5.2 PROBLEMAS PRACTICOS DE MÁXIMOS Y MINIMOS

Transcripción

1 8. Un avión que vuela a velocidad constante de Km/h pasa sobe una estación teeste de ada a una altua de 1 Km. Y se eleva a un ángulo de º. qué velocidad aumenta la distancia ente el avión la estación de ada 1 minuto más tade? 9. Un aeoplano vuela hacia el oeste a 5 Km. Po hoa pasa sobe cieto pueblo a la 11: a.m.; un segundo aeoplano vuela a la misma altua hacia el su a 4 Km. po hoa pasa po el mismo pueblo a mediodía. Qué tan ápido se sepaan a la 1: p.m.? 1. La ueda moscovita que se muesta en la figua dá una vuelta cada dos minutos. Con qué apidez se eleva una pasajea en el instante en que se encuenta a 54 pies po encima del suelo? = 6 pies 64 pies 5. POBLEMS PCTICOS DE MÁXIMOS Y MINIMOS Con lo epuesto en el capitulo anteio es posible esolve poblemas pácticos de optimización. Ejemplo 1 SOLUCIÓN: De acuedo a la figua, la caja fomada así tendá un volumen que se puede calcula con la fomula z V. 1

2 Obseve 5 z, po tanto z 5 Obseve también que 8, po tanto 4 eemplazando, el volumen seía: V 4 (4 V La deivada es: 6 6 d Obteniendo los puntos cíticos, tenemos: 6 (5 )(5 1 6 ) ) 1 1. Escogemos 1p, poque no es posible que. 5 Po tanto p z 5 5 (1) p seían las dimensiones d paa obtene un volumen máimo. Cuo valo es: Vmá z 1()() 9 p Ejemplo aciendo un esquema con la infomación popocionada, tenemos: El áea de tiángulo se la calcula con la fomula b h Se obseva que h que b 1 eemplazando, obtenemos el áea en función de una sóla vaiable: 1 Deivando paa obtene los puntos cíticos, esulta: 1 14

3 hoa, d d d d 4 Las dimensiones del tiangula de áea máima seía: po consiguiente: 4 po tanto, despejando esulta b 4 h b h 4 má 4 u Ejemplo aciendo un esquema tenemos: El volumen del cilindo se lo calcula con la fomula V h Paa pone el volumen en función de una sola vaiable, elacionamos h po semejanza de tiángulos: Del gáfico obsevamos que: Entonces: h h h h eemplazando, tenemos: V h 15

4 Entonces: d d paa el óptimo: Po lo tanto: h 1 Ejemplo 4 Esquemáticamente tenemos: plicando la le del coseno paa calcula la distancia de sepaación z, esulta: demás como z 6 6 cos 45 e v entonces e vt paa cada distancia tenemos: t v t t v t t eemplazando queda: z z 6 6 t t 6 6 cos 45 t t Maimiza z es lo mismo que maimiza D z po tanto si z 6 t t 6 t t D tenemos: 16

5 Deivando simplificando esulta: 6 t ( ) t () t 4 8t 18 1 t t 1 6 t t t Y paa el óptimo: 6 18 t 8 1 t 1.15 hoas Es deci las 8:9 a.m. estaán más póimos uno del oto Ejecicios popuestos Usted debe constui una caja ectangula ceada con volumen 576 pulgadas cúbicas cuo fondo sea el doble de lago que de ancho como se muesta en la figua: Detemine las dimensiones de la caja que minimizaán el áea total de su supeficie.. Detemine las dimensiones del ectángulo de mao áea que tiene dos vétices en el eje sus otos dos vétices petenecen a la paábola cua ecuación es: 8,.. Detemine la LONGITUD de la escalea MÁS COT que llega desde el piso, sobe un muo de 8 pies de altua, hasta una paed de un edificio, a de distancia del muo. E d i f i c i o 1' Paed Escalea Piso 4. Un ecusionista se encuenta en un bosque a km. de una laga caetea ecta. Desea camina a su cabaña, que se encuenta a 1 km. de distancia po el bosque también a km. de la caetea (ve figua). Puede camina a una velocidad de 8 km/h po la caetea peo solamente a km/h po el bosque. sí decide camina pimeo hacia la caetea, después po la caetea finalmente po el bosque hacia la cabaña. Qué ángulo minimizaá el tiempo total necesaio paa que el ecusionista llegue a su cabaña? Cuánto tiempo se ahoa en compaación con la uta diecta po el bosque? 17

6 Ecusionista 1 km Cabaña km Bosque Caetea 5. Detemine el áea máima posible de un tapecio inscito en un cículo de adio, como lo muesta la figua alla el valo del áea máima del ectángulo que se puede cicunscibi a oto ectángulo dado de longitud ancho W L 7. Se va a inscibi un cono cicula ecto dento de oto cono cicula ecto de volumen dado, con el mismo eje con el vétice del cono inteio tocando la base del cono eteio. Encuente la azón ente las altuas de dichos conos paa que el volumen del cono inscito tenga el máimo volumen. 8. Calcule las dimensiones del cono cicula ecto de mao volumen que puede inscibise en una esfea de adio igual a 1 cm. 9. Inscibi en una esfea dada un cilindo de volumen máimo. 1. Encuente las dimensiones de los tiángulos isósceles inscitos en la egión compendida ente el gáfico de 1 f 4 el eje, de manea que el áea de la egión sombeada sea máima. 11. Se tiene 8 pies de tela de alambe con la que se planea cea un coal ectangula al lado de un ganeo de 1 pies de lago como se muesta en la figua. Cuáles son las dimensiones del coal de máima áea? GNEO COL 18

7 1. Dos aeoplanos vuelan hoizontalmente a la misma altua. La posición del aeoplano es al suoeste del, a km. al oeste km. al su de. Si el aeoplano vuela hacia el oeste a 16 km/min el vuela hacia el note a 64/ km/min. a) En cuántos segundos estaán los más ceca uno del oto? b) Cuál seá su distancia más cota? 1. alle la altua de un pisma tiangula egula de volumen máimo inscito en una esfea de adio. ecuede que en un tiángulo equiláteo las altuas medianas coinciden se intesecan en un punto de modo que P M C P M B 5. DIFEENCILES Y POXIMCIONES 5..1 DEFINICIÓN DE DIFEENCIL Supongase que f () es difeenciable en que d, la difeencial de una vaiable independiente, designa un incemento abitaio de. La difeencial de coespondiente a la vaiable dependiente se define como: d f ( ) d 5.. POXIMCIONES Obseve la gáfica 19