IES MARIA INMACULADA MATEMÁTICAS 2º E.S.O. Curso TEMA : LENGUAJE ALGEBRÁICO

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1 IES MARIA INMACULADA MATEMÁTICAS º E.S.O. Curso GUIÓN DEL TEMA 1. Lenguaje numérico y lenguaje algebraico.. Epresión algebraica.. Valor numérico de una epresión algebraica.. Monomios. 5. Grado de un monomio. 6. Monomios semejantes. 7. Suma y resta de monomios. 8. Multiplicación de monomios. 9. Potencia de un monomio. 10. División de monomios. 11. Polinomios. 1. Suma y resta de polinomios. 1. Producto de polinomios. 1. Sacar factor común. 15. Igualdades notables: Cuadrado de una suma Cuadrado de una diferencia Producto de una suma por una diferencia. 16. Descomposición factorial. 17. Simplificación de fracciones algebraicas. IES MARÍA INMACULADA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Página 1

2 IES MARIA INMACULADA MATEMÁTICAS º E.S.O. Curso LENGUAJE NUMÉRICO Y LENGUAJE ALGEBRÁICO. El lenguaje en el que sólo intervienen números y signos de operaciones se denomina lenguaje numérico. Lenguaje usual Lenguaje numérico Catorce dividido entre siete 1 : 7 Dos elevado al cuadrado El lenguaje que utiliza letras con números y signos de operaciones aritméticas se llama lenguaje algebraico. Lenguaje usual Lenguaje algebraico La suma de dos números a + b Un número menos tres unidades 1. Epresa con lenguaje numérico o lenguaje usual, según proceda. Lenguaje usual Lenguaje numérico La suma de once más nueve es veinte Cien dividido entre veinte La cuarta parte de veinte es cinco Dos elevado al cubo es ocho : 8.. Une cada enunciado con su equivalente en lenguaje algebraico. La mitad de un número (m + n El triple de un número menos cinco n - 1 El anterior a un número entero (a + b + c El posterior a un número entero + 1 El cuadrado de la suma de dos números m El doble de la suma de tres números b - 5. EXPRESIÓN ALGEBRAICA. Una epresión algebraica es un conjunto de números y letras unidos con los signos de las operaciones aritméticas. Las letras reciben el nombre de indeterminadas y representan números cualesquiera. Epresión escrita Epresión algebraica La suma de dos números menos dos + y - El triple de un número menos cinco - 5 El cuadrado de un número más uno + 1 IES MARÍA INMACULADA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Página

3 IES MARIA INMACULADA MATEMÁTICAS º E.S.O. Curso Escribe estos enunciados como epresión algebraica. El doble de un número b. El doble de la suma de dos números m y n. El cuadrado de un número más unidades. El producto de tres números a, b y c. El doble de un número más tres unidades.. Relaciona cada enunciado con su epresión algebraica. El doble de un número más dos unidades. - 5 Un número disminuido en cinco unidades. La tercera parte de un número. + El cubo de un número El doble de un número. Un número aumentado en diez unidades. La diferencia de dos números. + 1 El número siguiente a un número entero. y. Si es la edad de Juan, epresa en lenguaje algebraico. EXPRESIÓN Los años que tenía el año pasado Los años que tendrá dentro de un año La edad que tenía hace 5 años La edad que tendrá dentro de 5 años Los años que faltan para que cumpla 70 años LENGUAJE ALGEBRAICO. VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA. El valor numérico de una epresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir las letras por números y realizar las operaciones que se indican. Hallamos el valor numérico de la epresión + para =. Sustituimos por en la epresión algebraica y realizamos las operaciones: = + = 1 + = 1 El valor numérico de +, para =, es Halla el valor numérico de la epresión algebraica + 1 para: Valor Sustituir Operación Valor numérico = = = -1 = - IES MARÍA INMACULADA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Página

4 IES MARIA INMACULADA MATEMÁTICAS º E.S.O. Curso Calcula el valor de estas epresiones para los valores que se indican: Valores + y y ( + y = 1 y = = 1 = - 1 y = = 1 y = - = - y = = - 1 y = - 1. MONOMIOS. Un monomio es una epresión algebraica formada por productos de números y letras. A los números se les llama coeficientes, y a las letras con sus eponentes, parte literal. Monomio -5ab -5-7ab Coeficiente Parte literal ab ab 1. Completa las tablas. Monomio Coeficiente Parte literal - y - - 5y 1 y Monomio Coeficiente Parte literal a b - yz - b c 6 y 5 yz 7 5. GRADO DE UN MONOMIO. El grado de un monomio es el número que resulta de sumar todos los eponentes de su parte literal. El grado del monomio 6 es. El grado del monomio y es Calcula el grado de los siguientes monomios: a 5 b 7 y c a 5 b d z. e y f. Completa la siguiente tabla: Monomio Coeficiente Parte literal Grado -6 - a b yz 8 ab c 9-7 mn 8 y 7 z 5 IES MARÍA INMACULADA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Página

5 IES MARIA INMACULADA MATEMÁTICAS º E.S.O. Curso MONOMIOS SEMEJANTES. Dos o más monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal. 6 y 9 son monomios semejantes por tener la misma parte literal. - y 8 son monomios semejantes. 5 y y - y no son semejantes. 1. Escribe dos monomios semejantes a cada monomio dado: 5 y y 5 z mn c d 6y 8 y 7. SUMA Y RESTA DE MONOMIOS. La suma y resta de monomios sólo se puede realizar cuando los monomios son semejantes. Para sumar o restar monomios semejantes se suman o restan los coeficientes y se deja la misma parte literal = = - + 5y... La suma se deja indicada porque no son monomios semejantes. 1. Realiza las siguientes operaciones. m + m + m + m = 8 a a a = + + = = 6 ab ab ab = u u + 5 u =. Completa con monomios semejantes y calcula = p +... = = ab +... =.... Escribe un monomio semejante al que se indica y calcula = =... 8 df -... = m n =.... Reduce las siguientes epresiones. mn mn + 7 mn + 5 mn mn = 5ab ab + 7 ab ab + 8 ab = 8 y y + y y + = IES MARÍA INMACULADA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Página 5

6 IES MARIA INMACULADA MATEMÁTICAS º E.S.O. Curso MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS. El producto de dos o más monomios es otro monomio cuyo coeficiente es el producto de los coeficientes y cuya parte literal es el producto de las partes literales. = 6 (-5 = Realiza estas multiplicaciones. 5 m m = - d (- 6 d = a a = 6 c 6 c = (- 5 = r r = 8. Calcula y reduce. ( + 9 = ( + = m ( 5m m = (6 cd + cd c = ( + 6 = - ( + 1 = - ( = 1 9. POTENCIA DE UN MONOMIO. Para elevar un monomio a una potencia se eleva cada factor (el coeficiente y la parte literal a dicha potencia. ( =(. (. (. ( = ( = Calcula. ( = ( 6 = 8 1 (-5 6 = (- 5 = DIVISIÓN DE MONOMIOS. El cociente de dos monomios es otro monomio cuyo coeficiente es el cociente de los coeficientes y cuya parte literal es el cociente de las partes literales. 6 6 : = = 10 : (-5 = - 1. Resuelve estas divisiones entre monomios. 8 : = a 8 : a = -1 5 : -1 = - 16 y 5 : - 8 y = 0 m 6 : m = - 0 z 7 : 10 z 5 = IES MARÍA INMACULADA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Página 6

7 IES MARIA INMACULADA MATEMÁTICAS º E.S.O. Curso Efectúa las siguientes operaciones. (1 5 : + = (6 7 : 5 ( 6 : = (8 m n : mn + mn = p (p + 1 ( p : p = (1 c d : c d - d = ( y : y y = [(- y : (- y] + ( 1 = 11. POLINOMIOS. Un polinomio es la suma o resta de varios monomios no semejantes. Cada uno de los sumandos se llama término del polinomio. A los términos que no tienen parte literal se les denominan términos independientes. El grado de un polinomio es el grado del monomio de mayor grado es un polinomio ordenado, completo de grado º es un polinomio de grado 7º. Su término independiente es. 1. Completa esta tabla. Polinomio Términos Término independiente + 1 mn 5 m n 7 8 ab ª y - y y + 9 ab + 5 ab 6 y 1 Grado del polinomio. Escribe un polinomio de grado con dos términos y otro de grado con 5 términos.. Indica el grado de los siguientes polinomios. - + m 5 m c d - c - 5 m m 8. Halla el valor numérico del polinomio + - para los valores que se indican. Valor de la indeterminada Valor numérico del polinomio = 0 = = - 1. SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS. Para sumar polinomios se suman los monomios semejantes de ambos polinomios. Para restar polinomios, se suma al polinomio primero el opuesto del segundo. A( = + 5 B( = A( + B( = A( B( = IES MARÍA INMACULADA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Página 7

8 IES MARIA INMACULADA MATEMÁTICAS º E.S.O. Curso Dados los polinomios A( = y B( = , calcula: a A( + B( b A( B( B( A( a ( ( =. Dados los polinomios A( = , B( = y C( = - +, calcula: a A( + B( + C( b A( + B( - C( c A( - B( - C(. Escribe los siguientes polinomios de forma reducida. P ( = = Q ( = = R ( = =. Con los polinomios reducidos del ejercicio anterior, calcula. a P ( + Q ( bq ( + R ( c Q ( R ( dp ( Q ( IES MARÍA INMACULADA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Página 8

9 IES MARIA INMACULADA MATEMÁTICAS º E.S.O. Curso PRODUCTO DE POLINOMIOS. Para calcular el producto de dos polinomios se multiplica cada monomio del primer polinomio por cada monomio del segundo. A continuación, se reducen los monomios semejantes. A( = B( = + 5 A(. = ( = A(. B( = ( ( + 5 = = Dados los polinomios A( = + 6 y B( =, calcula: a A ( B ( b B ( c A ( d B ( ( - a ( + 6 ( = 1. SACAR FACTOR COMÚN. Una aplicación de la propiedad distributiva es sacar factor común. Esta operación consiste en etraer como factor común el monomio que se repite en todos los términos. Epresión Factor común Sacar factor común 5 + 5y 5 5 ( + y 7 ( ( Etrae factor común en las siguientes epresiones. m + m = 16 y 8 y + y = 1 a a + 9 a = b + b + 8 = 6 m n + mn = 10 ab ab + 10 a b =. Simplifica las siguientes fracciones, sacando factor común en el numerador y en el denominador. 10b 10b a 5b 6r s b r s m n c m n IES MARÍA INMACULADA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Página 9

10 IES MARIA INMACULADA MATEMÁTICAS º E.S.O. Curso k d 8k 6m e 6m 9m a b a b f a b 15. IGUALDADES NOTABLES. Llamamos igualdades notables a ciertas igualdades cuyo desarrollo y aplicación resultan muy útiles para abreviar cálculos con epresiones algebraicas. Cuadrado de una suma. El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primer sumando más el doble del producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo. (a + b = (a + b (a + b = a + ab + ba + b = a + ab + b (a + b = a + ab + b ( + = ( + + = (5 + y = (5 + (5 y + (y = y + y Cuadrado de una diferencia. El cuadrado de una diferencia es igual al cuadrado del primer sumando menos el doble del producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo. (a - b = (a - b (a - b = a - ab - ba + b = a - ab + b (a b = a ab + b ( - = ( + = (5 - y = (5 - (5 y + (y = 5-0 y + y Suma por diferencia. El producto de una suma por una diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados. (a + b (a - b = a + ab - ba + b = a - b (a + b. (a b = a - b ( + ( = ( - = - 9 ( + 5y ( 5y = ( - (5y = 9-5y IES MARÍA INMACULADA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Página 10

11 IES MARIA INMACULADA MATEMÁTICAS º E.S.O. Curso Calcula: (a + 5 = ( + m = ( + y = (ab + 1 = ( + = ( + =. Calcula: ( a - 1 = ( 6y = ( - y = ( 5 - b = ( 5 = ( y =. Calcula: ( a + 1 ( a - 1 = ( 5 +b ( 5 - b = ( a + b (a - b = ( 5a + 1 ( 5a - 1 =. Epresa en forma de igualdad notable: a + ab + b = ( =( = a b = 16 = + 1 = 9 a 0 ab + 5 b = 6 = 16 a 5 b = 5. Simplifica las siguientes fracciones, utilizando cuando sea necesario las igualdades notables: a b a a 5 0 y b 15 y 5 1a b c c 5 a c d e IES MARÍA INMACULADA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Página 11

12 IES MARIA INMACULADA MATEMÁTICAS º E.S.O. Curso f 10 5 g 5 a ab b h a b i OTRAS ACTIVIDADES OPERACIONES CON MONOMIOS 1. Indica el grado de cada uno de los siguientes monomios: Monomios - 7 y a b Grado. Reduce: a. + + = b. 5 + = c = d = e = f =. Quita paréntesis y reduce: a. ( 1 ( 5 = b. + (1 + = c. 6 ( 8 = d. ( 5 + ( + = e. (1 - (1 = f. ( 5 ( 7 =. Opera y reduce: a 7 1 b 1 c d e f g y 5 a bc 5 1 a a b 5 IES MARÍA INMACULADA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Página 1

13 IES MARIA INMACULADA MATEMÁTICAS º E.S.O. Curso OPERACIONES CON POLINOMIOS: 5. Reduce las siguientes epresiones: a = b. ( + 1 ( 1 + = c. ( 8 + ( = d. ( 8 ( = 6. Quita paréntesis y reduce: a. ( ( = b. ( + ( + 5 ( = 7. Reduce: a. (5 + (8 7 + = b. ( ( 1 ( + 1 = c. ( 1 + ( 1 11 = 8. Calcula: a. ( + 5 = b. ( + ( 5 = c. ( ( + - = d. ( ( Reduce: a. (5 ( = b. ( + 1 ( 1 = c. ( 1 ( + 1 ( + 1 ( 1 = d. ( + ( 1 ( + = 10. Calcula: a. (15 10 : 5 = b. ( : 6 = c. ( : = d. ( + 5 : = e. ( : = f. ( : 5 = PRODUCTOS NOTABLES Y EXTRACCIÓN DE FACTOR COMÚN 11. Desarrolla las siguientes epresiones: a. ( + 6 = b. ( = c. (8 + a = d. (ab - = e. ( - = f. (a - 5b = g. ( - 5 = h. ( - = i. ( + ( = j. (y - a (y + a = k. ( + 1 ( 1 = IES MARÍA INMACULADA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Página 1

14 IES MARIA INMACULADA MATEMÁTICAS º E.S.O. Curso Transforma cada epresión en un cuadrado: a = b = c = d = e = f = 1. Etrae factor común en estas sumas: a. 5a + 5b 5c = b. a - ab + ac = c. = d. y = e. + 6y + 9 = f = g = h = i. 6a b + ab = j = k. 10 y y + y = 1. Utiliza los productos notables y la etracción de factor común para descomponer en factores las siguientes epresiones: a. + y + y = b. a b a b + 1 = c. + 1 = d. = e. 6 9 = f = g. 5 = h = i = j. = k. 7 = l = m. 1 = n. + 1 = IES MARÍA INMACULADA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Página 1

15 IES MARIA INMACULADA MATEMÁTICAS º E.S.O. Curso IES MARÍA INMACULADA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Página Saca factor común en el numerador y el denominador y después simplifica: y y y h g f b ab b a ab a e d c b a 16. Descompón en factores los numeradores y los denominadores, teniendo en cuenta los productos notables y la etracción de factor común y después simplifica: h g f e d y y y c b a

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