1. Conocer los conceptos de número factorial y número combinatorio, y sus propiedades.

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1 Los juegos de azar como los dados, la ruleta, las cartas..., parecen tener poca relación con el mundo de las matemáticas, pero ya desde el siglo XVI algunos matemáticos, como Tartaglia o Cardano, se interesaron por las leyes matemáticas bajo las que se regían este tipo de juegos, con el fin de conocer de forma científica las probabilidades de ganar. Pero fue en el siglo XV cuando matemáticos como Pascal, Fermat y Laplace establecieron las leyes de la probabilidad de forma científica. Una herramienta fundamental en el cálculo de probabilidades es el análisis combinatorio, que estudia las diferentes formas en las que se pueden agrupar diversos objetos, siguiendo determinadas condiciones. El estudio de la combinatoria pone a nuestra disposición unas técnicas de recuento que nos van a facilitar los cálculos cuando las agrupaciones sean muy numerosas. Laplace. En esta unidad vas a aprender a: 1. Conocer los conceptos de número factorial y número combinatorio, y sus propiedades. 2. Obtener el desarrollo de la potencia enésima de la suma o la resta de un binomio aplicando la fórmula del binomio de Newton y dar la expresión de un término cualquiera de dicho desarrollo. 3. Utilizar diagramas de árbol para efectuar recuentos de configuraciones en casos sencillos. 4. Conocer las características que definen los principales tipos de configuraciones (variaciones, permutaciones y combinaciones) y las fórmulas que permiten obtener el número de éstas de manera rápida. 5. Resolver problemas de combinatoria. 6. Aplicar la combinatoria al cálculo de probabilidades. COLEGIO VIZCAYA COMBINATORIA Y PROBABILIDAD 163

2 PARA EMPEZAR 1. Ander ha visto en el parque un árbol que tiene 20 ramas; de cada una de ellas salen 15 brotes; y de cada brote salen 12 hojas. Cuántas hojas tiene el árbol? 2. Iraide ha quedado con una amiga para hacer footing. No sabe qué ponerse. Mira en su armario y observa que tiene cinco camisetas, tres pantalones cortos y dos pares de deportivas. De cuántas formas distintas se podrá vestir? 3. Al lanzar dos veces un dado, cuántos resultados distintos se pueden obtener? PARA APRENDER 1. FACTORIAL DE UN NÚMERO. Se llama factorial de un número natural n al resultado de multiplicar todos los números naturales del 1 al n. El factorial de un número se representa por n! y se lee factorial de n o n factorial. Por convenio se define 1! = 1 y 0! = 1. Ejemplo: 2! = 2 1 = 2 3! = = 6 4! = = 24 Calcula tu los siguientes números factoriales: 5! = 6! = 7! = 164 COMBINATORIA Y PROBABILIDAD COLEGIO VIZCAYA

3 PARA PRACTICAR Observa el ejemplo y simplifica las siguientes expresiones: a) 5! 5 4 3! = 3! 3! = 5 4 = 20 c) b) 15! = 13!2! d) Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x! 110 x 2! b) 10! 7!3! = 5!4!3!2! 6! = ( ) + ( + ) = ( + ) = 12 x! 5 x 1! x 2! PARA APRENDER 2. VARIACIONES. Variaciones sin repetición. Cuántos números de dos cifras se pueden formar con las cifras 1, 2 y 3 sin que se repita ninguna? Observa que para la primera cifra hay 3 posibilidades y para la segunda cifra hay 2 posibilidades. Luego en total: ! 3! Nº de formas = 3 2 = = = 1 1! 3 2! ( ) Se llaman variaciones de m elementos tomados de n en n (n m) a las distintas agrupaciones formadas por n elementos, tales que: - Los n elementos que forman el grupo son distintos. (No hay repeticiones) - Dos grupos son distintos si se diferencian en algún elemento o en el orden en el que están colocados. El número de variaciones de m elementos tomados de n en n se denota V m,n y se calcula: m! V m,n = m-n! ( ) Ejemplo: Doce equipos de baloncesto participan en un campeonato escolar. De cuántas maneras podrán quedar colocados los tres equipos clasificados en la final? - 3 equipos forman cada grupo. No hay repeticiones. - Importa el orden en la clasificación. Entonces, hay 12! 12! ! V12,3 = = = = = ! 9! 9! ( ) formas. COLEGIO VIZCAYA COMBINATORIA Y PROBABILIDAD 165

4 Variaciones con repetición. Cuántos números de tres cifras se pueden formar con las 9 cifras significativas del sistema decimal? Observa que para la primera cifra hay 9 posibilidades, para la segunda 9 y para la tercera otras 9. Entonces: Nº de formas = = 9 3 = 729 Y si hubiesen sido números de 4 cifras? Y de 5? Y de n cifras? Se llaman variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n (n m) a las distintas agrupaciones formadas por n elementos, tales que: - Los elementos que forman el grupo pueden estar repetidos. - Dos grupos son distintos si se diferencian en algún elemento o en el orden en el que están colocados. El número de variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n se denota VR m,n y se calcula: VR m,n = m n Ejemplo: Con los 10 primeros dígitos se quiere confeccionar números de teléfono de 7 cifras. Cuántos números se pueden obtener? - 7 dígitos forman cada grupo. Hay repeticiones. - Importa el orden. Entonces, hay VR 10,7 = 10 7 = números de teléfono posibles. Observaciones: A las variaciones en las que se toman todos los elementos (n = m), se les suele llamar Permutaciones y entonces podemos utilizar la siguiente expresión para su cálculo: P m = m! Además, si en una permutación el primer elemento se repite a veces, el segundo b veces, el tercero c veces... (a + b + c +... = m), la permutación será con repetición y se calculará de la siguiente forma: a,b,c Pm m! Pm = = P P P a!b!c! a b c Ejemplo: Miren tiene 5 fotos que quiere colocar en un álbum. De cuántas maneras puede colocar las 5 fotos? - En cualquiera de las agrupaciones están las 5 fotos y no hay repeticiones. - Importa el orden. Entonces, hay P 5 = 5! = 120 maneras de colocar las fotos. 5! 5! 120 Visto de otra forma, hay V5,5 = = = = 120 maneras. 5-5! 0! 1 ( ) 166 COMBINATORIA Y PROBABILIDAD COLEGIO VIZCAYA

5 Ejemplo: De cuántas maneras podemos colocar en línea 9 bolas de las cuales 4 son blancas, 3 amarillas y 2 azules? - Las bolas blancas se repiten 4 veces, las amarillas 3 y las azules 2. ( = 9) - Importa el orden. 4,3,2 P9 9! Entonces hay P = maneras. P P P = 4!3!2! = PARA PRACTICAR 6. Calcula el valor de: a) V 9,4 = c) V 12,2 = b) V 11,3 = d) V 20,3 = 7. Comprueba las siguientes igualdades: a) V 8,5 - V 8,4 = 15 V 8,3 b) V 10,8 - V 9,7 = 81 V 8,6 8. Queremos poner una clave a una caja fuerte con las letras vocales. Cuántas claves distintas se pueden formar si cada una consta de 4 letras y no se repite ninguna de ellas? 9. Cuántas matrículas se pueden hacer con 4 cifras seguidas de tres letras distintas? 10. El número de variaciones de n elementos, tomados de dos en dos, es 42. Calcula el número de elementos. 11. Cuántos números de cuatro cifras distintas se formarán con las cinco primeras cifras significativas? 12. En una sesión numerada de un cine quedan cuatro butacas libres. De cuántas formas pueden ocuparlas tres personas? COLEGIO VIZCAYA COMBINATORIA Y PROBABILIDAD 167

6 13. Calcula: a) P 7 4,3 = b) P 14 12,2 = c) P 9 3,4,2 = 14. Qué vale x en la expresión P 6 2,3,x? 15. En una competición de lanzamiento de peso participan 12 atletas. De cuántas maneras pueden organizarse para realizar el lanzamiento? 16. En una exposición de coches se quiere poner en fila dos turismos, tres monovolúmenes y cuatro deportivos. De cuántas formas podemos distribuir los coches en la exposición? 17. En una guardería tienen que dar de comer a 5 niños y 4 niñas. De cuántas formas los pueden sentar en 9 sillas distintas? 18. Cuántos son los números naturales que pueden escribirse con las cifras 1, 2, 3, 4 y 5 sin que se repita ninguna? Cuántos terminan en 5? 19. Cuántos números distintos se pueden escribir con los dígitos de cada apartado? a) 1, 2, 2, 3, 3 b) 2, 2, 5, 5, 5 c) 3, 3, 3, 4, 4, Cuántas permutaciones diferentes se pueden formar con las letras de la palabra VIVIR? Y con las de la palabra ARMADURA? 21. Cuántas letras de seis dígitos se pueden formar en el alfabeto Morse si todas tienen que estar formadas por cuatro rayas y dos puntos? 168 COMBINATORIA Y PROBABILIDAD COLEGIO VIZCAYA

7 PARA APRENDER 3. COMBINACIONES. Combinaciones sin repetición. Amaia, Beatriz, Carlos y Diego son cuatro amigos y tienen que elegir entre ellos un grupo de dos personas para ir a una competición de tenis. Cuántos grupos distintos de dos personas pueden formar? Contesta a las siguientes preguntas que te guiarán en la resolución del problema: a) Puede estar la misma persona en varias agrupaciones? b) Importa el orden dentro de cada grupo? c) Cuántas posibilidades habría si importase el orden? d) Cuántas permutaciones de 2 elementos sin repetición se pueden formar con 2 personas? e) Volviendo a nuestro problema, en cada una de las agrupaciones que podemos tener no importa el orden (es lo mismo que un grupo lo formen Amaia y Carlos que Carlos y Amaia), por lo que si tenemos en cuenta todas las agrupaciones con repetición hay varias que se repiten. Ayúdate de las respuestas que has dado en los apartados c) y d) para resolver el problema inicial. Se llaman combinaciones sin repetición de m elementos tomados de n en n (n m) a las distintas agrupaciones formadas por n elementos, tales que: - En cada grupo hay n elementos distintos. - Dos grupos son diferentes si lo son en algún elemento pero no en el orden. (No importa el orden) El número de combinaciones sin repetición de m elementos tomados de n en n se representa por C m,n y se calcula: Vm,n m! m! C m,n = = :n! = P m-n! n! m-n! n ( ) ( ) Al número que se obtiene al realizar la operación anterior se le llama número combinatorio de índice m y orden n y se denota con el símbolo que se lee m sobre n: m n m m! Cm,n = = n n! ( m-n )! Ejemplo: Cuántos grupos de 5 alumnos pueden formarse con los 30 alumnos de una clase? - En cada grupo hay 5 alumnos distintos. - Un grupo se diferencia de otro en los alumnos, no en el orden. Entonces, hay 30 30! C30,5 = = = !25! posibles grupos. COLEGIO VIZCAYA COMBINATORIA Y PROBABILIDAD 169

8 PARA PRACTICAR 22. Comprueba las siguientes igualdades: a) C 5,2 = C 5,3 c) C 7,4 = C 7,3 e) C 9,6 = C 9,3 b) C 10,6 = C 10,4 d) C 8,2 = C 8,6 f) = Halla el valor de: a) 3 c) 7 e) = = b) = d) = f) = 3 8 = En una bolsa hay 12 bolas numeradas del 1 al 12. De cuántas formas distintas se pueden sacar 5 de esas bolas? 25. Una compañía de autobuses dispone de un total de 20 conductores. Si la flota es de 15 autobuses, de cuántas maneras pueden repartirse los conductores para realizar los turnos? 26. Cuántos grupos de dos, de tres y de cuatro personas es posible formar con 9 personas? 27. Como respuesta a un anuncio de trabajo se presentan 12 personas para cubrir tres plazas de administrativo. Cuántos grupos diferentes de tres personas se pueden formar? 28. En cada programa de radio de una emisora intervienen 4 locutores. Si la cadena de radio dispone de 20 locutores, de cuántas formas distintas se puede presentar un programa? 29. A una reunión acuden 30 personas. Se decide construir comisiones de seis personas para estudiar un cierto plan. Cuántas comisiones diferentes se pueden formar? 170 COMBINATORIA Y PROBABILIDAD COLEGIO VIZCAYA

9 PARA APRENDER 4. PAUTAS PARA RESOLVER UN PROBLEMA DE COMBINATORIA. A la hora de resolver un problema de combinatoria lo más importante es saber si se trata de una variación (permutación) o de una combinación y si los elementos se pueden repetir o no. Para ello es conveniente que cuando te dispongas a resolver un problema te hagas las siguientes preguntas y consultes el cuadro resumen que te proponemos. 1) Se agrupan todos los elementos? 2) Importa el orden en cada agrupación? 3) Pueden repetirse los elementos en un grupo? Agrupaciones Pueden repetirse? Importa el orden? Se agrupan todos los elementos? Fórmula SI NO V m,n = m! m-n! ( ) Variaciones (permutaciones) NO SI SI NO SI P P = m m! VR m,n a,b,c m = m n m! = a!b!c! Combinaciones SI NO NO C m,n m m! = = n ( m-n )! PARA PRACTICAR 30. Una bandera de un país está formada por tres franjas horizontales de distinto color. Cuántas banderas distintas se podrán formar con los siete colores del arco iris? 31. Un jugador de quinielas tiene la corazonada de que en la próxima jornada 9 equipos ganarán en casa, 3 empatarán y 2 perderán. Cuántas quinielas debe rellenar para asegurarse 14 aciertos? 32. Una competición de fútbol se compone de 20 equipos. De cuántas formas se pueden clasificar al final del campeonato? 33. Cuántas jugadas diferentes se pueden obtener si se sacan 8 cartas de una baraja de 40 cartas? COLEGIO VIZCAYA COMBINATORIA Y PROBABILIDAD 171

10 PARA APRENDER 5. TRIÁNGULO DE PASCAL O DE TARTAGLIA. Hemos ordenado los números combinatorios en filas de arriba a abajo según su índice, y de izquierda a derecha, según su orden. De esta manera hemos obtenido un triángulo que se conoce como triángulo de Pascal o de Tartaglia Pascal. Escribe otro triángulo a la derecha del anterior en el que aparezcan los resultados de los números combinatorios. Hay alguna regla que te permita averiguar el resultado de las siguientes filas sin usar el concepto de número factorial? 6. BINOMIO DE NEWTON. En muchas ocasiones a la hora de resolver problemas de matemáticas te has encontrado y has utilizado frecuentemente las igualdades notables. Ahora vamos a recordar la que nos permite calcular el cuadrado de un binomio. Si multiplicamos la expresión anterior por (a + b), obtenemos el desarrollo del cubo de un binomio: y si volvemos a multiplicar la expresión anterior por (a + b), obtenemos la de la cuarta potencia: En resumen: ( ) ( ) ( ) a+ b = a + 2ab + b a+ b = a + 3a b+ 3ab + b ( ) a+ b = a + 2ab + b ( ) a+ b = a + 3a b+ 3ab + b ( ) a+ b = a + 4a b + 6a b + 4ab + b a+ b = a + 4a b + 6a b + 4ab + b ( ) 4 Observa, por ejemplo, el desarrollo de a+ b : - En su desarrollo aparecen 5 términos. - Los coeficientes coinciden con la fila 5 del triángulo de Pascal. - Los exponentes de a van disminuyendo de 4 a 0. - Los exponentes de b van aumentando de 0 a 4. - En cada término la suma de los exponentes de a y b es 4. La expresión que nos da la potencia n-ésima de un binomio cualquiera es: n n n n n ( a+ b) = a b + a b + a b a b + a b n-1 n A esta expresión se la conoce como Binomio de Newton. n n 0 n-1 1 n n-1 0 n 172 COMBINATORIA Y PROBABILIDAD COLEGIO VIZCAYA

11 PARA PRACTICAR 34. Desarrolla las potencias de los siguientes binomios: a) b) c) d) e) f) ( 3 x) ( y 1) = + = ( 2x y) 8 + = ( x 3y) 4 + = 2 5 ( a b) + = ( 2a 3b) 7 + = PARA RECORDAR 7. PROBABILIDAD. Experimento aleatorio. Espacio muestral y suceso. Cuando lanzamos un dado al aire, es imposible saber que número vamos a sacar antes de que caiga, cuando esto ocurre decimos que el experimento de lanzar un dado al aire y ver el resultado que se obtiene es un experimento que depende del azar y por lo tanto se trata de un experimento aleatorio. Lo que sí sabemos es el conjunto de todos los resultados posibles que podemos obtener: {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Experimento aleatorio: es aquella situación o acontecimiento en cuya realización influye el azar y por lo tanto no se puede predecir el resultado que se va a obtener al realizarlo. Espacio muestral: es el conjunto formado por todos los resultados posibles en un experimento aleatorio. Se designa con la letra E. Cuando realizamos el experimento de lanzar un dado podemos pensar en: - A = {Sacar un número par} = {2, 4, 6} - B = {Sacar un número impar} = {1, 3, 5} - C = {Sacar un múltiplo de 3} = {3, 6} - D = {Sacar un 5} = {5} - F = {Sacar un divisor de 4} = {1, 2, 4} - G= {Sacar un número mayor que 6} = { } - H = {Sacar un número menor que 7} = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A cada uno de los subconjuntos de E se les llama sucesos o sucesos aleatorios. Sucesos: son los subconjuntos del espacio muestral. Si pensamos en los sucesos A y B, son sucesos contrarios y además incompatibles, ya que no podemos obtener un número que sea par e impar a la vez. Además son equiprobables ya que tengo las mismas posibilidades de sacar un número par que impar. Si pensamos ahora en los sucesos B y C, sí serían sucesos compatibles ya que pueden suceder a la vez si sacamos un 3. El suceso H, es un suceso seguro, es seguro que ocurra, mientras que el suceso G es imposible que ocurra. COLEGIO VIZCAYA COMBINATORIA Y PROBABILIDAD 173

12 Tipos de sucesos: - Suceso imposible: el que nunca se verifica. - Suceso seguro: el que siempre se verifica. - Sucesos incompatibles: los que no se pueden verificar a la vez. - Sucesos compatibles: los que se pueden verificar a la vez. - Sucesos contrarios: si se verifica un suceso el otro no. - Sucesos equiprobables: los que tienen la misma posibilidad (probabilidad) de ocurrir. Ley de Laplace. Ley de Laplace: si todos los sucesos de un experimento son equiprobables: Probabilidad de un suceso Nº de casos favorables al suceso = Nº total de casos posibles - La probabilidad de un suceso es un número que está entre 0 y 1. - Si la probabilidad es 0, el suceso es imposible. - Si la probabilidad es 1, el suceso es seguro. - Cuanto más cerca esté la probabilidad de 1, más probable será el suceso. - Cuanto más cerca esté la probabilidad de 0, menos probable será el suceso. Ejemplo: Consideremos el experimento aleatorio de lanzar un dado: a) Cuál es el espacio muestral? E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} b) Escribe los siguientes sucesos. - A = {Sacar un número impar} = {1, 3, 5} - B = {Sacar un 2} = {2} - C = {Sacar un múkltiplo de 3} = {3, 6} - D = {Sacar un 7} = { } - F = {Sacar un número de una cifra} = {1, 2, 3, 4, 5, 6} c) Calcula la probabilidad de los sucesos anteriores P(A) = = 0' P(B) = = 0' P(C) = = 0' P(D) = = P(F) = = COMBINATORIA Y PROBABILIDAD COLEGIO VIZCAYA

13 PARA PRACTICAR Señala los fenómenos aleatorios. a) El lanzamiento de un dado. b) La hora de salida del Sol. c) La duración de una enfermedad. d) La Loteria Primitiva. e) El que dentro de 30 días llueva. f) El que una piedra lanzada hacia arriba vuelva a caer. Se lanzan al aire dos monedas. Cuál es el espacio muestral que se obtiene? Indica si los sucesos siguientes son compatibles o incompatibles cuando se extrae una carta de la baraja española. a) Que sea un cinco y una figura. b) Que sea oros y una figura. c) Que sea impar y una figura. d) Que sea par y no sea una figura. Se lanzan al aire dos monedas. Cómo son los siguientes sucesos? a) Obtener sólo una cara y obtener sólo una cruz. b) No obtener cara y no obtener cruz. c) Obtener dos caras y no obtener dos caras. En una bolsa hay 30 bolas numeradas del 1 al 30. Son compatibles los sucesos siguientes? a) Múltiplo de 5 y múltiplo de 4. b) Múltiplo de 3 y múltiplo de 7. c) Múltiplo de 5 y múltiplo de 7. d) Múltiplo de 5 y múltiplo de 6. Cita ejemplos de sucesos compatibles y de sucesos incompatibles utilizando: a) Dos monedas. b) Tres monedas. c) Dos dados. 41. Cuál es la probabilidad de extraer el tres de copas en una baraja española? 42. Si elegimos al azar una ficha de dominó, cuál es la probabilidad de que sea el 6 doble? 43. Extraemos una carta de una baraja española de 40 naipes. Halla la probabilidad de: a) Que sea bastos. b) Que no sea ni as ni figura. 44. Escribimos cada una de las letras de la palabra PREMIO en un papel diferente y las ponemos en una bolsa. Extraemos una letra al azar: a) Describe todos los sucesos elementales de este experimento aleatorio. b) Tienen todos los sucesos la misma probabilidad de ocurrir? c) Describe el suceso obtener vocal, y calcula su probabilidad. d) Si la palabra fuera SUERTE, cómo responderías a los apartados anteriores? COLEGIO VIZCAYA COMBINATORIA Y PROBABILIDAD 175

14 45. Los alumnos de una clase se distribuyen del siguiente modo: Chicas Chicos Con gafas 3 6 Sin gafas Escogemos al azar a una persona de esa clase. Calcula la probabilidad de que: a) Sea chica. b) Tenga gafas. c) Sea chica con gafas. 46. Halla la probabilidad de que al lanzar dos monedas al aire, no salga ninguna cara. Y de que salgan dos cruces. 47. Asigna probabilidades a estos sucesos que se obtienen de una baraja de 40 cartas. a) Salir un as. b) Salir un rey. c) Salir una sota o un caballo. d) Salir un número inferior a 5. e) Salir una carta que no sea espadas. f) Salir un número mayor que 7. g) Salir una carta que sea oros. 48. En una urna tenemos numeradas cuatro bolas negras y dos rojas. Si las extraemos de dos en dos, cuál es el espacio muestral del experimento? Y si las extrajésemos de tres en tres? 49. Cómo son los sucesos tirar un dado y sacar un 3 y tirar un dado y sacar un número par? 50. En el lanzamiento de una moneda y un dado, calcula la probabilidad de: a) Salir cara y par. b) Salir cruz y múltiplo de tres. 176 COMBINATORIA Y PROBABILIDAD COLEGIO VIZCAYA

15 PARA APRENDER 8. LA COMBINATORIA Y EL CÁLCULO DE PROBABILIDADES. A continuación te proponemos una serie de problemas de cálculo de probabilidades en los que te puede resultar necesario el calculo de variaciones o combinaciones. Problema 1: En una clase hay 22 chicos y 14 chicas y todos ellos participan en un sorteo de tres premios. Metemos los nombres de todos ellos en una bolsa y sacamos, simultáneamente, tres papeletas. Calcula la probabilidad de: a) Que las tres sean chicas. b) Que los tres sean chicos. Problema 2: Si lanzamos al aire una moneda 4 veces de manera consecutiva, cuál es la probabilidad de que salgan al menos dos caras? Y tres cruces? Problema 3: Se extraen cuatro cartas a la vez de una baraja de 40 cartas. Calcula las probabilidades de los siguientes sucesos: a) Que sean las cuatro del mismo palo. b) Que al menos salga un as. c) Que ninguna sea oros. COLEGIO VIZCAYA COMBINATORIA Y PROBABILIDAD 177

16 CURIOSIDADES MATEMÁTICAS EL CÁLCULO DE PROBABILIDADES Y LOS JUEGOS DE AZAR. En la actualidad, la teoria de la probabilidad es una herramienta fundamental para la resolución de numerosas situaciones relacionadas con las ciencias de la naturaleza, las ciencias sociales o las nuevas tecnologías, pero también con los juegos de azar. Antes de participar en cualquiera de estos juegos es conveniente saber cuál es la probabilidad de obtener un resultado u otro. Cuando jugamos a la Primitiva o a la Loteria pensamos que es posible que nos toque el premio, pero en realidad es muy poco probable, ya que por ejemplo si jugamos una apuesta a la Primitiva tenemos una posibilidad entre casi 14 millones de que nos toque. Pensemos ahora en otro juego que te resultará conocido. En ocasiones habrás visto en el cine o la televisión un juego de azar que consiste en tirar dos dados a la vez y apostar por el número que saldrá sumando la cantidad obtenida en ambos dados. Y quizás también recuerdes a que número apuestan siempre los jugadores, lo recuerdas?. En efecto, el número es el 7, pero por qué? Fíjate en la siguiente tabla. En la columna de la izquierda hemos colocado las sumas que puedes obtener al lanzar dos dados y en la de la derecha el número de posibilidades que hay de obtener cada una de esas sumas. Completa la columna central con las diferentes formas de obtener cada una de las sumas. Suma Maneras de obenerlas Total / Ayudémonos de un diagrama de barras para visualizar mejor los datos obtenidos. Total Suma Como puedes ver, la probabilidad de ganar si apostamos al 7 es mayor que si apostamos a cualquier otro número. 178 COMBINATORIA Y PROBABILIDAD COLEGIO VIZCAYA

17 PARA ENTRENAR 1. Cuántas letras de 5 signos se pueden formar en el alfabeto Morse con 3 rayas y 2 puntos? 2. De cuántas maneras pueden combinarse los siete colores del arco iris tomándolos de tres en tres? 3. En un campeonato de fútbol participan 24 equipos. De cuántas maneras se pueden ocupar los tres primeros puestos? 4. Cuántas ordenaciones distintas se pueden hacer con las letras de la palabra PELUCA? 5. De cuántas formas distintas pueden sentarse 8 personas en un banco? 6. Un jugador de ajedrez trata de ordenar en fila, de todas las formas posibles, 3 peones blancos y 2 negros. Cuántas ordenaciones podrá hacer? 7. Cuántas parejas distintas se pueden formar con las cinco vocales de manera que no se puedan repetir? 8. De cuántas maneras se pueden repartir tres premios distintos entre cinco amigos de manera que ninguno de ellos reciva dos premios? 9. Halla el valor de: a) = c) = 6 4 e) b) 12 8 = d) = 3 0 f) 7 = 3 6 = 3 COLEGIO VIZCAYA COMBINATORIA Y PROBABILIDAD 179

18 10. Indica si las siguientes igualdades son ciertas: a) V 4,2 = 4 V 3,1 b) P 4 = P 5-4P Calcula el valor de las siguientes expresiones: a) V 10,3 = c) VR 10,3 = e) P 10 = b) P = d) C 10,3 = f) 9! = 12. De las siguientes expresiones, di cuales son ciertas y cuáles falsas. Justifica tu respuesta: a) = = d) b) = e) c) 5 5 = 2 3 f) 7 8 = = = Lanzamos dos dados. Calcula la probabilidad de que el producto de las puntuaciones sea: a) 5 b) 6 c) En una hucha hay 3 monedas de dos euros, 3 de un euro, 4 de cincuenta céntimos y 2 de veinte céntimos. De cuántas maneras distintas pueden sacarse, pieza por pieza, las monedas de la hucha? 15. Con 18 soldados, cuántas guardas distintas, de cuatro soldados, pueden formarse? 16. De cuántas formas diferentes se pueden cubrir los puestos de presidente, secretario y tesorero de un club de baloncesto sabiendo que hay 12 posibles candidatos? 17. Halla la probabilidad de que, al lanzar al aire dos monedas, salgan: a) Dos caras. b) Dos cruces. c) Una cara y una cruz. 180 COMBINATORIA Y PROBABILIDAD COLEGIO VIZCAYA

19 18. Con una baraja de 52 cartas, cuántos grupos diferentes de 5 cartas se pueden hacer? 19. En una escalada, una determinada cordada está compuesta por 5 escaladores. Teniendo en cuenta que van uno detrás de otro, de cuántas formas podrán llegar a la cima? 20. Cuántas apuestas hay que rellenar para acertar una quiniela de 14 resultados? 21. Si Joseba tiene en su armario 4 pantalones, 3 camisas y 4 pares de zapatos, de cuántas formas distintas se podrá vestir? 22. Cuántas palabras distintas, con o sin sentido, se pueden formar con las letras de la palabra MISSISIPI? 23. Con motivo de las próximas olimpiadas, el seleccionador nacional de atletismo ha preseleccionado a 12 atletas, con la intención de elegir 8 para que participen en los juegos. De cuántas maneras podrá hacer la selección de los atletas? 24. Desarrolla las potencias de los siguientes binomios: a) b) c) ( x y) 6 = ( x 2y) 5 = ( 2a 3b) 4 = d) e) f) g) h) 5 x y + = 2 3 ( a 2b) 3 + = ( 3 2x) 3 = 2 5 ( 5x 3y) = 6 3 ( 3x 2y) + = COLEGIO VIZCAYA COMBINATORIA Y PROBABILIDAD 181

20 25. Realiza las siguientes operaciones en las que intervienen números combinatorios: a) b) c) d) = = = = Con las cifras 2, 3, 5 y 6, cuántos números de 8 cifras se pueden formar sabiendo que el 2 aparece tres veces, el 3 una vez y el 5 y el 6 dos veces cada uno? 27. Halla la probabilidad de que, al lanzar al aire tres monedas, salgan: a) Tres caras. b) Dos caras y una cruz. 28. Seis amigos deciden ir a un concierto, y al llegar a la taquilla se encuentran con que sólo hay tres entradas disponibles. De cuántas formas diferentes pueden repartirse las entradas? 29. Halla la probabilidad de que, al lanzar al aire cuatro veces una moneda, salga las dos primeras veces cara y las dos últimas cruz. 30. Cuatro amigos van a organizar una fiesta de fin de curso con sus compañeros. Deciden que dos de ellos se encargarán de comprar la comida y las bebidas para la fiesta. Cuántas maneras distintas existen para formar la pareja encargada de dicha misión? 182 COMBINATORIA Y PROBABILIDAD COLEGIO VIZCAYA

21 PARA APRENDER MÁS 1. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) V x,4 = 20 V x,2 d) V x,2 = 210 g) V 11,x = 7920 b) P n = 8 P n-1 e) P n = 42 P n-2 h) P n = 24 V n,2 c) P x = P 3-2 P x f) 42 P x = 7 P x+1 2. Cuántos resultados se obtienen al tirar tres monedas al aire? 3. Con las letras de la palabra CUADRO, cuántas palabras, con o sin sentido, de seis letras se pueden formar? Cuántas de ellas empiezan por D? Y cuántas por CU? 4. En un concurso de televisión se entregan tres premios a distintas personas. De cuántas formas se podrá realizar la entrega de los premios, sabiendo que en el concurso solamente participan 10 personas? 5. Cuántos números distintos de 7 cifras se pueden formar con las cifras del número ? 6. En una carrera ciclista se han escapado seis corredores y van haciendo relevos en fila de a uno. De cuántas formas pueden ir ordenados en fila? 7. Con las cifras 0, 1, 2, 3 y 4, cuántos números de dos cifras se pueden formar? 8. Una urna contiene 4 bolas blancas, 3 rojas y 3 verdes. De cuántas formas se pueden sacar grupos de 6 bolas, con la condición de que haya al menos una de cada color en cada uno de dichos grupos? 9. De cuántas formas distintas se pueden colocar seis niños para jugar al corro? 10. Considerando el lanzamiento de tres monedas, cuál es la probabilidad de los siguientes sucesos? a) Obtener al menos dos caras. b) Obtener tres resultados iguales. c) Obtener dos resultados iguales. d) No obtener cara en ninguna moneda. 11. Si un equipo de balonmano tiene tres camisetas y dos pantalones diferentes, cuántos uniformes diferentes puede llevar? 12. De las doce preguntas de que consta una prueba de Matemáticas se debe contestar a ocho. De cuántas formas podemos elegir esas ocho preguntas? 13. Con las letras de la palabra LIBRO, cuántas palabras, con o sin sentido, de cuatro letras se pueden formar? Cuántas de ellas empiezan por vocal? Cuántas por consonante? 14. Cuántos números de 6 cifras existen que estén formados por 4 doses y 2 treses? 15. Una fábrica de piruletas tiene 5 sabores distintos y quiere hacer piruletas de dos sabores. Cuántas podrá fabricar? 16. Con los números 4, 5, 6 y 7, cuántos números de tres cifras distintas se pueden formar? Cuántos de ellos tienen un 7 ocupando el lugar de las decenas? 17. Aitziber tiene 25 cuentas (10 rojas, 8 azules y 7 blancas) para hacerse un collar. Engarzando las 25 cuentas en un hilo, cuántos collares distintos podrá realizar? 18. Cuál es la probabilidad de obtener dos cruces y una cara al lanzar tres monedas al aire? 19. Un grupo de amigos y amigas se encuentran y se dan un beso para saludarse. Si se han dado en total 21 besos, cuántas personas había? 20. En una carrera de 500 metros participan 12 corredores. De cuántas maneras pueden adjudicarse las medallas de oro, plata y bronce? COLEGIO VIZCAYA COMBINATORIA Y PROBABILIDAD 183

22 21. De cuántas maneras se podrán introducir seis tarjetas postales diferentes en seis sobres de distintos colores, suponiendo que en un sobre no puede meterse más de una tarjeta? 22. De cuántas maneras se pueden colocar dos anillos diferentes en la misma mano, de modo que no estén en el mismo dedo? 23. En una clase de 25 estudiantes hay que elegir dos delegados y dos subdelegados. Cuántas formaciones distintas se pueden presentar? 24. Para formar un equipo de fútbol necesitamos 11 jugadores y disponemos de 22. De cuántas formas puedo elegir estos 11 jugadores, si no nos importa el lugar en que jueguen? Y si dos de ellos sólo juegan de porteros? 25. Se lanzan cuatro monedas sobre la mesa. Calcula las probabilidades de los sucesos: a) Obtener cuatro caras. b) Obtener una cara y tres cruces. c) Obtener al menos una cruz. 26. Del número de teléfono de un amigo recordamos que empieza por 30 y que además tiene dos ceros, un cinco y dos nueves. Cuántas llamadas telefónicas tendremos que hacer para localizar a nuestro amigo? 27. Resuelve las siguientes ecuaciones con números combinatorios: x x x x a) = b) + = x+ 1 c) x = x Calcula el valor de n en las siguientes igualdades: a) P n = 2 P n-12 b) P n + 24 = 5 P n c) 3V n,2 P 2 = V n,3 P En una estantería se van a colocar cinco libros de color naranja, tres de color azul y cuatro verdes. De cuántas maneras pueden colocarse si los libros del mismo color son iguales? 30. Una heladería prepara copas de helados con tres bolas de helado elegidas de entre 18 sabores diferentes. Cuántas copas de helados distintas pueden preparar? 31. Un byte es una secuencia ordenada de ocho cifras que pueden ser ceros y unos. Cuántos bytes diferentes se pueden formar? 32. Para hacer un campeonato de ajedrez entre 12 jugadores (todos contra todos), cuántas partidas se deben celebrar? 33. Para celebrar el 25º aniversario del fin de carrera, un grupo de 34 personas se juntan para una comida. Al encontrarse, cuántos apretones de mano se darán? 34. En un bar de zumos preparan batidos a partir de 14 clases de frutas, de las cuales se eligen 5 a partes iguales y se mezclan para hacer el batido. Cuántos batidos distintos se pueden preparar? 35. De una baraja española de 40 cartas se extrae una carta, se anota el resultado y se guarda la carta sin devolverla a la baraja; después se extrae otra carta y se hace lo mismo, así hasta extraer cuatro cartas. Cuántos resultados diferentes se pueden obtener, teniendo en cuenta el orden en el que sacamos las cartas? 36. Una urna contiene siete bolas de diferentes colores. Extraemos tres bolas. Cuántos resultados distintos se pueden obtener, teniendo en cuenta el orden en el que sacamos las bolas? 37. Un chico tiene en su armario 10 pantalones y quiere elegir 6 para meterlos en la maleta para hacer un viaje. De cuántas maneras puede hacerlo? 184 COMBINATORIA Y PROBABILIDAD COLEGIO VIZCAYA

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