ACTIVIDADES NO PRESENCIALES

Transcripción

1 E.T.S.I. Idustriales y Telecomuicació Asigatura: Cálculo I Grado e Igeiería Mecáica Este documeto cotiee las actividades o preseciales propuestas al termiar la clase del día que se idica. Se sobreetiede que tambié se debe realizar el estudio de lo explicado e clase auque o se icluya esa tarea e este documeto. Clase de octubre Desde la págia html accede a la uidad didáctica sobre series uméricas Realiza el cuestioario que se propoe e dicha uidad pichado e el botó Cierre (ver figura siguiete). Pág.

2 E.T.S.I. Idustriales y Telecomuicació Asigatura: Cálculo I Grado e Igeiería Mecáica Problemas de exame: Estudiar el carácter de las siguietes series uméricas y calcular su suma cuado sea posible (a) (c) (e) + (-) (b) - = 5 æ + ö log ç = è - ø (d) - æ ö - ç = (f) çè ø = = + e - ( ) 5 - = + æ ö ç - çèe ø (g) - - = e (h) (-) = + - (a) Es ua serie geométrica covergete de razó /9. Su suma es S 5 5 = = (b) Es divergete ya que es ua serie de térmios positivos y o cumple la codició + ecesaria de covergecia: e ( )» + e - (c) Es divergete ya que es ua serie de térmios positivos que o cumple la codició æ + ö æ + ö ecesaria de covergecia: log» - ç è - ø çè - ø (d) Es geométrica -8 (e) Se trata de ua serie geométrica co razó r = <-, luego es o covergete. (f) Es suma de dos series la primera covergete pero la seguda divergete. La suma por tato divergete. (g) No coverge, o cumple la codició ecesaria. (h) Es geométrica. Pág.

3 E.T.S.I. Idustriales y Telecomuicació Asigatura: Cálculo I Grado e Igeiería Mecáica a) Demuestra que la serie armóica es divergete. = b) Demuestra que la serie es covergete. Ayuda: Desde la págia = html accede al laboratorio Series: criterio itegral Comprueba cómo es posible acotar la suma parcial eésima mediate ua itegral e el caso de las dos series propuestas. Criterio Itegral: Si f ( x ) es ua fució positiva, cotiua y decreciete para x ³ y a ( ) = f, etoces siedo S = a + a a + ò ( ) + ò ( ) f x dx S a f x dx 4 Elige ahora el elace Series: Resto criterio itegral y observa cómo la diferecia etre el valor de la serie y la suma parcial eésima se va haciedo cada vez más pequeña para la serie. = Pág.

4 E.T.S.I. Idustriales y Telecomuicació Asigatura: Cálculo I Grado e Igeiería Mecáica de oviembre 5 Del tema de Series uméricas y Series de potecias, hacer los siguietes Resueltos úmeros,,, y 4 (págia a 4) Propuestos úmeros, y (págias 8 y 9) 6 de oviembre 6 Del tema de Series uméricas y Series de potecias, hacer los siguietes Ejercicios resueltos úmeros 5 (págia 5) y 8 (págia ) Ejercicio resuelto úmero 7 (págia 7) 7 Calcular el desarrollo e serie de potecias de las seis primeras filas de la tabla siguiete calculado su campo de covergecia. Desarrollos e serie e x x x x = = x <!!! = + 5 x x x se x = - = x x <!! 5! ( ) ( ) = ( + ) 4 x x x cos = - = x <!! 4! ( x) ( ) = ( ) - x x x - x log( + x) = (- ) = x (- ) < x = = x = + x + x + + x + x < - x = = (- ) x = - x + x (- ) x +... x < + x = Pág. 4

5 E.T.S.I. Idustriales y Telecomuicació Asigatura: Cálculo I Grado e Igeiería Mecáica 8 de oviembre 8 Realizar los ejercicios de la práctica de ordeador propuesta este día. 9 Del tema de Series uméricas y Series de potecias, hacer los siguietes Realizar el ejercicio resuelto úmero 9 (págia ) y el resuelto úmero (págia 4) 9 de oviembre Del tema de Series uméricas y Series de potecias, hacer los siguietes Resuelto úmero 6 (págia 6) y propuesto úmero 5 (págia 9) Problema de exame Solució: (a) Calcular el domiio de la siguiete fució f x x (b) Dada la fució f x log x, se pide:. Obteer el desarrollo e serie de la fució f x e potecias de (x ) calculado su campo de covergecia.. Obteer el valor de la suma de la siguiete serie: 4. Calcular el valor aproximado de log.5 co la suma de los primeros térmios de la serie obteida e el apartado. dado ua cota del error. (c) Calcula el desarrollo e serie de potecias cetrado e el puto de la fució f x x x (a) Se trata de calcular el campo de covergecia de la serie de potecias. Utilizado el criterio del cociete, se tiee que como Pág. 5

6 E.T.S.I. Idustriales y Telecomuicació Asigatura: Cálculo I Grado e Igeiería Mecáica 4 x 4 lim x lim 4 x 4 x la serie será covergete si x. 4 Para armóica. 9 x, la serie es divergete por ser la serie 7 4 Para x, la serie (se debe comprobar las hipótesis del teorema). es covergete por Leibitz El domiio de la fució es 7 9, 4 4 b.. La serie de potecias de esta fució es f (! x ( siedo f x! x, f. Luego, el desarrollo e serie es x Nota: Tambié podría haberse obteido coocido el desarrollo de la fució geométrica e itegrado. Para aalizar la covergecia de esta serie basta aplicar el criterio del cociete a la serie de los valores absolutos x lim x lim x x x Si x la serie de potecias es covergete. Aalizado los extremos: Pág. 6

7 E.T.S.I. Idustriales y Telecomuicació Asigatura: Cálculo I Grado e Igeiería Mecáica E x=, la serie Leibitz (hay que demostrar las hipótesis del teorema) es covergete ya que se puede aplicar E x=, la serie es divergete por ser la serie armóica. b.. El valor pedido es el resultado de sustituir e la serie x por, luego log b.. Teiedo e cueta que log.5.5 u valor aproximado co los primeros térmios log.5 tedrá u error de aproximació meor que el valor absoluto del térmio de la serie (al ser ua serie alterada) log.5 c) Descompoer e fraccioes simples y utilizar el desarrollo de ua serie geométrica. Ver ejercicio propuesto º 9 del tema de sucesioes y series de potecias. Descompoiedo e fraccioes simples, f x A B x x x x siedo A= y B= x x si x x x x x si x x x Luego f x x si x x x Pág. 7

8 E.T.S.I. Idustriales y Telecomuicació Asigatura: Cálculo I Grado e Igeiería Mecáica de oviembre Del tema de Series uméricas y Series de potecias, hacer los siguietes Realizar el ejercicio resuelto úmero (págia 4) Problema de exame f x = log + x. Se pide Dada la fució ( ) ( ). Calcular la serie de potecias de esta fució e el puto a = a partir del desarrollo de su fució derivada.. Obteer el campo de covergecia de la serie obteida e el apartado aterior. Euciar el Teorema de Abel.. Escribir el código Matlab para represetar la fució y los primeros cico térmios o ulos de la serie de potecias. Solució. 4. Calcular la suma de la siguiete serie: (- ) = x f x x x x x x + ' = = = - = - < + x + x = = (a) ( ) ( ) ( ) Itegrado térmio a térmio æ ö + log( + x ) = f '( x) dx ( ) x ò = ò ç - dx = çè = ø + æ + ö æ x ö = ( ) x dx ( ç - = - ) + C è ò ø = = ç è + ø ( x ) ( ) æ + x ö log + = - + C = ç è + ø Para x= se tiee que log=c luego C=. Como al itegrar ua serie de potecias se coserva el radio de covergecia se tedrá que ( + x ) = (- ) æ + x ö log = ç è + ø si x. Pág. 8

9 E.T.S.I. Idustriales y Telecomuicació Asigatura: Cálculo I Grado e Igeiería Mecáica (b) Coocido el radio de covergecia de la serie de potecias (-) + x R=, para + obteer el campo de covergecia basta aalizar los putos extremos de dicho itervalo. = x x. Esta serie es covergete por el criterio de Leibiz ya que se cumple a = + tiede a cero cuado tiede a ifiito y es ua sucesió moótoa decreciete.. Esta serie es covergete como se ha visto para el puto aterior. El campo de covergecia es el itervalo é-, ù êë úû, es decir, (c) El código Matlab pedido es: + x log( + x ) = (-) x Î é-, ù + ê ë ú û = x=-:.:; s=; for =:4 s=s+((-)^)*x.^(*+)/(+); ed plot(x,log(+x.^),x,s) Nota: Otra forma x=-:.:; f=ilie('((-)^)*x.^(*+)/(+)','x',''); s=f(x,)+f(x,)+f(x,)+f(x,)+f(x,4) plot(x,log(+x.^),x,s) (d) Para obteer el valor de la serie basta teer e cueta que ( ) - (-) (-) (-) log + = = - log = + = = = 4 Del tema de Series uméricas y Series de potecias, hacer los siguietes Realizar el ejercicio propuesto úmero 7 (págia ) Pág. 9