Carlos Mario Morales C 2012

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1 Carlos Maro Morales C

2 Matemátcas Fnanceras No está permtda la reproduccón total o parcal de este lbro, n su tratamento nformátco, n la transmsón de nnguna forma o por cualquer medo, ya sea electrónco, mecánco, por fotocopa, por regstro u otros métodos, sn el permso prevo y por escrto del ttular del copyrght. DERECHOS RESERVADOS 2011 por Carlos Maro Morales C. carrera 77c No Medellín-Colomba Teléfono: E_Mal: Impresón dgtal en Colomba. Datos Catalográfcos para ctar este lbro Matemátcas Fnanceras Carlos Maro Morales C. Edtoral propa. Medellín, 2012 ISBN: Pendente Formato 21x24 cm. Pagnas: 2

3 Anualdades y gradentes UNIDAD 3: ANUALIDADES Y GRADIENTES OBJETIVO Al fnalzar la undad los estudantes estarán en capacdad de calcular operacones fnanceras en las cuales la contraprestacón se hace a través de cuotas peródcas. Para esto deducrá los modelos matemátcos para calcular el valor actual, futuro, nterés y número de pagos para dferentes tpos de operacones y aplcará estos en stuacones de la vda empresaral. CONTENIDO 6. Ejerccos resueltos 7. Ejerccos propuestos 3

4 1. Ejerccos resueltos 6.1 Un padre de famla cuando su hjo cumple 12 años hace un depósto de $X en una fducara con el objeto de asegurar sus estudos unverstaros, los cuales se ncara al cumplr 20 años. Se estma que para esa época el valor de la matrícula anual de la unversdad va ser de $ y no sufrrá modfcacones durante los ses años que duraran sus estudos, Cuál deberá ser el valor del depósto $X? Suponga que la fduca le reconoce una tasa de nterés del 30% anual. o Valor de los pagos: $3 mllones o Numero de pagos: 6, a partr del año 12 o Tasa de nterés efectva anual: 7% Representacón gráfca En la sguente gráfca se representa la operacón: 3 mllones V p =? = 30% EA Para calcular el deposto se calcula el valor presente V p7 de la anualdad, aplcando la formula (23) y el resultado se traslada al perodo 0, es decr cuando el hjo cumple 12 años, utlzando la formula (12) 1 (1 + ) n V p = A [ ] ; para 0 1 (1 + 0,3) 6 V p = [ ] = ,89 0,3 4

5 V p = V f (1 + ) n V p = ,89 (1 + 0,3) 7 = ,06 El deposto que deberá hacer el padre de famla es: $ , Una pequeña empresa solcta un préstamo el día 1 de marzo de 2010 y acuerda efectuar pagos mensuales de $ , desde el 1 de octubre de 2010, hasta el 1 de agosto de S el banco aplca una tasa de nterés del 3.5% efectvo mensual, Cuál será el valor del préstamo? o Valor de los pagos: $ o Numero de pagos: 11, a partr del 1 de octubre o Tasa de nterés efectva mensual: 3,5% Representacón gráfca En la sguente gráfca se representa la operacón: = 3,5% EM V p =? Para calcular el préstamo se calcula el valor presente V p6 de la anualdad, aplcando la formula (23) y el resultado se traslada al perodo 0, es decr el 01 de marzo del 2010, utlzando la formula (12) 1 (1 + ) n V p = A [ ] ; para 0 5

6 (1 + 0,035) 11 V p = [ ] = ,24 0,035 V p = V f (1 + ) n El préstamo será de: $ ,08 V p = ,24 (1 + 0,035) 6 = , Un nversonsta que depostó el prmero de abrl de 2010, $10 mllones, en un fondo que paga un nterés del 6% N-s Cuántos retros semestrales de $ podrá hacer, s el prmer retro lo hace el prmero de abrl de 2013? o Valor de los pagos: $ o Tasa de nterés: 6% N-s o Perodos semestrales Representacón gráfca En la sguente gráfca se representa la operacón: n V p = j = 6% N-s Para calcular el número de retros, ncalmente llevamos el deposto ncal hasta ses meses antes de ncar lo retros, es decr el 01 de abrl del 2013; esto con el fn de confgurar la anualdad, para esto se utlza la formula (11) Tasa de nterés efectva se calcula a partr de la formula (15) j = m 6

7 = 0,06 2 Numero de perodos: 5 perodos (semestres) = 0,03 = 3% ES V f = V p (1 + ) n V f5 = (1 + 0,03) 5 = ,74 A partr de la anualdad confgurada se puede calcular el numero de retros (pagos) utlzando la formula (31) n = n = log A Log (A V p) log(1 + ) log Log ( , ,74) log(1 + 0,03) = 19,29 El nversonsta podrá hacer: 19 retros semestrales de $ y un venteavo retro por una fraccón de los $ Un trabajador deposta en un fondo de pensones el día de hoy la suma de $ y dentro de tres años $ ; al fnal del año 5 comenza a hacer depóstos anuales de $ , durante 6 años, Cuánto dnero podrá retrar anualmente en forma ndefnda, comenzando al fnal del año 14? El fondo reconoce una tasa del 20% efectvo anual o Valor de los pagos: o Tasa de nterés: 20% EA o Perodos anuales: 6 o Depóstos extras; año 1: , año 3: Representacón gráfca En la sguente gráfca se representa la operacón: A =? n V 0 = V 3 = V A = = 20% EA 7

8 Para determnar el valor que trabajador puede retrar anualmente en forma ndefnda se debe confgurar la anualdad perpetua con valor presente en el perodo 13. Este valor se calcula, por su parte, como el valor futuro de la anualdad con pagos de $ , traslada al perodo 13, más el valor futuro, en este msmo perodo, de los ahorros de $ y Para calcular los valores futuros se utlzan las formulas (11) y (28). V f = V p (1 + ) n V f13 = (1 + 0,2) 13 = ,53 V f13 = (1 + 0,2) 10 = ,26 V f = A [ (1 + )n 1 ] V f13 = [ (1 + 0,2)6 1 ] (1 + 0,2) 3 = ,80 0,2 V 13 = , , ,80 = ,59 Para determnar el monto que puede retrar a perpetudad, aplcamos la formula (34), despejando A V p = A ; para 0 V p = ,59 0,2 = ,71 El trabajador podrá realzar retros anuales de , Una empresa estuda el arrendo de una casa lote para sus operacones. Su agente nmoblaro le presenta dos ofertas: una casa para la cual se estma un costo de mantenmento de $ anuales y de $ cada 4 años para reparacones mayores; de otro lado se ofrece una casa que requerrá de una suma de $ anuales para mantenmento y de $ cada tres años para reparacones adconales. S la casa-lote se va usar por tempo ndefndo y suponendo que el costo de captal de la empresa es del 35% efectvo anual. Cuál 8

9 de las dos alternatvas le aconsejaría tomar a la empresa? o Casa No 1 o Anualdad mantenmento: anual; anualdad de reparacones $ cada 4 años o Casa No 2 o Anualdad mantenmento: anual; anualdad de reparacones $ cada 3 años o Tasa de nterés: 35% EA o Perodos anuales: perpetuo Representacón gráfca En la sguentes gráfcas se representan las dos alternatvas: Casa No1 = 35% EA n A 1 = Casa No2 A 2 = = 35% EA n A 1 = A 2 = Para determnar la mejor alternatva; se compara el valor presente de ambas 9

10 alternatvas. El calculo del valor presente se realza aplcando la formula (34) y consderando que ambos casos el valor presente es la suma de las dos anualdades en el perodo cero (0) Casa No1 V p = A A 2 2 Para la anualdad de cada cuatro años se debe determnar la tasa efectva equvalente partendo de la tasa efectva anual, para ello se utlza la formula (16), consderando que n 1 es gual a 1 y n 2 es = (1 + 1 ) n 1 n = (1 + 0,35) 4 1 = 2,3215 = 232,15% ECuatroAños Consderando esta tasa de nterés se puede ahora calcular el valor presente de la alternatva, como sgue: Casa No2 V p = , ,3215 = ,64 Para la anualdad de cada tres años se debe determnar la tasa efectva equvalente partendo de la tasa efectva anual, para ello se utlza la formula (16), consderando que n 1 es gual a 1 y n 2 es = (1 + 1 ) n 1 n = (1 + 0,35) 3 1 = 1,4603 = 146,03% ETresAños Consderando esta tasa de nterés se puede ahora calcular el valor presente de la alternatva, como sgue: V p = , ,4603 = ,56 10

11 El valor presente de la segunda alternatva es mucho mayor que el de la prmera por lo cual la mejor opcón será la casa No1 6.6 Con una tasa de nterés del 24% N-t, Cuál debe ser el valor de los pagos semestrales vencdos que, hechos por 10 años, amortzarán una deuda de $ ? o Valor presente o actual: $ o Tasa de nterés: 24% N-t o Perodos semestrales: 20 Representacón gráfca En la sguente gráfca se representa la operacón: = 24% N-t A =? Consderando que se trata de pagos semestrales es necesaro determnar la tasa de nterés efectvo semestral a partr de la tasa nomnal trmestral dada. Para esto, ncalmente se halla la tasa efectva trmestral a partr de la nomnal, utlzando para ello la formula (15) = 0,24 4 j = m = 0,06 = 6% ET A partr de esta tasa se halla la tasa efectva semestral, utlzando para ello la formula (16), consderando que n 1 es gual a 4 y n 2 es 2 2 = (1 + 1 ) n 1 n = (1 + 0,06) = 0,1236 = 12,36% ES 11

12 Consderando esta tasa de nterés se puede ahora calcular los pagos de la anualdad, utlzando para ello la formula (25), como sgue: A = V p [ 1 (1 + ) n] 0,1236 A = [ 1 (1 + 0,1236) 20] = ,68 Las cuotas semestrales para pagar la deuda son de $ , Con una tasa de nterés del 24% N-t, Cuál debe ser el valor de los pagos semestrales antcpados que, hechos por 10 años, amortzarán una deuda de $ ? o Valor presente o actual: $ o Tasa de nterés: 24% N-t o Perodos semestrales: 20 Representacón gráfca En la sguente gráfca se representa la operacón: = 24% N-t Consderando que se trata de pagos semestrales es necesaro determnar la tasa de nterés efectvo semestral a partr de la tasa nomnal trmestral dada. Para esto, ncalmente se halla la tasa efectva trmestral a partr de la nomnal, utlzando para ello la formula (15) = 0,24 4 A =? j = m = 0,06 = 6% ET A partr de esta tasa se halla la tasa efectva semestral, utlzando para ello la 12

13 formula (16), consderando que n 1 es gual a 4 y n 2 es 2 2 = (1 + 1 ) n 1 n = (1 + 0,06) = 0,1236 = 12,36% ES Consderando esta tasa de nterés se puede ahora calcular los pagos de la anualdad, despejando A de la formula (32), como sgue: V p 1 (1 + ) (n 1) = A [1 + ] 1 (1 + 0,1236) (20 1) = A [1 + ] 0, = A[8,2068] A = ,2068 = ,76 Las cuotas semestrales antcpadas para pagar la deuda son de $ , Un señor desea comprar una pólza de seguro que garantce a su esposa el pago de $ mensuales durante 10 años y adconalmente $ al fnal de cada año durante este msmo período. S el prmer pago se efectúa al mes del fallecmento del señor, hallar el valor de la pólza de seguro suponendo que la compañía de seguros garantza el 24% N-m o Tasa de nterés: 24% N-m o Anualdad 1: $ mensuales durante 120 meses o Anualdad 2: $ anuales durante 10 años Representacón gráfca En la sguente gráfca se representa la operacón: A 2 = A 1 = = 24% N-m 13

14 El valor de la pólza corresponde al valor presente de la suma de las dos anualdades. Para realzar el cálculo se requere hallar la tasa efectva de nterés anual y mensual equvalente a la tasa nomnal dada. Tasa efectva mensual Tasa efectva anual = 0,24 12 j = m = 0,02 = 2% EM Tasa efectva anual A partr de esta tasa efectva mensual se halla la tasa efectva anual, utlzando para ello la formula (16), consderando que n 1 es gual a 12 y n 2 es 1 n 1 2 = (1 + 1 ) n = (1 + 0,02) = 0,2682 = 26,82% EA Consderando estas tasas de nterés se puede ahora calcular los valores presentes de las anualdades y sumarlos para obtener el valor de la pólza. Para esto se utlza la formula (23), como sgue: Anualdad mensual 1 (1 + ) n V p = A [ ] ; para 0 1 (1 + 0,02) 120 V p = [ ] = ,02 Anualdad anual 1 (1 + 0,2682) 10 V p = [ ] = ,45 0,

15 Valor de la pólza: Vp = ,45 = ,4 El valor de la pólza es: $ ,4 6.9 Una pequeña empresa acuerda con su banco un préstamo el cual se pagara en 12 cuotas mensuales. S el prmer pago es de $ y los pagos sucesvos dsmnuyen cada uno en $ a) Cuál será el valor del últmo pago? b) Cuál será el valor fnal de los pagos, suponendo una tasa del 36% N-m? o Tasa de nterés: 36% N-m o Pagos mensuales decrecentes, con A 1 = y K = Representacón gráfca En la sguente gráfca se representa la operacón: A 1 = = 36% N-m A 1 = y K = Para calcular el pago en el perodo 12, se utlza la ley de formacón del gradente matemátco consderando A 1 = y K = A n = A 1 + (n 1)K A 12 = (12 1) =

16 Para realzar el cálculo del valor fnal se requere hallar ncalmente la tasa efectva de nterés mensual equvalente a la tasa nomnal dada. Tasa efectva mensual = 0,36 12 j = m = 0,03 = 3% EM Consderando la tasa de efectva mensual se puede ahora calcular el valor fnal de los pagos. Para esto se utlza la formula (36), como sgue: V f = A 1 [ (1 + )n 1 ] + K [(1 + )n 1 n] V f = [ (1 + 0,03)12 1 0,03 ] ,03 [ (1 + 0,03)12 1 0,03 V f = , ,64 = ,73 El valor de la pólza es: $ ,73 12] = 6.10 Hallar el valor de $X en el flujo de caja que se muestra en la gráfca, consderando una tasa de nterés efectva del perodo del 30% X 16

17 o Tasa de nterés: 30% E o Pagos mensuales crecentes, con A 1 = y K = El Valor de X será equvalente al valor de la sere gradente artmétca que nca en el perodo 2, valorada en el perodo 5, más el valor futuro en el perodo 5 de los valores de los perodos 1 y 2. Lo prmero es hallar el valor presente de la sere gradente en el perodo 2, una vez hallado, este se lleva al perodo 5. Para calcular el valor presente del gradente se utlza la formula (35), consderando que A 1 = y K = (1 + ) n V p = A 1 [ ] + K [1 (1 + ) n n (1 + ) n] 1 (1 + 0,3) 8 V p = [ 0,3 ] ,3 [1 (1 + 0,3) 8 0,3 8 (1 + 0,3) 8] V p = , ,06 = ,20 Para hallar el valor futuro del valor anteror en el perodo 5, aplcamos la formula (11), consderando 3 perodos y la tasa de nterés efectva del perodo V f = V p (1 + ) n V f = ,20(1 + 0,3) 3 = ,71 (a) Para hallar el valor futuro de los valores de los perodos 1 y 2 se aplca gualmente la formula (11) V f = V p (1 + ) n V f = (1 + 0,3) 4 = (b) V f = (1 + 0,3) 3 = (c) El valor de X, será gual a la suma de (a), (b) y (c) X = , = ,71 17

18 El valor de X es: $ , Hallar el prmer pago de un gradente artmétco crecente en $ , que tenga 50 pagos y que sea equvalente a 50 pagos que crecen un 20%, con prmer pago de $ , suponga una tasa del 20% o Tasa de nterés: 20% E o Sere gradente artmétca, con A 1 =? y K = , y n = 50 o Sere gradente geométrca, con A 1 = y G = 20% y n = 50 Para hallar el prmer pago de la sere artmétca con K = y 50 pagos; se debe hallar prmero el valor presente de la sere geométrca con G = 20% y un A 1 = Para esto se aplca la formula (38), consderando que G = V p = = na 1 (1 + ) s G = V p = = (1 + 0,2) = ,66 Consderando que el gradente artmétco es equvalente, entonces el valor presente debe ser gual al del gradente geométrco; con esto y sabendo el numero de pagos, nterés y valor del ncremento, utlzando la formula (35), se puede despejar el valor de A 1 1 (1 + ) n V p = A 1 [ ] + K [1 (1 + ) n n (1 + ) n] 1 (1 + 0,2) ,66 = A 1 [ 0,2 ] ,2 1 (1 + 0,2) 50 [ 0, ,66 = A 1 4, ,63 A 1 = ,55 50 (1 + 0,2) 50] 18

19 El valor de la prmera cuota del gradente artmétco es: $ , Con nterés efectvo del 14% hallar el valor fnal de la sguente sere. Perodo Valor En la tabla se dentfcan dos seres a) La prmera es una sere artmétca crecente que se nca en el perodo 0 y termna en el perodo 6, con A 1 = 300 y K = 200 b) La segunda es una sere artmétca decrecente que se nca en el perodo 6 y termna en el perodo 12, con A 1 = 1000 y K = 300 o Tasa de nterés: 14% E El Valor fnal será gual a la suma de las dos seres crecente y decrecente valoradas en el perodo 12. Para calcular el valor fnal se utlza la formula (36) y la formula (11) V f = A 1 [ (1 + )n 1 ] + K [(1 + )n 1 n] V f = V p (1 + ) n Prmera sere El valor fnal de esta sere en el perodo 6, es: V f6 = 300 [ (1 + 0,14)6 1 ] ,14 0,14 [(1 + 0,14)6 1 6] = 6.182,83 0,14 Consderando que se requere el valor equvalente en el perodo 12, se halla el valor futuro del anteror valor en 12 utlzando la formula (11) V f12 = 6.182,83(1 + 0,14) 6 = ,14 (a) Segunda sere El valor fnal de esta sere en el perodo 12, es: 19

20 V f12 = 1000 [ (1 + 0,14)6 1 ] 300 0,14 0,14 [(1 + 0,14)6 1 6] = 3.102,26 (b) 0,14 El valor de la sere será gual a + b, es decr: V f12 = , ,26 = ,41 El valor fnal de la sere será: $16.673, Con nterés efectvo del 6% hallar el valor presente de la sguente sere. Perodo Valor ,4 103,68 124,42 149,3 + 9,4 179, En la tabla se dentfca lo sguente: a) Una anualdad con pagos A = 60, ncando en el perodo 0 y termnando en 4 b) Una sere gradente geométrca crecente que se nca en el perodo 4 y termna en el perodo 11, con A 1 = 72 y G = 20% c) Un pago de 9,4 en el perodo 9 o Tasa de nterés: 6% E El valor presente de la sere será gual a la suma del valor presente de la anualdad, más el valor de la sere geométrca valorada en 0, más el valor presente del pago realzado en el perodo 9. Anualdad Para calcular el valor presente en 0 de la anualdad se utlza la formula (23), consderando A = 60, n = 4 y la tasa de nterés efectva del perodo 1 (1 + ) n V p = A [ ] 1 (1 + 0,06) 4 V p = 60 [ ] = 207,91 (a) 0,06 20

21 Gradente geométrco Para valorar el gradente en el perodo 0, ncalmente se calcula el valor presente en 4 el gradente utlzando la formula (38), consderando que G, segudamente para este valor se calcula el equvalente en 0, utlzando la formula () V p4 = A 1 (G ) + G)n [(1 1] s G (1 + ) n V p4 = 72 (0,2 0,06) (1 + 0,2)7 [ 1] = 711,27 (1 + 0,06) 7 Para hallar el valor en el perodo 0, se utlza la formula (12), consderando 4 perodos V p = V f (1 + ) n V p = 711,27 = 563,39 (b) (1 + 0,06) 4 Pago perodo 9 El valor presente del pago del perodo 9, se calcula utlzando la formula (12) V p = V f (1 + ) n V p = 9,4 = 5,56 (c) (1 + 0,06) 9 El valor de la sere será gual a la suma de a, b y c V p = 207, ,39 + 5,56 = 776,86 El valor ncal de la sere será: $776, Hallar el valor presente de una sere nfnta de pagos, s el prmero corresponde a $ , son crecentes en un 10% y la tasa efectva es del 8%. 21

22 o Sere gradente crecente con A 1 = y G = 10% o Numero de pagos: nfntos o Tasa de nterés: 8% E Recordemos que en la formula (40) s el G, entonces el valor presente del gradente es nfnto, consderando que este es el caso, entonces: V p = = A 1 ; s G < ( G) V p = ; s G El valor ncal de la sere será: 6.15 Cuál será el valor ncal equvalente de una sere nfnta de pagos mensuales que crecen cada mes en $ , cuyo prmer pago es de $ y para el cual se reconoce una tasa del 2.5% efectvo mensual? o Sere gradente artmétca crecente con A 1 = y K = o Numero de pagos: nfntos o Tasa de nterés: 2,5% EM El valor equvalente ncal de una sere artmétca nfnta se calcula utlzando la formula (37), consderando el prmer pago, el gradente y la tasa de nterés. V p = A 1 + K 2 V p = ,025 El valor ncal de la sere es: $ (0,025) 2 =

23 6.16 Para el mantenmento y preservacón de la carretera de acceso a una vereda los vecnos de la regón queren establecer un fondo. Se estma que los trabajos para el próxmo año tendrán un costo de 10 mllones de pesos; y que este se ncrementará todos los años en un 18%. Hallar el valor del fondo, suponendo que la fduca reconoce un nterés del 28% efectvo anual o Sere gradente geométrca crecente con A 1 = y G = 18% o Numero de pagos: nfntos o Tasa de nterés: 28% EA El valor del fondo será el valor ncal de la sere geométrca nfnta de los pagos estmados para el mantenmento y preservacón, de esta forma el valor se calcula utlzando la formula (40), consderando que la tasa de nterés es mayor que el gradente. V p = A 1 ; s G < ( G) V p == (0,28 0,18) = Los vecnos deben establecer un fondo con un valor ncal de : $ Una entdad fnancera presta a un clente $30 mllones, con un nterés del 34.8% N-m. El deudor tene un plazo de 15 años para amortzar la deuda, medante pagos mensuales. Suponendo que la prmera cuota es de $ y vence al fnal del prmer mes, cuál debe ser el porcentaje de reajuste mensual de la cuota, para cancelar la deuda? o Valor ncal V p = o Valor de la prmera cuota: A 1 =

24 o Numero de pagos: 180, mensuales o Tasa de nterés: 34.8% N-m Para calcular el gradente de la sere geométrca crecente, ncalmente se debe calcular la tasa de nterés efectva mensual, utlzando la formula (15); segudamente se despejara G de la formula (38), prevendo que G. = 0, j = m = 0,029 = 2,9% EM = (G 0,029) [ (1 + G) 180 1] (1 + 0,029) 180 Consderando que se trata de una ecuacón de orden con varas raíces de orden superor, la solucón debe hacerse por tanteo y error. Después de hacer algunos tanteos se llega a un valor de 3,48% La cuota debe tener un ncremento mensual de: 3,48% 6.18 A un pequeño empresaro le ofrecen en comodato un restaurante durante un año, se le garantza al menos la venta mensual de almuerzos durante todo año; los cuales le serán pagados a razón de $5.000 cada uno, al fnal del año sn ntereses. El empresaro calcula que el costo de los nsumos de cada almuerzo será de $2.000 los cuales deberán ser pagados al prncpo de cada mes. El valor de los nsumos se estma tene un ncremento del 5% mensual. El costo mensual de mano de obra, la cual se consdera permanecerá estable es de $ ; además estma que requerrá hacer una nversón ncal de $10 mllones para la adecuacón del restaurante. Suponendo un nterés mensual del 3%. Calcular cuál será el valor de su gananca en pesos de hoy o Valor total de los almuerzos: P = = o Costo de los nsumos: C = = con ncrementos mensuales de G = 5% (sere geométrca crecente con pagos antcpados) o Costo de la mano de obra: MO = (anualdad con pagos vencdos) o Inversón ncal In =

25 o Tasa de nterés: 3% EM El valor de la gananca será gual a los ngresos menos los egresos; valorados en el perodo 0 (en pesos de hoy). Perodo 0 (en pesos de hoy) Para hallar la gananca se calcula los ngresos, costo de nsumos y mano de obra en 0; no es necesaro calcular el equvalente de la nversón, tenendo en cuenta que este pago se realza en este msmo perodo. Valor presente de los ngresos, se calculan utlzando la formula (12) V p = V f (1 + ) n V p = = ,9 (a) (1 + 0,03) 12 Valor presente de los nsumos, consderando que se trata de un gradente geométrco se utlza la formula (38) tenendo en cuenta que el prmer pago es: A 1 = (1 + 0,05) = , G = 5% y n = 11, lo anteror consderando que se trata de pagos antcpados. A esta sere se le debe sumar el pago se hace en el perodo 0. V p = ,05)11 [(1 1] = ,80 (b) (0,05 0,03) (1 + 0,03) 11 Valor presente de la mano de obra, consderando que se trata de una anualdad se utlza la formula (23), tenendo en cuenta que A = , n = 12 e = 3% 1 (1 + ) n V p = A [ ] ; para 0 1 (1 + 0,03) 12 V p = [ ] = ,98 (c) 0,03 La gananca como se ndco es gual a los ngresos (a) menos el valor de los nsumos (b), menos el valor de la mano de obra (c) y menos el valor de la nversón de U = , , , U = ,12 25

26 La utldad a valores actuales que obtendrá el empresaro es: $ ,12 26

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