Unidad 6-. Números complejos 1

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1 Undad -. Números complejos ACTIVIDADES FINALES EJERCICIOS Y PROBLEMAS Efectúa las sguentes operacones: aa (-(-(- aa (-(-(- cc ( -(-( bb ( ( - - (- 7 dd ( - - (- / ( - ( ( (. ( Sumamos algebracamente por separado la parte real y la parte magnara. bb ( ( - - (- 7 ( ( - ( - ( Sumamos algebracamente por separado la parte real y la parte magnara. ( ( (. cc ( -(-( ( ( - ( ( ( 7. dd ( - - (- / ( - ( - ( - ( - ( ( Calcula los productos y cocentes: aa ( ( (-. bb ( ( (-. cc ( ( 9 ( Hemos aplcado el producto notable ( a b (a b a b. dd ( ( ( ( 9 ( ( 9 ( 0 ( ( Multplcamos numerador y denomnador por el conjugado del denomnador. ( En el numerador multplcamos aplcando la propedad dstrbutva y en el denomnador, el producto notable suma por dferenca, que es una dferenca de cuadrados. ee ( ( ( ( 0 0 ( ( ( ( 0( ( 0 0 ( Multplcamos numerador y denomnador por el conjugado del denomnador. ( En el numerador multplcamos aplcando la propedad dstrbutva y en el denomnador, el producto notable suma por dferenca, que es una dferenca de cuadrados. ( f f 0 Matemátcas I - Edtex

2 Undad -. Números complejos Sabendo que u, v, w -, calcula: aa u v - w ( - (- ( ( - ( (- -. bb u (v w ( (- ( ( (. cc u ( ( 9 9(- 7. dd v ( (- -. ee (u v ( ( -. f u v w ( - (- ( (- ( (- (- ( gg u(v w ( ( (- ( ( - ( ( 7. u ( ( hh. v ( (u v u v ( ( ( w w ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 7( v ( ( j w ( ( ( ( Calcula los valores de las operacones sguentes: 0.. Para acometer este ejercco necestamos recordar la sere de potencas de la undad magnara: ( -. I - -. (- ( se repten cada. aa 7 (. bb 0 ( (- -. Matemátcas I - Edtex

3 Undad -. Números complejos cc 0 7 ( 7 7. dd 7 ( (- -. ee ( (- -. f 0 [ (- (- ] [ (- (- ] 0 ya que las cuatro prmeras potencas del número suman cero y se repten a partr de la cuarta, como además con 0 podemos hacer grupos de cuatro la suma será ceros. gg 000 [ (- (- ] [ (- (- ] 0, la msma estratega del anteror ya que 000 tambén es múltplo de ( ( ( ( hh 7 ( ( ( ( ( (. 7 ( (. ( ( ( ( ( Resuelve las sguentes cuestones: aa Halla x con la condcón de que (x sea un número magnaro puro. bb Encuentra a con la condcón de que ( (a - sea un número real. cc Calcula a b para que se verfque: (a b ( x dd Determna el número real x para que el cocente sea un número real. x aa (x x x ( ( x x 9 x x 9(- (x -9 x. S el resultado de elevar al cuadrado ha de ser un número magnaro puro, la parte real (x -9 ha de ser nula, es decr x 9 0, luego x 9. bb ( (a a a a a ( a (a. Como ha de ser un número real, ahora la parte magnara ha de ser nula, a 0, a. cc (a b ( 7, hacemos el producto del prmer membro, (a b ( a a b b (a b (b a, como la parte real ha de ser gual a 7 y la parte magnara gual a -, tenemos un sstema de dos ecuacones con dos ncógntas que resolvemos: a b 7 a b 7 sumando susttuyendo b b a a. a b a b Matemátcas I - Edtex

4 Undad -. Números complejos x ( x( x x x x x x x x dd. Como ha de ser un número real, x ( x( x x x x x x la parte magnara ha de ser nula, resolvemos esa ecuacón: 0 x 0 x 0. x Escrbe de todas las formas posbles los sguentes complejos: aa cc - ee gg º º bb - dd f 0º hh 0º. aa se nos da en forma bnómca, para expresarlo en las otras formas necestamos calcular el módulo y el argumento: m a b Forma polar m α b α arctg arctg arctg( º Trgonométrca m(cosα senα a º (cos º senº Como está en el prmer cuadrante ( parte real postva y parte magnara tambén el ángulo cuya tangente vale, es º. bb - se nos da en forma bnómca, para expresarlo en las otras formas necestamos calcular el módulo y el argumento: m a b ( Forma polar m α b ( α arctg arctg arctg( º Trgonométrca m(cosα senα a º ( ya que está en el cuarto cuadrante ( parte real postva y parte magnara negatva. (cos º senº cc - se nos da en forma bnómca, para expresarlo en las otras formas necestamos calcular el módulo y el argumento: m a b ( Forma polar mα º'" b ( α arctg arctg º'" Trgonométrca m(cos α senα (cosº'" senº'" a ( ya que al ser la parte negatva y la magnara postva se encuentra en el º cuadrante. dd se nos da en forma bnómca, para expresarlo en las otras formas necestamos calcular el módulo y el argumento: m a b Forma polar mα b ( α arctg arctg Trgonométrca m(cos α senα cos sen a 0 ( ya que forma un ángulo de con el eje horzontal. ee º, está en forma polar, pasamos a la trgonométrca y de esta a la bnómca: ( ( º 0º, está en forma polar, pasamos a la trgonométrca y de esta a la bnómca: f f ( cosº senº. 0 º cos 0º ( sen0º. Matemátcas I - Edtex

5 Undad -. Números complejos gg º, está en forma polar, pasamos a la trgonométrca y de esta a la bnómca: º cos º hh 0º, está en forma polar, pasamos a la trgonométrca y de esta a la bnómca: 0 º ( cos 0º sen0º. ( senº. 7 Representa en el plano complejo los sguentes números complejos:, - 7,,, -, -, 0º,, º, 0, º, 70º Efectúa las sguentes operacones, expresando los resultados en forma bnómca: aa 0º - º dd [ (cos 0 sen 0 ] [ (cos 0 sen 0 ] bb º : º ee cc 0 º : º (cos 0º sen0º (cos 0º sen0º Matemátcas I - Edtex

6 Undad -. Números complejos aa 0º º ( 0ºº º (cosº senº. bb º º : º 0º (cos 0º sen0º. º º º 0 cc º 0 0 º : º 0º (cos 0º sen0º. º º º dd [ (cos 0 sen 0 ] [ (cos 0 sen 0 ] 0º 0º ( 0º0º 0º (cos0º I sen0º 9 9. (cos 0º sen0º ee 0º 00º (cos 00º sen00º. (cos 0º sen0º 0º 0º 0º 9 Calcula las sguentes potencas: aa ( 0º ( 0º cos sen. aa ( 0º bb ( º cc [(cos 0 sen 0 ] bb ( º ( º 0º 0º (cos sen. cc [(cos 0 sen 0 ] ( 0º ( 0º 0º (cos0º sen0º. 0 Calcula el cuadrado, el cubo y la cuarta potenca de los complejos: aa bb - cc dd - ee º f º gg hh 0º Para los números que se nos dan en forma bnómca podemos usar las fórmulas del cuadrado y el cubo de un bnomo y desarrollar la potenca cuarta medante la fórmula del bnomo de Newton, pero es más corto convertrlos a forma polar y hacer después sus potencas. aa m α arctg º º ( º ( ( ( º ( ( º º (cos sen º º (cosº senº º 0º (cos0º sen0º Matemátcas I - Edtex

7 Undad -. Números complejos 7 bb ( º ( ( º ( ( ( º 0º 70º (cos 70º sen70º m ( º º 9º º (cos º senº α arctg( º º º 0º 0º (cos0º sen0º Está en el cuarto cuadrante (parte real >0 y parte magnara <0 cc m α arctg º'" º'" ( º'" ( (cosº7'." senº7'." º7'." º'" ( º'" ( º'7," (cosº ' 7," senº ' 7," 9 º'" ( º'" ( º'" 9(cos º ' " senº ' " 9 0 dd - º'" m ( α arctg º'" º'" (º cuadrante ( º'" ( º'" (cos 0º'," sen0º'," 0º', " ( º'" ( º'" 0º'7," (cos 0º'7," sen0º'7," ( º'" ( º'" (cos º'," senº'," 7 º'," ee º ( º ( ( º (cos sen º ( º º (cosº senº º ( º 0º (cos0º sen0º ( f f gg hh º 90 º 0 º ( º ( ( º 0º (cos sen º ( º 7º º (cos º senº º ( º 900º 0º (cos0º sen0º ( ( ( ( ( 0º ( 0º ( 0º ( ( ( ( ( ( 9 7 0º 0º 0º 0º 70º 0º 9 7 9(cos0º sen0º 9 0º 7(cos 70º sen70º 7 (cos 0º sen0º 0º 70º 9(cos 0º sen0º 9 7 0º 0º (cos 0º sen0º. 7(cos0º sen0º 7 Matemátcas I - Edtex

8 Undad -. Números complejos Expresa el resultado de las sguentes operacones en forma polar: aa m ( ( ( α arctg º 900º 0º 0. bb ( º ( º 0 0 0(cos0º sen0º Tercer cuadrante (parte real <0 y parte magnara <0. m ( 0º α arctg 0º 0º : ( º ( º 0º º m ( º α arctg( º ( ( (cos 7º sen7º 0,7,7. 0 º º 7º 7 ( cc. dd 9 m ( ( ( ( α arctg 0º 0º 0º 90 º 0º (cos0º sen0º. ( ( ee m ( ( 0º α arctg 0º m ( ( α arctg( º º 0º º 0º 0º 70º 0º º 9º (cos9º sen9º 0, 0,. 7 7 f f 7 0º m 0º / α arctg 0º / 0º (cos 0º sen0º. 0º Matemátcas I - Edtex

9 Undad -. Números complejos 9 Matemátcas I - Edtex Calcula las sguentes raíces: Para hallar las raíces convertmos los números complejos a forma polar antes de hallar las raíces. aa ( sen70º cos 70º sen0º cos0º sen0º cos 0º 0 70º 0º 0º 0º (0º 0º bb ( sen70º (cos 70º sen (cos 0 70º 0º ( 0º 0º º 0 cc α,07 0, sen,º (cos,º 0,,07 sen9,º (cos9,º,07 0, sen0,º (cos0,º 0,,07 sen,º (cos,º 0 º arctg m,º 9,º 0,º,º (,º 0º º dd sen00º (cos 00º sen0º (cos0º sen0º (cos 0º º 0º 0º 0º (0º 0º 0º 0º ee α 0,9,0 senº (cos º 0,79 0,79 senº (cos º,0 0,9 sen0º (cos0º 0 º arctg m º º 0º 0º (0º 0º º f f sen0º cos 0º sen0º cos 0º sen cos 0 0º 0º 0º 0º 70º 70º º º gg ( sen0º (cos 0º senº (cos º senº (cosº sen (cos senº (cosº 0 0º º º º 7º (º 0º 0º 0º hh ( senº (cos º senº (cos º sen9º (cos9º senº (cosº sen7º (cos 7º senº (cosº º º 9º º 7º º 0º (º 0º

10 Undad -. Números complejos 0 0 º cosº senº 7º cos 7º sen7º cosº senº 0º º (º 0º 9º cos9º sen9º º cos º senº º cos º senº ( ( j j ( 0º 0º 0º 0 0º 0º cos0º sen0º 0º cos 0º sen0º Obtén y representa gráfcamente las solucones de las sguentes raíces: ( 0º aa 0º 0º 0º 0 0º cos 0º sen0º 0º cos 0º sen0º 0º cos0º sen0º 0º cos0º sen0º 0º cos 0º sen0º 00º cos 00º sen00º ( bb 0º 0º 0º 0º 0º 0 0º cos 0º sen0º 0º cos0º sen0º 00º cos 00º sen00º Matemátcas I - Edtex

11 Undad -. Números complejos ( cc 0º,º 0,º (cos,º sen,º, 0,77,º (cos, sen,º 0,77, 0,º (cos 0, sen0,, 0,77 9,º (cos 9, sen9, 0,77, ( dd 0º 0º 0º º 7º 0 º (cos º senº,, 0º (cos0º sen0º 0,,90 0º (cos0º sen0º º (cos º senº 0,,90 º (cos º senº,, Matemátcas I - Edtex

12 Undad -. Números complejos 7 7 ( 70º 7 ee 70º 0º 0º 0 (cos sen 0º (cos 0º sen0º,, 0º (cos 0º sen0º,, Comprueba que los números complejos y - son las solucones de la ecuacón: x - x0 Para comprobarlo usaremos cuatro estrategas: 00 Resolver la ecuacón: x Susttumos la varable x por los números dados y comprobar que se cumple: S susttumos, tenemos ( ( ( , luego sí es una solucón. S susttumos -, tenemos ( - ( ( , luego sí es una solucón. S tenemos en cuenta que la ecuacón de segundo grado, x x 0, está en su forma canónca el producto de sus solucones ha de ser x x c, es decr ( ( 9 9 y su suma x x -b, es decr ( ( -(- S esas son las raíces al multplcar (x x (x x (x ( (x ( nos ha de dar el polnomo asocado a la ecuacón. Lo comprobamos: (x (x ((x ((x (x ( x x - 9 x x 9(- x x. Halla las ecuacones de segundo grado, cuyas solucones son los números: aa y - bb y - cc y - dd º y º. Matemátcas I - Edtex

13 Undad -. Números complejos aa Podemos usar dos procedmentos: s x x ( 0 ( Hallar la suma(s y el producto(p de las solucones: y susttur los p x x ( ( resultados en la ecuacón canónca de º grado x sx p x 0. ( Escrbr la ecuacón como un producto de factores (x x (x x 0 en donde x y x son las solucones: (x (x (- (x (x x x (- x 0. bb ( s x x ( ( x sx p x x 0. p x x ( ( ( ( (x x (x x [x ( ] [ x ( ] [(x ] [(x ] (x ( x x x x (- x x x x 0. cc ( s x x ( ( p x x ( ( 9 x sx p x x 0. 9( ( (x x (x x [x ( ] [ x ( ] [(x ] [(x ] (x ( x x 9 x x 9(- x x 9 x x 0. dd Prmero pasamos las solucones a forma bnómco ( a través de la forma trgonométrca: º (cos º senº º (cos º senº s x ( x ( ( x sx p x x 0. p x x ( ( ( ( (x x (x x [x ( ] [ x ( ] [(x ] [(x ] (x ( x x x x (- x x x x 0. Halla todas las solucones de las ecuacones: aa z - 0 cc z 0 ee z - 0 bb z z 0 dd z z 0z 0 f f z 0 Matemátcas I - Edtex

14 Undad -. Números complejos 0 0º cos0º sen0º 0º cos 0º sen0º aa z 0º cos0º sen0º 0 z ( 0º 0º 0º, de las ses cos0º sen0º 0º 0º cos 0º sen0º cos 00º sen00º 00º solucones las dos reales son y que son las conocíamos hasta ahora, el resto son magnaras y conjugadas dos a dos. bb z z 0 conjugadas. z dos solucones magnaras 0 º cos º senº cc z cosº senº 0 z º ( 0º 0º 0º º, cos º senº º cos º senº º esta ecuacón no tene solucones reales, las cuatro solucones son magnaras y conjugadas dos a dos. dd z -z 0z 0, descomponemos en producto de factores probando por Ruffn entre Dv(- {,,, }: Luego z -z 0z (z (z z 0, entonces o (z 0 cuya solucón real es z o ben z ( z 0 z que son las otras dos solucones magnaras conjugadas. 0 0º (cos 0º sen0º ee z (cos sen 0 z ( 0º 0º, dos 0º (cos0º sen0º (cos 70º sen70º 70º solucones reales y dos magnaras opuestas entre sí. Matemátcas I - Edtex

15 Undad -. Números complejos Matemátcas I - Edtex f f z 0 ( sen00º (cos 00º sen0º (cos 0º sen0º (cos0º sen0º (cos0º sen0º (cos 0º sen0º (cos 0º 0 z 00º 0º 0º 0º 0º 0º 0º 0º 0º, de las ses solucones las dos reales son y que son las conocíamos hasta ahora, el resto son magnaras y conjugadas dos a dos. 7 Calcular el módulo y el argumento de todas las raíces de las ecuacones: aa z z 0 bb z - z 0 cc z z 0 dd z z 7 0 ee z 0 f f z 0 aa z z 0 z que son las solucones en forma bnómco, solucones que pasamos a forma polar: α α 0º 0º er cuadrante 0º(º / / arctg m z cuadrante 0º( / / arctg m z bb z - z 0 ( z, pasmos las solucones a forma polar: ( ( ( ( α α 0º er 0º cuadrante 0º( arctg m z cuadrante 0º(º arctg m z cc z z 0 70º 9 9 z.

16 Undad -. Números complejos dd z z 7 0 z 7 7 números reales expresados en forma polar son: 0º 0º z 0 ( ee f f 7 z 0º 0º 0 0º z 0º 0º 0º 0º 0º 0º. 00º 0 0º z 0º 0º 0º 0º. 70º z 0 ( 7, los cuatro Utlzando la fórmula de Movre, obtén sen a y cos a en funcón de sen a y cos a. De gual forma, halla sen a y cos a en funcón de sen a y cos a. ( ( cosα senα (cosα senα cos α senα cosα sen α (cos α - sen α senα cosα, gualando la parte real tenemos la conocda fórmula del coseno del ángulo doble cosα cos α -sen α e gualando la parte magnara la del seno del ángulo doble senα senα cosα. ( ( cosα senα (cosα senα ((cosα senα ((cos α - sen α senα cosα (cos α - sen α (cos α - sen α senα cosα (senα cosα ((cos α - sen α sen α cos α (cos α - sen α senα cosα (cos α - sen α cos α sen α - sen α cos α (cos α - sen α senα cosα (cos α - sen α cos α sen α (cos α - sen α senα cosα, luego gualando la parte real tenemos cosα cos α - sen α cos α sen α y la parte magnara senα (cos α - sen α senα cosα. 9 Resuelve las sguentes cuestones: aa Determna b para que el módulo del cocente (b : ( sea. bb La suma de dos números complejos conjugados es, y la suma de sus módulos es. De qué números complejos se trata? cc La suma de dos números complejos es -. El cocente de ambos es magnaro puro, y la parte real del numerador es. Halla dchos números. aa Hallamos el cocente: b (b ( b b ( ( b b ( b b ( Matemátcas I - Edtex

17 Undad -. Números complejos 7 Calculamos el módulo del cocente e gualamos a : b b b b b b b b m a b b b b. bb Número a b Modulo a b Conjugado a b Modulo a b La suma a b a b a a. Suma de sus módulos a b a b b b b 9 b b. cc (a b (c d (a c (b d, luego a c y b d -. Ahora hacemos el cocente: a b (a b (c d ac ad bc bd ac ad bc bd( (ac bd (bc ad ac bd bc ad c d (c d (c d c d c d ( c d c d c d Como la parte real del numerador es a, además s el cocente ha de ser magnaro puro la parte real ha de ser nula, luego ac bd 0, tenemos pues el sstema: a a c b d de la segunda se deduce que c a, luego b - d, luego (- b d bd 0 ac bd 0 d d 0; -d d 9 0 d d 0;d, s d, b - y s d -, b, luego los números buscados son el numerador y - ó el denomnador. 0 El número es una raíz cúbca de un número complejo; calcula las otras raíces y el número complejo. z z ( (, sus raíces son: ( 70º 0º 70º 0º 0 0º 0º (cos sen (cos 0º sen0º (cos 0º sen0º Matemátcas I - Edtex

18 Undad -. Números complejos Calcula y representa las ocho prmeras potencas del complejo z. Observa que los afjos se encuentran sobre una curva espral. z m α arctg º ( er cuadrante z z z z z z z z 0 7 º ( º ( ( º ( ( º ( ( º ( ( º ( 7 ( º ( º º º º º 7 º 7 º 0º 70º º º 0º Halla las coordenadas de los vértces de un hexágono regular, de centro en el orgen, sabendo que uno de sus vértces es el afjo del número complejo 0º luego: Una de las raíces sextas de un número z es 0º, 0º ( ( 0º 00º 0º z z 0º Para calcular las coordenadas de los vértces hallamos la raíz sexta de ese número z 0º : 0 º ( 0º 0º 0 0º (cos 0º sen0º 0º (cos 0º sen0º 0º (cos0º sen0º 0º (cos0º sen0º (cos 0º sen0º 0º (cos 00º sen00º 00º Matemátcas I - Edtex

19 Undad -. Números complejos 9 Halla las coordenadas de los vértces de un cuadrado, con centro en el orgen, de forma que uno de sus vértces sea el afjo del número complejo La raíz cuarta de un número z es es decr z z ( ( 0º 0º 0 º ( 0º 0 0º (cos 0º sen0º (cos sen 0º (cos0º sen0º 70º (cos 70º sen70º Qué ocurre con el afjo de un número complejo cuando este se multplca por? y cuando se dvde por? El número en forma polar es, luego al multplcar un número z m α por obtenemos: z (m α ( m α luego como el módulo es el msmo y el ángulo aumenta en, el afjo gra al multplcarlo por. z m α mα Luego al dvdr un numero por su afjo gra -, un ángulo recto en sentdo horaro. Un cuadrado de centro 0 tene un vértce en (,. Halla las coordenadas de los demás vértces. Según hemos vsto en el ejercco anteror el producto por gra el número, luego para hallar los tres restantes vértces vamos multplcando el anteror por : Prmer vértce V (, Matemátcas I - Edtex

20 Undad -. Números complejos 0 Segundo vértce V V ( (- -. Tercer vértce V V (- - (- -. Cuarto vértce V V (- - - (- Un cuadrado tene sus vértces por encma del eje real. S dos vértces consecutvos del cuadrado son y, halla los otros dos vértces. Hacemos concdr el orgen de coordenadas con el punto A(, trasladando los dos complejos según el vector (-,- que es el afjo del opuesto del prmero, restando a los dos complejos dados el que queremos que concda con el (0,0, obtenemos los puntos trasladados: A ( (0,0 B ( (, Gramos el punto B multplcando su complejo por : ( - Trasladamos el punto grado en sentdo opuesto a la traslacón ncal: C - 0 (0,. Matemátcas I - Edtex

21 Undad -. Números complejos Ahora hacemos lo msmo con el punto B Hacemos concdr el orgen de coordenadas con el punto B(, trasladando los dos complejos según el vector (-,- que es el afjo del opuesto del segundo, restando a los dos complejos dados el que queremos que concda con el (0,0, obtenemos los puntos trasladados: A ( - (-,- B ( (0,0 Gramos el punto B - dvdendo su complejo por : ( Trasladamos el punto grado en sentdo opuesto a la traslacón ncal: D - (,. Podemos hacerlo en una sola operacón trasladando el afjo grado - según los afjos de los puntos ncales: 0 7 Dado un complejo cualquera, dstnto del complejo cero, cuál es el módulo de su nverso? y el argumento de su nverso? Dónde se stúa el afjo del nverso del complejo dado? Sea z a b m α, su nverso es: 0 º luego el módulo del nverso es el nverso de su módulo y el argumento del z a b mα mα m α nverso es el opuesto de su argumento. Calcula las coordenadas de los vértces, el perímetro y el área del trángulo cuyos vértces son los afjos de. Hallamos los vértces: ( 0º 0º 0º 0º 0º 0 0º 0º 00º (cos 0º sen0º (cos0º sen0º sen (cos 00º 00º Matemátcas I - Edtex

22 Undad -. Números complejos El trángulo es equlátero luego el perímetro es el trple de la longtud de uno de los lados, por ejemplo el lado AC, que es la dstanca desde A a C, que hallamos sumando A con el opuesto de B, ( (- -, luego perímetro u.l. Área Base altura AC BD u Ya que la longtud AC ya es conocda y la altura BD. 9 Halla el cuadrlátero cuyos vértces son los afjos de las raíces de la ecuacón: z 0 0 0º 0º º z 0 z ( 0º º º º º ( cos º senº ( cosº senº ( cos º senº ( cos º senº Matemátcas I - Edtex

23 Undad -. Números complejos El cuadrlátero es un cuadrado. 0 Halla dos complejos conjugados tales que el trángulo que forman sus afjos con el orgen sea equlátero y su área valga. l l b a En un trángulo equlátero el área es: A l l, luego el punto C es el afjo de 0 º (cos 0º sen0º,y el punto B el afjo de: Sendo A el (0,0 0º (cos 0º sen0º Matemátcas I - Edtex

24 Undad -. Números complejos Calcula el área del hexágono cuyos vértces son los afjos de las raíces sextas de -. ( 70º 0º 70º º 0º 0 º 0º º º º º (cos º senº (cos0º sen0º (cosº senº (cos º senº (cos º senº (cos º senº Necestamos saber la apotema: l l ap l l, luego el área es: p ap l ap A l ap u Matemátcas I - Edtex