Te han solicitado diseñar un nuevo juego de monedas. Todas las monedas serán círculos de color plateado, pero con diferentes diámetros..

Transcripción

1 M143: Monedas A) Presentación del problema Te han solicitado diseñar un nuevo juego de monedas. Todas las monedas serán círculos de color plateado, pero con diferentes diámetros.. Los investigadores han encontrado que un sistema de monedas ideal cumple con las siguientes requerimientos: El diámetro de las monedas debe ser al menos 15 mm pero no más grandes de 45 mm. Dada una moneda, el diámetro de la siguiente moneda debe ser al menos 30% mayor. La maquinaria solamente puede producir monedas con diámetros de números enteros (por ejemplo. 17 mm es permitido, 17.3 mm no es permitido). B) Preguntas del problema Pregunta 1 Las monedas deben cumplir con los requerimientos establecidos y debes empezar por una moneda de 15 mm de diámetro. El juego de monedas debe tener tantas monedas como sea posible. Cuál debe ser el diámetro de las monedas en el juego? C) Solución directa del problema Tomando en cuenta las restricciones del problema: Empezar por una moneda de 15 mm de diámetro. El diámetro de la siguiente moneda debe ser al menos 30% mayor. Solamente se permiten monedas con diámetros de números enteros El diámetro más grande permitido es de 45 mm Moneda Diámetro Entero mayor más cercano que no exceda al mm 15 mm 2 15 x 1.30 = 19.5 mm 20 mm 3 20 x 1.30 = 26 mm 26 mm 4 26 x 1.30 = 33.8 mm 34 mm 5 34 x 1.30 = 44.2 mm 45 mm El diámetro de las monedas debe ser: 15 mm, 20 mm, 26 mm, 34 mm y 45 mm.

2 D) Criterios de evaluación del problema según los estándares de PISA INTENCION DE LA PREGUNTA: Evaluar la habilidad del alumno para entender y utilizar complicada para hacer operaciones aritméticas. Código 1: Respuesta correcta: 15 mm, 20 mm, 26 mm, 34 mm y 45 mm. (no se penaliza la falta de unidades) Código 8: si en la respuesta las monedas satisfacen el criterio de crecimiento pero el juego no está completo: por ejemplo tres monedas con diámetro: 15 mm, 30 mm y 45 mm o cuatro monedas con diámetro 15 mm, 21 mm, 29 mm y 39 mm. Si el diámetro de las primeras tres monedas satisfacen el criterio y las últimas son incorrectas: 15 mm, 20 mm, 26 mm,, o las primeras cuatro son correctas y una es incorrecta 15 mm, 20 mm, 26 mm, 34 mm, Código 0: Respuesta incorrecta: cualquier otra respuesta Código 9: No hay respuesta E) Solución comentada del problema según el proceso de matematización en el marco PISA. Identificación de un problema matemático. El problema es claro, las monedas debe producirse en tamaños con la característica constante de ser 30% mayor que el tamaño anterior. Es una aplicación del concepto de porcentaje. El objetivo de la pregunta es evaluar la habilidad del alumno para entender, utilizar complicada para hacer operaciones aritméticas y entender el significado de operaciones que permitan incrementar una cantidad en un cierto porcentaje y cumplir con restricciones establecidas. Identificación de los elementos matemáticos asociados al problema, reorganización del problema en términos de las matemáticas identificadas. Los elementos matemáticos fundamentales de este problema son porcentaje y redondeo. Para responder a la pregunta el estudiante debe: 1 : Establecer el objetivo: Cuál debe ser el diámetro de las monedas en el juego [que cumpla con las restricciones]? 2 Interpretar las restricciones que se establecen:

3 El diámetro de las monedas debe ser al menos 15 mm pero no más grandes de 45 mm. Dada una moneda, el diámetro de la siguiente moneda debe ser al menos 30% mayor. La maquinaria solamente puede producir monedas con diámetros de números enteros. Abstracción matemática progresiva de la realidad Responder a la pregunta demanda el razonamiento numérico en el alumno para representar cantidades, en este caso el diámetro de una cantidad no determinada de monedas: es el diámetro de cada moneda, Además de los atributos cuantificables de las monedas y el significado de las operaciones para traducir la verbal que se proporciona como restricciones que deben cumplirse en expresiones matemáticas: Restricción El diámetro de cada moneda debe ser al menos 15 mm pero no más grandes de 45 mm. Representación matemática Dada una moneda, el diámetro de la siguiente moneda debe ser al menos 30% mayor. La maquinaria solamente puede producir monedas con diámetros de números enteros.

4 Resolución del modelo matemático El del alumno en forma abstracta pudiera representarse de la siguiente manera: El desarrollo del sentido numérico en el alumno incluye la habilidad de realizar operaciones aritméticas, considerar comparaciones, utilizar porcentajes para llegar a describir atributos de objetos del mundo real, examine alternativas y establezca un algoritmo en que evalúa la validez de los valores numéricos obtenidos. A modo de diagrama de flujo el procedimiento a seguir es: inicio i = 1 d i = 15 d i+1 = d i + d i (0.30) d i+1 Z? si Hacer d i+1 entero próximo mayor si d no i+1 45? no fin i = i + 1 Siguiendo el algoritmo, aunque no lo enuncie formalmente, el alumno obtiene los siguientes valores i d i d i + 1 d i + 1 Z? d i + 1 d i ? No 20 No Si 26 No No 34 No No 45 Si Uso de la solución del modelo matemático como herramienta para interpretar el mundo real. Los modelos matemáticos funcionan con números como entes abstractos, cuando el alumno transfiere los números a situaciones reales, los números deben cumplir con restricciones particulares, por ejemplo, en una población o en cualquier problema de conteo de objetos no tiene sentido hablar de media persona o medio

5 PROCESOS objeto. F) Comentarios al contexto y dominio del problema según el marco PISA. Contexto Publico / Científico: El escenario del problema plantea la necesidad de elaborar un conjunto de monedas que deben cumplir con características que un grupo de investigadores ha determinado. Dominio Cantidad: El alumno establece atributos cuantificables en las monedas, el diámetro, asignando valores mediante operaciones matemáticas a partir de un algoritmo que le permita cumplir con restricciones que se proporcionan. G) Comentarios a los procesos matemáticos dominantes del problema según el marco PISA. Se marcan en amarillo las áreas dominantes: MACRO-PROCESOS Pensamiento y razonamiento Argumentación Comunicación, utilización de operaciones y lenguaje técnico (formal y simbólico). Construcción de modelos Planteamiento y solución de problemas Representación Uso de herramientas de apoyo. Reproducción Conexión Reflexión En el apartado de y razonamiento podríamos estar hablando de dos niveles de procesamiento. Un alumno que ha recibido una buena instrucción matemática simplemente estará reproduciendo lo que ya sabe acerca de los porcentajes. Es decir, estos funcionan para expresar cuantitativamente partes de un todo por ejemplo (0.30x) o pueden servir para expresar el todo más una parte (x + 0.3x = x ( ) = 1.3x). Este segundo aspecto no es del todo conocido por algunos alumnos y para resolver el problema tendrían que conectar este conocimiento. En esencia un alumno bien preparado estaría razonando a nivel reproductivo otro con menos preparación estaría razonando a nivel conectivo. Algo similar sucede en la construcción de modelos matemáticos. La situación descrita en este problema no es distinta a lo que muchos libros de texto enseñan aun cuando no se trate de monedas. Si el alumno ya ha practicado con esto el modelo matemático es principalmente reproductivo, si no entonces tendrá que conectar en inclusive reflexionar profundamente sobre esta situación.

6 El planteamiento del problema está dado; obviamente no así su solución. La solución dependiendo del nivel de razonamiento del alumno será paso a paso o tal vez más estructurada en una tabla como se presenta en este problema. El diagrama de flujo representa en abstracto los procesos mentales que seguramente guían el del alumno. Iterar matemáticamente es en general una habilidad compleja que se mejora con el conocimiento previo y la práctica. Nuevamente un alumno bien preparado simplemente tiene que conectar procedimientos ya practicados en el salón de clases. Un alumno que no tenga este beneficio definitivamente tendrá que reflexionar profundamente para dar con un método de solución del problema. Finalmente la forma de representación del problema implica conectar un conocimiento bien establecido y reproductivo de organización de la en una tabla para proveer la. Esto es por supuesto una forma de representación. El alumno puede optar por dibujar círculos para representar los diferentes tamaños de monedas e ir calculando el diámetro de cada una. En cada caso parece que la forma de representación sería conectiva más que puramente reproductiva. H) Conexiones curriculares del reactivo PISA con el programa de la SEP. En el documento CurrMateSEPMaster obsérvense las siguientes conexiones curriculares. Para tener mayor detalle sobre los contenidos de cada conexión curricular véase Programa Mate SEP y uso de los números Patrones y fórmulas Construir sucesiones de números a partir de una regla dada. Determinar expresiones generales que definen las reglas de sucesiones numéricas y figurativas Manejo de la Análisis de la Porcentajes Resolver problemas que impliquen el cálculo de porcentaje utilizando adecuadamente la expresión fraccionaria o decimal y uso de las operaciones Problemas multiplicativos Resolver problemas que impliquen la multiplicación de números decimales en distintos contextos y uso de las literales Relación funcional Reconocer situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de la física, la biología y otras disciplinas, la presencia de cantidades que varían una en función de la otra y representar esta relación mediante una tabla o una expresión de la forma: y = mx + b Manejo de la Análisis de la Porcentajes Interpretar y utilizar porcentajes para analizar el comportamiento de diversas situaciones y uso de las literales Relación funcional Reconocer en diferentes situaciones y fenómenos de las distintas disciplinas, la presencia de cantidades que varían en función de otra y representar la regla que modela esta variación mediante una tabla o una expresión algebraica.