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1 Mtemátics ºBchillerto Aplicds ls Ciencis Sociles er evlución. Determinntes ) Clcul el vlor de los siguientes determinntes: ) b) c) ) = (-)+ +(-) [ + (-) (-)+ ]= -++-[6++] = --6-= - b) = (-) + + -[ (-)+ (-)+ (-)] = = [ -+-+] = = c) = + (-)+ (-)-[ (-) (-)+ + ] = = = - ) Clcul el vlor de pr que el determinnte se igul. = = = - = = ) Clcul el vlor de t pr que el determindo se igul. = t + + t - -t-t = t -t = t(t -)= { Colegio Sn Agustín (Sntnder) Págin

2 Colegio Sn Agustín (Sntnder) Págin ) Indic si son cierts ls siguientes igulddes. ) b) ) y b = y - = y b L iguldd se cumple b) b y = b-y [ b y] = b y ) Los elementos de l mtriz cudrd de orden. A= ( ij ) son : { ) Escribe l mtriz. b) Clcul el determinnte de l mtriz. ) A= ( ) b) = = - 6) Clcul el vlor del siguiente determinnte: = Aplico l propiedd 6 = = = = 6

3 ) Resuelve l siguiente ecución : = = 6 6 = plico l propiedd 6 en l column 6 = = (6+) = = = ( -)= Propieddes de los Determinntes 8) Si A y B son dos mtrices X, tles que = y = -, clcul: Aplico l propiedd 8 del libro = = (-) = - 6 = Aplico l propiedd 8 = = = Aplico l propiedd = α n siendo n el orden de l mtriz A = = 9 = 8 = Aplico l propiedd nterior = (-) Aplico l propiedd = = Pr hllr l invers tenemos en cuent que A A - =I y que eiste l invers (A - ), debido que el determinnte de A es distinto de cero = = Aplico l propiedd 8 = = = Colegio Sn Agustín (Sntnder) Págin

4 9) Sbiendo que =, clcul el vlor de los siguientes determinntes ) b) c) d) ) Aplico l propiedd del libro + = b) Aplico l propiedd = - = - c) Aplico l propiedd 6 = = = d) si os dis cuent es l mtriz trspuest de A. Aplico l propiedd. = = ) Sbiendo que. Demuestr sin desrrollr (plicndo ls propieddes) que el determinnte vle cero. Aplico l propiedd número 6 (+b+c) Según l propiedd, como l column y l column son igules determinmos que ese determinnte es cero. ) Sbiendo que A= =, clcul: B= B= Aplico l propiedd 6 en l il y l il = Aplico l propiedd 6 en l il = = = = Colegio Sn Agustín (Sntnder) Págin

5 Colegio Sn Agustín (Sntnder) Págin ) Clcul el siguiente determinnte plicndo sus propieddes A= Aplico l propiedd 6 en l column (+) = (+) Según l propiedd el determinnte de un mtriz tringulr es igul l producto de los elementos de l digonl principl. (+) =(+) [ (-) (-) (-)] = (+) (-) ) Sbiendo que =, clcul el vlor de = c = c - c - c Aplico l propiedd 6 - = - = - = - ) Sbiendo que el determinnte A= = clcul B= Aplico l propiedd 6 = Aplico l propiedd C C - Aplico l propiedd F F (- )(-) = = =

6 Colegio Sn Agustín (Sntnder) Págin 6 Desrrollo de un determinnte por un il o column ) Determin el vlor de los siguientes determinntes: ) 8 = [ ] = 6 b) = [ ] = - c) = = [ ] = -9 d) 6 8 = = = = [ ] =

7 Colegio Sn Agustín (Sntnder) Págin 6) Clcul el vlor de los siguientes determinntes. ) b) c) d) 9 8 ) 8 = = = [ +8--] = b) = = = = [ -9+6-]= -8 c) = 6 = = = [ ]= d) 9 8 = 9 = (-) = (-) [ ] = 98

8 Rngo de un mtriz ) Hll el rngo de ls siguientes: ) A= 6 ( ) b) B= ( 6 ) c) C= ( ) ) Es un mtriz con ils y tres columns, el determinnte sólo puede ser de. Como máimo el rngo podrí ser. Tommos un menor y hllmos su determinnte: Si nos diese distinto de cero el rngo es como mínimo dos. Si nos diese cero, probmos con otros menores, hst encontrr uno que se. Si no eistier ninguno que uese distinto de cero el rngo ser í. A no ser que tuviésemos un mtriz nul que en ese cso el rngo serí rg(a)= = - rg(a) Ls ils y son linelmente independientes. Tommos un menor de orden : = +- = rg(a) Como l dimensión de l mtriz es, el determinnte sólo puede ser por lo tnto El rg(a)= 6 ( ) 6 Por lo tnto el rg(a)= ( 6 8 ) ( ) ( 8 ) b) rg(b)= c) rg(c) = Colegio Sn Agustín (Sntnder) Págin 8

9 8) Clcul el rngo de ls siguientes mtrices: ) A= ( ) b) B= ( ) 8 ) Es un mtriz con ils y columns, el determinnte puede ser. Como máimo el rngo podrí ser. Tommos un menor y hllmos su determinnte: = - = -6 rg(a) Tommos un menor de orden : = = Como todos los determinntes son igul cero, el rg(a)= Hemos comprobdo que ests ils no son linelmente dependientes. De hecho: F = -F y F = F -F ( ) 6 6 ( 8 ) 6 6 ( 8 ) 6 Por lo que rg(a)= y que l tercer y curt il tiene ( ) todos sus vlores nulos. b) Es un mtriz con ils y columns, el determinnte sólo puede ser. Como máimo el rngo podrí ser. Tommos un menor y hllmos su determinnte: = += rg(b) Tommos un menor de orden : Colegio Sn Agustín (Sntnder) Págin 9

10 = = Como todos los determinntes son igul cero rg(b)= Hemos comprobdo tmbién que ests ils no son linelmente independientes. ( ) ( ) ( ) Por lo 8 tnto el rg(b) = y que l tercer il todos los vlores son nulos. Rngo con prámetros 9) Estudi, según los vlores del prámetro, el rngo de ls siguientes mtrices. ) A= ( ) b= ( ) c= ( ) d= ( ) ) = = = =- = + = Si =- rg(a)= Si - rg(a)= b) = = = (-+6)= = y = Si = B=( ) rg(b)=, y que = Si = B=( ) rg(b)=, y que =-6 Si y - rg(b)= Colegio Sn Agustín (Sntnder) Págin

11 c) = = = -6+ = = No eiste ningún vlor rel de que nule el determinnte de C rg(c)= en todos los csos. d) = = = = = Si = D=( ) rg(d)=, y que ls tres ils son proporcionles. Si rg(d)= ) Estudi, según los vlores de m, el rngo de l siguiente mtriz A = ( ) Clculmos el determinnte y lo igulmos cero. = = -m -m m +m = en todos los csos. Por lo tnto rg(a) Como F = F rg(a) = rg ( ) Si m= rg(a) = rg( ) = Si m rg(a) = ) Estudi, según los vlores de t, el rngo de l mtriz A= ( ) Clculmos el determinnte y lo igulmos cero. = = t +6+-t++t = t -t + = t -t + = { Si t y t = rg(a)= Colegio Sn Agustín (Sntnder) Págin

12 Si t= A= ( ) rg(a)= y que y = Si t= A= ( ) rg(a)= y que =-=- y = MATRIZ INVERSA ) Clcul, si es posible, l invers de l mtriz : A = ( ) pr los csos en los que = y = = A=( ) Clculmos el determinnte = = =- Por lo tnto eiste l mtriz invers A -. L clculmos: Clculmos los djuntos: A = - A =- A = A = A = A =-8 A = A =- A = Adj(A)= ( ) = ( ) A - = = ( ) Pr = A= ( ) Como ls dos ils son igules =. Por tnto no eiste A - Colegio Sn Agustín (Sntnder) Págin

13 ) Clcul pr qué vlores de t eiste l invers de l mtriz A= ( ) b) Clculr A - pr t = ) L condición necesri y suiciente pr que eist l mtriz invers (A - ) es que Clculmos el determinnte de A = = t +t-+t++t = t +6t+= t = - Por lo tnto pr que eist mtriz invers A -, t tiene que ser distinto de - (t -) b) Si t =, l mtriz A nos qued de l siguiente mner A= ( ) Clculmos su determinnte pr demostrr que eiste mtriz invers. = = +-+++= Por lo tnto hbrá mtriz invers. Clculmos los djuntos: A = A = - A = A = A = A = A = A = A = Adj (A) = ( ) = ( ) A - = = ( ) Colegio Sn Agustín (Sntnder) Págin

14 ) Clcul los vlores de pr los que eiste l mtriz invers de B= ( ) b)clcul A - pr = ) L condición necesri y suiciente pr que eist l mtriz invers (A - ) es que Clculmos el determinnte de B = = = - -+= { L mtriz invers A - eiste si y -. b) Clculmos A - pr =, sí que sustituimos por en l mtriz B. B= ( ) Clculmos su determinnte pr demostrr que eiste mtriz invers. = = = Vmos tener mtriz invers. Clculmos los djuntos: B = B = - B = B = B = B =- B = - B = B = Adj(B) = ( ) = ( ) A - = = ( ) Colegio Sn Agustín (Sntnder) Págin

15 Colegio Sn Agustín (Sntnder) Págin

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