LECCIÓN 5: CINEMÁTICA DEL PUNTO

Transcripción

1 LECCIÓN 5: CINEMÁTICA DEL PUNTO 5.1.Punto mateial. 5.. Vecto de posición. Tayectoia Vecto velocidad Vecto aceleación Algunos tipos de movimientos PUNTO MATERIAL. Un punto mateial epesenta cuepos con masa peo sin dimensiones. De esta foma, su posición queda completamente definida con las coodenadas del punto en el que se encuenta. Muchos sistemas eales pueden asimilase a puntos mateiales si la escala de dimensiones lo pemite sin intoduci eo (la tiea, giando alededo del sol, puede estudiase como un punto mateial). 5.. VECTOR DE POSICIÓN. TRAYECTORIA. Un punto mateial situado en el espacio en el punto P, especto del sistema de efeencia [O,X,Y,Z], tiene po coodenadas P(x,y,z). Vecto posición del punto mateial se define como el vecto que va del oigen de coodenadas hasta P; = OP. Sus componentes seán: = xi + yj + zk Si el punto se mueve en el espacio, las coodenadas vaiaán con el tiempo, y el vecto posición seá una función vectoial de la vaiable escala tiempo: = x( t) i + y( t) j + z( t) k De esta manea, la tayectoia que siga el punto seá la cuva indicatiz que descibe el extemo del vecto posición a lo lago del tiempo VECTOR VELOCIDAD. Se define el vecto velocidad como la deivada especto del tiempo del vecto de posición: d( t) v( t) = De la definición de deivada se deduce que el vecto velocidad es tangente a la tayectoia, y su sentido es el de avance del punto mateial. Si

2 llamamos T al vecto unitaio tangente a la tayectoia y en el sentido de la velocidad, seá v( t) = vt donde v es el módulo del vecto velocidad, la llamada velocidad lineal, d v = v = VECTOR ACELERACIÓN. Se define el vecto aceleación como la deivada especto del tiempo del vecto velocidad: Como v( t) = vt a( t) = dv( t) dv d( vt) dv a( t) = = = T + v dt Como T es unitaio po definición, su módulo es constante, po lo que el vecto dt es pependicula a T. Al unitaio (o veso) en la diección y sentido de dt se le llama vecto nomal, N dt N = dt Si definimos el adio de cuvatua de un aco como ρ = v, esulta que dt dv a = T + v N = at + a ρ A las componentes de la aceleación en las diecciones tangente y nomal se les llama componentes intínsecas de la aceleación. El pime témino, o aceleación tangencial va en la diección tangente a la tayectoia, y su módulo epesenta los cambios en el módulo de la velocidad instantánea. El segundo témino, la llamada aceleación nomal, es siempe nomal a la tayectoia, y está elacionada con los cambios de diección del vecto velocidad. N

3 5.5. ALGUNOS TIPOS DE MOVIMIENTOS. * Movimiento ectilíneo El adio de cuvatua de la tayectoia es infinito, po lo que la aceleación nomal seá nula, a N = 0, y po lo tanto la velocidad y la aceleación ián en la diección de la tayectoia, diección del vecto tangente. * Movimiento plano Al encontase siempe en el mismo plano, los vectoes tangente y nomal estaán contenidos en él, y su poducto vectoial daá como esultado un vecto unitaio, que seá constante, al que se llama vecto binomal B B = T N * Movimiento unifome Se dice de aquel movimiento cuya velocidad lineal es constante, y po lo tanto su aceleación tangencial es nula: v = cte, at=0, po lo que solo tiene aceleación nomal * Movimiento unifomemente vaiado Se dice del movimiento en el que su velocidad vaía unifomemente, es deci, su aceleación tangencial es constante a T =cte * Movimiento cicula ρ y dθ θ ds x Es un movimiento plano de adio de cuvatua constante, ρ=constante, cuya tayectoia, po lo tanto, es cicula. En este tipo de movimiento se definen vaiables paticulaes, expesando las velocidades y aceleaciones en téminos de ángulos ecoidos, θ. De esta foma, las coodenadas de un punto de la tayectoia seán: x = ρcos θ( t) y = ρsen θ( t) Se define la velocidad angula ω, como el ángulo giado po unidad de tiempo, θ ω = d. Como el aco ecoido es ds = ρdθ, la velocidad lineal la podemos expesa como: ds d( ρdθ) d v( t) = = = ρ θ = ρω ( t)

4 α Si definimos el vecto velocidad angula como un vecto cuyo módulo es la velocidad angula anteiomente definida, diección nomal a la tayectoia, y sentido el de aplica la egla de la mano deecha al movimiento cicula (citeio dextógio), se puede escibi: v = ρωt = ω ρ donde ρ es el vecto posición del punto mateial consideando el cento del movimiento como oigen de coodenadas. Po analogía, se define el vecto aceleación angula como un vecto de módulo la deivada de la velocidad angula especto del tiempo, dω( t) d θ( t) α( t) = = diección nomal al plano de la tayectoia, y sentido el de la velocidad angula. Se cumple que d( ρω) a T = = ρα, y se puede compoba que: a T = α ρ y = ω (ω ρ) Podemos también, paticulaizando paa el movimiento cicula, señala las caacteísticas de dos tipos de movimientos: a N - Movimiento cicula unifome Velocidad angula constante, y po lo tanto aceleación angula nula α=0. En este caso se definen dos magnitudes caacteísticas: -Peiodo: Tiempo que tada el punto mateial en completa un ciclo: T = π ω -Fecuencia: Númeo de ciclos que descibe el punto ω 1 po unidad de tiempo: f = ν = = π T - Movimiento cicula unifomemente vaiado En él la velocidad angula vaía unifomemente, y po lo tanto la aceleación angula es constante: α=constante.

5 EJERCICIOS LECCION 5.- CINEMÁTICA DEL PUNTO 5.1- Una patícula sigue la tayectoia siguiente, expesada en foma paamética en función del tiempo: x = t y = t + z = 1 Detemina las expesiones del vecto posición, de la velocidad y la aceleación, y la distancia de la patícula al oigen de coodenadas cuando t= segundos. Solución: ( t) = ti + ( t + ) j + k v ( t) = i + tj a( t) = j ( ) = Una patícula sigue la tayectoia, en función del tiempo: x = t y = t z = 1 Calcula la aceleación y sus componentes intínsecas Sea una patícula que se mueve con aceleación a = tj, y que en el instante inicial tiene una velocidad v0 = i, situada en el oigen de coodenadas. Calcula la expesión de la velocidad y tayectoia en función del tiempo Un movimiento cicula, centado en el oigen de coodenadas, y sobe el plano XY, tiene una velocidad angula ω = adianes/segundo, y adio R = 5m. Calcula la velocidad que tiene la patícula al pasa po el punto (3,4) m El mecanismo de la figua se desplaza a lo lago del eje OX (1) con velocidad a, a lo lago del eje OY () con velocidad b, y gia el bazo de longitud l con velocidad angula ω. Todo el movimiento se ealiza sobe el plano XY, y la posición inicial del extemo del bazo es (l,0,0). Detemina las ecuaciones del movimiento, posición, velocidad y aceleación, del extemo del bazo.

6 5.6- El mecanismo de la figua gia alededo del eje OZ (1) con velocidad angula constante, y la longitud del pistón () aumenta con velocidad v 0 constante. Si la longitud del bazo es R, y el punto de patida del movimiento es (R,0,h 0 ), detemina la velocidad y aceleación del punto P, extemo del pistón. Otos poblemas: "PROBLEMAS DE MECÁNICA" E.Bonet et al. SPUPV ª: páginas 6-5 a 6-3