GESTIÓN ACADÉMICA GUÍA DIDÁCTICA

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1 PÁGINA: 1 de 7 Nombres y Apellidos del Estudiante: Docente: Área: MATEMATICAS Grado: SEXTO Periodo: SEGUNDO Duración: 3 semanas y/o 15 horas GUIA 1 Asignatura: MATEMATICAS ESTÁNDAR: Resuelvo y formulo problemas en contextos de medidas relativas y de variaciones en las medidas. INDICADORES DE DESEMPEÑO: Utiliza conceptos de teoría de números EJE(S) TEMÁTICO(S): TEORIA Y APLICACIONES DE NUMEROS -Múltiplos y divisores. -Criterios de divisibilidad. -Descomposición de números en factores primos. -Mínimo común múltiplo y máximo común divisor. MOMENTO DE REFLEXIÓN y CRECIMIENTO PERSONAL Sabio no es aquel hombre que lo sabe todo y enseña; sabio es aquel hombre que aprende y pone atención ORIENTACIONES (Forma de trabajo y forma de evaluar la guía) Esta guía No.1 de 4, tiene como propósito brindar orientaciones a estudiantes de sexto grado durante el segundoperiodo del año lectivo, como estrategia a fin de lograr un servicio educativo de calidad, su contenido consta de temas con talleres prácticos, los cuales se apoyan con conceptualización teórica, que se acompañaran en el orden de los temas con actividades para el desarrollo de ejercicios. Por lo tanto se hace necesaria la consulta de libros de texto del grado sexto y cuaderno de ejercicios. Se le recomienda realizar resumen en el cuaderno sobre cada tema y en este orden el desarrollo de los ejercicios como un complemento en la apropiación del conocimiento, es importante que: a) Resuelva los problemas propuestos. b) Indica los conceptos y procedimientos matemáticos que se ponen en juego en la Solución. c) Identifica diferencias y semejanzas entre los distintos problemas. d) Para cada problema enuncia otros dos del mismo tipo, cambiando las variables de la Tarea, de manera que uno te parezca más fácil de resolver y otro más difícil. e) Piensas que los enunciados son suficientemente precisos y comprensibles, propón un enunciado alternativo para aquellos ejercicios que no te parezcan suficientemente claros. f) Consigue libros de texto y en ellos algunos tipos de problemas que no estén incluidos en la relación de la guía y explica en qué se diferencian EXPLORACIÓN TEORIA DE NUMEROS Completa el esquema de encierra en un circulo de color números hasta el numero 100 y los números primos. CONCEPTUALIZACIÓN (Teoría)

2 PÁGINA: 2 de 7 GLOSARIO: La teoría de números es la rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los números, en particular los enteros, pero más en general, estudia las propiedades de los elementos de Dominios Enteros MULTIPLOS Un número a es múltiplo de otro b cuando es el resultado de multiplicarlo por otro número c. a = b c Ejemplo: 18 es múltiplo de 2, ya que resulta de multiplicar 2 por = 2 9 Obtenemos un múltiplo natural al multiplicarlo por cualquier número natural Propiedades de los múltiplos de un número 1. Todo número a, distinto de 0, es múltiplo de sí mismo y de la unidad. 2. El cero es múltiplo de todos los números. 3. Todo número, distinto de cero, tiene infinitos múltiplos. 4. Si a esmúltiplo de b, al dividir a entre b la división es exacta. 5. La suma de varios múltiplos de un número es otro múltiplo de dicho número. 6. La diferencia de dos múltiplos de un número es otro múltiplo de dicho número. 7. Si un número es múltiplo de otro, y éste lo es de un tercero, el primero es múltiplo del tercero. 8. Si un número es múltiplo de otro, todos los múltiplos del primero lo son también del segundo. DIVISORES Un número b es un divisor de otro a cuando lo divide exactamente. Ejemplo: 4 es divisor de 12; 12 : 4 = 3. A los divisores también se les llama factores. Propiedades de los divisores de un número 1. Todo número, distinto de 0, es divisor de sí mismo. 2. El 1 es divisor de todos los números. 3. Todo divisor de un número distinto de cero es menor o igual a él, por tanto el número de divisores es finito. 4. Si un número es divisor de otros dos, también lo es de su suma y de su diferencia. 5. Si un número es divisor de otro, también lo es de cualquier múltiplo del primero. 6. Si un número es divisor de otro, y éste lo es de un tercero, el primero lo es del tercero. DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES PRIMOS Para descomponer un número en factores efectuamos sucesivas divisiones entre sus divisores primos hasta obtener un uno como cociente. Para realizar las divisiones utilizaremos una barra vertical, a la derecha escribimos los divisores primos y a la izquierda los cocientes. Ejemplo: =

3 PÁGINA: 3 de 7 NÚMERO DE DIVISORES DE UN NÚMERO Se obtiene sumando la unidad a los exponentes y multiplicando los resultados obtenidos: Número de divisores de = (3 + 1) (2 + 1) (1 + 1) (1 + 1) = 48 DIVISIBILIDAD Un número b es divisible por otro a cuando la división es exacta CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD Criterio de divisibilidad por 2 Un número es divisible por 2, si termina en cero o cifra par. 24, 238, Criterio de divisibilidad por 3 Un número es divisible por 3,si la suma de sus dígitos nos da múltiplo de = 15, es mútiplo de = 6, es mútiplo de 3 Criterio de divisibilidad por 5 Un número es divisible por 5, si termina en cero o cinco. 45, 515, Criterio de divisibilidad por 7 Un número es divisible por 7 cuando la diferencia entre el número sin la cifra de las unidades y el doble de la cifra de las unidades es 0 ó múltiplo de = 28, es múltiplo de = = 224 Volvemos a repetir el proceso con = 14, es múltiplo de 7. Criterio de divisibilidad por 11 Un número es divisible por 11, si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan los lugares pares y la de los impares es 0 ó múltiplo de (1 + 1) - 2 = (4 + 2) - (2 + 4) = 0 OTROS CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD Criterio de divisibilidad por 4 Un número es divisible por 4, si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 4. 36, 400, Criterio de divisibilidad por 6 Un número es divisible por 6, si es divisible por 2 y por 3. 72, 324, 1503 Criterio de divisibilidad por 8 Un número es divisible por 8, si sus tres últimas cifras son ceros o múltiplo de , 1048, Criterio de divisibilidad por 9 Un número es divisible por 9,si la suma de sus dígitos nos da múltiplo de = = 18, es múltiplo de 9 Criterio de divisibilidad por 10

4 PÁGINA: 4 de 7 Un número es divisible por 10, si la cifra de las unidades es , 1440, Criterio de divisibilidad por 25 Un número es divisible por 25, si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de , 1025, Criterio de divisibilidad por 125 Un número es divisible por 125, si sus tres últimas cifras son ceros o múltiplo de , 1 125, FACTORIZAR Factorizar o descomponer un número en factores primos es expresar el número como un producto de números primos. NÚMEROS PRIMOS Definición de número primo Un número primo sólo tiene dos divisores: él mismo y la unidad. 5, 13, 59. El número 1 sólo tiene un divisor, por eso no lo consideramos primo. Para averiguar si un número es primo, se divide ordenadamente por todos los números primos menores que él. Cuando, sin resultar divisiones exactas, llega a obtenerse un cociente menor o igual al divisor, se dice que el número es primo. Por tanto 179 es primo. NÚMEROS COMPUESTOS Un número compuesto es él que posee más de dos divisores. Es decir se puede dividir por sí mismo, por la unidad y por otros números. 12, 72, 144. Los números compuestos, se pueden expresar como productos de potencias de números primos, a dicha expresión se le llama descomposición de un número en factores primos. 70 = Factorizar un número Para factorizar un número o descomponerlo en factores efectuamos sucesivas divisiones entre sus divisores primos hasta obtener un uno como cociente. Para realizar las divisiones utilizaremos una barra vertical, a la derecha escribimos los divisores primos y a la izquierda los cocientes. 432 = Máximo común divisor El máximo común divisor (m.c.d. o mcd) de dos o más números es el mayor número que divide a todos exactamente. Cálculo del máximo común divisor 1. Se descomponen los números en factores primos.

5 PÁGINA: 5 de 7 2. Se toman los factores comunes con menor exponente. Hallar el m. c. d. de: 72, 108 y = = = m. c. d. (72, 108, 60) = = es el mayor número que divide a 72, 108 y 60. Si un número es divisor de otro, entonces éste es el m. c. d. El número 12 es divisor de 36. m. c. d. (12, 36) = 12 Mínimo común múltiplo Es el menor de todos múltiplos comunes a varios números, excluido el cero. Cálculo del mínimo común múltiplo 1. Se descomponen los números en factores primos 2. Se toman los factores comunes y no comunes con mayor exponente. Hallar el m. c. m. de: 72, 108 y = = = m. c. m. (72, 108, 60) = = es el menor múltiplo común a: 72, 108 y es el menor número que divide a: 72, 108 y 60. Si un número es un múltiplo de otro, entonces es el m. c. m. de ambos. El número 36 es múltiplo de 12. m. c. m. (12, 36) = 36 Relación entre el m. c. d. y m. c. m. m. c. d. (a, b) m. c. m. (a, b) = a b m. c. d. (12, 16) = 4 m. c. m. (12, 16) = = ACTIVIDADES DE APROPIACIÓN (Taller: Tener en cuenta competencias - Glosario) I.TEORIA DE NUMEROS I.1) Aplica 1. Encuentra los elementos de cada conjunto a. R = {números pares menores que 10} c. T = {números pares entre 50 y 70} b. S = {números impares menores que 15} d. Q = {Números pares entre 980 y 1000} 2. En cada caso propón tres números de dos o tres cifras que sean divisibles por el número dado. a. Divisible por 2. c. divisible por 6. f. divisible por 3 b. Divisible por 9 d. divisible por 5 f. divisible por Determina si cada afirmación es verdadera (v) o falsa (f). justifica tu respuesta. a. El número 315 es divisible por 5, 7 y 9 ( ) c. el número 752 es divisible por 2 y 7 ( ) b. El número 985 es divisible por 11 ( ) d. el número 462 es divisible por 6, 7, y 11 ( ) 4. Indica cuáles de los siguientes números son divisibles por 7.

6 PÁGINA: 6 de 7 a. 105 b. 127 c. 114 d. 245 e f Indica cuáles de los siguientes números son divisibles por 11. a. 275 b. 649 c d e f. 396 I.2) Analiza 6.utilizando diversos ejemplos en cada caso, encuentra la respuesta a cada pregunta y establece conclusiones. a. El producto de tres números pares es par o impar? b. El producto de tres números impares es par o impar? c. El producto de un número par y uno impar es par o impar? d. El cuadrado de un número par es impar? e. El cuadrado de un número impar es impar? 7. Completa cada número de modo que cumpla la condición dada. a es divisible por 3 c es divisible por 7 b. 382 es divisible por 5 d. 134 es divisible por 6 I.3) RESUELVE 8. En un batallón de 215 soldados se quiere hacer una formación para un desfile. De cuántas maneras diferentes se puede hacer la formación? 9. En una huerta se quiere plantar 96 semillas. De cuántas maneras se pueden disponer las semillas, de manera que formen un rectángulo en el huerto? ANALIZA Y RESUELVE - 1: Calcular M.C.D de 55 y Calcular m.c.m de 105 y 350-3: Los números 20, 35 y 99 son primos entre si? - 4: Dados dos números naturales a y b, es cierto que M.C.D(a,b) = M.C.D(b,a)? - 5: Dos números A y B son primos entre si, y el producto de A B es 4095 Cuál es su m.c.m? - 6: Indicar si es cierta la siguiente expresión (M.C.D(6,12,10)) (m.c.m(6,12,10))= : Sean A y B dos números cuyos divisores se detallan a continuación A {12,6,4,3,2,1} B {8,4,2,1} Se pide A: Calcular el M.C.D de A y B B: Cuáles son los números A y B? - 8: Indicar cuales de las siguientes expresiones son correctas: A: M.C.D(15,28) = 6 y m.c.m(15,28) = 210 B: M.C.D(15,28) = 1 y m.c.m(28,15) = 420 C: M.C.D(3,25) = 1 y m.c.m(25,3) = 275 D: M.C.D(3,25) = 3 y m.c.m(25,3) = 225 PROBLEMAS DE M.C.D. y M.C.M. 1 Andrés tiene en su tienda los botones metidos en bolsas. En la caja A tiene bolsitas de 24 botones cada una y no sobra ningún botón. En la caja B tiene bolsitas de 20 botones cada una y tampoco sobra ningún botón. El número de botones que hay en la caja A es igual que el que hay en la caja B. Cuántos botones como mínimo hay en cada caja? 2 María y Jorge tienen 25 bolas blancas, 15 bolas azules y 90 bolas rojas y quieren hacer el mayor número de collares iguales sin que sobre ninguna bola. a) Cuántos collares iguales pueden hacer? b) Qué número de bolas de cada color tendrá cada collar? 3 Un campo rectangular de 360 m de largo y 150 m de ancho, está dividido en parcelas cuadradas iguales. El área de cada una de estas parcelas cuadradas es la mayor posible. Cuál es la longitud del lado de cada parcela cuadrada? 4 Teresa tiene un reloj que da una señal cada 60 minutos, otro reloj que da una señal cada 150 minutos y un tercero que da una señal cada 360 minutos. A las 9 de la mañana los tres relojes han coincidido en dar la señal.

7 PÁGINA: 7 de 7 a) Cuántas horas, como mínimo, han de pasar para que vuelvan a coincidir? b) A qué hora volverán a dar la señal otra vez juntos? 5 Rosa tiene cubos azules de 55 mm de arista y cubos rojos de 45 mm de arista. Apilando los cubos en dos columnas, una de cubos azules y otra de cubos rojos, quiere conseguir que las dos columnas sean iguales. Cuántos cubos, como mínimo, necesita de cada color? SOCIALIZACIÓN (Verificación de la aprehensión de los contenidos y revisión de la solución de la actividad) Con sus compañeros análizar y compartir las conclusiones de los ejercicios realizados, y conservar en los apuntes del cuaderno todos estos aspectos, como también los análisis teóricos. Se recomiendan mapas conceptuales y su elaboración debe ser individual y luego socializada en grupo con el fín de aclarar dudas. COMPROMISO (Actividades extracurriculares consultas trabajos) Resolver todos los ejercicios de la guía en el cuaderno. ELABORÓ REVISÓ APROBÓ NOMBRES JOSE LUIS PEÑA G. ALEXANDRA URIBE CARGO Docentes de Área Jefe de Área Coordinador Académico DD 05 MM 04 AAAA DD MM AAAA