EXAMEN EXTRAORDINARIO DE FÍSICA I. CUESTIONES 30/01/2017

Transcripción

1 EXAME EXTRAORDIARIO DE FÍSICA I. CUESTIOES 30/0/07.- a) Defina el momento angular e una partícula. Demostrar que si la partícula se mueve en un plano, la irección el momento angular permanece constante. b) Defina fuerzas centrales. Demostrar que la trayectoria e una partícula sometia a una fuerza central está en un plano (a partir e la relación el momento e las fuerzas y la variación el momento angular). a) El momento angular o cinético con respecto a un punto arbitrario O (fijo en un cierto sistema e referencia inercial) e una partícula e masa m y velocia v (en ese mismo sistema e referencia) o sea, e cantia e movimiento pmv, se efine como el proucto vectorial: LOr x mvr x p one r es el vector e posición e la partícula con respecto al punto O (rop). De acuero con la efinición anterior, el momento angular e una partícula con respecto a un punto ao es el momento e la cantia e movimiento e la partícula con respecto a icho punto. El momento angular es un vector perpenicular al plano efinio por el punto arbitrario (O) elegio como origen e momentos y la recta irectriz e la cantia e movimiento e la partícula, su sentio es el eterminao pro la regla e la mano erecha o el tornillo para el proucto vectorial y su móulo viene ao por: LOrpsenφp one es el llamao brazo e la cantia e movimiento con respecto al punto O elegio y representa la istancia e icho punto a la recta irectriz el vector p. En general, el momento angular e una partícula cambia en móulo y en irección conforme ésta se mueve. Sin embargo, en el caso e que la partícula escriba una trayectoria plana, al tomar como origen e momentos un punto cualquiera el plano e la trayectoria y tenieno en cuenta que en coorenaas polares: vvr+vθ tenremos que: LOr x mvr x m(vr+vθ)r x (mvr+mvθ)r x mvr+r x mvθr x mvθ sieno nulo el proucto r x mvr por ser r y vr os vectores paralelos. os quea pues: θ L m θ LO rmvθ rmrθ mr θ O r v mr mr ω Puesto que mr es un escalar, el momento angular L0 tiene la irección e ω, es ecir, la el eje e rotación, siempre perpenicular al plano el movimiento. b) Se ice que una partícula está sometia a la acción e una fuerza central cuano la recta irectriz e la fuerza pasa siempre por el punto O elegio como centro u origen e momento. A partir e la efinición e momento angular (LOr x mv) obtenemos su erivaa respecto el tiempo: LO r p ( r mv) mv + r ( mv) v mv + r r F MO one hemos tenio en cuenta que el proucto v x mv es nulo por tratarse el proucto vectorial e os vectores paralelos. De este moo hemos establecio una relación importante entre el momento angular e la partícula y el momento e la fuerza que sobre ella actúa: L M O O Si la partícula está sometia a una fuerza central, evientemente el momento respecto el centro e fuerzas es nulo, y por tanto, el momento angular es constante:

2 L O L M 0 O O MO 0 LO cte Y aemás, como F siempre es paralela a la irección e r, el movimiento estará siempre contenio en un plano..- a) Defina el Centro e Masas (CM) e un sistema e partículas. b) Dóne se sitúa el CM en un sólio homogéneo con un eje e simetría? c) Demuestre que en el sistema e referencia CM la cantia e movimiento siempre es nula. a) Definimos el centro e masas e un sistema e partículas como el punto cuyo vector e posición es: miri r CM m ir i m mi En coorenaas cartesianas la posición el centro e masas viene aa por: mixi miyi mizi x i ; y i ; z i CM CM CM m m m b) Se ebe notar que si un cuerpo tiene un centro geométrico y la istribución e masas es homogénea, el C.M. coincie con el centro geométrico (C.G.), y que si un cuerpo tiene un eje e simetría y una istribución homogénea e masas, el C.M. está situao sobre el eje e simetría. Así, para una varilla homogénea e masas M y longitu L, el centro e masas coincie con el centro geométrico y está situao sobre el eje e simetría, e moo que: L x CM c) Muchas veces es conveniente efinir un marco e referencia cuyo origen se encuentre en el centro e masas el sistema e partículas (CM) y cuyos ejes mantengan una orientación fija respecto a un marco e referencia inercial. Tal marco o sistema e referencia recibe el nombre e sistema el centro e masas. Definiremos el vector e posición interno r i e la partícula i-ésima como el vector e origen en el centro e masas y e extremo en icha partícula, esto es: rrcm+r i r ri-rcm Entonces, e acuero con la efinición el centro e masas, las coorenaas internas r i e las partículas satisfacen la relación: mi r ' i 0 Ya que en el sistema centro e masas: mir' i (CM) (CM) r 0 CM rcm 0 mir' i 0 mi

3 puesto que el primer miembro, r (CM) CM, representa la posición el centro e masas en un sistema e referencia cuyo origen es precisamente icho centro e masas. La velocia y la cantia e movimiento internas e la partícula i-ésima serán: v vi-vcm p miv i Así, erivano la expresión anterior, tenremos: mi ' 0 (CM) r i mi ' 0 mi ' 0 mi ' 0 i r i v i P' P v i Esta última conclusión es la razón profuna e la importancia inámica el centro e masas y el motivo e su elección como sistema e referencia. La cantia e movimiento interna e un sistema e partículas (aislao o no) es siempre nula. 3.- a) Describa el caso real e roaura y calcule el coeficiente e fricción por roaura. b) Comente la iferencia entre los rozamientos e roaura y e eslizamiento. a) En las situaciones reales los cuerpos se eforman, por poco que sea. El contacto no se realiza entonces a lo largo e una generatriz, sino a lo largo e una estrecha bana, como se muestra en la figura. Ello a lugar a que aparezcan reacciones en los apoyos, reacciones que an lugar a un par que se opone a la roaura. Con la finalia e simplificar el problema, poemos imaginar que en caa momento el cilinro o ruea ebe pivotar sobre la generatriz que pasa por P para poer roar superano el pequeño obstáculo que se opone a ello. Esto equivale a consierar esplazaa la línea e acción e la reacción normal una istancia que esignaremos por. Las ecuaciones e la inámica serán entonces: ΣFXm(aCM)X F-FrmaCM ΣFYm(aCM)Y -mg0 ΣMCMICMα Frh-ICMα Tenremos aemás la conición e roaura, que implicará que: aoacmαr Fr µe En esta situación tenremos que si la ruea se mueve con velocia constante: vcmcte acm0 α0 Así, nos quean las ecuaciones: ΣFXm(aCM)X F-Fr0 FFr ΣFYm(aCM)Y -mg0 mg ΣMCMICMα Frh-0 Ahora como tenemos os momentos opuestos, se pueen compensar, y la suma e los momentos puee ser nula sin que tenga que ser nula la fuerza e rozamiento. Tenremos entonces que e la ecuación e momentos: Frh-0 F r h Y e lo que tenemos e las e fuerzas: F Fr mg mg h h r Al cociente entre el valor e y el raio e la ruea se le conoce como coeficiente e fricción por roaura µro.

4 b) otemos las os coniciones que tenemos, eslizamiento y roaura, con velocia constante. Si la ruea esliza, la fuerza e rozamiento aquiere su valor cinético: FFrµcµcmg Mientras que si ruea: F Fr mg µ romg r El rozamiento por roaura es mucho menor que el rozamiento por eslizamiento, e moo que en principio es ventajoso que el sistema ruee a que eslice. 4.- Describa la representación e Fresnel el esplazamiento, velocia y aceleración e un Movimiento Armónico Simple. Consieremos una partícula en una circunferencia e raio A0 con movimiento circular uniforme e velocia angular ω0 constante. Esta partícula se representa por su vector e posición o fasor. Al recorrer Q (extremo el fasor) la circunferencia, la proyección P recorre el eje X pasano por los extremos A0 y A0 e forma oscilatoria. La proyección e este movimiento sobre el eje X es: xa0sen(ω0t+ϕ) Poemos ver que efectivamente esta es la expresión e la posición en el movimiento armónico simple. Por ser un movimiento circular y uniforme, la velocia e la partícula tiene móulo ω0a0, y es un vector tangente a la circunferencia en caa punto y e sentio el e avance el móvil. Poemos ver que la proyección e este vector velocia sobre el eje X es:

5 va0ω0cos(ω0t+ϕ) Lo cual es la expresión e la velocia en el movimiento armónico simple. La aceleración e la partícula Q es normal o centrípeta (como el móulo e la velocia es constante la aceleración tangencial es nula), y es un vector e móulo ω y irigio hacia el centro e la circunferencia en caa punto. La proyección e 0 A 0 este vector aceleración sobre el eje X es: a A0ω0sen( ω0t + ϕ) Esta expresión es la e la aceleración en el movimiento armónico simple. Así, hemos emostrao que el movimiento armónico simple es la proyección sobre un iámetro e la circunferencia e un movimiento circular uniforme. 5.- a) Defina una ona armónica y su expresión matemática. b) A partir e esa expresión efinir la longitu e ona, el número e onas, frecuencia angular, perioo y frecuencia. a) Cualquier función f(x,t)f(x±vt) representa una perturbación que se propaga por el meio a velocia v. La forma e la función f(x,t) puee ser cualquiera. Sin embargo, resulta e especial interés analizar en etalle la situación en que icha función es sinusoial, en cuyo caso tenemos las enominaas onas sinusoiales o armónicas: y(x, t)asenk(x-vt) b) Vamos a ver los istintos parámetros que aparecen. En primer lugar analicemos qué representa k. Para ello, notemos qué ocurre cuano x aumenta una cantia π/k: π π y x +, t Asenk x + vt Asen( kx + π kvt) k k Asen [ k(x vt) + π] Asenk(x vt) y(x, t) Así, vemos que cuano el espacio aumenta una cantia π/k volvemos a tener la misma situación. Esto constituye una perioicia espacial en la función y(x, t). A este espacio lo enominamos longitu e ona λ, y el parámetro k se enomina número e ona: π π λ k k λ

6 Es fácil comprener que la longitu e ona representa también la istancia mínima que existe entre os puntos el meio que oscilan en fase. Veamos ahora la epenencia temporal e la función y(x, t), y para ello enotemos por ω, frecuencia angular e la ona, al proucto e k por v: ωkv Así, poemos escribir también la ecuación e una ona armónica como: y(x, t)asenk(x-vt)asen(kx-kvt)asen(kx-ωt) Y veamos también qué ocurre con la función e ona cuano el tiempo aumenta en una cantia π/ω: π π y x, t + Asen kx ωt ω Asen( kx ωt π) Asen( kx ωt) y(x, t) ω ω De moo análogo, vemos que cuano el tiempo se incrementa en una cantia π/ω se repite el mismo estao e perturbación. Existe también una perioicia temporal, y a esta magnitu la enominamos períoo T: π T ω π ω T El inverso el períoo recibe el nombre e frecuencia, y se mie en Hertzios (Hz) o s - : ν T Por tanto, en el movimiento onulatorio sinusoial tenemos os perioiciaes: una en el tiempo, aa por el perioo T, y la otra en el espacio, aa por la longitu e ona λ. Ambas magnitues están relacionaas: π π πλ λ λ T v ω kv πv v T