) y conviert en uno multiplicndo el renglón () por (/)

14 9 ultiplique por / el renglón () y sume el producto resultnte con el renglón () pr eliminr el elemento (,). 9 9 Seleccione el elemento (,) como pivote y conviert en uno multiplicndo el renglón () por /9. Elimine el elemento (,) multiplicndo el renglón () por / y sume el producto resultnte con el renglón () ultiplique el renglón () por / y sume el producto resultnte con el renglón () pr eliminr el elemento (,) ultiplique el renglón () por / y sume con el renglón (), pr eliminr el elemento (,). temátics (propedeutico). en C. José uis Hernández González

15 ultiplique el renglón () por / y sume con el renglón (), pr eliminr el elemento (,) El resultdo finl es: A solución SOUCIÓN POR ETODO DE CRAER (determinntes) Considérese un sistem de nn donde el determinnte de A estrá ddo por A y B i el determinnte de l mtriz otenid de intercmir l column i de l mtriz A por l column del termino independiente. Entonces l solución estrá dd por: temátics (propedeutico). en C. José uis Hernández González

16 Ejemplo. Resolver i B i A Clcule el determinnte de (A) Det(A) 9 Clcule los vlores de, y como: temátics (propedeutico). en C. José uis Hernández González

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